高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)家教師版

數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)史之?dāng)?shù)學(xué)與數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，有很多著名的中午數(shù)學(xué)家，他們的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)成就等均為大家熟知，他們的一些發(fā)現(xiàn)、發(fā)明還和我們高中數(shù)學(xué)相關(guān)呢，且聽我慢慢道來.一、好題賞析1．我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一個原理“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的一個半圓，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．2．阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)(且)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點、間的距離為，動點與、距離之比為，當(dāng)、、不共線時，面積的最大值是（

）.A． B． C． D．二、小試牛刀3．費馬數(shù)列是以數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費馬（PierredeFermat，1601~1665年）命名的數(shù)列，其中．例如．因為．所以的整數(shù)部分是1位數(shù)；因為，所以的整數(shù)部分是2位數(shù)；…；則的整數(shù)部分位數(shù)最接近于（

）（）A．240 B．600 C．1200 D．24004．中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個三角形，邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為（

）A． B． C． D．5．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：，.已知，則函數(shù)的值域為（

）A． B．， C．，， D．，0，6．十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具體典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的開區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間、分別均為三段，并各自去掉中間的開區(qū)間段，記為第二次操作；．如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的開區(qū)間段．操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即“康托三分集”．第三次操作后，從左到右第六個區(qū)間為（

）A． B．C． D．7．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)(素數(shù)指大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù))的和”，如18=7+11，在不超過16的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于16的概率是（

）A． B． C． D．8．著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家約翰尼斯·開普勒（Johannes

Kepler）發(fā)現(xiàn)了行星運動三大定律，其中開普勒第一定律又稱為軌道定律，即所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，且太陽處在橢圓的一個焦點上.記地球繞太陽運動的軌道為橢圓C，在地球繞太陽運動的過程中，若地球與太陽的最遠距離與最近距離之比為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．9．張衡是中國東漢時期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)得出圓周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，底面，，且，，利用張衡的結(jié)論可得球的表面積為（

）A．30 B． C． D．10．1471年德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即視角最大，視角是指由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角），這個問題被稱為米勒問題，諾德爾教授給出解答，以懸桿的延長線和水平地面的交點為圓心，懸桿兩端點到地面的距離的積的算術(shù)平方根為半徑在地面上作圓，則圓上的點對懸桿視角最大.米勒問題在實際生活中應(yīng)用十分廣泛.某人觀察一座山上的鐵塔，塔高，山高，此人站在對塔“最大視角”（忽略人身高）的水平地面位置觀察此塔，則此時“最大視角”的正弦值為（

）A． B．C． D．11．德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著．19世紀，狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)”，其中為實數(shù)集，為有理數(shù)集.則關(guān)于函數(shù)有如下四個命題，其中真命題是（

）A．B．任取一個不為零的有理數(shù)，對任意的恒成立C．，，恒成立D．不存在三個點，，，使得為等腰直角三角形12．十七世紀法國數(shù)學(xué)家費馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程表示橢圓，費馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì)：若從橢圓上任意一點P（異于A，B兩點）向長軸AB引垂線，垂足為Q，記.下列說法正確的是（

）A．M的值與Р點在橢圓上的位置有關(guān) B．M的值與Р點在橢圓上的位置無關(guān)C．M的值越大，橢圓的離心率越大 D．M的值越大，橢圓的離心率越小13．將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分數(shù)，就得到一個如圖所示的分數(shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可以看出：，令，是的前項和，則______.14．1765年，偉大的數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)：任意給出一個三角形，它的重心?垂心和外心都是共線的.后人把這條直線稱為三角形的歐拉線.已知在平面直角坐標系中，內(nèi)接于單位圓，且，，逆時針排列，.若的歐拉線所在直線的斜率，則所在直線的傾斜角的取值范圍是___________.15．19世紀德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出的“狄利克雷函數(shù)”，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中有著重要意義，已知狄利克雷函數(shù)的表達式為，則___________.16．裴波那契數(shù)列（Fibonaccisequence）又稱黃金分割數(shù)列，因為數(shù)學(xué)家列昂納多?裴波那契以兔子繁殖為例子引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，在數(shù)學(xué)上裴波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，現(xiàn)從該數(shù)列的前40項中隨機抽取一項，則能被3整除的概率是_______17．由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機一直延續(xù)到19世紀直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)“無理”的時代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機.所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空子集與，且滿足，，中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割.試判斷下列選項中，可能成立的是___________.①，是一個戴德金分割；②沒有最大元素，有一個最小元素；③有一個最大元素，有一個最小元素；④沒有最大元素，沒有最小元素；18．拿破侖·波拿巴，十九世紀法國偉大的軍事家、政治家，對數(shù)學(xué)很有興趣，他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個三角形的中心恰為另一個等邊三角形的頂點”.如圖，在中，，以，，為邊向外作三個等邊三角形，其中心依次為，，，若，則__________，的最大值為__________.19．著名數(shù)學(xué)家棣莫佛（Demoivre，1667~1754）出生于法國香檳，他在概率論和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根據(jù)這個公式，則______；若，則______.20．阿基米德在他的許許多多的科學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)中，最為得意的一個發(fā)現(xiàn)是：如圖所示，圓及其外切正方形繞圖中由虛線表示的對稱軸旋轉(zhuǎn)一周生成的幾何體稱為圓柱容球．在圓柱容球中，球的體積是圓柱體積的，球的表面積也是圓柱全面積的．請你試著證明．21．阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標系中，橢圓的面積等于，且橢圓的焦距為.（1）求橢圓的標準方程；（2）點是軸上的定點，直線與橢圓交于不同的兩點，已知A關(guān)于軸的對稱點為，點關(guān)于原點的對稱點為，已知三點共線，試探究直線是否過定點.若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.參考答案：1．C【分析】由圓錐底面周長可求得圓錐的底面半徑，圓錐的高，利用圓錐的體積公式和祖暅原理，即得解【詳解】圓錐底面周長為，所以圓錐的底面半徑，圓錐的高，所以圓錐的體積為，由祖暅原理，該幾何體的體積也為.故選：C2．D【分析】以經(jīng)過、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸建系，利用求出圓的方程，可得圓的半徑，進而可求出三角形面積的最大值.【詳解】如圖，以經(jīng)過、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸建系，如圖：則、，設(shè)，∵，∴，兩邊平方并整理得：，所以圓的半徑為，∴面積的最大值是.故選：D．3．D【分析】先表示出，作近似處理得，再取以10為底的對數(shù)化簡即可求解【詳解】由于，與1相比都非常大，所以，所以，故．又因為，的整數(shù)位數(shù)為位，所以的整數(shù)部分位數(shù)最接近2400位．故選：D．4．B【分析】由題意，，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴此三角形面積的最大值為．故選：B.5．B【分析】利用常數(shù)分離法將原函數(shù)解析式化為，然后分析函數(shù)的值域，再根據(jù)高斯函數(shù)的含義確定的值域.【詳解】，，，，，或0，的值域為，.故選：B.6．D【分析】列舉出前三次操作后所剩下的區(qū)間，由此可得出結(jié)果.【詳解】第一次操作剩下的區(qū)間為、；第二次操作剩下的區(qū)間為、、、；第三次操作剩下的區(qū)間為、、、、、、、．即從左到右第六個區(qū)間為．故選：D.7．B【分析】確定不超過16的素數(shù)，寫出任取2上的基本事件，同時得出和為16的基本事件，由概率公式計算概率．【詳解】不超過16的素數(shù)有2、3、5、7、11、13，滿足“和”等于16的有(3，13)、(5，11)共有2組，總的有(2，3)、(2，5)、(2，7)、(2，11)、(2，13)、(3，5)、(3，7)、(3，11)、(3，13)、(5，7)、(5，11)、(5，13)、(7，11)、(7，13)、(11，13)，所以，故選：B．8．C【分析】設(shè)橢圓C的焦距為2c，長軸長為2a，根據(jù)題意可得地球與太陽的最遠距離為，最近距離為，再由地球與太陽的最遠距離與最近距離之比為，列出方程，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)橢圓C的焦距為2c，長軸長為2a，根據(jù)題意可得地球與太陽的最遠距離為，最近距離為，則，解得，即C的離心率為.故選：C.9．D【分析】由，底面，將三棱錐放在長方體中，求出外接球的半徑以及圓周率的值，再由球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖所示：因為，底面，，，所以將三棱錐放在長、寬、高分別為的長方體中，三棱錐的外接球即為該長方體的外接球，外接球的直徑，利用張衡的結(jié)論可得，則，所以球的表面積為.故選：D.10．B【分析】設(shè)此時視角為，塔底離地面高度為，塔頂離地面高度為，根據(jù)題意，，然后利用兩角差的正切值公式求得，進而利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得“最大視角”的正弦值.【詳解】由米勒問題的解答可知，此人應(yīng)站在離塔水平距離為處觀察，設(shè)此時視角為，塔底離地面高度為，塔頂離地面高度為，則，則，故.故選：B11．ABD【分析】直接由解析式計算可判斷A；分和兩種情況討論可判斷B；舉反例取，，可判斷C；分中有兩個是有理數(shù)，一個是無理數(shù)或者兩個是無理數(shù)，一個是有理數(shù)討論，每種情況再分角為直角三種情況討論可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A，，所以，故選項A正確；對于B，任取一個不為零的有理數(shù)，若，則，滿足；若，則，滿足，故選項B正確；對于C，取，，則，而，所以，故選項C錯誤；對于D，當(dāng)均為有理數(shù)或均為無理數(shù)時，三點在一條直線上，不能構(gòu)成三角形，所以中有兩個是有理數(shù)，一個是無理數(shù)或者兩個是無理數(shù)，一個是有理數(shù)，不妨設(shè)是有理數(shù)，是無理數(shù)，則，，，因為為等腰直角三角形，所以若角是直角，則，與是無理數(shù)矛盾，若角是直角，則，與是無理數(shù)矛盾，若角是直角，因為，所以，與是無理數(shù)矛盾，所以此時不可能為等腰直角三角形，當(dāng)中有兩個無理數(shù)一個是有理數(shù)時，不妨設(shè)是無理數(shù)，是有理數(shù)，則，，，因為為等腰直角三角形，所以若角是直角，則，與是有理數(shù)矛盾，若角是直角，則，與是有理數(shù)矛盾，若角是直角，因為，所以，且是有理數(shù)，只能是兩個互為相反數(shù)的無理數(shù)，即，即，又因為為等腰直角三角形，所以，，或，與是無理數(shù)矛盾，所以不可能為等腰直角三角形，綜上所述：不存在三個點，，，使得為等腰直角三角形，故選項D正確；故選：ABD.12．BD【分析】不妨設(shè)橢圓方程為，設(shè)，，求出和橢圓的離心率后，可得答案.【詳解】不妨設(shè)橢圓方程為，設(shè)，，則，所以，，，所以，因為為定值，所以M的值與Р點在橢圓上的位置無關(guān)，故A不正確，B正確；橢圓的離心率，所以M的值越大，橢圓的離心率越小，故C不正確，D正確.故選：BD13．【分析】由題設(shè)關(guān)系，應(yīng)用累加法可得，進而可得的通項公式，再應(yīng)用裂項相消法求.【詳解】，，，…，，，將上述各式相加，得，即，∴，∴.故答案為：14．【分析】判斷出歐拉線為，結(jié)合范圍求得所在直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】，根據(jù)向量夾角的取值范圍可知.所以是等邊三角形，所以四邊形是菱形，菱形對角線互相垂直平分，三角形的垂心在直線上，結(jié)合是三角形的外心可知是三角形的歐拉線.設(shè)直線所在直線的傾斜角為，由于所以，當(dāng)時，點在第四象限，由于，所以，當(dāng)時，點在軸的正半軸，，當(dāng)時，點在第一象限，由于，所以.綜上所述，直線所在直線的傾斜角的取值范圍是.故答案為：15．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：，原式.故答案為：1.16．【分析】列舉出數(shù)列{an}的前40項及其中能被3整除的數(shù)，代入公式，即可求得概率．【詳解】解：在數(shù)學(xué)上裴波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，∴數(shù)列{an}的前40項為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368，75025，121393，196418，317811，514229，832040，1346269，2178309，3524578，5702887，9227465，14930352，24157817，39088169，63245986，10334155，其中能被3整除的有10個，分別為：3，21，144，987，6765，46368，317811，1346269，2178309，14930352．∴從該數(shù)列的前40項中隨機抽取一項，則能被3整除的概率是P＝．故答案為：17．②④【分析】根據(jù)題意舉出實例依次判斷選項即可得到答案.【詳解】對選項①，因為，，，故①錯誤；對選項②，設(shè)，，滿足戴德金分割，則中沒有最大元素，有一個最小元素，故②正確；對選項③，若有一個最大元素，有一個最小元素，則不能同時滿足，，故③錯誤；對選項④，設(shè)，，滿足戴德金分割，此時沒有最大元素，也沒有最小元素，故④正確.故答案為：②④.18．

【分析】在中，，由余弦