山東省濟寧市兗州是第三中學高三數學理下學期摸底試題含解析

山東省濟寧市兗州是第三中學高三數學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知變量x、y滿足的約束條件，則的最大值為(

)A．-3

B．

C．-5

D．4參考答案：D2.已知拋物線，過點的直線與拋物線交于兩點，且，過點向直線作垂線，垂足分別為，的面積分別為記為與，那么A.

B.

C.

D.參考答案：C3.已知實數滿足，則的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：C4.若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是（）A.

a+b

B.

+>

C.

2

D.參考答案：C略5.函數f（x）=的定義域為（）A．（﹣1，1] B．（﹣1，0）∪（0，1] C．（﹣1，1） D．（﹣1，0）∪（0，1）參考答案：B考點：函數的定義域及其求法．專題：計算題；函數思想；數學模型法；函數的性質及應用．分析：由根式內部的代數式大于等于0，對數式的真數大于0，分式的分母不為0聯立不等式組求解．解：要使原函數有意義，則，解得：﹣1＜x≤1，且x≠0．∴函數f（x）=的定義域為（﹣1，0）∪（0，1]．故選：B．【點評】本題考查函數的定義域及其求法，考查了不等式組的解法，是基礎題．6.若集合，，則(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：A

【知識點】集合間的關系A1解析：由集合的包含關系可知，故選A．【思路點撥】由集合的包含關系直接做出判斷即可.7.||=1，||=，?=0，點C在∠AOB內，且∠AOC=30°，設=m+n（m、n∈R），則等于（）A． B．3 C． D．參考答案：B【考點】向量的共線定理；向量的模．【專題】計算題；壓軸題．【分析】將向量沿與方向利用平行四邊形原則進行分解，構造出三角形，由題目已知，可得三角形中三邊長及三個角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此題如果沒有點C在∠AOB內的限制，應該有兩種情況，即也可能為OC在OA順時針方向30°角的位置，請大家注意分類討論，避免出錯．【解答】解：法一：如圖所示：=+，設=x，則=．=∴==3．

法二：如圖所示，建立直角坐標系．則=（1，0），=（0，），∴=m+n=（m，n），∴tan30°==，∴=3．故選B【點評】對一個向量根據平面向量基本定理進行分解，關鍵是要根據平行四邊形法則，找出向量在基底兩個向量方向上的分量，再根據已知條件構造三角形，解三角形即可得到分解結果．8.設，則是偶函數的充分不必要條件是

(

)ABCD參考答案：D9.已知函數,,若f(x)與g(x)的圖象上分別存在點M,N,使得點M,N關于直線對稱,則實數k的取值范圍是(

)A. B.C. D.參考答案：D【分析】由題意與的圖象上分別存在點M,N,使得點M,N關于直線對稱，即，等價于，數形結合求解.【詳解】由于與的圖象上分別存在點M,N,使得點M,N關于直線對稱,則，即所以指數函數與在恒有交點當直線與相切時，由于，設切點此時切線方程：過（0，0）因此：數形結合可知：或時，與有交點又要求在恒有交點，由圖像，當時，，當時，綜上：解得故選：D【點睛】本題考查了函數的對稱性問題，考查了學生轉化劃歸，數形結合，數學運算能力，屬于較難題.10.定義：若數列{an}對任意的正整數，都有，則稱{an}為“絕對和數列”，d叫做“絕對公和”．已知“絕對和數列”{an}中，，絕對公和為3，則其前2019項的和的最小值為（

）A．－2019 B．－3010 C．－3025 D．－3027參考答案：C依題意，要使其前2019項的和的最小值只需每一項的值都取最小值即可，∵，絕對公和，∴或（舍），∴或（舍），∴或（舍），，∴滿足條件的數列的通項公式，∴所求值為，故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若正數x，y滿足，則的最小值為

.參考答案：312.設，若，則

．參考答案：13.若函數f（x）=，則f（2）的值為

．參考答案：3【考點】分段函數的應用；函數的值．【專題】函數的性質及應用．【分析】利用分段函數化簡求解即可．【解答】解：函數f（x）=，則f（2）=f（2+2）=f（4）=f（6）=6﹣3=3．故答案為：3．【點評】本題考查分段函數的應用，函數值的求法，考查計算能力．14.已知函數，若實數a、b、c互不相等，且滿足f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍是．參考答案：（8，23）【考點】余弦函數的對稱性；分段函數的應用．【分析】作出函數f（x）的圖象，根據f（a）=f（b）=f（c），確定a，b，c的范圍，即可得出a+b+c的取值范圍．【解答】解：作出f（x）的函數圖象，如圖：令log（x﹣3）+1=1，解得x=4．令log（x﹣3）+1=﹣1，解得x=19．設a＜b＜c，則a+b=4，4＜c＜19．∴8＜a+b+c＜23．故答案為（8，23）．15.下列結論中是真命題的是__________(填序號)．①f(x)＝ax2＋bx＋c在[0，＋∞)上是增函數的一個充分條件是－＜0；②已知甲：x＋y≠3，乙：x≠1或y≠2，則甲是乙的充分不必要條件；③數列{an}(n∈N*)是等差數列的充要條件是Pn是共線的．參考答案：②③略16.已知，則=______________.參考答案：略17.函數的單調增區(qū)間是．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=|x+a|+|x+|（a＞0）（Ⅰ）當a=2時，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）證明：．參考答案：【考點】絕對值三角不等式；基本不等式．【分析】（Ⅰ）當a=2時，求不等式即|x+2|+|x+|＞3，再利用對值的意義求得它的解集．（Ⅱ）由條件利用絕對值三角不等式、基本不等式，證得要證的結論．【解答】解：（Ⅰ）當a=2時，求不等式f（x）＞3，即|x+2|+|x+|＞3．而|x+2|+|x+|表示數軸上的x對應點到﹣2、﹣對應點的距離之和，而0和﹣3對應點到﹣、對應點的距離之和正好等于3，故不等式f（x）＞3的解集為{x|x＜﹣，或x＞}．（Ⅱ）證明：∵f（m）+f（﹣）=|m+a|+|m+|+|﹣+a||﹣+|=（|m+a|+|﹣+a|）+（|m+|+|﹣+|）≥2（|m+|）=2（|m|+||）≥4，∴要證得結論成立．19.如圖，三棱錐B-ACD的三條側棱兩兩垂直，，E，F分別是棱CD，AD的中點．（1）證明：平面ABE⊥平面ACD；（2）若四面體ABEF的體積為，求線段AE的長．參考答案：（1）證明：因為，是棱的中點，所以．又三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且，所以平面，則．因為，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：取的中點，連接，則．易證平面，從而平面，所以四面體的體積為，則，在中，，．

20.某市調研考試后，某校對甲、乙兩個文科班的數學考試成績進行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀．統計成績后，得到如下的2×2列聯表

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計甲班104050乙班203050合計3070100（Ⅰ）根據列聯表的數據，判斷是否有99%的把握認為“成績與班級有關系”；（Ⅱ）若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學生中抽取一人：把甲班10名優(yōu)秀學生從2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數之和為被抽取人的序號．試求抽到8號的概率．參考公式與臨界值表：K2=．P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828參考答案：【考點】獨立性檢驗的應用．【專題】概率與統計．【分析】（Ⅰ）利用公式，求出K2，與臨界值表比較后，即可得出結論；（Ⅱ）所有的基本事件有：6×6=36個，出現點數之和為8的基本事件有5個，即可求出現點數之和為8的概率．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得：…因為K2＜6.635，所以沒有99%的把握認為“成績與班級有關系”…（Ⅱ）先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，共有36種情況，…出現點數之和為8的有以下5種（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）…抽到8號的概率為…【點評】本題考查獨立性檢驗的應用，考查概率的計算，考查學生的計算能力，比較基礎21.如圖所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，BD⊥AC于O，且AA1=OC=2OA=4，點M是棱CC1上一點．（Ⅰ）如果過A1，B1，O的平面與底面ABCD交于直線l，求證：l∥AB；（Ⅱ）當M是棱CC1中點時，求證：A1O⊥DM；（Ⅲ）設二面角A1﹣BD﹣M的平面角為θ，當|cosθ|=時，求CM的長．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法．【專題】空間位置關系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）根據線面平行的性質定理即可證明l∥AB；（Ⅱ）根據線面垂直的性質定理即可證明A1O⊥DM；（Ⅲ）建立空間坐標系，利用向量法進行求解即可．【解答】證明：（Ⅰ）因為ABCD﹣A1B1C1D1是棱柱，所以A1B1BA是平行四邊形．所以A1B1∥AB．因為A1B1?平面ABCD，AB?平面ABCD，所以A1B1∥平面ABCD．因為平面A1BO∩平面ABCD=l，所以l∥A1B1．所以l∥AB．（Ⅱ）因為DB⊥AC于O，如圖建立空間直角坐標系．因為AA1=4，且OC=2AO=4，

所以O（0，0，0），C（4，0，0），A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，4）．因為M是棱CC1中點，所以M（4，0，2）．設D（0，b，0），所以=（4，﹣b，2），=（﹣2，0，4）．所以?=﹣8+0+8=0．所以A1O⊥DM．（Ⅲ）設D（0，b，0），B（0，c，0），平面A1BD的法向量為=（x，y，z），又因為，，所以，即．因為b≠c，所以y=0，令z=1，則x=2，所以=（2，0，1）．設M（4，0，h），所以=（﹣4，b，﹣h），．設平面MBD的法向量為=（x，y，z），所以，即．因為b≠c，所以y=0，令z=1，則x=，所以=（，0，1）．又因為|cosθ|=，所以|cos＜＞|=，即==．解得h=3或h=．所以點M（4，0，3）或M（4，0，）．所以CM=3或CM=．【點評】本題主要考查空間直線垂直以及線面垂直平行的性質定理的應用，以及二面角的求解，建立坐標系利用向量法是解決空間二面角的常用方法．22.一班現有9名學生去學校組織的高中數學競賽選拔考試，該活動有A，B，C是哪個等級，分別對應5分，4分，3分，恰有3名學生進入三個級別，從中任意抽取n名學生（每個人被抽到的可能性是相同的，1≤n≤9），再將抽取的學生的成績求和．（1）當n=3時，記事件A={抽取的3人中恰有2人級別相等}，求P（A）．（2）當n=2時，若用ξ表示n個人的成績和，求ξ的分布列和數學期望．參考答案：【考點