類型五特殊三角形的存在探究問題

類型五特殊三角形的存在探究問題題型四二次函數(shù)與幾何圖形綜合題1類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024典例精講滿分技法問題找點求點坐標等腰三角形已知點A、B和直線l,在l上求點P，使△PAB為等腰三角形分別以點A、B為圓心，線段AB長為半徑作圓，再作AB的中垂線，兩圓和中垂線與l的交點即為所有P點“萬能法”其他方法分別表示出點A、B、P的坐標，再表示出線段AB、BP、AP的長度，由①AB=AP；②AB=BP；③BP=AP列方程解出坐標作等腰三角形底邊的高，用勾股定理或相似建立等量關系2類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024問題找點求點坐標直角三角形已知點A、B和直線l,在l上求點P，使△PAB為直角三角形分別過點A、B作AB的垂線，再以線段AB為直徑作圓，兩垂線和圓與l的交點即為所有P點分別表示出點A、B、P的坐標，再表示出線段AB、BP、AP的長度，由①AB2=BP2+AP2；②BP2=AB2+AP2；③AP2=AB2+BP2列方程解出坐標作垂線，用勾股定理或相似建立等量關系3類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024例5如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于點A(-1,0),B（3,0），與y軸交于點C,直線BC的解析式為y=kx+3,拋物線的頂點為D,對稱軸與直線BC交于點E,與x軸交于點F.自主作答：例5題圖①4類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024【思維教練】已知A,B點坐標，可將拋物線解析式設為交點式，然后代入C點坐標，求解即可，而C點是直線y=kx+3與y軸的交點，只需令x=0求出y的值即可求得C點坐標.（1）求拋物線的解析式；5類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024解：（1）∵直線BC的解析式為y=kx+3,令x=0，得y=3,∴點C的坐標為（0,3）,又∵拋物線與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）,將C（0,3）代入，得-3a=3,解得a=-1,∴拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3;6類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024【思維教練】觀察題圖可知△CAF應該是以AC、FC為腰的等腰三角形，又因為CO⊥AF,所以只需求得AO=FO即可得證，A點坐標已知，F(xiàn)點為對稱軸與x軸的交點，只需再根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸即可.（2）判斷△CAF的形狀，并說明理由；自主作答：例5題圖②7類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024（2）△CAF是等腰三角形.理由如下：由（1）得拋物線y=-x2+2x+3得其對稱軸為直線x=1,∴點F的坐標為（1，0），∴AO=OF=1,∵CO⊥AF,∴CO是線段AF的垂直平分線，∴CA=CF，∴△ACF是等腰三角形；8類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024【思維教練】當△BCG是以BC為腰的等腰三角形時分CG=CB和BG=BC兩種情況，用類似上面的方法求解即可.（3）x軸上是否存在點G,使得△BCG是以BC為腰的等腰三角形，若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由；自主作答：例5題圖③9類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024（3）存在.設點G的坐標為（g,0）,∵C（0，3），B（3，0），∴在Rt△OBC中，由勾股定理得BC=3,∴△BCG是以BC為腰的等腰三角形時，可分以下兩種情況討論：（i）△BCG是以BC為腰，C為頂點的等腰三角形，如解圖①，∵CO⊥BG,∴GO=BO=3,∴點G的坐標為（-3，0）；10類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024（ii）△BCG是以BC為腰，B為頂點的等腰三角形，BG=|3-g|=3,解得g1=3+3,g2=3-3,此時點G的坐標為（3+3,0）,（3-3,0）.綜上，存在點G使得△BCG是以BC為腰的等腰三角形，此時點G的坐標為(3+3，0)或(3-3，0)或(-3，0)；例5題解圖①

11類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024【思維教練】由∠EBO＜90°，可知要使△BGE是直角三角形.只需分∠EGB=90°或∠GEB=90°兩種情況討論即可求解.（4）在x軸上是否存在點G使得△BGE是直角三角形，若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由；自主作答：例5題圖④12類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024(4)存在.∵點G在x軸上，設點G的坐標為(g,0).由EF⊥x軸，易得當點G與F重合時，△BEG是以∠EGB為直角的直角三角形，此時點G的坐標為(1，0)；當G′E⊥EB,即∠G′EB=90°時，∵∠EBG′=45°，∴∠EG′B=45°,∴EG′=EB,∵EF⊥BG′,13類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024∴G′F=BF=2,此時點G′與點A重合，其坐標為(-1,0);綜上，存在點G使得△BGE是直角三角形，點G坐標為(1,0)或(-1,0);14類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024【思維教練】分∠HCB=90°，∠HBC=90°，∠CHB=90°三種情況討論，利用直角三角形的性質(zhì)求解.(5)若點H在拋物線的對稱軸上，是否存在點H使得△BCH是直角三角形，若存在，求出點H的坐標；若不存在，請說明理由；自主作答：例5題圖⑤15類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024(5)存在.設點H的坐標為(1,h)，要使△BCH為直角三角形，分以下三種情況討論：(i)∠H1CB=90°，如解圖②，∵DC⊥BC,點H1在拋物線對稱軸上，∴此時點H1與點D重合，坐標為H1(1,4)；16類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024例5題解圖②例5題解圖③例5題解圖④17類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024(ii)∠H2BC=90°,如解圖③，易得∠BEH2=∠BH2E＝45°，∴BE=BH2,又∵BF⊥EH2,∴FH2=EF=2,∴點H2的坐標為(1，-2);(iii)∠CH3B=90°,如解圖④，過點C作CM⊥DF于點M，則∠CH3M+∠BH3E=90°,∠BH3E+∠FBH3=90°,18類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024∴∠CH3M=∠FBH3,又∵∠CMH3=∠BFH3=90°,∴△CH3M∽△H3BF,∴,解得,∴H3(1,),H4(1,).綜上所述，存在點H使得△BCH是直角三角形，點H的坐標可為H1(1,4)，H2(1,-2)，H3(1,)，H4(1,);19類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024【思維教練】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，有一個角為直角，一個銳角為45°，結合∠CBO=∠BCO=45°，從而考慮分三種情況：①∠PCQ=90°，PQ∥y軸；②∠CPQ=90°，CP∥x軸；③∠CQP=90°，CP∥x軸，分別進行討論即可得出結果.20類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024（6）設點P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，點Q是線段BC上一點，是否存在點P使得△PCQ是等腰直角三角形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.自主作答：例5題圖⑥21類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024(6)存在.∵△BOC是等腰直角三角形，且∠BOC=90°,∴∠CBO=45°,∵點Q在直線BC上，∴設點Q的坐標為(t,-t+3),(i)當∠PCQ=90°,PQ∥y軸時，如解圖⑤，此時點P與點D重合，坐標為P(1，4)，∠PQC=∠BCO=45°,此時△PCQ是等腰直角三角形，即點Q與點E重合，點Q的坐標為(1,2);例5題解圖⑤22類型五特殊三角形的存在探究問題5/9/2024(ii)當∠CPQ=90°,CP∥x軸時，如解圖⑥，則PQ∥y軸，∠PCQ=∠CBO=45°,此時△CPQ是等腰直角三角形，且點P的坐標為(2,3),點Q的坐標為(2，1)；例5題解圖⑥23類型五特殊三角形的存在探究問題