簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成

振動(dòng)波動(dòng)篇5/9/20241簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成振動(dòng)5/9/20242簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成前言：振動(dòng)和波動(dòng)是物理中的重要領(lǐng)域：一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng):一個(gè)物理量隨時(shí)間作周期性變化簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單的振動(dòng),任何復(fù)雜的振動(dòng)都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的線性迭加。定義：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移（或角位移）隨時(shí)間t按余弦（或正弦）規(guī)律變化，這類運(yùn)動(dòng)稱簡(jiǎn)諧振動(dòng)。5/9/20243簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成速度與加速度也都是周期變化的。二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度、加速度5/9/20244簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成1、振幅A物體離開(kāi)平衡位置的最大距離。2、周期T單位：米，m物體完成一次全振動(dòng)所用的時(shí)間。單位：秒，s頻率v1秒內(nèi)物體完成全振動(dòng)的次數(shù)。單位：赫茲，Hz或曰,物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全重復(fù)一次所用的時(shí)間。三、諧振動(dòng)的振幅、周期、（頻率）和相位5/9/20245簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成3、圓頻率ω每隔周期T物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)復(fù)原:2

秒內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)(單位：1/S或rad./S)

5/9/20246簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成4、相位與初相φ(

t+

)是t時(shí)刻的相位t時(shí)刻的相位反映t時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)

由x=Acos(

t+

)

t+

0

/2

3

/22

x(t)

A0-A0A

(t)0-

A0

A0

a(t)-

2A0

2A0-

2A5/9/20247簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成初相(initialphase)是t=0時(shí)刻的相位

(t=0稱時(shí)間零點(diǎn)，是開(kāi)始計(jì)時(shí)的時(shí)刻，不一定是開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻)

反映t=0時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)(x0，

0

)

要熟記典型

值所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)情況和振動(dòng)曲線(如圖)

5/9/20248簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成oA-Atx

=0T(a)Ax0=AxmooA-Atx

=

/2x0=0T(b)xmoxoA-At

=

xmo-Ax0=-AT(c)oA-At

=3

/2(或-

/2)

Txx0=0xmo(d)

0

/2

3

/22

x0A0-A0A

00-

A0

A0彈簧振子的幾個(gè)特殊的初始狀態(tài)及相應(yīng)的振動(dòng)曲線

5/9/20249簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成5、振幅與初相的確定初始條件：①②②/①有①2+(②/

)2有5/9/202410簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成五、相位差相位差---相位之差

對(duì)兩同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，相位差等于初相差

=(

t+

2)-(t+

1)

=

2

-1

1.相位差和初相差2.同相和反相

當(dāng)

=

2k

，(k=0,1,2,…)，兩振動(dòng)步調(diào)相同，稱同相5/9/202411簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成當(dāng)

=

(2k+1)，(k=0,1,2,…)，兩振動(dòng)步調(diào)相反，稱反相

x2TxoA1-A1A2-

A2x1t反相xoA1-A1A2-

A2x1x2Tt同相(a)兩同相振動(dòng)的振動(dòng)曲線

(b)兩反相振動(dòng)的振動(dòng)曲線

5/9/202412簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成3.領(lǐng)先和落后若

=

2-1>0,則x2比x1較早達(dá)到正最大，稱x2比x1領(lǐng)先(或x1比x2落后)

領(lǐng)先、落后以<

的相位角(或以<T/2的時(shí)間間隔)來(lái)判斷

xx2ToA1-A1A2-

A2x1t振動(dòng)的領(lǐng)先與落后

思考：在上圖中，x1與x2兩振動(dòng)誰(shuí)領(lǐng)先?5/9/202413簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成1.在平衡位置附近來(lái)回振動(dòng)。2.受回復(fù)力作用。特點(diǎn)：1.彈簧質(zhì)量不計(jì)。1.符合簡(jiǎn)諧振動(dòng)的條件2.彈簧的振動(dòng)2.所有彈力都集中在彈簧上。3.質(zhì)量集中于物體上。4.不計(jì)摩擦。彈簧振子5/9/202414簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成振動(dòng)位移：從o點(diǎn)指向物體所在位置的矢量。回復(fù)力：3.振動(dòng)位移建立坐標(biāo)系，o點(diǎn)選在彈簧平衡位置處。一維振動(dòng)5/9/202415簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成令有簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程其中A為振幅，

為圓頻率，

為初相位。圓頻率只與彈簧振子性質(zhì)有關(guān)。單位：rad/s解微分方程5/9/202416簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成1.圓頻率2.周期3.頻率5/9/202417簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成均是作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量頻率相同振幅的關(guān)系相位差超前落后5/9/202418簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成6.振動(dòng)曲線5/9/202419簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成質(zhì)量集中于小球上，不計(jì)懸線質(zhì)量。取逆時(shí)針為

張角正向，以懸點(diǎn)為軸，只有重力產(chǎn)生力矩。“–”表示力矩與

張角方向相反。單擺5/9/202420簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成當(dāng)時(shí)5/9/202421簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成令諧振動(dòng)微分方程5/9/202422簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成周期頻率與質(zhì)量無(wú)關(guān)。圓頻率5/9/202423簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量5/9/202424簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成

簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程即有動(dòng)能又有勢(shì)能，Ek、Ep交替變化。一、諧振動(dòng)的動(dòng)能5/9/202425簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成5/9/202426簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成Ek最大時(shí)，Ep最小，Ek、Ep交替變化.二、諧振動(dòng)的勢(shì)能5/9/202427簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成機(jī)械能守恒，諧振過(guò)程保守力作功。諧振能量與振幅的平方成正比。三、諧振動(dòng)的能量5/9/202428簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成旋轉(zhuǎn)矢量5/9/202429簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成將物理模型轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)模型。矢量A以角速度

逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，研究端點(diǎn)M在x軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，初相

用勻速圓周運(yùn)動(dòng)幾何地描述SHV一、旋轉(zhuǎn)矢量5/9/202430簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成1.M點(diǎn)在x軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2.M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度在x軸上投影速度5/9/202431簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成3.M點(diǎn)的加速度在x軸上投影加速度M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在x軸投影，為諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。M點(diǎn)速度在x軸投影，為諧振動(dòng)的速度。M點(diǎn)加速度在x軸投影，為諧振動(dòng)的加速度。結(jié)論：5/9/202432簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成A諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量

t+

T振幅初相相位圓頻率諧振動(dòng)周期半徑初始角坐標(biāo)角坐標(biāo)角速度圓周運(yùn)動(dòng)周期二、物理模型與數(shù)學(xué)模型比較5/9/202433簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成1.初始條件三、用旋轉(zhuǎn)矢量表示彈簧、單擺運(yùn)動(dòng)初相5/9/202434簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成2.初始條件取5/9/202435簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成3.初始條件5/9/202436簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成4.初始條件取5/9/202437簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成1、直觀地表達(dá)振動(dòng)狀態(tài)優(yōu)點(diǎn)當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)確定了振幅以后表述振動(dòng)的關(guān)鍵就是相位即表達(dá)式中的余弦函數(shù)的綜量而旋轉(zhuǎn)矢量圖可直觀地顯示該綜量分析解析式可知用圖代替了文字的敘述5/9/202438簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成如文字?jǐn)⑹稣f(shuō)t時(shí)刻彈簧振子質(zhì)點(diǎn)

在正的端點(diǎn)旋矢與軸夾角為零質(zhì)點(diǎn)經(jīng)二分之一振幅處向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)意味意味<5/9/202439簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成質(zhì)點(diǎn)過(guò)平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)同樣<0向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)<0<0注意到：5/9/202440簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成向正方向運(yùn)動(dòng)或>0>0或>0>向正向運(yùn)動(dòng)5/9/202441簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成由圖看出：速度超前位移加速度超前速度稱兩振動(dòng)同相2、方便地比較振動(dòng)步調(diào)位移與加速度稱兩振動(dòng)反相若5/9/202442簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成3、方便計(jì)算用熟悉的圓周運(yùn)動(dòng)代替三角函數(shù)的運(yùn)算例：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)和勁度系數(shù)為k的彈簧組成的彈簧諧振子

t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)過(guò)平衡位置且向正方向運(yùn)動(dòng)求：物體運(yùn)動(dòng)到負(fù)的二分之一振幅處時(shí)所用的最短時(shí)間5/9/202443簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成解：設(shè)t時(shí)刻到達(dá)末態(tài)由已知畫(huà)出t=

0時(shí)刻的旋矢圖再畫(huà)出末態(tài)的旋矢圖由題意選藍(lán)實(shí)線所示的位矢設(shè)始末態(tài)位矢夾角為

因?yàn)榈梅睆?fù)的三角函數(shù)的運(yùn)算用勻速圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)關(guān)系求得5/9/202444簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成（SuperpositionofHarmonicOscillation)5/9/202445簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成引：-5/9/202446簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)振動(dòng)，研究?jī)蓚€(gè)同方向同頻率的振動(dòng)合成。振動(dòng)合成分振動(dòng)合成后仍為諧振動(dòng)，角速度不變。一、同（振動(dòng)）方向、同頻率有恒定相位差的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成5/9/202447簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成tx結(jié)論：兩個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)合成后仍為同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。Yx１、旋轉(zhuǎn)矢量法求合振動(dòng)5/9/202448簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成１、當(dāng)時(shí)（同相）,合振動(dòng)振幅最大。注意5/9/202449簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成２、當(dāng)時(shí)（反相）,合振動(dòng)振幅最小。若合振動(dòng)初相隨振幅大者。5/9/202450簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成適用于：兩個(gè)分振動(dòng)等振幅時(shí)。分振動(dòng)合振動(dòng)例:２、和差化積求合振動(dòng)３、由分振動(dòng)曲線求合振動(dòng)5/9/202451簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成例：兩同方向、同頻率諧振動(dòng)合成，求：合成諧振動(dòng)方程解：合成后

不變，合振動(dòng)方程5/9/202452簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成

1、解析法：先將x1,x2合成，再與x3合成?！铣珊笕詾橹C振動(dòng)。

2、矢量合成法：x1,x2，x3……首尾相接。foA

二、多個(gè)同方向、同頻率諧振動(dòng)合成5/9/202453簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成三、在垂直方向上的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成5/9/202454簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成3256圖(a)、(b)、(c)為三個(gè)不同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)．組成各系統(tǒng)的各彈簧的原長(zhǎng)、各彈簧的勁度系數(shù)及重物質(zhì)量均相同．(a)、(b)、(c)三個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的w2（w為固有角頻率）值之比為(A)2∶1∶．(B)1∶2∶4．(C)2∶2∶1．(D)1∶1∶2．

［B］5/9/202455簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成3557一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)范圍的中心點(diǎn)為x軸的原點(diǎn)．已知周期為T(mén)，振幅為A．(1)

若t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)過(guò)x=0處且朝x軸正方向運(yùn)動(dòng)，則振動(dòng)方程為

x=_____________________________(2)

若t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)處于處且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，則振動(dòng)方程為

x=_____________________________．

5/9/202456簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成3562圖中所畫(huà)的是兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線．若這兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)可疊加，則合成的余弦振動(dòng)的初相為．(B)．

(C)．(D)0．

x

tOA/2

-A

x1x2［B］5/9/202457簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成5190一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了三個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振動(dòng)方程分別為

其合成運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為x=_____________．

05/9/202458簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成3838一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其表達(dá)式分別為

(SI)則其合成振動(dòng)的振幅為_(kāi)__________，初相為_(kāi)__________

1×10-2mp/65/9/202459簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成3271一簡(jiǎn)諧振子的振動(dòng)曲線如圖所示，則以余弦函數(shù)表示的振動(dòng)方程為

_______________________________

5/9/202460簡(jiǎn)諧振動(dòng)、振動(dòng)合成5311一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，已知振動(dòng)周期為T(mén)，則其振動(dòng)動(dòng)能變化的周期是(A