福建省寧德市2022-2023學年高二下學期7月期末數(shù)學試題(學生版+解析)

寧德市2022—2023學年度第二學期期末高二質量檢測數(shù)學試題本試卷共6頁，22題．考試時間120分鐘，滿分150分．注意事項：1．答題前考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名；考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號，姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；填空題和解答題用0.5米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效．3．考試結束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一個是符合題目要求的．1.已知隨機變量服從二項分布，則()A. B. C. D.2.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則()A.0.84 B.0.68 C.0.32 D.0.163.棱長為3的正方體中，點到平面距離為()A. B.1 C.2 D.4.函數(shù)的單調遞增區(qū)間為()A. B. C. D.5.已知隨機變量滿足，，其中為常數(shù)，則()A. B. C. D.6.已知，，，則，，大小關系是()A. B. C. D.7.拋擲甲、乙兩顆質地均勻的骰子，記事件：“甲骰子的點數(shù)大于4”，事件：“甲、乙兩骰子的點數(shù)之和等于8”，則的值等于()A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若，則的最大值為()A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分．9.以下運算正確是()A. B. C. D.10.關于空間向量，以下說法正確的是()A.已知，，則在上的投影向量為B.已知兩個向量，，且，則C.設是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D若對空間中任意一點，有，則四點共面11.已知定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為且滿足，則下列判斷正確的是()A.函數(shù)是奇函數(shù)B.函數(shù)在區(qū)間上單調遞減C.在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在軸的下方D.不等式的解集為12.如圖，在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則下列說法正確的是()A.當且時，有B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，直線和所成的角的取值為D.當時，直線與平面所成角的正弦值范圍是三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的相應位置．13.已知空間直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為，，則邊上中線的長度為___________．14.有3臺車床加工同一型號的零件，第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，，而第1，2，3臺車床的次品率分別為，，．現(xiàn)從加工出來的零件中隨機抽出一個零件，則取到的零件是次品的概率為____________．15.如圖，60°的二面角的棱上有、兩點，射線、分別在兩個半平面內，且都垂直于棱．若，，．則的長度為___________．16.設函數(shù)，若，恒成立，則的取值范圍是___________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)在處有極值．(1)求的解析式；(2)求在上的最大值和最小值．18.已知一個盒子中有除顏色外其余完全相同的5個球，其中2個紅球，3個白球現(xiàn)從盒子中不放回地隨機摸取3次，每次摸取1個球．(1)求第二次摸出的球是紅球的概率；(2)求取得紅球數(shù)的分布列和期望．19.銀耳作為我國傳統(tǒng)的食用菌，有“菌中之冠”的美稱，歷來深受廣大人民所喜愛漢代《神農本草經》記載：銀耳有“清肺熱、濟腎燥、強心神、益氣血”之功效．寧德市山川秀美，氣候宜人，非常適合銀耳的種植栽培，其銀耳產量占全球產量的90%以上．(1)經查資料，得到近4年寧德市銀耳產量(單位：萬噸)如下表：年度2019202020212022年度代碼1234銀耳產量34.9036.2037.2038.5請利用所給數(shù)據(jù)求銀耳產量與年度代碼之間的回歸直線方程，并估計2023年銀耳產量．(2)寧德市某銀耳開發(fā)研究公司積極響應國家倡導科技創(chuàng)新，研發(fā)了一款提高銀產量的輔料——“多保靈”．該公司科研小組為了研究這款產品是否有利于提高銀耳產量，從同一其他條件下種植的2000筒銀耳中隨機抽取了100袋，對是否使用“多保靈”和銀耳每筒的產量進行統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：是否使用“多保靈”每筒產量克每筒產量克總計未使用2545有按規(guī)定比例量使用10總計7030100①完善填寫上面的列聯(lián)表．②問：是否有99%的把握認為銀耳每筒產量與是否有按規(guī)定比例量使用“多保靈”有關？參考公式：(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，參考數(shù)據(jù)：，，2.7063.8415.02466357.87910.8280.100.050.0250.0100.0050.00120.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，．(1)證明：平面平面；(2)已知，在線段上是否存在一點，使得二面角的平面角為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．21.在一個系統(tǒng)中，每一個設備能正常工作的概率稱為設備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經常使用“備用冗余設備”(即正在使用的設備出故障時才啟動的設備)．已知某計算機網絡服務器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”(即一臺正常設備，兩臺備用設備)的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網絡就不會斷掉．系統(tǒng)就能正常工作．設三臺設備的可靠度均為，它們之間相互不影響．(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，求的最小值；(2)當時，求能使系統(tǒng)正常工作的設備數(shù)的分布列；(3)已知某高科技產業(yè)園當前的計算機網絡中每臺設備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經驗可知，計算機網絡斷掉可給該產業(yè)園帶來約50萬的經濟損失．為減少對該產業(yè)園帶來的經濟損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設備的硬件，使得每臺設備的可靠度維持在0.8，更換設備硬件總費用為0.8萬元；方案2：花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設備，達到“一用三備”．請從經濟損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策？并說明理由．22.已知函數(shù)，．(1)當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積；(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)．

寧德市2022—2023學年度第二學期期末高二質量檢測數(shù)學試題本試卷共6頁，22題．考試時間120分鐘，滿分150分．注意事項：1．答題前考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名；考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號，姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；填空題和解答題用0.5米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效．3．考試結束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一個是符合題目要求的．1.已知隨機變量服從二項分布，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項分布的方差的計算公式，即可求解.【詳解】由隨機變量服從二項分布，可得.故選：D.2已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則()A.0.84 B.0.68 C.0.32 D.0.16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對稱性計算作答.【詳解】因為隨機變量服從正態(tài)分布，且，所以.故選：B3.棱長為3的正方體中，點到平面距離為()A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】由，用等體積法即可求解【詳解】因為正方體的棱長為3，所以，是正三角形，設點到平面距離為，因為，即，所以，解得，即點到平面距離為.故選：A4.函數(shù)的單調遞增區(qū)間為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得，令，求得，即可得到函數(shù)的單調遞增區(qū)間.【詳解】由函數(shù)，可得，令，即，解得，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.故選：B.5.已知隨機變量滿足，，其中為常數(shù)，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質，求得，結合，即可求解.【詳解】由隨機變量滿足，，可得，解得，所以隨機變量滿足，所以.故選：A.6.已知，，，則，，的大小關系是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構造函數(shù)利用導數(shù)可證明，據(jù)此可得，設，可得到，進而可得答案.【詳解】設，則，當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，所以，故當時，，即，所以當時，，故，設，則，當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，所以，即綜上可得，，故選：D.7.拋擲甲、乙兩顆質地均勻的骰子，記事件：“甲骰子的點數(shù)大于4”，事件：“甲、乙兩骰子的點數(shù)之和等于8”，則的值等于()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用古典概型的概率公式求出，再利用條件概率公式可求得結果.【詳解】由題意知事件為甲骰子的點數(shù)大于4，且甲、乙兩骰子的點數(shù)之和等于8，則事件包含的基本事件為，而拋擲甲、乙兩顆質地均勻的骰子共有36種情況，所以，因為甲骰子的點數(shù)大于4的有5，6兩種情況，所以，所以，故選：C8.已知函數(shù)，若，則的最大值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，設，利用導數(shù)求得函數(shù)單調區(qū)間和最大值，即可求解.，【詳解】由函數(shù)，設，其中，可得，，則，設，可得，令，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以當時，，即的最大值為.故選：A.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分．9.以下運算正確的是()A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)簡單復合函數(shù)的求導法則及基本初等函數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式判斷即可.【詳解】對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：，故D錯誤；故選：AC10.關于空間向量，以下說法正確的是()A.已知，，則在上的投影向量為B.已知兩個向量，，且，則C.設是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D.若對空間中任意一點，有，則四點共面【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)投影向量計算公式判斷A；根據(jù)空間向量共線的知識判斷B；根據(jù)空間向量共面的知識判斷C和D.【詳解】對于A，因為，，所以，所以在上的投影向量為，故A錯誤；對于B，因為，所以因為，，所以，解得，所以，故B正確；對于C，設是空間中的一組基底，則不共面，假設共面，則，顯然無解，所以不共面，則也是空間的一組基底，故C正確；對于D，，但，則四點不共面，故D錯誤.故選：BC11.已知定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為且滿足，則下列判斷正確的是()A.函數(shù)是奇函數(shù)B.函數(shù)在區(qū)間上單調遞減C.在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在軸的下方D.不等式的解集為【答案】BCD【解析】【分析】對函數(shù)兩邊求導賦值，解得然后結合函數(shù)和導數(shù)，逐項判斷即可；【詳解】將函數(shù)兩邊求導，得：，令故，，由此可以判斷函數(shù)是偶函數(shù)，選項A錯誤；函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，選項B正確；函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，所以函數(shù)的圖象恒在軸的下方，選項C正確；，且函數(shù)是偶函數(shù)，由余弦函數(shù)圖像性質可知，在上單調遞增，在上單調遞減，因為，則有，解得：，選項D正確；故選：BCD.12.如圖，在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則下列說法正確的是()A.當且時，有B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，直線和所成的角的取值為D.當時，直線與平面所成角的正弦值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】對于選項A，建立空間直角坐標系，通過計算得到，從而得到，進而判斷出選項A正確；對于選項B，利用條件確點的位置，再利用等體法即可判斷選項的正誤；對于選項C，利用空間直角坐標系，將線線角轉化成兩向量所成角來求解，設，從而得到，再利用的取值范圍即可求出結果，從而判斷出選項的正誤；對于選項D，根據(jù)條件，確定點的運動軌跡，取中點點，從而得到為與平面所成的角，進而可求出的最大值和最小值.【詳解】選項A，當且時，為的中點，取中點，中點，連，因為三棱柱為正三棱柱，所以，建立如圖1所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，又，所以，所以，所以選項A正確．選項B，當時，為的上的動點，因為，又易知，到平面的距離為，所以，所以選項B正確．選項C，當時，為線段的上的動點，設，，又，，，，所以，又，由，又因為，當時，當時，所以，所以直線與所成角的范圍為，所以選項C不正確．選項D，當時，則為的上的動點，如圖2，取中點點，，又三棱柱為正三棱柱，所以平面，則為與平面所成的角，在中，為定值，又,所以與平面所成的最大角為，此時，最小角為，此時．所以選項D正確．

故選：ABD.【點睛】關鍵點晴：本題關鍵在于利用平面向量基本定理和向量的幾何運算確定各個選項中點的位置，再利用向量法或幾何法來處理.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的相應位置．13.已知空間直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為，，則邊上中線的長度為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量中點坐標以及兩點間距離公式計算即可；【詳解】設的中點為，因為，，所以，則,故答案為：.14.有3臺車床加工同一型號的零件，第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，，而第1，2，3臺車床的次品率分別為，，．現(xiàn)從加工出來的零件中隨機抽出一個零件，則取到的零件是次品的概率為____________．【答案】【解析】【分析】設“任取一個零件為次品”，“零件為第臺車床加工”，利用全概率的公式求解．【詳解】設“任取一個零件為次品”，“零件為第臺車床加工”，則，兩兩互斥．根據(jù)題意得：，，由全概率公式，得．故答案為：.15.如圖，60°的二面角的棱上有、兩點，射線、分別在兩個半平面內，且都垂直于棱．若，，．則的長度為___________．【答案】2【解析】【分析】由，得即可計算答案．【詳解】，，，．，，故答案為：216.設函數(shù)，若，恒成立，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】當時，符合題意；當，構造函數(shù)，可得，再構造，利用，可得答案.【詳解】當時，若，則，恒成立，符合題意；當，，所以，構造函數(shù)，，時，，所以在上單調遞增，因為，所以，則時，，所以，，令，所以在上遞增，上遞減，所以，所以，又，所以，綜上可得，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵有兩點：(1)分類討論思想的應用；(2)兩次構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值，并加以應用.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)在處有極值．(1)求的解析式；(2)求在上的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值為，最小值為1【解析】【分析】(1)求導，根據(jù)極值點以及極值即可聯(lián)立方程求解，利用導數(shù)驗證即可.(2)列表得函數(shù)的單調性以及端點處和極值點處的函數(shù)值，即可求解最值.【小問1詳解】，，即，解得，當，，當或單調遞增，當單調遞減，所以取極大值，符合題意，所以，.【小問2詳解】由，得，令，則，，由于和都在區(qū)間內，所以可列表如下：遞增遞減遞增所以在上的最大值為，最小值為1.18.已知一個盒子中有除顏色外其余完全相同的5個球，其中2個紅球，3個白球現(xiàn)從盒子中不放回地隨機摸取3次，每次摸取1個球．(1)求第二次摸出的球是紅球的概率；(2)求取得紅球數(shù)的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為【解析】【分析】(1)解法一，利用全概率公式即可求解；解法二，利用古典概型概率公式結合排列數(shù)即可求解；(2)由題意可得，根據(jù)超幾何分布的分布列即可求解分布列及期望.【小問1詳解】解法一：設表示第1次摸到紅球，設表示第2次摸到紅球，，所以第二次摸出的球是紅球的概率是．解法二：設事件表示第二次摸出的球是紅球，，即，所以第二次摸出的球是紅球的概率是．【小問2詳解】從5個球中摸取3個球，用表示抽到的紅球數(shù)，則，所以，，，所以分布列：012所以取得紅球數(shù)的期望為．19.銀耳作為我國傳統(tǒng)的食用菌，有“菌中之冠”的美稱，歷來深受廣大人民所喜愛漢代《神農本草經》記載：銀耳有“清肺熱、濟腎燥、強心神、益氣血”之功效．寧德市山川秀美，氣候宜人，非常適合銀耳的種植栽培，其銀耳產量占全球產量的90%以上．(1)經查資料，得到近4年寧德市銀耳產量(單位：萬噸)如下表：年度2019202020212022年度代碼1234銀耳產量34.9036.2037.2038.5請利用所給數(shù)據(jù)求銀耳產量與年度代碼之間的回歸直線方程，并估計2023年銀耳產量．(2)寧德市某銀耳開發(fā)研究公司積極響應國家倡導的科技創(chuàng)新，研發(fā)了一款提高銀產量的輔料——“多保靈”．該公司科研小組為了研究這款產品是否有利于提高銀耳產量，從同一其他條件下種植的2000筒銀耳中隨機抽取了100袋，對是否使用“多保靈”和銀耳每筒的產量進行統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：是否使用“多保靈”每筒產量克每筒產量克總計未使用2545有按規(guī)定比例量使用10總計7030100①完善填寫上面的列聯(lián)表．②問：是否有99%的把握認為銀耳每筒產量與是否有按規(guī)定比例量使用“多保靈”有關？參考公式：(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，參考數(shù)據(jù)：，，2.7063.8415.0246.6357.87910.8280.100.050.0250.0100.0050.001【答案】(1)，39.65萬噸(2)①列聯(lián)表見解析；②有的把握認為銀耳產量與是否有按規(guī)定比例使用“多寶靈”有關【解析】【分析】(1)先求出線性回歸方程，再令進行預測；(2)先填寫列聯(lián)表，再計算判斷.【小問1詳解】由表中的數(shù)據(jù)可知，，，，，所以，故，所以，所求的回歸直線方程為，令，則，故預測2023年銀耳產量為39.65萬噸．【小問2詳解】①列聯(lián)表如下：是否使用“多寶靈”每筒產量克每筒產量克總計未使用252045有按規(guī)定比例使用451055總計7030100②又因，而且查表可得，由于，所以有的把握認為銀耳產量與是否有按規(guī)定比例使用“多寶靈”有關．20.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，．(1)證明：平面平面；(2)已知，在線段上是否存在一點，使得二面角的平面角為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存；【解析】【分析】(1)根據(jù)勾股定理證明線線垂直，結合線面垂直得線線垂直，即可由線面垂直的判斷定理證明線面垂直，進而可證面面垂直.(2)建立空間之間坐標系，利用向量的夾角求解二面角，即可.或者利用幾何法找到二面角的平面角，即可利用三角形的邊角關系求解.【小問1詳解】底面是平行四邊形，則，∵，∴，∴∵平面，平面，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面【小問2詳解】以為坐標原點，以、、的方向分別為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，則平面的一個法向量為，所以，，設平面的一個法向量為，則，取，則，，∴，∴，所以解法二：連接，由(1)知，，，平面，平面,所以平面，由平面,所以，所以為二面角的平面角，所以，在中，因為，所以，所以為等邊三角形，所以為中點，所以21.在一個系統(tǒng)中，每一個設備能正常工作的概率稱為設備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經常使用“備用冗余設備”(即正在使用的設備出故障時才啟動的設備)．已知某計算機網絡服務器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”(即一臺正常設備，兩臺備用設備)的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網絡就不會斷掉．系統(tǒng)就能正常工作．設三臺設備的可靠度均為，它們之間相互不影響．(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，求的最小值；(2)當時，求能使系統(tǒng)正常工作的設備數(shù)的分布列；(3)已知某高科技產業(yè)園當前的計算機網絡中每臺設備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經驗可知，計算機網絡斷掉可給該產業(yè)園帶來約50萬的經濟損失．為減少對該產業(yè)園帶來的經濟損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設備的硬件，使得每臺設備的可靠度維持在0.8，更換設備硬件總費用為0.8萬元；方案2：花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設備，達到“一用三備”．請從經濟損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策？并說明理由．【答案】(1)0.8(2)答案見解析(3)決策部門應選擇方案2，理由見解析【解析】【分析】(1)先用表示出，結合題意即可求出的最小值；(2)由題意可知，滿足二項分布，故易得能正常工作的設備數(shù)的分布列；(3)分別計算兩種方案的損失期望值，即可做出決策.【小問1詳解】要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，設能正常工作的設備數(shù)為，則，解得，故的最小值為0.8．【小問2詳解】設為正常工作的設備數(shù)，由題意可知，，，，，，從而的分布列為：01230.0270.1