安徽省安慶市賽口中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

安徽省安慶市賽口中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+x﹣a（a∈R），若存在b∈[1，e]，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），使得f（f（b））=b，則實數(shù)a的取值范圍是(

) A．[﹣，1﹣] B．[1﹣，ln2﹣1] C．[﹣，ln2﹣1] D．[﹣，0]參考答案：C考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：利用反函數(shù)將問題進行轉(zhuǎn)化，再將解方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點問題．解答： 解解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b），其中f﹣1（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)因此命題“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，轉(zhuǎn)化為“存在b∈[1，e]，使f（b）=f﹣1（b）”，即y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f﹣1（x）的圖象有交點，且交點的橫坐標b∈[1，e]，∵y=f（x）的圖象與y=f﹣1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，∴y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f﹣1（x）的圖象的交點必定在直線y=x上，由此可得，y=f（x）的圖象與直線y=x有交點，且交點橫坐標b∈[1，e]，令：lnx+x﹣a=x，則方程在[1，e]上一定有解∴a=lnx﹣x，設(shè)g（x）=lnx﹣x則g′（x）=﹣=，當g′（x）=0．解得x=2，∴函數(shù)g（x）=在[1，2]為增函數(shù)，在[2，e]上為減函數(shù)，∴g（x）≤g（2）=ln2﹣1，g（1）=﹣，g（e）=1﹣e，故實數(shù)a的取值范圍是[﹣，ln2﹣1]故選：C點評：本題給出含有根號與指數(shù)式的基本初等函數(shù)，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情況下，求參數(shù)a的取值范圍．著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點存在性定理和互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象特征等知識，屬于中檔題2.已知集合A={x|＞0}，B={x|lg（x+9）＜1}，則A∩B=（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，1） C．{0} D．{﹣1，0，1}參考答案：A【考點】交集及其運算．【分析】解不等式求得集合A，求函數(shù)定義域得集合B，根據(jù)交集的定義寫出A∩B．【解答】解：集合A={x|＞0}={x|（1﹣x）（1+x）＞0}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|lg（x+9）＜1}={x|0＜x+9＜10}={x|﹣9＜x＜1}，則A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）．故選：A．3.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a﹣（a∈R）是純虛數(shù)，則a的值為（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3參考答案：D考點：復(fù)數(shù)的基本概念．專題：計算題．分析：利用復(fù)數(shù)的運算法則把a﹣（a∈R）可以化為（a﹣3）﹣i，再利用純虛數(shù)的定義即可得到a．解答：解：∵=（a﹣3）﹣i是純虛數(shù)，∴a﹣3=0，解得a=3．故選D．點評：熟練掌握復(fù)數(shù)的運算法則和純虛數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4.已知數(shù)列{}的前n項和為，且,

則等于

（

）A．4

B．2

C．1

D．

參考答案：A因為，所以，解得，所以，即，選A.5.如圖所示的程序框圖，若輸入的n是100，則輸出的變量S和T的值依次是 (

)A．2500,2500

B．2550,2550

C．2500,2550

D．2550,2500參考答案：D6.設(shè)為不同的平面，為不同的直線，則的一個充分條件為（

）．A、，，

B、，，C、，，

D、，，參考答案：D7.某校做了一次關(guān)于“感恩父母”的問卷調(diào)查，從8~10歲，11~12歲，13~14歲，15~16歲四個年齡段回收的問卷依次為：120份，180份，240份，份。因調(diào)查需要，從回收的問卷中按年齡段分層抽取容量為300的樣本，其中在11~12歲學(xué)生問卷中抽取60份，則在15~16歲學(xué)生中抽取的問卷份數(shù)為（

）A．60

B．80

C．120

D．180參考答案：C略8.參考答案：C9.設(shè)函數(shù)f（x）為定義域為R的奇函數(shù)，且f（x）=f（2﹣x），當x∈時，f（x）=sinx，則函數(shù)g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在區(qū)間上的所有零點的和為（）A．6 B．7 C．13 D．14參考答案：A【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)零點的判定定理．【分析】確定函數(shù)的周期為4，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在區(qū)間上的零點，即方程|cos（πx）|=f（x）的零點，利用圖象可得結(jié)論．【解答】解：由題意，函數(shù)f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（2﹣x），則﹣f（﹣x）=f（2﹣x），可得f（x+4）=f（x），即函數(shù)的周期為4，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在區(qū)間上的零點，即方程|cos（πx）|=f（x）的零點，畫y=|cos（πx）|函數(shù)圖象，∵兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于直線x=1對稱，∴方程|cos（πx）|=f（x）的零點關(guān)于直線x=1對稱，由圖象可知交點個數(shù)為6個，可得所有零點的和為6，故選A．【點評】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．10.命題“對任意的”的否定是A.不存在B.存在C.存在D.對任意的參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲線左、右焦點分別為，過點作與軸垂直的直線與雙曲線一個交點為，且，則雙曲線的漸近線方程為_______；參考答案：12.已知拋物線經(jīng)過圓的圓心，則拋物線的準線與圓相交所得的弦長為

．參考答案：【知識點】圓的標準方程拋物線的幾何性質(zhì)H3

H7圓的標準方程為，圓心坐標，代入拋物線方程可得，所以其準線方程為，圓心到直線的距離，所以拋物線的準線與圓相交所得的弦長為：.故答案為.【思路點撥】將圓的方程化為標準方程可得圓心，代入拋物線方程可得，即其準線為，根據(jù)圓的弦長公式可求得弦長.13.已知向量，，，則實數(shù)

．參考答案：解析：由，則，所以，又由，所以，解得，故答案為.14.若實數(shù)x，y滿足，則z＝的最小值為______________.參考答案：略15.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為,已知,，，則△ABC的面積為

.參考答案：16.已知銳角△ABC的面積為3，BC=4，CA=3，則角C的大小為

．參考答案：60°【考點】正弦定理．【分析】根據(jù)三角形的面積公式S=absinC，由銳角△ABC的面積為3，BC=4，CA=3，代入面積公式即可求出sinC的值，然后根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的大小．【解答】解：由題知，×4×3×sinC=3，∴sinC=．又∵0＜C＜90°，∴C=60°．故答案為60°．17.已知點P，A，B，C，D是球O表面上的點，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2正方形。若PA=2,則球O的表面積為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，（I）若x∈[0，2]，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)y=f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點的坐標為P，第一個最低點的坐標為Q，坐標原點為O，求∠POQ的余弦值．參考答案：【考點】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】（I）利用數(shù)量積運算性質(zhì)、和差公式可得，再利用單調(diào)性即可得出．（II）由題意得P，Q．根據(jù)距離公式及其余弦定理即可得出．【解答】解：（I），，解得，∵x∈[0，2]時，或，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（II）由題意得P，Q．根據(jù)距離公式，，，根據(jù)余弦定理，19.（2016秋?安慶期末）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）﹣m．若函數(shù)g（x）有兩個零點x1，x2（x1＜x2），證明：x1+x2＞1．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出x1，x2，令t=，得到0＜t＜1，構(gòu)造函數(shù)h（t）=t﹣﹣2lnt（0＜t＜1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（t）＜h（1），從而證出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增；（Ⅱ）因為x1，x2是函數(shù)g（x）=lnx+﹣m的兩個零點，所以lnx1+﹣m=0，lnx2+﹣m=0．兩式相減，可得ln=﹣，即ln=，故x1x2=，那么x1=，x2=．令t=，其中0＜t＜1，則x1+x2=+=．構(gòu)造函數(shù)h（t）=t﹣﹣2lnt（0＜t＜1），則h′（t）=．因為0＜t＜1，所以h'（t）＞0恒成立，故h（t）＜h（1），即t﹣﹣2lnt＜0，可知＞1，故x1+x2＞1．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，函數(shù)的構(gòu)造、換元思想，是一道中檔題．20.已知a、b為正實數(shù)，函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）若函數(shù)f(x)的最大值為1，求的最小值.參考答案：（1）（2）【分析】（1）利用絕對值不等式公式進行求解；（2）由（1）得，再根據(jù)基本不等式可得的最小值.【詳解】解：（1）因為，所以函數(shù)的最大值為.（2）由（1）可知，，因為，所以，所以，即，且當時取“”，所以的最小值為.【點睛】本題考查了基本不等式、絕對值不等式等知識，運用基本不等式時，要注意題意是否滿足“一正、二定、三相等”的條件，熟練運用絕對值不等式也是解決本題的關(guān)鍵.21.在如右圖的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，∥，，，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．參考答案：解：(（1）證明1：因為，在△中，由余弦定理可得．…………………2分所以．所以．………3分因為，，、平面，所以平面．………5分證明2：因為，設(shè)，則．在△中，由正弦定理，得．……1分因為，所以．整理得，所以．……2分所以．…………………3分因為，，、平面，所以平面．…………5分

（2）解法1：由（1）知，平面，平面，所以．因為平面為正方形，所以．因為，所以平面．……………7分取的中點，連結(jié)，，因為是等腰梯形，且，，所以．所以△是等邊三角形，且．取的中點，連結(jié)，，則．因為平面，，所以．因為，所以平面．所以為直線與平面所成角．…10分

因為平面，所以．