高三數(shù)學(xué)周末強(qiáng)基訓(xùn)練2024.426

高三數(shù)學(xué)周末強(qiáng)基訓(xùn)練一、單選題1．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二倍角余弦公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】，故選：B2．傾斜角為的直線l經(jīng)過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C相交于兩點(diǎn)．若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用焦半徑公式將所求弦長(zhǎng)用三角函數(shù)表示，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求出取值范圍即可.【詳解】首先，我們來(lái)證明拋物線中的焦半徑公式，如圖，對(duì)于一個(gè)拋物線，傾斜角為的直線l經(jīng)過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C相交于兩點(diǎn)．作準(zhǔn)線的垂線，過(guò)作，則，解得，同理可得，如圖，不妨設(shè)在第一象限，由焦半徑公式得，，則，而，可得，故，故A正確，故選：A3．已知點(diǎn)F為雙曲線C：的右焦點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上（非雙曲線頂點(diǎn)），若對(duì)于在雙曲線C上（除頂點(diǎn)外）任一點(diǎn)P，恒是銳角，則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè),，，把恒是銳角轉(zhuǎn)化為，將向量坐標(biāo)化可得恒成立，利用二次函數(shù)性質(zhì)分類討論可得．【詳解】由題意可得，所以，設(shè),，，則，，由恒是銳角，得，又，，不等式可化為：，整理得：，記，要使恒成立，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)，即時(shí)，，解得；當(dāng)或，即或時(shí)，，解得，綜上，.又點(diǎn)N與雙曲線頂點(diǎn)不重合，所以，所以的取值范圍為.故選：C．4．已知為定義在上的奇函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若，則（

）A．1 B． C．2 D．2023【答案】C【分析】根據(jù)進(jìn)行奇偶性和周期性的推導(dǎo)，得到是周期為4的偶函數(shù)，從而算出的值.【詳解】因?yàn)?，所以兩邊求?dǎo)，得，即①因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，則，所以兩邊求導(dǎo)，得，所以是定義在上的偶函數(shù)，所以，結(jié)合①式可得，，所以，兩式相減得，，所以是周期為4的偶函數(shù)，所以.由①式，令，得，所以.故選：C.5．已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】首先得到橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，依題意可得，利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)為，依題意可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.故選：D6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則滿足的值為（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】根據(jù)題意列式求，進(jìn)而可得，分析其符號(hào)即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋瑒t，解得，可得，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知：當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；若，所以.故選：B.7．將甲?乙?丙?丁4人分配到3個(gè)不同的工作崗位，每人只去一個(gè)崗位，每個(gè)崗位都要有人去，則甲?乙二人分別去了不同崗位的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出甲、乙、丙、丁四人分到三個(gè)不同的工作崗位，每個(gè)崗位至少分到一人共有的選擇數(shù)，再求出甲、乙兩人被分到同一個(gè)工作崗位的選擇數(shù)，再利用古典概型求概率公式及對(duì)立事件求概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】甲、乙、丙、丁四人分到三個(gè)不同的工作崗位，每個(gè)崗位至少分到一人，則必有2人分配到同一個(gè)工作崗位，先從4人中選出2人，有種選擇，再進(jìn)行全排列，有種選擇，故總的方法有種，其中甲、乙兩人被分到同一個(gè)工作崗位的情況：從3個(gè)崗位中選出一個(gè)分配給甲乙，再將剩余的丙丁和剩余的兩個(gè)崗位進(jìn)行全排列，有種選擇，所以甲?乙二人分配到同一個(gè)工作崗位的概率為，故甲?乙二人分別去了不同工作崗位的概率為.故選：D8．已知函數(shù)滿足對(duì)任意的且都有，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)將，再用裂項(xiàng)相消法求的值.【詳解】∵函數(shù)滿足對(duì)任意的且都有∴令，則，∴∴.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列的求和問(wèn)題，關(guān)鍵是理解數(shù)列的規(guī)律，即研究透通項(xiàng)，本題的關(guān)鍵是將通項(xiàng)分析為：二、多選題9．已知橢圓左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，動(dòng)直線經(jīng)過(guò)橢圓左焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且恒成立，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．離心率 D．若，則【答案】AB【分析】根據(jù)橢圓定義利用通徑長(zhǎng)可求得，由橢圓性質(zhì)可得，且離心率，聯(lián)立直線和橢圓方程可知當(dāng)，方程無(wú)解，因此D錯(cuò)誤.【詳解】如下圖所示：易知，由橢圓定義可知，因?yàn)楹愠闪?，所以，?dāng)軸，即為通徑時(shí)，最小，所以，解得，所以A正確；當(dāng)為長(zhǎng)軸時(shí)，最大，此時(shí)，所以，即B正確；可得橢圓方程為，易知，所以離心率，即C錯(cuò)誤；因?yàn)?，可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理可得，因此；若，可得，即，所以；整理得，此時(shí)方程無(wú)解，因此D錯(cuò)誤.故選：AB10．已知正實(shí)數(shù)，，，且，，，為自然數(shù)，則滿足恒成立的，，可以是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BC【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到，進(jìn)而得到只需即可，再依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】要滿足，只需滿足，其中正實(shí)數(shù)，，，且，，，為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，觀察各選項(xiàng)，故只需，故只需即可，A選項(xiàng)，，，時(shí)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，，時(shí)，，B正確；C選項(xiàng)，，，時(shí)，，C正確；D選項(xiàng)，，，時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：BC.11．如圖，是矩形所在平面外一點(diǎn)，，二面角為，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．是二面角的平面角C． D．與所成的角的余弦值【答案】BD【分析】利用二面角的平面角定義判斷B，選項(xiàng)；根據(jù)已知條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量逐一判斷A、C、D選項(xiàng)即可.【詳解】連接，過(guò)向平面引垂線，垂足為，連接；因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以；因?yàn)榇怪庇谄矫?，平面，所以；平面，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以二面角的平面角為；在中，，，所以，在中，，，所以，；因?yàn)闉榫匦?，所以，又，，過(guò)點(diǎn)作交于，，所以四邊形為正方形；如圖所示，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，過(guò)且與垂直的方向?yàn)檩S，為軸的空間直角坐標(biāo)系；，，，，，，為中點(diǎn)，所以；，所以，故，A錯(cuò)誤；為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中位線，，又，所以，又因?yàn)?，所以是二面角的平面角，B正確；因?yàn)闉殇J角，且，，所以，所以，所以，C錯(cuò)誤；設(shè)與所成的角為，，，，D正確.故選：BD三、填空題12．已知，函數(shù)是奇函數(shù)，則，．【答案】【分析】根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)和定義，利用特殊值法求出、的值，驗(yàn)證可得答案.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是奇函數(shù)，其定義域?yàn)椋瑒t有，，即，解得，當(dāng)，時(shí)，，其定義域?yàn)?，且，即為奇函?shù)，故，；故答案為：；13．正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的五角星中，以為頂點(diǎn)的多邊形為正邊邊形，設(shè)，則，．

【答案】0/0.0625【分析】由正五角星的性質(zhì)，求得，進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算即可.【詳解】正五角星可分割成5個(gè)3角形和1個(gè)正五邊形,五個(gè)3角形各自角度之和正五邊形的內(nèi)角和；每個(gè)角為，三角形是等腰三角形，底角是五邊形的外角，即底角為，三角形內(nèi)角和為，那么三角形頂角，即五角星尖角，即.;因?yàn)?所以.故答案為：；.14．在長(zhǎng)方體中，，平面平面，則截四面體所得截面面積的最大值為．【答案】【分析】結(jié)合題意畫出對(duì)應(yīng)圖形后，設(shè)，則有，則有，借助表示出面積，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得.【詳解】平面截四面體的截面如圖所示，設(shè)，則，所以四邊形為平行四邊形，且，在矩形中，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是得到所得截面后，借助割補(bǔ)法表示出該截面面積，并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.四、解答題15．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出，可證明數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，得到，利用得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，，化簡(jiǎn)可得，利用分組求和以及裂項(xiàng)相消即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，即，解得：，所以，則數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；所以，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足條件，所以的通項(xiàng)公式為（2）由（1）知，，所以，故，即16．已知函數(shù)．(1)是否存在實(shí)數(shù)，使得和在上的單調(diào)區(qū)間相同？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)已知是的零點(diǎn)，是的零點(diǎn)．①證明：，②證明：．【答案】(1)存在，且(2)①證明見(jiàn)解析②證明見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分與進(jìn)行討論即可得；（2）①利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性后，借助零點(diǎn)的存在性定理可得，解出即可得；②構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，畫出相應(yīng)圖象，可得從而得到，，從而可得，結(jié)合的范圍即可得解.【詳解】（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，，所以和在上都單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，若和在上的單調(diào)區(qū)間相同，則和有相同的極值點(diǎn)，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以無(wú)解，綜上，當(dāng)時(shí)，和在上的單調(diào)區(qū)間相同；（2）①由題意，有兩個(gè)零點(diǎn)，，若，則，所以在上單調(diào)遞增，不符合題意，若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，得證；②令，得，即，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，它們有公共點(diǎn)，如圖，故，且有，由，得，即，又，所以，由，得，即，又，所以，由，得，即，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到.17．某高校對(duì)參加軍訓(xùn)的4000名學(xué)生進(jìn)行射擊、體能、傷病自救等項(xiàng)目的綜合測(cè)試，現(xiàn)隨機(jī)抽取200名軍訓(xùn)學(xué)生，對(duì)其測(cè)試成績(jī)（滿分：100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本頻率分布直方圖，如圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求出的值并估計(jì)這200名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)（單位：分）.(2)現(xiàn)該高校為了激勵(lì)學(xué)生，舉行了一場(chǎng)軍訓(xùn)比賽，共有三個(gè)比賽項(xiàng)目，依次為“10千米拉練”“實(shí)彈射擊”“傷病救援”，規(guī)則如下：三個(gè)環(huán)節(jié)均參與，三個(gè)項(xiàng)目通過(guò)各獎(jiǎng)勵(lì)200元、300元、500元，不通過(guò)則不獎(jiǎng)勵(lì).學(xué)生甲在每個(gè)環(huán)節(jié)中通過(guò)的概率依次為，，，假設(shè)學(xué)生甲在各環(huán)節(jié)中是否通過(guò)是相互獨(dú)立的.記學(xué)生甲在這次比賽中累計(jì)所獲獎(jiǎng)勵(lì)的金額為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(3)若該高校軍訓(xùn)學(xué)生的綜合成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，規(guī)定軍訓(xùn)成績(jī)不低于98分的為“優(yōu)秀標(biāo)兵”，據(jù)此估計(jì)該高校軍訓(xùn)學(xué)生中優(yōu)秀標(biāo)兵的人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.【答案】(1)，(2)分布列見(jiàn)解析，(3)人【分析】（1）借助概率和為可得，借助平均數(shù)定義可得平均數(shù)；（2）得出的所有可能取值及其對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列，借助期望定義即可得其期望；（3）借助正態(tài)分布的性質(zhì)可得軍訓(xùn)成績(jī)不低于98分的概率，即可估計(jì)該高校軍訓(xùn)學(xué)生中優(yōu)秀標(biāo)兵的人數(shù).【詳解】（1）有圖可得，解得，；（2）的可能取值為、、、、、、，，，，，，，，則其分布列為：；（3），，則,又，故，，故可估計(jì)該高校軍訓(xùn)學(xué)生中優(yōu)秀標(biāo)兵的人數(shù)為人.18．如圖，四棱錐中，二面角的大小為，，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)若直線與底面所成的角為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意可得，平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）過(guò)作的垂線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接AH，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得，設(shè)，在中由余弦定理得，利用勾股定理的逆定理可得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量法求解面面角即可.【詳解】（1）由，得，則，所以，即.由二面角的大小為，知平面平面，即平面平面，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）過(guò)作的垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接AH，由平面平面，平面平面，平面，，所以平面，則為在底面內(nèi)的射影，所以為直線與底面所成的角，即.由，知且為鈍角三角形，設(shè)，得，，在中，，在中，，由余弦定理得，有，所以，過(guò)作，則底面，所以兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，所以，設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，則，，令，則，所以，則，故所求二面角的余弦值為.

19．已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，體積為，動(dòng)點(diǎn)在棱錐側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.【答案】/【分析】由正三棱錐的性質(zhì)可知，只需再作，即可證得平面，從而求得點(diǎn)的軌跡，再通過(guò)解三角形即可得到的長(zhǎng)度.【詳解】如圖，取的中心為，連接，作于，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，注意到底面三角形是等邊三角形，所以，由正三棱錐的性質(zhì)可得為高，因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為6，體積為，所以，所以，注意到底面三角形是等邊三角形，所以為三角形外接圓的半徑，所以由正弦定理有，所以，所以.因?yàn)槊?，面，所以，又因?yàn)椋?，面，所以面，因?yàn)槊?，所以，因?yàn)?，且，面，面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在棱錐側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持，所以點(diǎn)的軌跡為線段.在等腰三角形中，由余弦定理有，從而，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得出點(diǎn)的軌跡為線段，由此即可順利得解.20．如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M，N在上，，則的離心率為.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)題意得到，，再利用橢圓的定義得到，符合，進(jìn)而得到，在中，利用勾股定理求解.【詳解】解：設(shè)，由，得，又，所以，由橢圓的定義知，所以12m，則，所以，所以，即，故，所以.故答案為：21．已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在上.(1)求的方程;(2)直線與的右支交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)在軸上的投影為點(diǎn).（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）求證：直線過(guò)點(diǎn).【答案】(1)(2)（?。唬áⅲ┳C明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題可得，解方程即可得到答案；