廣東省揭陽市高三學業(yè)水平考試數(shù)學理

2018屆廣東省揭陽市高三學業(yè)水平（期末）考試數(shù)學理一、選擇題：共12題1.已知==,則A.B.C.D.【答案】D所以=.故答案為：D.2.已知復數(shù)=為實數(shù),為虛數(shù)單位)的實部與虛部相等,則A.B.C.D.【答案】B【解析】因為==的實部與虛部相等,所以,則,所以,則.故答案為：B.3.已知命題;命題若,則,下列命題為假命題的是A.B.C.D.【答案】C【解析】因為=,所以命題p是真命題,則命題是假命題;若,則,但是,故命題q是假命題,命題是真命題.所以命題是假命題,均為真命題,故選C.4.已知==,且的夾角為,則A.B.C.D.【答案】B【解析】因為==,且的夾角為,所以=====.故答案為：B.5.設x,y滿足約束條件,則=的最小值為A.B.C.D.0【答案】A【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖所示,由目標函數(shù)z與直線=在y軸上的截距之間的關系可知,平移直線=,當直線過點B(1,5)時,目標函數(shù)=取得最小值.故答案為：A.6.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則的解析式可以是A.B.C.D.【答案】C【解析】由函數(shù)的部分圖象可知,該函數(shù)是偶函數(shù),故排除B;當時,,故排除D;當x=1時,對于A選項,=,故排除A,因此選C.7.如圖程序框圖是為了求出的常用對數(shù)值,那么在空白判斷框中,應該填入A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意,循環(huán)結構的功能是為了求出的值,當k=99時,此時S=,不滿足結果,則繼續(xù)循環(huán),當k=100時,S=,滿足結果,則循環(huán)結束,所以判斷框中應該填入的條件為:.故答案為：A.8.某幾何體三視圖如圖所示,則此幾何體的體積為A.B.C.D.704【答案】C【解析】由三視圖可知,該幾何體是:上面是底面半徑為4、高是3的圓錐,下面是底面為邊長為8的正方形、高是10的長方體,所以該幾何體的體積V==.故答案為：C.9.已知,則A.B.C.D.【答案】B【解析】因為,所以,所以,故A錯誤;又,所以,所以,所以,B正確;又,所以的大小不確定,故C錯誤;由指數(shù)函數(shù)的單調性可知,由冪函數(shù)的單調性可知,所以的大小關系不確定,故D錯誤.則答案為B.點睛：這個題目考查的是比較指數(shù)和對數(shù)值的大小；一般比較大小的題目，常用的方法有：先估算一下每個數(shù)值，看能否根據(jù)估算值直接比大??；估算不行的話再找中間量，經(jīng)常和0，1，1比較；還可以構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性來比較大小。10.已知拋物線,過其焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點,且|AB|=10,以線段AB為直徑的圓與y軸相交于M、N兩點,則|MN|=A.3B.4C.6D.8【答案】C【解析】設,則|AB|=,所以,則AB的中點的橫坐標為4,即圓心的橫坐標為4,則圓心到y(tǒng)軸的距離為4,又以線段AB為直徑的圓的半徑為5,所以|MN|=6.故答案為：C.點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質．解題的關鍵是利用了拋物線的定義。一般和拋物線有關的小題，很多時可以應用結論來處理的；平時練習時應多注意拋物線的結論的總結和應用。尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關，實現(xiàn)點點距和點線距的轉化。11.△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知△ABC的面積為==,則A.B.C.D.或【答案】D【解析】由三角形的面積公式可得,則,所以,由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC=16或10,所以c=4或,由正弦定理可得==或.故答案為：D.點睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.12.已知函數(shù)滿足=,若函數(shù)=與圖象的交點為則A.0B.C.D.【答案】C【解析】由=知函數(shù)的圖象關于直線x=2對稱,且函數(shù)=的圖象也關于直線x=2對稱,則兩個函數(shù)圖象的交點兩兩關于直線x=2對稱,故.故答案為：C.二、填空題：共4題13.的展開式中的系數(shù)為,則實數(shù)的值為________.【答案】2【解析】的展開式中的通項,令,得r=4,所以,則.故答案為：2.14.記函數(shù)=的定義域為A,在區(qū)間[3,6]上隨機取一個數(shù)x,則xA的概率是__.【答案】【解析】由可得,則=,所以在區(qū)間[3,6]上隨機取一個數(shù)x,則xA的概率是P=.故答案為：.........................15.設函數(shù)=,則以下結論:①的一個周期為②的圖象關于直線對稱③為偶函數(shù)④在單調遞減其中正確的是_.(請將你認為正確的結論的代號都填上)【答案】①②④【解析】===,所以的一個周期為,故①正確;==,所以的圖象關于直線對稱,故②正確;==,故③錯誤;若,則,由余弦函數(shù)的單調性可知,在單調遞減,故④正確.故答案為:①②④16.已知雙曲線=的離心率為,左焦點為,當點P在雙曲線右支上運動、點Q在圓=上運動時,的最小值為_____.【答案】【解析】依題意可知a=1,b=,設B(0,1),由得,問題轉化為求點到圓B上點的最小值,即,故．故答案為：.三、解答題：共7題17.已知等差數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的前項和;(2)若,求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)=；（2）.【解析】試題分析：.(1)由求出公差與首項,再利用等差數(shù)列的前項和公式求和即可；(2),利用裂項相消法求和與等比數(shù)列的前項和公式求和.解析：(1)由得數(shù)列的公差=,由得,解得∴=.(2)由(1)可得,∴====18.如圖所示,平面多邊形中,AE=ED,AB=BD,且,現(xiàn)沿直線,將折起,得到四棱錐.(1)求證:;(2)若,求PD與平面所成角的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）正弦值為.【解析】試題分析：(1)取的中點,連,由題意可得且,則有平面,可得結論;(2)法一:以O為坐標原點,OB,OD,OP所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,求出平面PAB的一個法向量,再利用向量的夾角公式求解即可；法二:利用等積法:由得=,求出點D到平面PAB的距離為h,設PD與平面所成角為,則===.解析：(1)證明:取的中點,連,∵,即,∴且,又,∴平面,而平面,∴.(2)∵OP=1,OB=2,,∴,∴OP、OB、OD兩兩互相垂直,以O為坐標原點,OB,OD,OP所在的直線為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標系,則,,設為平面PAB的一個法向量,則由,令則得,∴,設PD與平面所成角為,則====,故,即PD與平面所成角的正弦值為.19.從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度(單位:mm),得到如圖5的莖葉圖,整數(shù)位為莖,小數(shù)位為葉,如27.1mm的莖為27,葉為1．(1)試比較甲、乙兩種棉花的纖維長度的平均值的大小及方差的大小;(只需寫出估計的結論,不需說明理由)(2)將棉花按纖維長度的長短分成七個等級,分級標準如表:試分別估計甲、乙兩種棉花纖維長度等級為二級的概率;(3)為進一步檢驗甲種棉花的其它質量指標,現(xiàn)從甲種棉花中隨機抽取4根,記為抽取的棉花纖維長度為二級的根數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）見解析；（2）甲、乙兩種棉花纖維長度等級為二級的概率分別為和；（3）見解析.【解析】試題分析：(1)由莖葉圖中的數(shù)據(jù)分布情況可知,乙品種棉花的纖維長度的平均值較甲品種的大;乙品種棉花的纖維長度的方差較甲品種的??；(2)由所給的莖葉圖知,甲、乙兩種棉花纖維長度在[30.0,30.9](即二級)比率分別為:=；(3)由(2)知,從甲種棉花中任取1根,其纖維長度為二級的概率為,不是二級的概率為,依題意知的可能取值為:0,1,2,3,4,求出每一個變量的概率,即可得分布列與期望.解析：(1)乙品種棉花的纖維長度的平均值較甲品種的大;乙品種棉花的纖維長度的方差較甲品種的小.(2)由所給的莖葉圖知,甲、乙兩種棉花纖維長度在[30.0,30.9](即二級)比率分別為:==,故估計甲、乙兩種棉花纖維長度等級為二級的概率分別為或0.2)和或0.12).(3)由(2)知,從甲種棉花中任取1根,其纖維長度為二級的概率為,不是二級的概率為,依題意知的可能取值為:0,1,2,3,4.又或0.4096),或0.4096),或0.1536),或0.0256),=或0.0016).故的分布列為:或.20.在圓上任取一點,過點作軸的垂線段,垂足為,點在線段上,且,當點在圓上運動時.(1)求點的軌跡的方程;(2)設直線與上述軌跡相交于M、N兩點,且MN的中點在直線上,求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）點的軌跡C方程為=；（2）k的取值范圍是.【解析】試題分析：(1)設,由=得,,由,得點的軌跡C方程為；(2)聯(lián)立直線與橢圓方程,由根與系數(shù)的關系式,結合MN的中點在直線上,可得=,結合求解,可得k的取值范圍是．解析：(1)設,由得,==,∵點在圓上,即=,∴,即=,∴點的軌跡C方程為=.(2)設,若直線l與x軸平行,則MN的中點在y軸上,與已知矛盾,所以,把代入=,得=,則=,由,得,由,得=,所以=,解得,所以k的取值范圍是．點睛：求軌跡方程，一般是問誰設誰的坐標然后根據(jù)題目等式直接求解即可，而對于直線與曲線的綜合問題要先分析題意轉化為等式，例如，可以轉化為向量坐標進行運算也可以轉化為斜率來理解，然后借助韋達定理求解即可運算此類題計算一定要仔細.21.已知函數(shù)=a為實數(shù)).(1)若是曲線的一條切線,求a的值;(2)當時,試判斷函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】（1）（2）見解析.【解析】試題分析：(1)設切線與曲線的切點為,由題意,且,聯(lián)立求解可得；(2)進行二次求導,判斷函數(shù)的單調性,可得,設,求導并判斷函數(shù)的單調性,可得得僅當時取“=”),再分與討論函數(shù)的單調性,即可得函數(shù)的零點個數(shù).解析：(1)函數(shù)的定義域為,,設切線與曲線的切點為,則切線的斜率為,即,化簡得*),又且,得,∴或,聯(lián)立(*)式,解得.(2)設==,由得,∴即在上單調遞增,在上單調遞減,得,其中,設,由,得,∴在上單調遞增,得,∴僅當時取“=”),當時,,得,∴在上單調遞增,又,∴函數(shù)僅有一個零點,為e;②當時,,又,∴存在,使,又,而,∴當時,,當時,,∴函數(shù)在和上單調遞增,在上單調遞減,又,∴函數(shù)僅有一個零點,綜上所述,函數(shù)僅有一個零點．點睛：函數(shù)的零點或方程的根的問題，一般以含參數(shù)的三次式、分式、以e為底的指數(shù)式或對數(shù)式及三角函數(shù)式結構的函數(shù)零點或方程根的形式出現(xiàn)，一般有下列兩種考查形式：(1)確定函數(shù)零點、圖象交點及方程根的個數(shù)問題；(2)應用函數(shù)零點、圖象交點及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或取值范圍問題．研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值、函數(shù)的變化趨勢等，根據(jù)題目要求，通過數(shù)形結合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)。同時在解題過程中要注意轉化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論思想的應用．22.在直角坐標系中,已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),;現(xiàn)以原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的方程為,(1)求曲線的極坐標方程;(2)設和的交點為,求的值．【答案】（1）極坐標方程為；（2）=．.【解析】試題分析：(1)消去參數(shù)可得曲線C1的普通方程,即可得其極坐標方程；(2)聯(lián)立曲線和的極坐標方程