高中數(shù)學(xué)必修2課下能力提升（五）空間兩條直線的位置關(guān)系

課下能力提升(五)空間兩條直線的位置關(guān)系1．空間中有一個∠A的兩邊和另一個∠B的兩邊分別平行，∠A＝70°，則∠B＝________.2．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________．(注：把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上)3．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與A1B1所成的角的余弦值為________．4．關(guān)于空間中點，線，面之間的關(guān)系描述正確的序號是________．①若直線a在平面α外，則a∥α；②若α∥γ且β∥γ，則α∥β；③若直線a與b不相交，則a∥b；④若a⊥b，則a與b必相交．5.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB的中點為M，DD1的中點為N，則異面直線B1M與CN所成的角是________．6．如圖所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)若四邊形EFGH是矩形，求證：AC⊥BD.7.如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求：(1)異面直線AD1與DC1所成的角；(2)若E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，求異面直線EF與AD1所成的角．8.如圖所示，在三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝AD＝eq\f(\r(6),2)a，BC＝CD＝a，BD＝eq\r(2)a，點F是BD的中點，求證：AF⊥CD.答案1．解析：∵∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.答案：70°或110°2．解析：由異面直線的定義知③④正確．答案：③④3．解析：設(shè)棱長為1，因為A1B1∥C1D1，所以∠AED1（或其補角）就是異面直線AE與A1B1所成的角．在△AED1中，cos∠AED1＝eq\f(D1E,AE)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,2))＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)4．解析：直線a在平面α外，則a∥α或a與α相交，所以①錯誤；若直線a與b不相交，則a∥b或a與b異面，所以③錯誤；若a⊥b，則a與b相交或異面，所以④錯誤．答案：②5．解析：取CD的中點M1，連結(jié)C1M1，則CN⊥C1M1，故B1M與CN所成的角為90°.答案：90°6.證明：(1)如圖所示，連結(jié)EF，F(xiàn)G，GH，HE，在△ABD中，∵E，H分別是AB，AD的中點，∴EH∥BD，同理FG∥BD，∴EH∥FG，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)由(1)知EH∥BD，同理GH∥AC.又∵四邊形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.7．解：(1)連結(jié)AB1，B1D1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AD綊B1C1.∴四邊形ADC1B1是平行四邊形．∴DC1∥AB1，∴∠D1AB1(或其補角)就是異面直線AD1與DC1所成的角，又AD1＝AB1＝B1D1，∴△AB1D1為正三角形，∴∠D1AB1＝60°.即異面直線AD1與DC1所成的角是60°.(2)連結(jié)AC，CD1，則EF∥AC.∠D1AC即為異面直線EF與AD1所成的角(或其補角)．又AC＝AD1＝CD1，∴△ACD1為等邊三角形．∴∠D1AC＝60°，即異面直線EF與AD1所成的角為60°.8.證明：取BC的中點E，連結(jié)EF，AE，∵F為BD的中點，∴EF綊eq\f(1,2)CD.∴∠AFE為異面直線AF，CD所成的角或其補角，且EF＝eq\f(1,2)a.在△ABC中，AB＝AC＝eq\f(\r(6),2)a，BC＝a，∴AE2＝AB2－(eq\f(1,2)BC)2＝eq\f(6,4)a2－eq\f(1,4)a2＝eq\f(5,4)a2.在△ABD中，AB＝AD＝eq\f(\r(6),2)a，BD＝eq\r(2)a，∴A