19.2.2 第2課時 菱形的判定定理2 華東師大版八年級數(shù)學(xué)下冊學(xué)案

第2課時菱形的判定定理2學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．理解并掌握菱形的判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．2．學(xué)會用菱形的判定與性質(zhì)相結(jié)合解決相關(guān)的計算與證明．自主學(xué)習(xí)一、知識鏈接1．菱形有哪些特殊性質(zhì)？2．我們已學(xué)過菱形的哪些判定方法？內(nèi)容是什么？二、新知預(yù)習(xí)1．類比矩形、菱形的判定定理1，試問：菱形的對角線互相垂直的逆命題是．這個命題是假命題，如圖所示．那么，添加一個什么條件能使其成為真命題呢？(第1題圖)(第2題圖)2．猜想：“如果一個平行四邊形的兩條對角線互相垂直，那么這個平行四邊形是菱形．”動手操作：按教材P116“探索”中的過程進(jìn)行．當(dāng)對角線垂直的時候，會得到什么圖形？3．用尺規(guī)作圖作菱形的方法：見教材P116“試一試”．4．菱形的性質(zhì)定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．合作探究一、探究過程探究點1：菱形的判定定理2問題1：如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD互相垂直．求證：四邊形ABCD是菱形．【要點歸納】菱形的判定定理：對角線互相_______的____________是菱形.幾何語言描述：若在□ABCD中，AC⊥BD,則□ABCD是菱形.例1已知：如圖，□ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別交于E，F(xiàn).求證：四邊形AFCE是菱形．探究點2：菱形的判定與性質(zhì)的綜合運用例2如圖，在￡ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點，且DE=BF，AC⊥EF．

（1）求證：四邊形AECF是菱形．

（2）若AB=6，BC=10，F(xiàn)為BC中點，求四邊形AECF的面積．

【針對訓(xùn)練】1.如圖,在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線交BC于點E，連結(jié)EF．（1）求證：四邊形ABEF為菱形；（2）AE，BF相交于點O，若BF=6，AB=5，求AE的長．二、課堂小結(jié)菱形的判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形菱形的判定與性質(zhì)的綜合運用判定及性質(zhì)進(jìn)行計算和證明當(dāng)堂檢測1.判斷題，對的畫“√”錯的畫“×”：(1)對角線互相垂直的四邊形是菱形；（）(2)對角線相等的四邊形是菱形；（）(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（）(4)對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；（）(5)對角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的四邊形是菱形（）2.如果四邊形ABCD已經(jīng)是平行四邊形,則添加條件：，平行四邊形變?yōu)榱庑?3.有一邊長為13cm的平行四邊形的兩條對角線的長分別為10cm和24cm，那么平行四邊形的面積是_______________.4.如圖，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點E，F(xiàn)．(1)證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；(2)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能，請說明理由；如果能，畫出圖形并寫出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．參考答案自主學(xué)習(xí)一、知識鏈接1.解：菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直．2.解：定義法和判定定理1.定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；判定定理1：四條邊都相等的四邊形是菱形．二、新知預(yù)習(xí)解：1.對角線互相垂直的四邊形是菱形添加一個平行四邊形的條件，即對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.2.得到的圖形是菱形.合作探究一、探究過程探究點1：問題1：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD．∵AC⊥BD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形．【要點歸納】垂直平行四邊形【典例精析】例1證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥FC.∴∠1＝∠2.又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，∴△AOE≌△COF(ASA).∴AE＝CF.∴四邊形AFCE是平行四邊形．又∵EF⊥AC，∴￡AFCE是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)．探究點2：例2證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC，且AD∥BC，DE=BF，

∴AE=CF，且AE∥CF.∴四邊形AECF為平行四邊形.∵AC⊥EF，∴四邊形AECF為菱形.

（2）∵F為BC中點，∴BF=BC=AD.又∵DE=BF，∴DE=AD，AE=DE=BF.∵AE∥BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形.∴EF=AB=6.∴∠BAC=∠AOE=90°.在Rt△ABC中，AC=，∴S菱形AECF=AC×EF=×8×6=24.【針對訓(xùn)練】1.（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.∵AF=AB，∴AF=BE.又∵AF∥BE，∴四邊形ABEF為平行四邊形.∵AF=AB，∴四邊形ABEF為菱形.(2)解：∵四邊形ABEF為菱形，∴AE⊥BF.BO=OF=3.在Rt△AOB中，AO=，∴AE=2AO=8.當(dāng)堂檢測（1）×（2）×（3）√（4）√（5）×對角線互相垂直或有一組鄰邊相等3.120cm24.（1）證明：當(dāng)∠AOF=90°時，∵∠BAO=∠AOF=90°，∴AB∥EF.又∵AF∥BE，∴四邊形ABEF為平行四邊形．

（2）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，在△AOF和△COE中,∴△AOF≌△COE（ASA）．∴AF=EC．

（3）解：四邊形BEDF可以是菱形．理由：如圖，連結(jié)BF，DE.由（2）知△AOF≌△COE，得OE