第03講 平行線的性質(zhì)（原卷版）

第03講平行線的性質(zhì)1.4【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握平行線的性質(zhì)，并能依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理；2．了解平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系，理解兩條平行線的距離的概念；【基礎(chǔ)知識(shí)】一、平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；簡稱：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角角相等；簡稱：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；簡稱：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).要點(diǎn)：（1）“同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等”、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”都是平行線的性質(zhì)的一部分內(nèi)容，切不可忽視前提“兩直線平行”．(2)從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系，是平行線的性質(zhì)．二、兩條平行線的距離同時(shí)垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做這兩條平行線的距離．要點(diǎn)：（1）求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點(diǎn)，向另一條直線作垂線，垂線段的長度就是兩條平行線的距離．(2)兩條平行線的位置確定后，它們的距離就是個(gè)定值，不隨垂線段的位置的改變而改變，即平行線間的距離處處相等．【考點(diǎn)剖析】例1．如圖，已知AB∥CD，∠1=56°，則∠2的度數(shù)是（

）A．34° B．56° C．65° D．124°例2．如圖，點(diǎn)A、D在射線AE上，直線ABCD，∠CDE=140°，那么∠A的度數(shù)為（

）A．140° B．60° C．50° D．40°例3．如圖，已知ABCD，∠1＝120°，則∠A的度數(shù)為（）A．120° B．110° C．60° D．70°例4．如圖，則下面結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．例5．如圖，點(diǎn)D在BA的延長線上，AE是∠DAC的平分線且，若，則∠C的大小為（

）A．30° B．60° C．80° D．120°例6．如圖，，點(diǎn)在直線上，且，，那么（

）A． B． C． D．例7．與是內(nèi)錯(cuò)角，，則（

）A．40 B．140C．40或140 D．的大小不確定例8．將一副三角板（）按如圖所示方式擺放，使得，則等于（）A． B． C． D．例9．如圖，OC是∠AOB的角平分線，l//OB，若∠1=52°，則∠2的度數(shù)為（

）A．52° B．54° C．64° D．69°例10．如圖所示，已知，，，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．例11．如圖，直線AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EG平分∠BEF，交CD于點(diǎn)G，若∠1＝65°，則∠2的度數(shù)是（）A．122.5° B．123° C．123.5° D．124°例12．如圖，直線a∥b∥c，直角三角板的直角頂點(diǎn)落在直線b上，若∠1＝36°，則∠2等于()A．36°B．44°C．54°D．64°例13．如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角（

）A．相等 B．互補(bǔ) C．相等或互補(bǔ) D．以上結(jié)論都不對(duì)例14．如圖，若，，則：①；②；③平分；④；⑤，其中正確的結(jié)論是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例15．如圖，中，是的平分線，，則圖中能用字母表示的相等的角的對(duì)數(shù)有（

）A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)例16．將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4），其中正確的個(gè)數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．4例17．如圖，直線AB∥CD，EF分別交AB、CD于G、F兩點(diǎn)，射線FM平分∠EFD，將射線FM平移，使得端點(diǎn)F與點(diǎn)G重合且得到射線GN．若∠EFC=110°，則∠AGN的度數(shù)是（）A．120° B．125° C．135° D．145°例18．已知，如圖，，則、、之間的關(guān)系為（）A． B．C． D．例19．如圖，，則下列等式中正確的是（

）A． B．C． D．例20．如圖，DH//EG//BC，DC//EF，那么與∠EFB相等的角（不包括∠EFB）的個(gè)數(shù)為（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)例21．如圖，，A、B為直線上兩點(diǎn)，C、D為直線上兩點(diǎn)，則與的面積大小關(guān)系是（

）A．B．C．D．不能確定例22．如圖，∠AOB的邊OA為平面反光鏡，一束光線從OB上的C點(diǎn)射出，經(jīng)OA上的D點(diǎn)反射后，反射光線DE恰好與OB平行，若∠AOB＝40°，則∠BCD的度數(shù)是(

)A．60° B．80° C．100° D．120°例23．一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉(zhuǎn)彎后，前進(jìn)的方向仍與原來相同，那么這兩次轉(zhuǎn)彎的角度可以是（

）A．先右轉(zhuǎn)60°，再左轉(zhuǎn)120° B．先左轉(zhuǎn)120°，再右轉(zhuǎn)120°C．先左轉(zhuǎn)60°，再左轉(zhuǎn)120° D．先右轉(zhuǎn)60°，再右轉(zhuǎn)60°例24．如圖，則與的數(shù)量關(guān)系是(

)A． B．C． D．例25．如圖，在三角形中，點(diǎn)D、E分別在上，連接，且，，若，則的度數(shù)為______________．例26．如圖，的平分線交于點(diǎn)F，交的延長線于點(diǎn)E，．求證：．請(qǐng)將下面的證明過程補(bǔ)充完整：證明：∵，∴①____________，（理由：②____________）∵平分，∴③____________．（理由：④____________）∴．（理由：⑤____________）∵，∴⑥____________．（理由：⑦_(dá)___________）∴．∴．例27．如圖，點(diǎn)E、F分別是上的點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)G、H，若，，求證：．例28．如圖，點(diǎn)D，E，G分別在，，上，連接，點(diǎn)F在上，連接，，已知．(1)試判斷與的關(guān)系，并說明理由；(2)若，求的度數(shù)．【真題演練】一、單選題1．（2022·西藏·中考真題）如圖，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，則∠3的度數(shù)為（）A．46° B．90° C．96° D．134°2．（2022·陜西·中考真題）如圖，．若，則的大小為（

）A． B． C． D．3．（2022·湖北襄陽·中考真題）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如圖方式放置，點(diǎn)A，B分別落在直線m，n上．若∠1＝70°．則∠2的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．60° D．70°4．（2022·四川達(dá)州·中考真題）如圖，，直線分別交，于點(diǎn)M，N，將一個(gè)含有45°角的直角三角尺按如圖所示的方式擺放，若，則等于（

）A．15° B．25° C．35° D．45°5．（2020·江蘇南通·中考真題）如圖，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，則∠C的度數(shù)是（）A．36° B．34° C．32° D．30°二、填空題6．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，直線l1，l2，l3被直線l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126°32'，則∠2的度數(shù)是___________．7．（2014·福建南平·中考真題）將直尺和三角板按如圖的樣子疊放在一起，則∠1+∠2的度數(shù)是（）A．45°B．60°C．90°D．180°8．（2011·山東日照·中考真題）兩個(gè)角的兩邊分別平行，其中一個(gè)角是60°，則另一個(gè)角是_____度.三、解答題9．（2022·湖北武漢·中考真題）如圖，在四邊形中，，．(1)求的度數(shù)；(2)平分交于點(diǎn)，．求證：．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．如圖，直線a、b被直線c所截，，若，則等于（

）A．120 B．130 C．140 D．1502．下列圖形中，由，能得到的是（

）A．B．C．D．3．如圖，直線a、b被直線c、d所截，若，，，則的度數(shù)是（

）A．105° B．115° C．125° D．135°4．如圖，，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，EG平分∠BEF，交CD于點(diǎn)G，若，則∠EGF的度數(shù)是（

）A．55° B．50° C．45° D．40°5．如圖，，，，則等于（

）A． B． C． D．6．如圖，∠ACB=90°，直線lmn，BC與直線n所夾角為25°，則∠a等于（

）A．25° B．55° C．65° D．78°7．如圖，，平分，交于點(diǎn)D．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．如圖，小明在筆記本的橫格線中畫了兩條線段、，點(diǎn)、、、都在格線上，是上一點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（

）A．32° B．34° C．36° D．38°9．如圖，直線ABCD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)O、點(diǎn)F在AB上，∠EOF的角平分線OG交CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥OE于點(diǎn)H，已知∠OGD＝148°，則∠OFH的度數(shù)為（

）A．26° B．30° C．32° D．36°10．如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，P在直線AB上（P在E的右側(cè)），點(diǎn)G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動(dòng)點(diǎn)，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在直線AB，CD之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題11．如圖，直線，，則的度數(shù)是______．12．如圖、已知，，則的度數(shù)為___________．13．如圖，直線ab，三角板的直角頂點(diǎn)放在直線b上，若∠1＝40°，則∠2＝_______°．14．如圖，AD是△ABC的角平分線，DEAC，DE交AB于點(diǎn)E，DFAB，DF交AC于點(diǎn)F，圖中∠1與∠2的關(guān)系是_________．15．如圖，∠A＝70°，O是AB上一點(diǎn)，直線OD與AB所夾角∠BOD＝83°，要使，直線OD繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向至少旋轉(zhuǎn)________度．16．如圖，于點(diǎn)C，交于點(diǎn)B，若，則的度數(shù)是_______度．17．如圖所示，已知，∶∶∶∶，則______．18．如圖，已知，∠ABG為銳角，AH∥BG，點(diǎn)C從點(diǎn)B（C不與B重合）出發(fā)，沿射線BG的方向移動(dòng)，CD∥AB交直線AH于點(diǎn)D，CE⊥CD交AB于點(diǎn)E，CF⊥AD，垂足為F（F不與A重合），若∠ECF＝n°，則∠BAF的度數(shù)為_____度．（用n來表示）三、解答題19．完成下面的證明：已知：如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是三角形的邊，，上的點(diǎn)，且DE∥BA，DF∥CA．求證：．證明：∵DE∥BA∴_______=_______（

）∵DF∥CA∴_______=________（

）∴20．如圖，直線MN與直線AB、CD相交于點(diǎn)E、F，已知，．求∠2的度數(shù)．21．已知：如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是三角形ABC的邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，DF∥CA，∠FDE＝∠A；(1)求證：DE∥BA．(2)若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度數(shù)．22．如圖，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求證：∠E=∠F．證明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知），∴______∥______（______），∴∠BAP＝______（______），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠FPA＝______．∴______∥______（______），∴∠E＝∠F（______）．23．如圖，點(diǎn)E、F分別是上的點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)G、H，若，，求證：．24．如圖，在中，，．(1)求證：；(2)若