新高考數(shù)學一輪復習教師用書：第10章-6-第6講-離散型隨機變量及其分布列

PAGE第6講離散型隨機變量及其分布列1．隨機變量的有關(guān)概念(1)隨機變量：隨著試驗結(jié)果的變化而變化的變量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示．(2)離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量．2．離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)(1)概念：一般地,若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個值xi(i＝1,2,…,n)的概率P(X＝xi)＝pi,則下表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機變量X的概率分布列,簡稱為X的分布列,有時為了表達簡單,也用等式P(X＝xi)＝pi,i＝1,2,…,n表示X的分布列．(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)①pi≥0(i＝1,2,…,n)；②eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))pi＝1．3．兩點分布若隨機變量X服從兩點分布,則其分布列為X01P1－pp其中p＝P(X＝1)稱為成功概率.[疑誤辨析]判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)隨機變量和函數(shù)都是一種映射,隨機變量把隨機試驗的結(jié)果映射為實數(shù)．()(2)拋擲均勻硬幣一次,出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量．()(3)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．()(4)離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．()(5)由下表給出的隨機變量X的分布列服從兩點分布．()X25P0.30.7答案：(1)√(2)√(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1．(選修2-3P77A組T1改編)設(shè)隨機變量X的分布列如下：X12345Peq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p則p＝________．解析：由分布列的性質(zhì)知,eq\f(1,12)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋p＝1,所以p＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)2．(選修2-3P49A組T1改編)有一批產(chǎn)品共12件,其中次品3件,每次從中任取一件,在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是________．解析：因為次品共有3件,所以在取到合格品之前取到次品數(shù)為0,1,2,3.答案：0,1,2,33．(選修2-3P49A組T5改編)設(shè)隨機變量X的分布列為X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)則P(|X－3|＝1)＝________．解析：由eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1,解得m＝eq\f(1,4),P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)[易錯糾偏]隨機變量的概念不清.袋中有3個白球、5個黑球,從中任取兩個,可以作為隨機變量的是()A．至少取到1個白球 B．至多取到1個白球C．取到白球的個數(shù) D．取到的球的個數(shù)解析：選C.A,B兩項表述的都是隨機事件,D項是確定的值2,并不隨機；C項是隨機變量,可能取值為0,1,2.故選C.離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．【解】由分布列的性質(zhì)知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1,解得m＝0.3.(1)2X＋1的分布列為2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列為|X－1|0123P0.10.30.30.3(變問法)在本例條件下,求P(1<X≤4)．解：由本例知,m＝0.3,P(1<X≤4)＝P(X＝2)＋(X＝3)＋P(X＝4)＝0．1＋0.3＋0.3＝0.7.eq\a\vs4\al()離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的應用(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值,此時要注意檢驗,以保證每個概率值均為非負值；(2)若X為隨機變量,則2X＋1仍然為隨機變量,求其分布列時可先求出相應的隨機變量的值,再根據(jù)對應的概率寫出分布列．1．設(shè)隨機變量X等可能地取1,2,3,…,n,若P(X＜4)＝0.3,則n的值為()A．3 B．4C．10 D．不確定解析：選C.“X＜4”的含義為X＝1,2,3,所以P(X＜4)＝eq\f(3,n)＝0.3,所以n＝10.2．隨機變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列,則P(|X|＝1)＝________,公差d的取值范圍是________．解析：因為a,b,c成等差數(shù)列,所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1,所以b＝eq\f(1,3),所以P(|X|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).又a＝eq\f(1,3)－d,c＝eq\f(1,3)＋d,根據(jù)分布列的性質(zhì),得0≤eq\f(1,3)－d≤eq\f(2,3),0≤eq\f(1,3)＋d≤eq\f(2,3),所以－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).答案：eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))離散型隨機變量的分布列(高頻考點)離散型隨機變量的分布列是高考命題的熱點,多以解答題的形式出現(xiàn),試題難度不大,多為容易題或中檔題．主要命題角度有：(1)用頻率代替概率的離散型隨機變量的分布列；(2)古典概型的離散型隨機變量的分布列；(3)與獨立事件(或獨立重復試驗)有關(guān)的分布列的求法．(下一講內(nèi)容)角度一用頻率代替概率的離散型隨機變量的分布列某商店試銷某種商品20天,獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變),設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件,當天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨,若發(fā)現(xiàn)存量少于2件,則當天進貨補充至3件,否則不進貨,將頻率視為概率．(1)求當天商店不進貨的概率；(2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù),求X的分布列．【解】(1)P(當天商店不進貨)＝P(當天商品銷售量為0件)＋P(當天商品銷售量為1件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).(2)由題意知,X的可能取值為2,3.P(X＝2)＝P(當天商品銷售量為1件)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)；P(X＝3)＝P(當天商品銷售量為0件)＋P(當天商品銷售量為2件)＋P(當天商品銷售量為3件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(9,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).所以X的分布列為X23Peq\f(1,4)eq\f(3,4)角度二古典概型的離散型隨機變量的分布列(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)一個盒子里裝有大小均勻的6個小球,其中有紅色球4個,編號分別為1,2,3,4；白色球2個,編號分別為4,5,從盒子中任取3個小球(假設(shè)取到任何一個小球的可能性相同)．(1)求取出的3個小球中,含有編號為4的小球的概率；(2)在取出的3個小球中,小球編號的最大值設(shè)為X,求隨機變量X的分布列．【解】(1)“設(shè)取出的3個小球中,含有編號為4的小球”為事件A,P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(4,5),所以取出的3個小球中,含有編號為4的小球的概率為eq\f(4,5).(2)X的可能取值為3,4,5.P(X＝3)＝eq\f(1,Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)；P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)；P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,2),所以隨機變量X的分布列為X345Peq\f(1,20)eq\f(9,20)eq\f(1,2)eq\a\vs4\al()離散型隨機變量分布列的求解步驟(1)明取值：明確隨機變量的可能取值有哪些,且每一個取值所表示的意義．(2)求概率：要弄清楚隨機變量的概率類型,利用相關(guān)公式求出變量所對應的概率．(3)畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列．(4)做檢驗：利用分布列的性質(zhì)檢驗分布列是否正確．[提醒]求隨機變量某一范圍內(nèi)取值的概率,要注意它在這個范圍內(nèi)的概率等于這個范圍內(nèi)各概率值的和．某校校慶,各屆校友紛至沓來,某班共來了n位校友(n>8且n∈N*),其中女校友6位,組委會對這n位校友登記制作了一份校友名單,現(xiàn)隨機從中選出2位校友代表,若選出的2位校友是一男一女,則稱為“最佳組合”．(1)若隨機選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于eq\f(1,2),求n的最大值；(2)當n＝12時,設(shè)選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為X,求X的分布列．解：(1)由題意可知,所選2人為“最佳組合”的概率為eq\f(Ceq\o\al(1,n－6)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,n))＝eq\f(12（n－6）,n（n－1）),則eq\f(12（n－6）,n（n－1）)≥eq\f(1,2),化簡得n2－25n＋144≤0,解得9≤n≤16,故n的最大值為16.(2)由題意得,X的可能取值為0,1,2,則P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,12))＝eq\f(5,22),P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,12))＝eq\f(6,11),P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,12))＝eq\f(5,22),X的分布列為X012Peq\f(5,22)eq\f(6,11)eq\f(5,22)[基礎(chǔ)題組練]1．設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍,用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù),則P(X＝0)等于()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：選C.設(shè)X的分布列為X01Pp2p即“X＝0”表示試驗失敗,“X＝1”表示試驗成功．由p＋2p＝1,得p＝eq\f(1,3),故應選C.2．設(shè)隨機變量Y的分布列為Y－123Peq\f(1,4)meq\f(1,4)則“eq\f(3,2)≤Y≤eq\f(7,2)”的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)解析：選C.依題意知,eq\f(1,4)＋m＋eq\f(1,4)＝1,則m＝eq\f(1,2).故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤Y≤\f(7,2)))＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).3．設(shè)隨機變量X的概率分布列如下表所示：X012Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)若F(x)＝P(X≤x),則當x的取值范圍是[1,2)時,F(x)等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,6)解析：選D.由分布列的性質(zhì),得a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1,所以a＝eq\f(1,2).而x∈[1,2),所以F(x)＝P(X≤x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).4．已知離散型隨機變量X的分布列為X012P0.51－2qeq\f(1,3)q則P(eq\r(X)∈Z)＝()A．0.9 B．0.8C．0.7 D．0.6解析：選A.由分布列性質(zhì)得0.5＋1－2q＋eq\f(1,3)q＝1,解得q＝0.3,所以P(eq\r(X)∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9,故選A.5．拋擲2顆骰子,所得點數(shù)之和X是一個隨機變量,則P(X≤4)＝________．解析：拋擲2顆骰子有36個基本事件,其中X＝2對應(1,1)；X＝3對應(1,2),(2,1)；X＝4對應(1,3),(2,2),(3,1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,36)＋eq\f(2,36)＋eq\f(3,36)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)6．已知隨機變量ξ只能取三個值：x1,x2,x3,其概率依次成等差數(shù)列,則公差d的取值范圍是________．解析：設(shè)ξ取x1,x2,x3時的概率分別為a－d,a,a＋d,則(a－d)＋a＋(a＋d)＝1,所以a＝eq\f(1,3),由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))7．若離散型隨機變量X的分布列為X01P9c2－c3－8c則常數(shù)c＝________,P(X＝1)＝________．解析：由分布列的性質(zhì)知,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9c2－c≥0，,3－8c≥0，,9c2－c＋3－8c＝1，))解得c＝eq\f(1,3),故P(X＝1)＝3－8×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)eq\f(1,3)8．在一個口袋中裝有黑、白兩個球,從中隨機取一球,記下它的顏色,然后放回,再取一球,又記下它的顏色,則這兩次取出白球數(shù)X的分布列為________．解析：X的所有可能值為0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4),P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)×2,Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,2),P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).所以X的分布列為X012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)答案：X012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次．(1)寫出正面向上次數(shù)X的分布列；(2)求至少出現(xiàn)兩次正面向上的概率．解：(1)X的可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,3),23)＝eq\f(1,8)；P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3),23)＝eq\f(3,8)；P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),23)＝eq\f(3,8)；P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),23)＝eq\f(1,8).所以X的分布列為X0123Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)(2)至少出現(xiàn)兩次正面向上的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,2).10．(2020·臺州高三質(zhì)檢)在一次購物活動中,假設(shè)每10張券中有一等獎券1張,可獲得價值50元的獎品；有二等獎券3張,每張可獲得價值10元的獎品；其余6張沒有獎．某顧客從這10張券中任取2張．(1)求該顧客中獎的概率；(2)求該顧客獲得的獎品總價值X(元)的分布列．解：(1)該顧客中獎的概率P＝1－eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝1－eq\f(15,45)＝eq\f(2,3).(2)X的所有可能取值為0,10,20,50,60,且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3),P(X＝10)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,5),P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15),P(X＝50)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,15),P(X＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15).故X的分布列為X010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)[綜合題組練]1．(2020·浙江高中學科基礎(chǔ)測試)一個袋子裝有大小形狀完全相同的9個球,其中5個紅球編號分別為1,2,3,4,5；4個白球編號分別為1,2,3,4,從袋中任意取出3個球．(1)求取出的3個球編號都不相同的概率；(2)記X為取出的3個球中編號的最小值,求X的分布列．解：(1)設(shè)“取出的3個球編號都不相同”為事件A,“取出的3個球中恰有兩個球編號相同”為事件B,則P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(28,84)＝eq\f(1,3),所以P(A)＝1－P(B)＝eq\f(2,3).(2)X的取值為1,2,3,4,P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(49,84),P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(25,84),P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(9,84),P(X＝4)＝eq\f(1,Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,84).所以X的分布列為X1234Peq\f(7,12)eq\f(25,84)eq\f(3,28)eq\f(1,84)2.小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學校合唱團還是參加學校排球隊．游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點,再從A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如圖),這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量,記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X＝0就參加學校合唱團,否則就參加學校排球隊．(1)求小波參加學校合唱團的概率；(2)求X的分布列．解：(1)從8個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有Ceq\o\al(2,8)＝28(種),當X＝0時,兩向量夾角為直角,共有8種情形,所以小波參加學校合唱團的概率為