高考數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)班學(xué)生輔導(dǎo)練習(xí)題

專題一含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的分類討論

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)的重要工具，自從導(dǎo)數(shù)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教材以來(lái)，有關(guān)導(dǎo)數(shù)

問(wèn)題幾乎是每年高考的必考試題之一.隨著高考對(duì)導(dǎo)數(shù)考查的不斷深入，含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題

成為了歷年高考命題的熱點(diǎn).由于含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題在解答時(shí)往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,

如何進(jìn)行分類討論成為絕大多數(shù)考生答題的難點(diǎn).

模塊1整理方法提升能力

在眾多的含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中，根據(jù)所給的參數(shù)的不同范圍去討論函數(shù)的單調(diào)性是最常見

的題目之一，求函數(shù)的極值、最值等問(wèn)題，最終也需要討論函數(shù)單調(diào)性.對(duì)于含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)

題的單調(diào)性的分類討論，常見的分類討論點(diǎn)有以下三個(gè)：

分類討論點(diǎn)1：求導(dǎo)后，考慮:(力=0是否有實(shí)根，從而引起分類討論；

分類討論點(diǎn)2：求導(dǎo)后，/'(x)=0有實(shí)根，但不清楚尸(x)=0的實(shí)根是否落在定義域內(nèi),

從而引起分類討論；

分類討論點(diǎn)3：求導(dǎo)后，r(x)=O有實(shí)根，/(x)=0的實(shí)根也落在定義域內(nèi)，但不清楚

這些實(shí)根的大小關(guān)系，從而引起分類討論.

以上三點(diǎn)是討論含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的單調(diào)性的三個(gè)基本分類點(diǎn)，在求解有關(guān)含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)

題的單調(diào)性時(shí)，可按上述三點(diǎn)的順序?qū)?shù)進(jìn)行討論.因此，對(duì)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的分類討

論，還是有一定的規(guī)律可循的.當(dāng)然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點(diǎn)或三點(diǎn)，這時(shí)

的討論就會(huì)復(fù)雜一些了，也有些題目可以根據(jù)其式子和題目的特點(diǎn)進(jìn)行靈活處理，減少分類

討論，需要靈活把握.

?例1

設(shè)a>0,討論函數(shù)/(力=111>+a(1-4)的一2(1-的單調(diào)性.

【解析】/(%)的定義域是(0,+oo)./,(%)=—+26/(1-?)%-2(1-67)

2Q(1一2(1一Q)X+1

——11?

X

令g(x)=2a(l—a)--2(l—a)x+l,則f'(x)=0的根的情況等價(jià)于g(x)=O的根的情

況.由于g(x)的函數(shù)類型不能確定，所以需要對(duì)a進(jìn)行分類討論從而確定函數(shù)的類型.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，g(x)是常數(shù)函數(shù)，此時(shí)g(x)=l,r(x)=J>0,于是在(0,+8)

上遞增.

(2)當(dāng)axl時(shí)，g(x)是二次函數(shù)，類型確定后，我們首先考慮討論點(diǎn)1——/"(x)=0是

否有實(shí)根的問(wèn)題.由于g(x)不能因式分解，所以我們考慮其判別式△=4(a-l)(3a-1),判

別式的正負(fù)影響到g(x)=O的根的情況，由此可初步分為以下三種情況：①當(dāng)A<0,即

時(shí)，g(x)=O沒(méi)有實(shí)根；②當(dāng)△=(),即a=g時(shí)，g(x)=O有兩個(gè)相等的實(shí)根；③

當(dāng)△>(),即0<“<g或a〉l時(shí)，g(x)=O有兩個(gè)不等的實(shí)根.

對(duì)于第①種情況，g(x)=O沒(méi)有實(shí)根且永遠(yuǎn)在x軸上方，于是f'(x)>0,所以在

(0,+oo)上遞增.

對(duì)于第②種情況，g(x)=o有兩個(gè)相等的實(shí)根x=于是尸(x)ZO,所以/(x)在(0,一)

上遞增.

對(duì)于第③種情況，g(x)=O有兩個(gè)不等的實(shí)根，百=」--也可?！亢?/p>

2a2a[l-a)

x,」+皿'])(3〃1).由于不知道兩根是否落在定義域(0,y)內(nèi)，因此要考慮討論點(diǎn)2,

2a2a(\-a)

而利用韋達(dá)定理進(jìn)行判斷是一個(gè)快捷的方法.

因?yàn)橛?工2=,，X\X2=一7-——7，所以當(dāng)時(shí)，有％+W>0且匹M>0,此時(shí)

a2a\\-a)3

兩個(gè)根都在定義域內(nèi)切0<西v%(因?yàn)閄與W的大小關(guān)系已經(jīng)確定，所以不需要考慮討論點(diǎn)

3).由廣(』)>0可得0<%<%或%>%2,所以/(%)在(0,%)和(町+8)上遞增;由/'(x)<0

可得芭所以f(X)在(外,太2)上遞減.

當(dāng)時(shí)，有玉+玉>。且演工2<°，此時(shí)工2<0<11，由/'(X)>O可得OVX<X],所以

/(%)在(0,%)上遞增;由r(x)v0可得X",所以f(x)在(％,+00)上遞減.

綜上所述，當(dāng)0<a<g時(shí)，/(同在(0,王)和(々,+8)上遞增，在(再,聲)上遞減;當(dāng);

時(shí),“X)在(0,+oo)上遞增;當(dāng)時(shí),在(0,%)上遞增,在(對(duì)一)上遞減.其中

_1-_1-1)(3〃-1)

12a2a(1-o)22a2a(\-a)

【點(diǎn)評(píng)】只要按照3個(gè)分類討論點(diǎn)進(jìn)行思考,就能很好地處理含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的單調(diào)性.此

外，涉及兩根與0的大小比較的時(shí)候，利用韋達(dá)定理往往比較簡(jiǎn)單.

?例2

已知函數(shù)/(x)=lnx-Ax+k(A:eR).

(1)求〃x)在［1,2］上的最小值；

(2)若In對(duì)xe(-1,1)恒成立，求正數(shù)a的最大值.

1—kx-4-1

【解析】(1)定義域?yàn)?。,+8),廣(另=，一%=上1.

XX

法1：①當(dāng)上=0時(shí)，r(x)=J>0,函數(shù)f(x)在［1,2］為增函數(shù)，所以

［f(x)L"⑴=。

②當(dāng)時(shí)，令/'(x)=0可得x=：.

(i)當(dāng)，<0,即％<0時(shí)，/'(x)>0在［1,2］上恒成立，函數(shù)，(x)在［1,2］為增函數(shù)，所

k

以上(乩=/(1)=0?

(ii)當(dāng)0<31,即女-1時(shí),-)40在［1,2］上恒成立,所以“X)在［1,2］為減函數(shù),

k

所以［〃x)l「〃2)=In2-底

(iii)當(dāng)即時(shí),尸(力20在［1,2］上恒成立,所以〃x)在［1,2］為增函

k2

數(shù)，所以Mx)L=/(1)=o-

(iv)當(dāng)1<，<2,即時(shí)，由/(x)>0可得,由//(x)<0nJW-<x<2,

所以在11

上遞增，在上遞減.于是f(x)在［1,2］上的最小值為"1)=0或

f（2）=ln2-&.當(dāng)0<1112—左，即;<A<ln2時(shí)，"⑴=0；當(dāng)0wln2—%,即

ln24%41時(shí)，=/（2）=ln2—2.

綜上所述，當(dāng)Z<ln2時(shí)，［〃刀0而產(chǎn)/⑴=。；當(dāng)左AiE時(shí)，

法2：①當(dāng)"0時(shí)，/'(x)>0,函數(shù)f(x)在［1,2］為增函數(shù)，所以［/(x)L,=〃l)=O.

②當(dāng)4>0時(shí)，由/'(x)>0可得0<同，由((x)<0可得x>/所以"X)在卜).上

遞增，在(:,也)上遞減.于是“X)在［1,2］上的最小值為/(1)=0或〃2)=ln2-k.

⑴當(dāng)0<ln2—左，即0<C<ln2時(shí),［/(%)］，n=/(l)=0.

(ii)當(dāng)021n2—%,即ZNln2時(shí)，［/(x)］.=〃2)=ln2—.

綜上所述，當(dāng)&<ln2時(shí)，［〃x)［、=〃l)=0；當(dāng)ZNiE時(shí)，［/(力入=〃2)=ln2-Z.

(2)解答詳見專題三例1.

【點(diǎn)評(píng)】處理好函數(shù)的單調(diào)性，就能求出函數(shù)的最值.法1是按照常見的3個(gè)分類討論

點(diǎn)進(jìn)行討論：當(dāng)&=0時(shí)，廣(x)=0沒(méi)有實(shí)根.當(dāng)%#0時(shí)，尸(x)=0有實(shí)根x=L此時(shí)需

k

考慮根在不在定義域［1,2］內(nèi).當(dāng)』<0或0<』Wl或,22時(shí)，根都不在定義域內(nèi)(把』=1和

k.kkk

：=2并在里面是為了減少分類的情況)；當(dāng)1<：<2時(shí)，根在定義域內(nèi)，由于定義域內(nèi)只有1

個(gè)根，所以就不用考慮第3個(gè)分類討論點(diǎn)了.法2是根據(jù)式子和題目的特點(diǎn)進(jìn)行分類：由

/'(同=：—A可知當(dāng)ZW0時(shí)，“X)在［1,2］上遞增；當(dāng)％>0時(shí)，/(x)在(0,+QO)上先增后減,

所以最小值只能在/(1)或/(2)處取到，此時(shí)只需要比較兩者的大小就可以了.由于法2是根

據(jù)式子和題目的特點(diǎn)進(jìn)行分類的，所以能減少分類的情況.

?例3

設(shè)函數(shù)/(%)=%」+bln(x+l),其中6工0.

(1)當(dāng)匕〉(時(shí)，判斷函數(shù)“X)在定義域上的單調(diào)性；

(2)當(dāng)8x0時(shí)，求函數(shù)/(x)的極值點(diǎn).

【解析】(1)函數(shù)/(犬)=X2+61n(x+l)的定義域?yàn)?-l,+oo),

/⑴=2x+g=2、+j：+令g(x)=2x2+2x+6,則△=4—88.當(dāng)6>g時(shí)，A<0,

所以g(x)在(T,+oo)上恒大于0,所以尸(x)>0,于是當(dāng)時(shí)，函數(shù)“X)在定義域

上遞增.

(2)首先考慮g(x)=0是否有實(shí)根.

①當(dāng)AvO,即時(shí)，由(1)知函數(shù)/(x)無(wú)極值點(diǎn).

②當(dāng)△=(),即匕=g時(shí)，g(x)=O有唯一的實(shí)根，g(x)>0,于是/(x)20在(T+oo)上

恒成立，所以函數(shù)“X)在(-1,+8)上遞增，從而函數(shù)f(x)在(-1,+8)上無(wú)極值點(diǎn).

③當(dāng)△>(),即6<工時(shí)，g(x)=0有兩個(gè)不同的根玉=上曰二絲，,=T+g_2J

其中芭<9.這兩個(gè)根是否都在定義域(-1，轉(zhuǎn))內(nèi)呢？這需要對(duì)參數(shù)匕的取值進(jìn)一步分類討

論.

當(dāng)b<0時(shí)，X,<-1,.==1+?13>-1,由((力>0可得x>X2，由

/(x)<0可得—1<X<X2,所以在(一1,々)上遞減，在(%,+0。)上遞增，所以當(dāng)8<0時(shí),

“X)在(-L+8)上有唯一極小值點(diǎn)/=———■?

當(dāng)0<%<g時(shí)，X,>-1,.=.T+?二竺〉由尸(x)>0可得

一1VXVX］或1>工2，由/'(X)<O可得芭<工<々，所以)(X)在(T,%)上遞增，在(%,工2)上

遞減，在(々，一)上遞增，所以當(dāng)0<}<g時(shí)，“X)在(-1,+8)上有一個(gè)極大值點(diǎn)

—1—J1—2b工人士口?/古上—1+J1—2b

X,=---------和一個(gè)極小值點(diǎn)冗2=---------?

綜上所述，當(dāng)。<0時(shí)，在(-i,+w)上有唯一的極小值點(diǎn)々=土弓3；當(dāng)

0<6<g時(shí)，/(X)有一個(gè)極大值點(diǎn)％=二1二］§和一個(gè)極小值點(diǎn)w=二1NJ當(dāng)

bzg時(shí)，函數(shù)“X)在(-1,+00)上無(wú)極值點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)g(x)=o有兩個(gè)不同的根X產(chǎn)土手藥和入2=士亭羽的時(shí)候，由于

x,<x2,所以只需要考慮討論點(diǎn)2,判斷這兩個(gè)根是否都在定義域(-1,+8)內(nèi)就可以了，顯然

X2>-1,因此只需對(duì)芭作判斷就可以了.判斷的方法有三種，第一種方法是待定符號(hào)法，將為

_1_Jl_2hI----/---

與一1之間的大小符號(hào)待定為W,則有——----W1=-1-V1-2&W-201Ml-2bo

1W—?oZAM),所以當(dāng)0<匕<］時(shí)，x,>-1；當(dāng)匕<0時(shí)，x,<-1.第二種方法是韋達(dá)定

理，判斷X、乙與T的大小關(guān)系等價(jià)于判斷±+1、x,+l與0的大小關(guān)系，由此把韋達(dá)定理

X+招=—1(X1+1)+伍+1)=1

b

=調(diào)整為，、，、〃，此時(shí)的判斷就變得十分容易了.第三種方法是利用

2-(%+力&+1)=不

二次函數(shù)的圖象，g(x)是開口方向向上，對(duì)稱軸為x=-』的二次函數(shù)，與丫軸的交點(diǎn)是(0功)，

由圖象可知當(dāng)0<5<g時(shí)%>—1,當(dāng)6<0時(shí)

模塊2練習(xí)鞏固整合提升

練習(xí)1：設(shè)函數(shù)/(x)=alnx+；3,其中a為常數(shù).

(1)若a=0,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

(2)討論函數(shù)“X)的單調(diào)性.

71

【解析】（1）當(dāng)a=0時(shí)，/（x）=—xe（o,+oo）.此時(shí)/（X）=,于是尸⑴=

''x+l（x+l）-2

/(1)=0,所以曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程為x_2y_l=0.

(2)函數(shù)〃x)的定義域?yàn)?0,+oo),7⑺，++2(4+乎+4

X(x+l)~x(x+l)~

①當(dāng)aNO時(shí)，/'(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(0,+8)上遞增.

②當(dāng)a<0時(shí)，令g(x)=ox2+2(a+l)x+a,則△=4(a+1y-4/=4(2a+l).

(i)當(dāng)g時(shí);A<0,所以g(x)40,于是尸(x)40,所以函數(shù)在(0,+。。)上

遞減.

(ii)當(dāng)一，<。<0時(shí)，△>(),此時(shí)g(x)=O有兩個(gè)不同的根，.=(a+l)+―2a+1,

2a

一+-J2a+1__.De..?ix/\.

下判斷％、%是否在定義域（。，0內(nèi)，

X2=---------------------,X,<^.8）

法1：（待定符號(hào)法）二（"'）+--2”+4）。（”+1）-儂+lW）oa+IWs/2a+1o

(a+l)3W2a+l<^a2W),由于a>0,所以百>0.

2(a+l)

法2：(韋達(dá)定理)由再+々=-->°可得。<不<々.

xix2=1>0

法3：(圖象法)g(x)是開口方向向下的拋物線，對(duì)稱軸為—空1>0,g(0)=a<0,由

a

圖象可知玉、馬都在定義域(°，+00)內(nèi).

當(dāng)0cxe玉或工>々時(shí)，有g(shù)(x)<。，/r(x)<0,所以函數(shù)/(x)遞減；當(dāng)尤2時(shí)，

有g(shù)(x)>。，/r(x)>0,所以函數(shù)/(x)遞增.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(X)在(0,+8)上遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)“X)在(0,+oo)

上遞減;當(dāng)」■<?<()時(shí),函數(shù)/(無(wú))在0,--],(--,+8]」二

2Ia)[aJ

遞減，在卜(〃+1)+后1一(〃+1)一歷斤]上遞增.

aa

\7

練習(xí)2：設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x+a)+X2.

(1)若當(dāng)x=-1時(shí)，“X)取得極值，求〃的值，并討論八司的單調(diào)性;

(2)若f(x)存在極值，求。的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln|.

【解析】(1)由/'(-1)=0解得a=3,此時(shí)f\x)=—與+2x=2xf,由廣⑴>()

一x+—x+—

22

31由尸(x)<()解得所以/(x)在區(qū)間,

解得—<x<—1或x>—，

22

1;收)上遞增，在區(qū)間(T-￡|上遞減.

(2)〃x)的定義域?yàn)?-a,+8),/f(x)^2A-+2—1,記g(x)=2x2+2ax+l,其判

x+a

別式為A=4/—8.

①若A<0,即-及夜時(shí)，尸(x)20在(-4,+00)上恒成立，所以/⑺無(wú)極值.

②若△>(),即a>0或血時(shí)，g(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根改=一"一和

玉+工2二一。(x,+°)+(々+a)=a

x=~a+^，2~~,且不＜々，由韋達(dá)定理可得,

21，即<1.

X.?x=—(X|+a)G+a)=]

.92

(i)當(dāng)?！匆患皶r(shí)，有％+。＜0,x+a＜0即為＜一。，從而(在

2fx2<-a,(x)=0

(-a,+8)上沒(méi)有實(shí)根，所以f(x)無(wú)極值.

(ii)當(dāng)血時(shí)，有百+。＞0,x+a＞0,即石＞-a,從而/'(力在

2x2>-a,=0

(-4+8)上有兩個(gè)不同的根，且“X)在x=x，了=々處取得極值.

綜上所述，“X)存在極值時(shí)，a的取值范圍為(直,+8).〃x)的極值之和為

口[(玉而

/(xl)+/(x2)=ln(x1+a)+^+ln(x2+a)+x；=1+a)(x2+a)]+(X]+/)-2xtx2，

2工用=(一2所以

In[(%1+a)(w+a)]=ln；,(%+x2)-2-2xg=a-1,

2

/(xl)+/(x2)=ln^+a-l>ln|+l=ln|.

練習(xí)3：已知函數(shù)/(x)=e*-ax2_法-1,其中“、beR,e=2.71828為自然對(duì)數(shù)的

底數(shù).

(1)設(shè)g(x)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,1］上的最小值;

(2)若f(l)=0,函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【解析】(1)g(x)=f\x)=e-2ax-b,g'(x)=e=2a.因?yàn)閤e[0,l],所以

\-2a<^Z(x)<e-2tz.

①若2心1,即時(shí)，有g(shù)'(x)=e，-2a20,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上遞增，于

是[g(吼in=g(°)=j.

②若1<2a<e,即5<a<5時(shí)，當(dāng)0<x<ln(2a)時(shí)，g'(x)=e'一2。<0,當(dāng)ln(2tz)<x<l

時(shí)g，(x)=ex-2a>0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,ln(2a))上遞減，在區(qū)間[ln(2a),l]上遞增，

于是[<?(-^)]inin=8[ln(26/)]=2a-2aIn(2a)—b.

③若2aNe,即時(shí)，有g(shù)，(x)=e'-2a?0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上遞減，于

是[g(x)L,=g(l)=e-2a-b?

l-b,a<—

2

]e

綜上所述，g(x)在區(qū)間［0』上的最小值為［g(x)h=,2a-2a\n^2a^-b,—<a<—

->e

e-2a-b,a>—

(2)法1：由"1)=0可得e—〃—b—l=0,于是/?=e—Q—l,又/(0)=0,所以函數(shù)/(x)

在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，則函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間.

由(1)知當(dāng)awg或aw］時(shí)，函數(shù)g(x)即尸(X)在區(qū)間［0,1］上遞增或遞減，所以不可

能滿足“函數(shù)””在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間”這一要求.

則[g(x)]n=2Q-2oln(2。)一〃二3〃一2〃ln(2〃)一e-l.令

/?(x)=3x-2xln(2x)-e-1(Jcxc]),貝U〃[x)=l-21n(2x).由”(工)>()可得3<了<^^,

由〃(x)<0可得當(dāng)<x<|,所以〃(x)在區(qū)間(g,制上遞增，在區(qū)間卜叵，父上遞減，所

22

Ve

以0(切2=〃=3-2In—e—1=Ve—e—1<0,即[g(x)].<0,

g(0)=2—e+4〉0

于是函數(shù)〃x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間。<，由此解得

e-2<a<l,又因?yàn)?lt;士，所以e—2<a<l.

22

綜上所述，Q的取值范圍為(e-2,1).

法2：由/(l)=0可得e-a-b-l=0,于是力=e-a-l,又f(0)=0,所以函數(shù)g(x)在

er__|_1

區(qū)間(。,1)上至少有兩個(gè)零點(diǎn).g(x)=0=e、-2奴一?+〃+1=0=.=-----e--,所以g(x)

2x—1

A

e_e-L1%e;』)的圖象至少有

在區(qū)間(0』)上至少有兩個(gè)零點(diǎn)0y=〃與Z(x)=2;；1H

兩個(gè)交點(diǎn).

2xe'-3e'+2(e-l)

Z'(x)=,令p(x)=2xe*-3e*+2(e-l),則p'(x)=e'(2x-l),由

(21)2

“(》)>0可得工>3,由p'(x)<0可得所以p(x)在(0,￡］上遞減，在(；/)上遞增,

PA

e-2

=p(；］=2e-2&-2>0,所以,于是

心）在尾］上遞增，在上1也遞增.因?yàn)椋ィ∣）=e-2,

2

1-1+

^(1)=1,當(dāng)X-5時(shí)，女(力—>+00,當(dāng)X.］時(shí)，/：(%)->-00,

于是y=a與攵（力二2c；

I,1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是

（e-2,1）.

專題二函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

函數(shù)的零點(diǎn)作為函數(shù)、方程、圖象的交匯點(diǎn)，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的聯(lián)系，蘊(yùn)含了豐

富的數(shù)形結(jié)合思想.諸如方程的根的問(wèn)題、存在性問(wèn)題、交點(diǎn)問(wèn)題等最終都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)

零點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行處理，因此函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題成為了近年來(lái)高考新的生長(zhǎng)點(diǎn)和熱點(diǎn)，且形式逐漸

多樣化，備受青睞.

模塊1整理方法提升能力

對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，其解題策略一般是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn).

對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的選擇，有3種情況：一平一曲，一斜一曲，兩曲（凸性一般要相反）.其

中以一平一曲的情況最為常見.

分離參數(shù)法是處理零點(diǎn)問(wèn)題的常見方法，其本質(zhì)是選擇一平一曲兩個(gè)函數(shù)；部分題目直

接考慮函數(shù)/（X）的圖象與x軸的交點(diǎn)情況，其本質(zhì)是選擇一平一曲兩個(gè)函數(shù)；部分題目利用

零點(diǎn)存在性定理并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性處理零點(diǎn)，其本質(zhì)是選擇一平一曲兩個(gè)函數(shù).

0函數(shù)的凸性

1.下凸函數(shù)定義

設(shè)函數(shù)f（x）為定義在區(qū)間（a,b）上的函數(shù)，若對(duì)（a,b）上任意兩點(diǎn)七，總有

/（七斗/（'）；/⑷,當(dāng)且僅當(dāng)王=々時(shí)取等號(hào)，則稱“X）為（4,。）上的下凸函數(shù).

2.上凸函數(shù)定義

設(shè)函數(shù)〃x）為定義在區(qū)間（”力）上的函數(shù)，若對(duì)（a,b）上任意兩點(diǎn)不，馬，總有

■卜/("；/⑷,當(dāng)且僅當(dāng)為=々時(shí)取等號(hào)，則稱“X)為(凡與上的上凸函數(shù).

3.下凸函數(shù)相關(guān)定理

定理：設(shè)函數(shù)”X)為區(qū)間(a,b)上的可導(dǎo)函數(shù)，則/(力為?b)上的下凸函數(shù)o7(%)

為(。力)上的遞增函數(shù)o/"(x)20且不在⑼的任一子區(qū)間上恒為零.

4.上凸函數(shù)相關(guān)定理

定理：設(shè)函數(shù)〃x)為區(qū)間(。力)上的可導(dǎo)函數(shù)，則為(a,b)上的上凸函數(shù)o尸(x)

為(。力)上的遞減函數(shù)o/〃(x)40且不在(。/)的任一子區(qū)間上恒為零.

。例1

已知函數(shù)/(x)=ae2x+(a-2)e*-x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若〃x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【解析】(1)f\x)=2ae2v+(a-2)e'-1=(2ev+l)(ae'-1),2ev+l>0.

①當(dāng)a<0時(shí)，aer-l<0,所以尸(x)<0,所以/(x)在R上遞減.

②當(dāng)a>0時(shí),由尸(x)>0可得x>InL由/'(x)<0可得xclnL所以f(x)在

aa

上遞減，在1n，,+co)上遞增.

(2)法1：①當(dāng)〃<0時(shí)，由(1)可知，"X)在R上遞減，不可能有兩個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)a>。時(shí),[/(x)Ln=/(lnJ=T+lna,令g(a)=[/?L，則

g，(a)=4+1>0,所以g(a)在(0,+oo)上遞增，而g(l)=0,所以當(dāng)aNl時(shí)，

g(a)=[/(x)]minNO,從而/(x)沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)0<a<l時(shí)，/fln-k(),/(—1)=芻+0+1—2>0,于是/(x)在上有1個(gè)

Va)eee\a)

零點(diǎn)；因?yàn)閒In(。-1)=a(3—1)+(a—2)(?！?)—ln(?！?)=(。—1]—In13—1]>0,且

ln^--l^>ln^—j,所以/(x)在卜nL+oo)上有1個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，。的取值范圍為（0,1）.

法2：ae2'+(a-2)e(-x=0<?ae''+aex-2e'+xoa-+X.令g(x)=

e+eve+e

則，()(2er+l)(e2A+ev)-(2ev+x)(2e2x+ex)e*(2e*+l)(e*+x-l)

，令

(e2x+e')-(e2x+er)2

〃(x)=e*+x-l,則/f(x)=e*+l>0,所以〃(x)在R上遞增,

而力（0）=0,所以當(dāng)x<0時(shí)，力（x）<0,當(dāng)x>0時(shí)，/7（A-）>0,

于是當(dāng)x<0時(shí),g<x)>0,當(dāng)x>0時(shí),g,(x)<0,所以g(x)

在（TO,0）上遞增，在（0,+o。）上遞減.g（0）=l,當(dāng)x->-oo時(shí),

g（x）->-8,當(dāng)xf400時(shí)，g（x）->0+.若/（X）有兩個(gè)零點(diǎn)，則y=a與g（x）有兩個(gè)交點(diǎn),

所以a的取值范圍是（0,1）.

法3：設(shè)，=e'>0,則％=lnr,于是%=0=〃/十/=？…］。，u>

(2+；j?2+f)(2f+inf)(2f+l)

2t+\nt人、2r+Inr

”=^77,令G(f)=^y，則G'(fx)=

任+4

(2z+l)(r-l+lnr),令”(r)=f—1+lnf,貝iJ“'(z)=l+；>0,

-2+t

所以。在（0,+00）上遞增，而4⑴=0,所以當(dāng)0</<1時(shí),

H(r)<0,G,(/)>0,當(dāng)r>l時(shí)，"(f)>o,G,(r)<0,所以

G（。在（0,1）上遞增，在（1,+8）上遞減.G（l）=l,當(dāng)/.0+時(shí),G(f)當(dāng)t—>-HX）時(shí)，

G(r)->0+.若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則y=a與G(f)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以a的取值范圍是(0,1).

法4：設(shè)，=e”>0,則x=hu,于是Qe2x+(a-2)eX-x=0oa『+G_21_inf=0=

a(r+l)—2=手.令Mf)=a(f+l)—2,*)=}則/(另有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于y=%(。與

y=S(f)有兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)椤?，)=1,由“(f)>0可得0<r<e,由s'(f)<0可得r>e,

所以9⑺在(0,e)上遞增，在(e,+QO)上遞減,(p(e\--,當(dāng)x一四時(shí)，^?(/)->0+.y=&(/)

e

是斜率為a,過(guò)定點(diǎn)A(-l,-2)的直線.

當(dāng)了=人(，)與卜=。(/)相切的時(shí)候，設(shè)切點(diǎn)戶&,%)，則有

_Int?

y°~~

%=a&+l)-2,消去a和%,可得也=+1)-2,

..’0‘0

1-Inr0_

大一

即(2to+1)(In+J—1)=0,即Inf()+f()—1=0.令p(7)=lnf+f—1,

顯然P(r)是增函數(shù)，且"1)=0,于是f0=l,此時(shí)切點(diǎn)P(l,0),斜率a=l.所以當(dāng)y=&(/)

與y=c(/)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),0<。<1,所以”的取值范圍是(o,i).

法5：y(x)=0<?a(e2t+e')=2er+x,令M(x)=a(e2*+e*),/n(x)=e2x+e',

”(x)=2e*+x,則f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)=M(x)與〃(x)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn).

機(jī)(0)=〃(0)=2,所以兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)(0,2).令

T(x)=機(jī)(x)-=d*—e*—x,則r(x)=2e2j-ev-l=(2e'+l)(er-l),由T'(x)>0可

得x>0,由T'(x)<0可得x<0,于是T(x)在(YO,0)上遞減，在II

(0,+<?)上遞增，而T(0)=0,所以因此與〃(x)\l

相切于點(diǎn)(0,2),除切點(diǎn)外，m(x)的圖象總在〃(x)圖象的上方.m(xJ\

由⑴可知，a>0.?(.v)/o|-------二

當(dāng)。>1時(shí)，將，“(X)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)固定不動(dòng)，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的〃倍，就得到了

M(x)的圖象，此時(shí)M(x)與〃(x)的圖象沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)a=l時(shí)，制了)的圖象就是M(x)的圖

象，此時(shí)M(X)與〃(X)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0<4<1時(shí)，將7"(x)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)

固定不動(dòng)，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的。倍，就得到了M(x)的圖象，此時(shí)加(x)與〃(x)的圖象有兩

個(gè)不同交點(diǎn).

綜上所述，”的取值范圍是(0,1).

法6：/(x)=0oa(e2x+e')=2e'+xoa(e'+l)—2=三，令p(x)=a(e*+1)-2,

4(x)=/,則f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)op(x)與q(x)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn).

,(x)=F，由/(x)>0可得X<1,由d(x)<0可得x>l,所以q(x)在(-8,1)上遞

增，在(1,+co)上遞減，當(dāng)x->+<?時(shí)，</(%)—>0+.

由(1)可知，a>0,所以p(x)是下凸函數(shù)，而q(x)是

上凸函數(shù).當(dāng)p(x)與g(x)相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為尸(%,%),則有

x

y0=a(e°+1)-2

,消去。，%可得+1)-2疊即（2e%+l）（e*+不-1）=0,

即己+無(wú)一1=0.令W(x)=e*+x-1,顯然是增鐲數(shù)，而W(0)=0,于是%=0,此

時(shí)切點(diǎn)尸(0,0),a=l.所以當(dāng)p(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，0<a<l,所以a的取值

范圍是(0,1).

【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，其解題策略是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，三種方式中(一平

一曲、一斜一曲、兩曲)最為常見的是一平一曲.法1是直接考慮函數(shù)/(X)的圖象與X軸的

交點(diǎn)情況，法2是分離參數(shù)法，法3用了換元，3種方法的本質(zhì)都是一平一曲，其中法3將指

數(shù)換成了對(duì)數(shù)，雖然沒(méi)有比法2簡(jiǎn)單，但是也提示我們某些函數(shù)或許可以通過(guò)換元，降低函

數(shù)的解決難度.法4是一斜一曲情況，直線與曲線相切時(shí)的。值是一個(gè)重要的分界值.法5

和法6都是兩曲的情況，但法6比法5要簡(jiǎn)單，其原因在于法5的兩曲凸性相同而法6的兩

曲凸性相反.

函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題對(duì)函數(shù)圖象說(shuō)明的要求很高，如解法2當(dāng)中的g(x)是先增后減且極大值

^(0)=1,但Xf-8和xf+8的狀態(tài)會(huì)影響。的取值范圍，所以必須要說(shuō)清楚兩個(gè)趨勢(shì)的

情況，才能得到最終的答案.

?例2

設(shè)函數(shù)設(shè)￡,(x)=x+/++xn-1,/?eN*,n>2.

(1)求《(2)；

(2)證明:力⑴在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為％),且()<《,-

【解析】(1)因?yàn)椤辏?x)=l+2x++nx"T,所以￡'⑵=1+2x2++〃-2"T…①.由

2力'⑵=2+2x2?++〃-2"…②，①—②，得—￡：(2)=1+2+22++2n-'-n-2"=

1_

所以<'⑵=(〃-1)2"+1.

1—2

【證明】(2)因?yàn)?(O)=-l<(),f

n2

3

由零點(diǎn)存在性定理可知((X)在爪內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)?/p>

力'(x)=l+2x++加1>0,所以￡,(x)在［0,1)內(nèi)遞增，因此<(x)在［0,|)內(nèi)有且只有

一個(gè)零點(diǎn)%.

由于￡x~^-1,所以—^-1=0,由此可得%=；+9可”，即

1-xan22

%-g=?因?yàn)?<%<|，所以。<；a:<余『，所以0<1：川mTlJ，

所以o?W停｝

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)函數(shù)/(x)滿足兩個(gè)條件：連續(xù)不斷，f(a)f(b)<0,則可由零點(diǎn)存在性定理

得到函數(shù)f(x)在(。力)上至少有1個(gè)零點(diǎn).零點(diǎn)存在性定理是高中階段一個(gè)比較弱的定理，

首先，該定理的兩個(gè)條件缺一不可，其次，就算滿足兩個(gè)條件，也只能得到有零點(diǎn)的結(jié)論，

究竟有多少個(gè)零點(diǎn)，也不確定.零點(diǎn)存在性定理常與單調(diào)性綜合使用，這是處理函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)

題的一種方法.

?例3

己知函數(shù)/（x）=ev-ln（x+/??）.

（1）設(shè)x=0是的極值點(diǎn)，求用，并討論“X）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)〃?W2時(shí)，證明：/（x）＞0.

【解析】（1）r（x）=e，一一匚，由x=0是“X）的極值點(diǎn)，可得尸（0）=0,解得機(jī)=1.于

x+m

是/（x）=e，-ln（x+l）,定義域?yàn)椋ㄒ?,+oo）,/'（x）=e，--—,則/"（x）=e，+—^＞0,

x+l（X+1）

所以r（力在（T+00）上遞增，又因?yàn)閺V⑼=0,所以當(dāng)一IcxvO時(shí)當(dāng)x＞0時(shí)

,f（x）＞0,所以/（力在（—1,0）上遞減，在（0,+8）上遞增.

【證明】（2）法1：4X）定義域?yàn)椋ㄒ痪?＜?）,/7x）=eA------，

x+m

/"（x）=e*+—，＞0,于是尸（x）在（-肛+oo）上遞增.又因?yàn)楫?dāng)xf—M時(shí)，

（x+機(jī)）-

/'（九）--00，當(dāng)Xf+8時(shí)，/所以/（無(wú)）=0在（一加,+CO）上有唯一的實(shí)根與,

當(dāng)TWVXVXo時(shí)，/（x）＜0,當(dāng)X〉/時(shí)，/'（力＞0,所以〃工）在（一八/）上遞減，在（%,+00）

上遞增，所以當(dāng)％=%時(shí)，"X）取得最小值.

由/'（工0）=?？傻胑%---：—=0,即ln（%+加）=一40，于是

x=e

f(o)^一ln(xo+m)=------i-x0=-----+xQ+m-m>2-m.當(dāng)機(jī)<2時(shí)，/(x0)>0；

x0+mxQ+m

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，等號(hào)成立的條件是％=-1,但顯然。一1H—。0,所以等號(hào)不成立，即

（T）+2

綜上所述，當(dāng)機(jī)W2時(shí)，/（x）＞/（xo）＞O.

法2：當(dāng)mW2,xw(-機(jī),+oo)時(shí)，ln(x+/w)<ln(x+2),于是〃x)2e"-ln(x+2),所

以只要證明0(x)=e“-ln(x+2)>0,xe(-2,+oo),就能證明當(dāng)口42時(shí),/(x)>0.

"("=，'一堂’.a)=e*+([)2>。，于是d(x)在(一2,+8)上遞增’又因?yàn)?/p>

d(-l)=：-1<0,^(0)=1-1>0,所以“(x)=0在(—2,+oo)上有唯一的實(shí)根與,且

x0€(-1,0).當(dāng)一2cx時(shí)，9'(無(wú))<0,當(dāng)A：>/時(shí),“(x)>0,所以9(x)在(一2,X0)上遞

減，在(%,+oo)上遞增，所以當(dāng)x=x0時(shí)，8(尢)取得最小值.

1

由“(x°)=0可得e聞—=0BPln(x0+2)=-xQ于是

與+2

J。,

*(%)=e&Tn(x0+2)=—5―+%=于是9(%)之9(4)>0.

?X"()I/*^0+乙

綜上所述，當(dāng)時(shí)，/(%)>().

法3：當(dāng)m42,xe(T7?,+8)時(shí)，ln(x+m)<ln(x+2),于是/(x)2e*-ln(x+2),所

以只要證明e*-ln(x+2)>0(x>-2),就能證明當(dāng)時(shí)，/(x)>0.

由InxWx—1(x>0)可得ln(x+2)Vx+l(x>-2),又因?yàn)閑*21+x(xeR),且兩

個(gè)不等號(hào)不能同時(shí)成立，所以e'>ln(x+2),即e'-h(M2>0(x>-2),所以當(dāng)〃區(qū)2時(shí)，

/(x)>0.

【點(diǎn)評(píng)】法1與法2中出現(xiàn)的x°的具體數(shù)值是無(wú)法求解的，只能求出其范圍，我們把這

種零點(diǎn)稱為“隱性零點(diǎn)”.法2比法1簡(jiǎn)單，這是因?yàn)槔昧撕瘮?shù)單調(diào)性將命題e*-In(x+胴)>0

加強(qiáng)為e,-ln(x+2)>(),轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)特例函數(shù)的問(wèn)題，從而大大降低了題目的難度.

法2中，因?yàn)橄?％)的表達(dá)式涉及e與、ln(x0+2),都是超越式，所以夕(修)的值不好計(jì)

算，由此，需要對(duì)“隱性零點(diǎn)”滿足的式子e*。-一二=0進(jìn)行變形，得到兩個(gè)式子e*=」一

%+2X。+2

和ln(/+2)=