數(shù)值分析、計(jì)算方法試題庫(kù)及答案

x~x學(xué)年第1學(xué)期《計(jì)算方法》課程考試試卷（A）開(kāi)課二級(jí)學(xué)院：理學(xué)院，考試時(shí)間：x年__月_日時(shí)考試形式：閉卷√□、開(kāi)卷□，允許帶計(jì)算器入場(chǎng)裝訂線考生姓名：學(xué)號(hào)：專業(yè)：裝訂線題序一二三四五六七總分得分評(píng)卷人一、填空（每個(gè)空3分，共27分）1，設(shè)，則有__________位有效數(shù)字2，是經(jīng)四舍五入得到的近似值，則其相對(duì)誤差___________3，設(shè)，則___________，___________4，設(shè),則由梯形公式計(jì)算的近似值T和定積分的值的大小關(guān)系為_(kāi)__________5,設(shè)，___________6,對(duì)點(diǎn)擬建立模型，則滿足的正規(guī)方程組為_(kāi)_____________________7，若滿足的正規(guī)方程組為：則之間的關(guān)系式為_(kāi)_____________________8，對(duì)冪法迭代公式當(dāng)充分大時(shí)有常數(shù)使，則的按模最大的特征值________寂涯網(wǎng)絡(luò)xx~~~xx學(xué)年第1學(xué)期《計(jì)算方法》課程試卷A第1頁(yè)共4頁(yè)二、設(shè)，求使,；又設(shè)，則估計(jì)余項(xiàng)的大小。（15分）三、設(shè)，，（1）計(jì)算，（2）估計(jì)截?cái)嗾`差的大?。?2分）寂涯網(wǎng)絡(luò)xx~~~xx學(xué)年第1學(xué)期《計(jì)算方法》課程試卷A第2頁(yè)共4頁(yè)四、設(shè)方程在[]內(nèi)有實(shí)根，試寫(xiě)出迭代公式使，并說(shuō)明迭代公式的收斂性。（10分）裝裝訂線五、設(shè)有線性方程組，其中（1）求分解;(2)求方程組的解(3)判斷矩陣的正定性（14分）寂涯網(wǎng)絡(luò)xx~~~xx學(xué)年第1學(xué)期《計(jì)算方法》課程試卷A第3頁(yè)共4頁(yè)六、設(shè)有線性方程組，其中，試討論Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性。（14分）七、設(shè)是階實(shí)對(duì)稱正定矩陣，經(jīng)過(guò)一次高斯消元計(jì)算變?yōu)?，其中為行向量，是零列向量，試證明是對(duì)稱正定矩陣（8分）xx~xx學(xué)年第1學(xué)期《計(jì)算方法》課程考試試卷（B）開(kāi)課二級(jí)學(xué)院：理學(xué)院，考試時(shí)間：xx年_12__月_31_日時(shí)考試形式：閉卷√□、開(kāi)卷□，允許帶計(jì)算器入場(chǎng)裝訂線考生姓名：學(xué)號(hào)：專業(yè)：裝訂線題序一二三四五六七八總分得分評(píng)卷人一、填空（每空3分，共27分）1，牛頓—柯特斯求積公式的系數(shù)______________________2,設(shè)的相對(duì)誤差為，則的相對(duì)誤差為_(kāi)__________3,設(shè)是經(jīng)四舍五入得到的近似值，則___________4,設(shè)，則___________，___________5，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬建立模型，則滿足的正規(guī)方程組為_(kāi)_____________________________6,若滿足的正規(guī)方程組為：則之間的關(guān)系式為_(kāi)_____________________7，若是的按模最大的特征值，則的按模最小的特征值為_(kāi)__________8，對(duì)冪法迭代公式當(dāng)充分大時(shí)有常數(shù)使六、設(shè)方程在[]內(nèi)有實(shí)根，試寫(xiě)出迭代公式使。（10分）七、設(shè)是非奇異矩陣，矩陣序列滿足，若，證明：（8分）xx~xx學(xué)年第1學(xué)期《計(jì)算方法》課程試卷（A）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)開(kāi)課二級(jí)學(xué)院：理學(xué)院，學(xué)生班級(jí)：07數(shù)學(xué),07信算1,2教師：何滿喜一、填空（共27分，每空3分）1，32，3，1164，5，6，7，8，二（共15分）、由公式得三（共12分）、根據(jù)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)該用復(fù)化simpson公式計(jì)算由公式得=若用其它公式計(jì)算正確，且誤差比以上的誤差大時(shí)只給過(guò)程分?jǐn)?shù)8分，扣除方法分?jǐn)?shù)4分。四、（10分）把方程等價(jià)變?yōu)橐韵路匠蹋骸队?jì)算方法》課程試卷A參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第1頁(yè)共3頁(yè)即迭代公式收斂于方程在區(qū)間內(nèi)根上。五、（14分）因?yàn)椋?）=LU=(2)方程組的解為;（3）由于A==所以矩陣A是對(duì)稱正定的六（14分）、所以，由定理可知簡(jiǎn)單（Jacobi）迭代法收斂。所以，由定理可知Seidel迭代法不收斂。《計(jì)算方法》課程試卷A參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第2頁(yè)共3頁(yè)七（8分）、證：的元素為，因此為對(duì)稱矩陣。記，則對(duì)任意n-1維非零向量，作，記，則，而，從而為正定矩陣。《計(jì)算方法》課程試卷A參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第3頁(yè)共3頁(yè)課程編號(hào)：12000044北京理工大學(xué)2010-2011學(xué)年第一學(xué)期xx級(jí)計(jì)算機(jī)學(xué)院《數(shù)值分析》期末試卷A卷班級(jí)學(xué)號(hào)姓名成績(jī)注意：①答題方式為閉卷。②可以使用計(jì)算器。請(qǐng)將填空題和選擇題的答案直接填在試卷上，計(jì)算題答在答題紙上。填空題（20×2′）設(shè)x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有位有效數(shù)字。設(shè)，‖A‖∞＝_______，‖X‖∞＝_______，‖AX‖∞≤_______(注意：不計(jì)算‖AX‖∞的值)。非線性方程f(x)=0的迭代函數(shù)x=(x)在有解區(qū)間滿足，則使用該迭代函數(shù)的迭代解法一定是局部收斂的。若f(x)=x7－x3＋1，則f[20,21,22,23,24,25,26,27]=，f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]=。區(qū)間[a,b]上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在[a,b]上具有直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)為等距分布時(shí)，若所求節(jié)點(diǎn)靠近首節(jié)點(diǎn)，應(yīng)該選用等距節(jié)點(diǎn)下牛頓差商公式的（填寫(xiě)前插公式、后插公式或中心差分公式），若所求節(jié)點(diǎn)靠近尾節(jié)點(diǎn)，應(yīng)該選用等距節(jié)點(diǎn)下牛頓差商公式的（填寫(xiě)前插公式、后插公式或中心差分公式）；如果要估計(jì)結(jié)果的舍入誤差，應(yīng)該選用插值公式中的。拉格朗日插值公式中f(xi)的系數(shù)ai(x)的特點(diǎn)是：；所以當(dāng)系數(shù)ai(x)滿足，計(jì)算時(shí)不會(huì)放大f(xi)的誤差。要使的近似值的相對(duì)誤差小于0.1%，至少要取位有效數(shù)字。對(duì)任意初始向量X(0)及任意向量g，線性方程組的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件是。由下列數(shù)據(jù)所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)最高是。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.25牛頓下山法的下山條件為。線性方程組的松弛迭代法是通過(guò)逐漸減少殘差ri(i=0,1,…,n)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，其中的殘差ri＝，(i=0,1,…,n)。在非線性方程f(x)=0使用各種切線法迭代求解時(shí)，若在迭代區(qū)間存在唯一解，且f(x)的二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)，則初始點(diǎn)x0的選取依據(jù)為。使用迭代計(jì)算的步驟為建立迭代函數(shù)、、迭代計(jì)算。判斷題(在題目后的()中填上“√”或“×”。)（10×1′）若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。()解非線性方程f(x)=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。()若A為n階方陣，且其元素滿足不等式則解線性方程組AX＝b的高斯——塞德?tīng)柕ㄒ欢ㄊ諗俊?)樣條插值一種分段插值。()如果插值結(jié)點(diǎn)相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項(xiàng)式是等價(jià)的。()從實(shí)際問(wèn)題的精確解到實(shí)際的計(jì)算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差及舍入誤差。()解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX＝b。()迭代解法的舍入誤差估計(jì)要從第一步迭代計(jì)算的舍入誤差開(kāi)始估計(jì),直到最后一步迭代計(jì)算的舍入誤差。()數(shù)值計(jì)算中的總誤差如果只考慮截?cái)嗾`差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截?cái)嗾`差＝舍入誤差。()10、插值計(jì)算中避免外插是為了減少舍入誤差。()計(jì)算題（5×8′+10′）1、用列主元高斯消元法解線性方程組。(計(jì)算時(shí)小數(shù)點(diǎn)后保留5位)。2、用牛頓——埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項(xiàng)式P4(x)，并寫(xiě)出其截?cái)嗾`差的表達(dá)式(設(shè)f(x)在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù))。xi012f(xi)1-13f’(xi)153、對(duì)下面的線性方程組變化為等價(jià)的線性方程組，使之應(yīng)用雅克比迭代法和高斯——賽德?tīng)柕ň諗浚瑢?xiě)出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯——賽德?tīng)柕ǖ牡?，并?jiǎn)單說(shuō)明收斂的理由。4、設(shè)y=sinx，當(dāng)取x0=1.74,x1=1.76,x2=1.78建立拉格朗日插值公式計(jì)算x=1.75的函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值y0,y1,y2應(yīng)取幾位小數(shù)?5、已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)y=f(x)的如下數(shù)據(jù)：xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-8若用插值法計(jì)算，x約為多少時(shí)f(x)=1。(計(jì)算時(shí)小數(shù)點(diǎn)后保留5位)。6、應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求的迭代公式，并用此公式求的值。（計(jì)算時(shí)小數(shù)點(diǎn)后保留4位)。課程編號(hào)：12000044北京理工大學(xué)xx-2010學(xué)年第二學(xué)期xx級(jí)計(jì)算機(jī)學(xué)院《數(shù)值分析》期末試卷A卷班級(jí)學(xué)號(hào)姓名成績(jī)注意：①答題方式為閉卷。②可以使用計(jì)算器。請(qǐng)將填空題和選擇題的答案直接填在試卷上，計(jì)算題答在答題紙上。填空題（20×2′）設(shè)x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有2位有效數(shù)字。設(shè)，‖A‖∞＝___5____，‖X‖∞＝__3_____，‖AX‖∞≤_15___。非線性方程f(x)=0的迭代函數(shù)x=(x)在有解區(qū)間滿足|’(x)|<1，則使用該迭代函數(shù)的迭代解法一定是局部收斂的。若f(x)=x7－x3＋1，則f[20,21,22,23,24,25,26,27]=1，f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]=0。區(qū)間[a,b]上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在[a,b]上具有直到2階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)為等距分布時(shí)，若所求節(jié)點(diǎn)靠近首節(jié)點(diǎn)，應(yīng)該選用等距節(jié)點(diǎn)下牛頓差商公式的前插公式，若所求節(jié)點(diǎn)靠近尾節(jié)點(diǎn)，應(yīng)該選用等距節(jié)點(diǎn)下牛頓差商公式的后插公式；如果要估計(jì)結(jié)果的舍入誤差，應(yīng)該選用插值公式中的拉格朗日插值公式。拉格朗日插值公式中f(xi)的系數(shù)ai(x)的特點(diǎn)是：1；所以當(dāng)系數(shù)ai(x)滿足ai(x)>1，計(jì)算時(shí)不會(huì)放大f(xi)的誤差。要使的近似值的相對(duì)誤差小于0.1%，至少要取4位有效數(shù)字。對(duì)任意初始向量X(0)及任意向量g，線性方程組的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件是(B)<1。由下列數(shù)據(jù)所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)最高是5。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.25牛頓下山法的下山條件為|f(xn+1)|<|f(xn)|。線性方程組的松弛迭代法是通過(guò)逐漸減少殘差ri(i=0,1,…,n)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，其中的殘差ri＝(bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/aii，(i=0,1,…,n)。在非線性方程f(x)=0使用各種切線法迭代求解時(shí)，若在迭代區(qū)間存在唯一解，且f(x)的二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)，則初始點(diǎn)x0的選取依據(jù)為f(x0)f”(x0)>0。使用迭代計(jì)算的步驟為建立迭代函數(shù)、選取初值、迭代計(jì)算。判斷題（10×1′）若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。(×)解非線性方程f(x)=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。()若A為n階方陣，且其元素滿足不等式則解線性方程組AX＝b的高斯——塞德?tīng)柕ㄒ欢ㄊ諗俊?×)樣條插值一種分段插值。()如果插值結(jié)點(diǎn)相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項(xiàng)式是等價(jià)的。()從實(shí)際問(wèn)題的精確解到實(shí)際的計(jì)算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差及舍入誤差。()解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX＝b。(×)迭代解法的舍入誤差估計(jì)要從第一步迭代計(jì)算的舍入誤差開(kāi)始估計(jì),直到最后一步迭代計(jì)算的舍入誤差。(×)數(shù)值計(jì)算中的總誤差如果只考慮截?cái)嗾`差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截?cái)嗾`差＝舍入誤差。()10、插值計(jì)算中避免外插是為了減少舍入誤差。(×)計(jì)算題（5×10′）1、用列主元高斯消元法解線性方程組。解答：（1，5，2）最大元5在第二行，交換第一與第二行：L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4方程化為：（-0.2,2.6）最大元在第三行，交換第二與第三行：L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化為：回代得：2、用牛頓——埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項(xiàng)式P4(x)，并寫(xiě)出其截?cái)嗾`差的表達(dá)式(設(shè)f(x)在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù))。xi012f(xi)1-13f’(xi)15解答：做差商表xiF(xi)F[xi,xi+1]F[xi.xi+1.xi+2]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4]011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、對(duì)下面的線性方程組變化為等價(jià)的線性方程組，使之應(yīng)用雅克比迭代法和高斯——賽德?tīng)柕ň諗?，?xiě)出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯——賽德?tīng)柕ǖ牡?，并?jiǎn)單說(shuō)明收斂的理由。解答：交換第二和第四個(gè)方程，使系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)：雅克比迭代公式：4、設(shè)y=sinx，當(dāng)取x0=1.74,x1=1.76,x2=1.78建立拉格朗日插值公式計(jì)算x=1.75的函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值y0,y1,y2應(yīng)取幾位小數(shù)?5、已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)y=f(x)的如下數(shù)據(jù)：xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-8若用插值法計(jì)算，x約為多少時(shí)f(x)=1。(計(jì)算時(shí)小數(shù)點(diǎn)后保留5位)。6、應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求的迭代公式，并用此公式求的值。（計(jì)算時(shí)小數(shù)點(diǎn)后保留4位)。華南農(nóng)業(yè)大學(xué)期末考試試卷（A卷）2007學(xué)年第二學(xué)期考試科目：數(shù)值分析考試時(shí)間：120分鐘學(xué)號(hào)姓名年級(jí)專業(yè)題號(hào)一二三四總分123456得分評(píng)閱人一、判斷題（每小題2分，共10分）用計(jì)算機(jī)求時(shí)，應(yīng)按照從小到大的順序相加。（）為了減少誤差,應(yīng)將表達(dá)式改寫(xiě)為進(jìn)行計(jì)算。（）用數(shù)值微分公式中求導(dǎo)數(shù)值時(shí)，步長(zhǎng)越小計(jì)算就越精確。（）采用龍格－庫(kù)塔法求解常微分方程的初值問(wèn)題時(shí)，公式階數(shù)越高，數(shù)值解越精確。（）用迭代法解線性方程組時(shí)，迭代能否收斂與初始向量的選擇、系數(shù)矩陣及其演變方式有關(guān)，與常數(shù)項(xiàng)無(wú)關(guān)。（）二、填空題（每空2分，共36分）已知數(shù)a的有效數(shù)為0.01，則它的絕對(duì)誤差限為_(kāi)_______，相對(duì)誤差限為_(kāi)________.設(shè)則_____，______，_____.已知?jiǎng)t,.為使求積公式的代數(shù)精度盡量高，應(yīng)使，，，此時(shí)公式具有次的代數(shù)精度。階方陣A的譜半徑與它的任意一種范數(shù)的關(guān)系是.用迭代法解線性方程組時(shí)，使迭代公式產(chǎn)生的向量序列收斂的充分必要條件是.使用消元法解線性方程組時(shí)，系數(shù)矩陣可以分解為下三角矩陣和上三角矩陣的乘積，即若采用高斯消元法解，其中，則_______________，______________；若使用克勞特消元法解，則____；若使用平方根方法解，則與的大小關(guān)系為_(kāi)____（選填：>，<，=，不一定）。以步長(zhǎng)為1的二階泰勒級(jí)數(shù)法求解初值問(wèn)題的數(shù)值解，其迭代公式為_(kāi)__________________________.三、計(jì)算題（第1～3、6小題每題8分，第4、5小題每題7分，共46分）以為初值用牛頓迭代法求方程在區(qū)間內(nèi)的根，要求證明用牛頓法解此方程是收斂的；給出用牛頓法解此方程的迭代公式，并求出這個(gè)根（只需計(jì)算計(jì)算結(jié)果取到小數(shù)點(diǎn)后4位）。給定線性方程組分別寫(xiě)出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程組的迭代公式；試分析以上兩種迭代方法的斂散性。已知函數(shù)在如下節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值-10121430建立以上數(shù)據(jù)的差分表；根據(jù)后三個(gè)節(jié)點(diǎn)建立二階牛頓后插公式，并計(jì)算的近似值；采用事后估計(jì)法計(jì)算（2）中近似值的截?cái)嗾`差（結(jié)果保留四位小數(shù)）。已知如下數(shù)據(jù)表，試用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多項(xiàng)式。x-1012y1250已知函數(shù)在以下節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，利用差商表求和的近似值。x134y218寫(xiě)出前進(jìn)歐拉公式、后退歐拉公式，并由這兩個(gè)公式構(gòu)造一個(gè)預(yù)估－校正公式求解下列常微分方程的數(shù)值解。四、（8分）已知n+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，請(qǐng)用多種方法建立這些數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的函數(shù)關(guān)系，并說(shuō)明各種函數(shù)的適用條件。華南農(nóng)業(yè)大學(xué)期末考試答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（A卷）2007學(xué)年第二學(xué)期考試科目：數(shù)值分析一、判斷題：（每小題2分，共10分）1.×2.√3.×4.×5.×二、填空題：（每空2分，共36分）1.或，2.3.4.5.6.7.8.或三、解答題（第1～4小題每題8分，第5、6小題每題7分，共46分）（1）證明：，由于即在上不變號(hào)，對(duì)于初值，滿足所以用牛頓迭代法求解此方程是收斂的?！?分（2）解：牛頓迭代法的迭代公式為………2分取初值進(jìn)行迭代，得………1分………1分解：（1）Jacobi迭代公式為……………2分Gauss-Seidel迭代公式為……………2分（2）Jacobi迭代矩陣的特征方程為，展開(kāi)得，即，從而得，（或由單調(diào)性易判斷必有一個(gè)大于1的特征根，）因此迭代矩陣的譜半徑等于必大于1，所以Jacobi迭代法發(fā)散?！?分Gauss-Seidel迭代矩陣的特征方程為，展開(kāi)得，解得迭代矩陣的譜半徑小于1，所以Gauss-Seidel迭代法收斂?！?分解：（1）建立差分表………2分（2）建立牛頓后插公式為則所求近似值為………3分（3）根據(jù)前三個(gè)節(jié)點(diǎn)建立牛頓后插公式為則根據(jù)事后誤差估計(jì)法故截?cái)嗾`差………3分解：設(shè)所求二次最小平方逼近多項(xiàng)式為根據(jù)已知數(shù)據(jù)，得……………2分則……………1分建立法方程組為……………2分解得……………1分從而得所求一次最小平方逼近多項(xiàng)式為……………1分解：設(shè)為已知節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值二次多項(xiàng)式。構(gòu)造如下差商表：一階差商二階差商……………2分因?yàn)槎味囗?xiàng)式的二階差商為常數(shù)，又是的插值函數(shù)，故有……………2分而，因此得，……………1分由于，從而得……………2分解：前進(jìn)歐拉公式：…………1分后退歐拉公式：……1分預(yù)估時(shí)采用歐拉公式……………1分校正時(shí)采用后退歐拉公式……………1分由初值知，節(jié)點(diǎn)分別為當(dāng)，……………1分當(dāng).……………1分當(dāng).……………1分當(dāng).……………1分當(dāng).四、（8分）答：1、可以建立插值函數(shù)：（1）Newton基本差商公式……………1分（2）Lagrange插值多項(xiàng)式其中.……………1分這兩類插值函數(shù)的適用條件是：n不太大；而且要求函數(shù)嚴(yán)格通過(guò)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)。……………2分2、可以建立擬合函數(shù)：……………1分其中系數(shù)滿足法方程組,……………1分?jǐn)M合函數(shù)的適用條件是：n比較大，而且并不要求函數(shù)嚴(yán)格通過(guò)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，或者已知數(shù)據(jù)點(diǎn)本身的誤差較大?！?分?jǐn)?shù)值分析模擬試卷1一、填空（共30分，每空3分）1設(shè)，則A的譜半徑______，A的條件數(shù)=________.2設(shè)，則＝________,＝________.3設(shè)，是以0，1，2為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，則b=________,c=________.4設(shè)是區(qū)間［0，1］上權(quán)函數(shù)為的最高項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式族，其中，則________，________.5設(shè)，當(dāng)________時(shí)，必有分解式，其中L為下三角陣，當(dāng)其對(duì)角線元素滿足條件________時(shí)，這種分解是唯一的.二、（14分）設(shè),

（1）試求在上的三次Hermite插值多項(xiàng)式使?jié)M足，.

（2）寫(xiě)出余項(xiàng)的表達(dá)式.三、（14分）設(shè)有解方程的迭代公式為，

（1）證明均有（為方程的根）；

（2）取，用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過(guò)，列出各次迭代值；

（3）此迭代的收斂階是多少？證明你的結(jié)論.四、(16分)試確定常數(shù)A，B，C和，使得數(shù)值積分公式

有盡可能高的代數(shù)精度.試問(wèn)所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss型的？五、（15分）設(shè)有常微分方程的初值問(wèn)題，試用Taylor展開(kāi)原理構(gòu)造形如的方法，使其具有二階精度，并推導(dǎo)其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng).六、（15分）已知方程組，其中，

（1）試討論用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程組的收斂性.

（2）若有迭代公式，試確定一個(gè)的取值范圍，在這個(gè)范圍內(nèi)任取一個(gè)值均能使該迭代公式收斂.七、（8分）方程組，其中，A是對(duì)稱的且非奇異.設(shè)A有誤差，則原方程組變化為，其中為解的誤差向量，試證明.

其中和分別為A的按模最大和最小的特征值.數(shù)值分析模擬試卷2填空題（每空2分，共30分）近似數(shù)關(guān)于真值有____________位有效數(shù)字；設(shè)可微，求方程根的牛頓迭代格式是_______________________________________________；對(duì)，差商_________________；________；已知，則________________，______________________；用二分法求方程在區(qū)間[0,1]內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根所在區(qū)間為_(kāi)________，進(jìn)行二步后根所在區(qū)間為_(kāi)________________；求解線性方程組的高斯—賽德?tīng)柕袷綖開(kāi)______________________________________；該迭代格式迭代矩陣的譜半徑_______________；為使兩點(diǎn)數(shù)值求積公式：具有最高的代數(shù)精確度，其求積節(jié)點(diǎn)應(yīng)為_(kāi)____,_____,__________.求積公式是否是插值型的__________，其代數(shù)精度為_(kāi)__________。二、（12分）(1)設(shè)，其中為下三角陣，為單位上三角陣。已知，求，。(2)設(shè)為矩陣，將進(jìn)行三角分解：，為單位下三角陣，為上三角陣，試寫(xiě)出中的元素和中的元素的計(jì)算公式。三、（12分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間[0,3]上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù),試確定一個(gè)次數(shù)不超過(guò)3的多項(xiàng)式，滿足，并寫(xiě)出插值余項(xiàng)。（12分）線性方程組請(qǐng)寫(xiě)出解此方程組的賽德?tīng)柕ǖ牡袷?，并討論收斂性。設(shè)，給定松弛因子，請(qǐng)寫(xiě)出解此方程組的SOR方法的迭代格式，并討論收斂性。五、（7分）改寫(xiě)方程為的形式，問(wèn)能否用迭代法求所給方程在[1,2]內(nèi)的實(shí)根？六、（7分）證明解方程求的牛頓迭代法僅為線性收斂。七、（12分）已知（1）推導(dǎo)以這3個(gè)點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)在[0,1]上的插值型求積公式；（2）指明求積公式具有的代數(shù)精度；用所求公式計(jì)算。八、（8分）若互異，求的值，這里數(shù)值分析模擬試卷3填空題（每空3分，共30分）設(shè)，則差商；2．在用松弛法(SOR)解線性方程組時(shí)，若松弛因子滿足，則迭代法；3．設(shè)要使求的Newton迭代法至少三階收斂，需要滿足；4.設(shè),用Newton迭代法求具有二階收斂的迭代格式為_(kāi)_______________；求具有二階收斂的迭代格式為_(kāi)__________________；5．已知，則__________,______6.若，改變計(jì)算式=___________________，使計(jì)算結(jié)果更為精確；7．過(guò)節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式為_(kāi)____________；8.利用拋物(Simpson)公式求=。二、（14分）已知方陣，(1)證明：A不能被分解成一個(gè)單位下三角陣L和一個(gè)上三角陣U的乘積；(2)給出A的選主元的Doolittle分解，并求出排列陣；(3)用上述分解求解方程組，其中。三、（12分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間[0,3]上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù),試確定一個(gè)次數(shù)不超過(guò)3的多項(xiàng)式，滿足，并寫(xiě)出插值余項(xiàng)。（10分）證明對(duì)任意的初值，迭代格式均收斂于方程的根，且具有線性收斂速度。（12分）在區(qū)間[-1,1]上給定函數(shù)，求其在中關(guān)于權(quán)函數(shù)的最佳平方逼近多項(xiàng)式。（可用數(shù)據(jù)：）(12分)(1)試導(dǎo)出切比雪夫(Chebyshev)正交多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞推關(guān)系式：（2）用高斯—切比雪夫求積公式計(jì)算積分，問(wèn)當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)取何值時(shí)，能得到積分的精確值？并計(jì)算它。七、（10分）驗(yàn)證對(duì)為2階格式.參考答案1一、1．，=6.2．=3，=0.3．b=－2，c=3.4．；.5．二、(1)(2)三、（1）;（2）;（3）線性收斂.四、;求積公式具有5次代數(shù)精度，是Gauss型的.五、；截?cái)嗾`差主項(xiàng)為.六、（1）因此兩種迭代法均收斂.（2）當(dāng)時(shí)，該迭代公式收斂.參考答案2一、1．22．3．1,04．7,5．6.7.;18.是,1二、(1)(2)三、四、(1),時(shí)收斂(2),收斂五、收斂七、（1）（2）2(3)八、參考答案3一、1．42．發(fā)散3．4．,5．,496.7.8.二、(2)先交換2、3兩行，交換1、2兩行，(3)三、五、六、，已知都有6位有效數(shù)字，求絕對(duì)誤差限。（4分）解：由已知可知,n=62分2分已知求（6分）解：1分1分1分=2分1分設(shè)（6分）寫(xiě)出f(x)=0解的Newton迭代格式當(dāng)a為何值時(shí)，（k=0,1……）產(chǎn)生的序列收斂于解：①Newton迭代格式為：3分②3分給定線性方程組Ax=b，其中：，用迭代公式（k=0,1……）求解Ax=b，問(wèn)取什么實(shí)數(shù)，可使迭代收斂（8分）解：所給迭代公式的迭代矩陣為2分其特征方程為2分即，解得2分要使其滿足題意，須使，當(dāng)且僅當(dāng)2分設(shè)方程Ax=b，其中，試討論解此方程的Jacobi迭代法的收斂性，并建立Gauss-Seidel迭代格式（9分）解：3分2分即，由此可知Jacobi迭代收斂1分Gauss-Seidel迭代格式：（k=0,1,2,3……）3分用Doolittle分解計(jì)算下列3個(gè)線性代數(shù)方程組：（i=1,2,3）其中，（12分）解：①A==LU3分由Ly=b1，即y=得y=1分由Ux1=y，即x1=得x1=2分②x2=由Ly=b2=x1，即y=得y=1分由Ux2=y，即x2=得x2=2分③x3=由Ly=b3=x2，即y=得y=1分由Ux3=y，即x3=得x3=2分已知函數(shù)y=f(x)有關(guān)數(shù)據(jù)如下：要求一次數(shù)不超過(guò)3的H插值多項(xiàng)式，使（6分）解：作重點(diǎn)的差分表，如下：3分=-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)=3分有如下函數(shù)表：試計(jì)算此列表函數(shù)的差分表，并利用Newton前插公式給出它的插值多項(xiàng)式（7分）解：由已知條件可作差分表，3分（i=0,1,2,3）為等距插值節(jié)點(diǎn)，則Newton向前插值公式為：=4+5x+x(x-1)=4分求f(x)=x在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式，并求出平方誤差（8分）解：令2分取m=1,n=x,k=,計(jì)算得：(m,m)==0(m,n)==1(m,k)==0(n,k)==0.5(k,k)==0(m,y)==1(n,y)==0(k,y)==0.5得方程組：3分解之得（c為任意實(shí)數(shù)，且不為零）即二次最佳平方逼近多項(xiàng)式1分平方誤差：2分已知如下數(shù)據(jù)：用復(fù)合梯形公式，復(fù)合Simpson公式計(jì)算的近似值（保留小數(shù)點(diǎn)后三位）（8分）解：用復(fù)合梯形公式：=3.1394分用復(fù)合Simpson公式：=3.1424分計(jì)算積分，若用復(fù)合Simpson公式要使誤差不超過(guò)，問(wèn)區(qū)間要分為多少等分?若改用復(fù)合梯形公式達(dá)到同樣精確度，區(qū)間應(yīng)分為多少等分?（10分）解：①由Simpson公式余項(xiàng)及得2分即，取n=62分即區(qū)間分為12等分可使誤差不超過(guò)1分②對(duì)梯形公式同樣，由余項(xiàng)公式得2分即2分即區(qū)間分為510等分可使誤差不超過(guò)1分用改進(jìn)Euler格式求解初值問(wèn)題：要求取步長(zhǎng)h為0.1，計(jì)算y（1.1）的近似值（保留小數(shù)點(diǎn)后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89]（6分）解：改進(jìn)Euler格式為：2分于是有（n=0,1,2……）2分由y(1)==1，計(jì)算得2分即y(1.1)的近似值為0.838（4分）證明：4分證明：設(shè)，為任意矩陣范數(shù)，則（6分）證明：設(shè)為A的按模最大特征值，x為相對(duì)應(yīng)的特征向量，則有Ax=x1分且，若是實(shí)數(shù)，則x也是實(shí)數(shù)，得1分而2分由于1分故1分當(dāng)是復(fù)數(shù)時(shí)，一般來(lái)說(shuō)x也是復(fù)數(shù)，上述結(jié)論依舊成立1、（本題5分）試確定作為的近似值具有幾位有效數(shù)字，并確定其相對(duì)誤差限。解因?yàn)?3.142857…==3.141592…所以（2分）這里，由有效數(shù)字的定義可知作為的近似值具有3位有效數(shù)字。（1分）而相對(duì)誤差限（2分）2、（本題6分）用改進(jìn)平方根法解方程組：；解設(shè)由矩陣乘法得：（3分）由解得（3分）3、（本題6分）給定線性方程組1）寫(xiě)出Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；2）考查Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的斂散性；解1）Jacoib迭代格式為（2分）Gauss-Seidel迭代格式為（2分）2）由于所給線性方程組的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，所以Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式均是收斂的。（2分）4、（本題6分）已知方程在附近有一個(gè)根。將此方程改寫(xiě)成如下2個(gè)等價(jià)形式：構(gòu)造如下兩個(gè)迭代格式：1）2）判斷這兩個(gè)迭代格式是否收斂；解1）記，則，（2分）所以該迭代格式是局部收斂的。（1分）2）記，則，（2分）所以該迭代格式是發(fā)散的（1分）5、（本題6分）設(shè)（1）寫(xiě)出解的牛頓迭代格式；（2）證明此迭代格式是線性收斂的。解（1）因，故，由牛頓迭代公式，（1分）得，（2分）（2）因迭代函數(shù)，，（1分）故此牛頓迭代格式是線性收斂的。（2分）6、（本題9分）給定數(shù)據(jù)x0x0235f(x)1-3-42寫(xiě)出的3次Lagrange插值多項(xiàng)式；寫(xiě)出的3次Newton插值多項(xiàng)式；解（1）由題意知（3分）（2分）（2）用牛頓插值公式，構(gòu)造差商表010123523（3分）則有（1分）7、（本題6分）作一個(gè)5次多項(xiàng)式使得解構(gòu)造有重節(jié)點(diǎn)的牛頓插商表13131322215114324320（4分）則有（2分）8、（本題6分）已知數(shù)據(jù)如下，試用二次多項(xiàng)式來(lái)擬合：012345615141414141516解設(shè)，則上表可化為01231000012這時(shí)，取，并設(shè)所求二次多項(xiàng)式為，容易得到，，，，，，（3分）得正規(guī)方程組如下：解得即（2分）回代得（1分）9、（本題5分）給定求積節(jié)點(diǎn)試推出計(jì)算積分的插值型求積公式解由于所以（1分）（1分）（1分）（1分）故求積公式為（1分）10、（本題6分）分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算積分：解（1）用梯形公式，（3分）（2）用辛普森公式（3分）11、（本題8分）求高斯型求積公式的系數(shù)解令：（1分）由得再由（2分）（1分）得所以的根為（2分）（2分）12、（本題6分）設(shè)為次多項(xiàng)式，為個(gè)互異點(diǎn)，為的次插值多項(xiàng)式。若，試證。解：因?yàn)闉榇味囗?xiàng)式，所以，（2分）又因?yàn)?，故有?分）由插值關(guān)系可知：（2分）所以，13、（本題10分）設(shè)，求及譜半徑。解由定義得（2分）（2分）又由于，而（2分）所以，。（2分）因?yàn)樗裕?分）14、（本題6分）寫(xiě)出用4階經(jīng)典龍格-庫(kù)塔法求解初值問(wèn)題的計(jì)算公式，并取步長(zhǎng)，計(jì)算的近似值，小數(shù)點(diǎn)后至少保留4位。解，于是（4分）故，由于故（2分）15、（本題9分）給定矩陣試用冪法求出的按模最大的特征值，精確至5位有效數(shù)解冪法計(jì)算公式：取，作如下迭代：，，，其中表示中（首次出現(xiàn)的）絕對(duì)值最大的分量，則（1分）計(jì)算如下：（2分）（2分）（2分）（2分）1．（5分）測(cè)量一物體的長(zhǎng)度為945cm，問(wèn)測(cè)量數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差限多大？（實(shí)際問(wèn)題所截取的近似數(shù)，其絕對(duì)誤差限一般不超過(guò)最小刻度的半個(gè)單位。）解：x=945cm，（1分）（3分）（1分）2．（5分）已知，求，，解：=2（1.5分）=3（1.5分）==（2分）3．（5分）寫(xiě)出求解下列方程組的Jacobi迭代格式=解：（5分）4．（5分）給定線性方程組：=討論用Gauss-Seidel迭代法求解時(shí)的收斂性。解：A=L+D+U=++（2分）=（2分）,Gauss-Seidel迭代發(fā)散。（1分）5．（5分）設(shè)，求解：（5分）6．（10分）用平方根法解方程組=解：=（2分）L=（2分）Ly=b（2分）（2分）（2分）7．（10分）設(shè)，寫(xiě)出的牛頓迭代格式，并證明此迭代格式是線性收斂的。解：（2分）牛頓迭代格式（4分）迭代函數(shù)（2分）的精確解為，故（2分）所以該迭代格式的線性收斂的。8．（10分）用列主元Gauss消去法解下列方程組解：（2分）（2分）（2分）（2分）等價(jià)方程組，，（2分）9．（10分）設(shè)有函數(shù)值表x134679y976431試求各階差商，并寫(xiě)出Newton插值多項(xiàng)式。解：197-146-1064-10073-100091-10000（6分）（4分）10．（10分）試用最小二乘法，求解下列超定方程組：解：將該方程組兩邊同時(shí)左乘以，得=（2分）=（2分）=（4分）解得：（2分）11．（10分）已知的函數(shù)值如下：x2.02.87.3899.02511.02313.46416.445用復(fù)合梯形公式和復(fù)合Simpson公式求的近似值解：復(fù)合梯形公式：h=（2.8-2.0）/4=0.2=9.0858（5分）復(fù)合Simpson公式h=(2.8-2.0)/2=0.49.0557（5分）12．（15分）確定下列公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出代數(shù)精度的次數(shù)。解：當(dāng)=1時(shí)，左=2，右==2，左=右（2分）當(dāng)=x時(shí)，左=0，右=（2分）當(dāng)=時(shí)，左=，右=（2分）要使所給求積公式至少具有2次代數(shù)精度當(dāng)且僅當(dāng)，滿足（2分），（2分）（1）（1分）（2）（1分）當(dāng)=時(shí)，左=1（1）（2）的右邊均1（1）（2）的代數(shù)精度均為2（3分）

一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1.3.142和3.141分別作為的近似數(shù)具有（）和（）位有效數(shù)字.

A．4和3

B．3和2

C．3和4

D．4和42.已知求積公式，則＝（）A．

B．

C．

D．3.通過(guò)點(diǎn)的拉格朗日插值基函數(shù)滿足（

）

A．＝0，

B．＝0，

C．＝1，

D．＝1，4.設(shè)求方程的根的牛頓法收斂，則它具有（

）斂速。

A．超線性

B．平方

C．線性

D．三次5.用列主元消元法解線性方程組

作第一次消元后得到的第3個(gè)方程（

）.

A．

B．

C．

D．單項(xiàng)選擇題答案1.A2.D3.D4.C5.B得分評(píng)卷人

二、填空題（每小題3分，共15分）

1.設(shè),則

，

.

2.一階均差

3.已知時(shí)，科茨系數(shù)，那么

4.因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上滿足

，所以在區(qū)間內(nèi)有根。5.取步長(zhǎng)，用歐拉法解初值問(wèn)題的計(jì)算公式

.填空題答案1.

9和2.

3.

4.

5.

得分評(píng)卷人

三、計(jì)算題（每題15分，共60分）1.已知函數(shù)的一組數(shù)據(jù)：求分段線性插值函數(shù)，并計(jì)算的近似值.計(jì)算題1.答案1.

解，

，所以分段線性插值函數(shù)為

2.已知線性方程組（1）

寫(xiě)出雅可比迭代公式、高斯－塞德?tīng)柕剑唬?）

對(duì)于初始值，應(yīng)用雅可比迭代公式、高斯－塞德?tīng)柕椒謩e計(jì)算（保留小數(shù)點(diǎn)后五位數(shù)字）.計(jì)算題2.答案

1.解原方程組同解變形為

雅可比迭代公式為

高斯－塞德?tīng)柕ü?/p>

用雅可比迭代公式得

用高斯－塞德?tīng)柕降?.用牛頓法求方程在之間的近似根（1）請(qǐng)指出為什么初值應(yīng)取2？（2）請(qǐng)用牛頓法求出近似根，精確到0.0001.計(jì)算題3.答案

3.解，，，，，故取作初始值迭代公式為，，，，

方程的根4.寫(xiě)出梯形公式和辛卜生公式，并用來(lái)分別計(jì)算積分.計(jì)算題4.答案4解

梯形公式

應(yīng)用梯形公式得

辛卜生公式為

應(yīng)用辛卜生公式得

得分評(píng)卷人

四、證明題（本題10分）確定下列求積公式中的待定系數(shù)，并證明確定后的求積公式具有3次代數(shù)精確度證明題答案證明：求積公式中含有三個(gè)待定系數(shù)，即，將分別代入求積公式，并令其左右相等，得

得，。所求公式至少有兩次代數(shù)精確度。

又由于

故具有三次代數(shù)精確度。

一、

填空（共20分，每題2分）1.設(shè)，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x=

.2.設(shè)一階差商，

則二階差商3.設(shè),則

，

。4．求方程

的近似根，用迭代公式，取初始值，那么

5．解初始值問(wèn)題近似解的梯形公式是

6、，則A的譜半徑＝

。7、設(shè)

，則

和

。

8、若線性代數(shù)方程組AX=b的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德?tīng)柕?/p>

。9、解常微分方程初值問(wèn)題的歐拉（Euler）方法的局部截?cái)嗾`差為

。

10、為了使計(jì)算的乘除法運(yùn)算次數(shù)盡量的少,應(yīng)將表達(dá)式改寫(xiě)成

。填空題答案1、2.3150

2、3、6和4、1.5

5、6、7、8、收斂9、

10、二、計(jì)算題

（共75分，每題15分）1．設(shè)

（1）試求在上的三次Hermite插值多項(xiàng)式使?jié)M足以升冪形式給出。

（2）寫(xiě)出余項(xiàng)的表達(dá)式計(jì)算題1.答案1、（1）

（2）2．已知的滿足，試問(wèn)如何利用構(gòu)造一個(gè)收斂的簡(jiǎn)單迭代函數(shù)，使0，1…收斂？計(jì)算題2.答案2、由，可得，

3．試確定常數(shù)A，B，C和a，使得數(shù)值積分公式

有盡可能高的代數(shù)精度。試問(wèn)所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss