江蘇省無錫市宜興荊溪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

江蘇省無錫市宜興荊溪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)命題，則是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.某汽車運(yùn)輸公司，購買了一批豪華大客車投入營運(yùn)，據(jù)市場分析每輛客車營運(yùn)的總利潤y(單位：10萬元)與營運(yùn)年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為y＝－(x－6)2＋11(x∈N*)，則每兩客車營運(yùn)多少年，其運(yùn)營的年平均利潤最大()A．3

B．4C．5

D．6參考答案：C略3.如圖所示，由拋物線y2=x和直線x=1所圍成的圖形的面積等于（）A．1 B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】定積分．【分析】首先利用定積分的幾何意義表示陰影部分的面積，然后計(jì)算定積分即可．【解答】解：由拋物線y2=x和直線x=1所圍成的圖形的面積等于=2×|=；故選：B4.如圖，是一個(gè)幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，則該幾何體的體積是A.24

B.12

C.8

D.4參考答案：B由三視圖可知，該幾何體是有兩個(gè)相同的直三棱柱構(gòu)成，三棱柱的高為4，三棱柱的底面三角形為直角三角形，兩直角邊分別為，所以三角形的底面積為，所以三棱柱的體積為，所以該幾何體的體積為，選B.5.銳角、的終邊上各有一點(diǎn)，則的值為（）A.6或—1

B.—6或1

C.1

D.6參考答案：C6.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且時(shí)，，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)有下列結(jié)論：甲：；乙：函數(shù)在上是減函數(shù)；丙：函數(shù)關(guān)于直線對稱；?。喝?，則關(guān)于的方程在上所有根之和為.其中正確的是A．甲、乙、丁

B．乙、丙

C．甲、乙、丙

D．甲、丙參考答案：A由，得，所以周期是8.所以，所以甲正確.當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以在也是增函數(shù)，由，所以關(guān)于直線對稱，所以丙不正確，所以在上函數(shù)遞減，在上函數(shù)遞增，所以乙不正確.由于函數(shù)關(guān)于直線對稱，且在上遞增，在上函數(shù)遞減，所以的根有兩個(gè)，且關(guān)于直線對稱，所以所有根之和為，丁正確，所以答案選A.7.設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，

是底角為的等腰三角形，則的離心率為（

）

參考答案：C8.下列關(guān)系中，成立的是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由已知的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐，而且有一側(cè)棱垂直與底面，結(jié)合俯視圖，可得結(jié)論．【解答】解：由已知的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐，而且有一側(cè)棱垂直與底面，結(jié)合俯視圖，可知B滿足，故選B．10.已知函數(shù)f（x）=，則函數(shù)g（x）=f（x）﹣cosπx在區(qū)間[0，8]內(nèi)所有零點(diǎn)的和為（）A．16 B．30 C．32 D．40參考答案：C【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【分析】在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）和y=cosπx的圖象，由圖象的局部對稱可得結(jié)果．【解答】解：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）=﹣x+2，當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f（x）=3f（x﹣2）=3（x﹣2），當(dāng)3＜x＜4時(shí)，f（x）=3f（x﹣2）=3[﹣（x﹣2）+2]=﹣3（x﹣4），當(dāng)4≤x≤5時(shí)，f（x）=3f（x﹣2）=3（3x﹣6）=9（x﹣2），當(dāng)5＜x＜6時(shí)，f（x）=3f（x﹣2）=﹣9（x﹣6），當(dāng)6≤x≤7時(shí)，f（x）=3f（x﹣2）=27（x﹣6），當(dāng)7＜x≤8時(shí)，f（x）=﹣27（x﹣8），在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）與函數(shù)y=cosπx的圖象，如圖：

由圖可知點(diǎn)A，B關(guān)于x=1對稱，點(diǎn)C，D關(guān)于x=3對稱，點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于x=5對稱，點(diǎn)G，H關(guān)于x=7對稱，設(shè)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H的橫坐標(biāo)分別為a，b，c，d，e，f，g，h，則a+b=2，c+d=6，e+f=10，g+h=14，∴a+b+c+d+e+f+g+h=32．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.(幾何證明選講選做題)如圖，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，線段的長為半徑的半圓交所在直線于點(diǎn)、，交線段于點(diǎn)，則線段的長為

.參考答案：12.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a3=4，a6=，則a4+a5=

．參考答案：3【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知條件利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出，由此能求出a4+a5．【解答】解：∵等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a3=4，a6=，∴，解得，∴a4+a5=16×[]=3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的兩項(xiàng)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．13.在中，，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)（含，兩個(gè)端點(diǎn)）．若（，），則的取值范圍是

．參考答案：

14.函數(shù)f(x)＝的值域是_____________。參考答案：15.設(shè)△ABC的外心P滿足，則__________．參考答案：【分析】根據(jù)向量表示確定外心為重心，即得三角形為正三角形，即得結(jié)果.【詳解】設(shè)BC中點(diǎn)為M,所以,因此P為重心，而為的外心，所以為正三角形，.【點(diǎn)睛】本題考查向量表示以及重心性質(zhì)，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.16.已知是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題：

①若m平行與平面內(nèi)的無數(shù)條直線

②若

③若

④若上面命題中，真命題的序號是

（寫出所有真命題的序號）參考答案：答案：①③④17.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，是上的奇函數(shù)，，，則的值為_________．參考答案：因?yàn)?，所以，即，因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以，即，所以，即函數(shù)的周期是4，所以。因?yàn)?，所以。所以。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（改編）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，,平面⊥底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，,．（I）求證：平面⊥平面；（II）若二面角為30°，設(shè),試確定的值參考答案：（本小題14分）（I）∵AD//BC，BC=AD，Q為AD的中點(diǎn)，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD//BQ．

∵∠ADC=90°

∴∠AQB=90°

即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…………6分另證：AD//BC，BC=AD，Q為AD的中點(diǎn)，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD//BQ．∵∠ADC=90°

∴∠AQB=90°．

∵PA=PD，

∴PQ⊥AD．

∵PQ∩BQ=Q，

∴AD⊥平面PBQ．

∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．……9分（II）∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，

∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如圖，以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．則平面BQC的法向量為；，，，．設(shè)，則，，∵，∴，

∴

…………12分在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量為．

∵二面角M-BQ-C為30°，

，∴．…………15分19.全世界越來越關(guān)注環(huán)境保護(hù)問題，某監(jiān)測站點(diǎn)于2016年8月某日起連續(xù)n天監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：空氣質(zhì)量指數(shù)（μg/m3）0﹣5051﹣100101﹣150151﹣200201﹣250空氣質(zhì)量等級空氣優(yōu)空氣良輕度污染中度污染重度污染天數(shù)2040m105（1）根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖中的信息求出n，m的值，并完成頻率分布直方圖：（2）由頻率分布直方圖，求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)；（3）在空氣質(zhì)量指數(shù)分別為51﹣100和151﹣200的監(jiān)測數(shù)據(jù)中，用分層抽樣的方法抽取5天，從中任意選取2天，求事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【分析】解：（1）由，求出n=100，從而求出m=25，由此能完成頻率分布直方圖．（2）由頻率分布直方圖能求出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)．（3）在空氣質(zhì)量指數(shù)為51﹣100和151﹣200的監(jiān)測天數(shù)中分別抽取4天和1天，在所抽収的5天中，將空氣質(zhì)量指數(shù)為51﹣100的4天分別記為a，b，c，d；將空氣質(zhì)量指數(shù)為151﹣200的1天記為e，利用列舉法求出從中任取2天的基本事件和事件A“兩天空氣都為良”包含的基本事件，由此能求出事件A“兩天都為良”發(fā)生的概率．【解答】解：（1）∵，∴n=100，∵20+40+m+10+5=100，∴m=25，．由此完成頻率分布直方圖，如下圖：（2）由頻率分布直方圖得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：=25×0.004×50+75×0.008×50+125×0.005×50+175×0.002×50+225×0.001×50=95，∵[0，50）的頻率為0.004×50=0.2，[50，100）的頻率為：0.008×50=0.4，∴中位數(shù)為：50+=87.5．（3）在空氣質(zhì)量指數(shù)為51﹣100和151﹣200的監(jiān)測天數(shù)中分別抽取4天和1天，在所抽収的5天中，將空氣質(zhì)量指數(shù)為51﹣100的4天分別記為a，b，c，d；將空氣質(zhì)量指數(shù)為151﹣200的1天記為e，從中任取2天的基本事件分別為：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10種，其中事件A“兩天空氣都為良”包含的基本事件為：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共6種，所以事件A“兩天都為良”發(fā)生的概率是．20.（本小題滿分12分）在中，邊a,b,c的對角分別為A,B,C；且，面積． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）設(shè)，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變）得到的圖象，求的單調(diào)增區(qū)間．參考答案：（Ⅰ）在中

…………2分 ∴

…………4分（Ⅱ）∵

又∵∴……6分 ∴，…………8分 將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到，…?分 所以的單調(diào)增區(qū)間為…………10分 即…………11分 的單調(diào)區(qū)間為…………12分21.（12分）已知，函數(shù)(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),求f(x)=x使成立的x的集合;(Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.參考答案：解：（1）當(dāng)a=2時(shí),，則方程f(x)=x即為

解方程得：

4分（2）（I）當(dāng)a>0時(shí),，作出其草圖見右,易知有兩個(gè)極值點(diǎn)借助于圖像可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù)，此時(shí)當(dāng)時(shí),顯然此時(shí)函數(shù)的最小值為當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，∴，又可得∴

12分則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，,此時(shí)在區(qū)間為增函數(shù)，故(II)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間也為增函數(shù)，故（III）當(dāng)時(shí)，顯然函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，故22.已知函數(shù)上為增函數(shù)，且θ∈（0，π），，m∈R．（1）求θ的值；（2）當(dāng)m=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）若在上至少存在一個(gè)x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】壓軸題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）由函數(shù)上為增函數(shù)，得g′（x）=﹣+≥0在上F（x）max＞0即可；【解答】解：（1）∵函數(shù)上為增函