人教版八年級(jí)上學(xué)期壓軸題數(shù)學(xué)試題附答案

人教版八年級(jí)上學(xué)期壓軸題數(shù)學(xué)試題附答案1．如圖①，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，BD=AE，BE與CD交于點(diǎn)O．（1）填空：∠BOC＝度；（2）如圖②，以CO為邊作等邊△OCF，AF與BO相等嗎？并說明理由；（3）如圖③，若點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，連接AO、GO，判斷AO與GO有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由．3．已知△ABC是等邊三角形，△ADE的頂點(diǎn)D在邊BC上（1）如圖1，若AD＝DE，∠AED＝60°，求∠ACE的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AE＝AC，∠EAC＝90°，連CE，求證：CE＝2BF；（3）如圖3，若點(diǎn)D為BC的一動(dòng)點(diǎn)，∠AED＝90°，∠ADE＝30°，已知△ABC的面積為4，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABE的面積是否發(fā)生變化？若不變，請求出其面積；若變化請說明理由．3．已知，A(0，a)，B(b，0)，點(diǎn)為x軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AC＝CD，∠ACD＝90°．（1）已知a，b滿足等式｜a+b｜+b2+4b＝－4．①求A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)；②如圖1，連BD交y軸于點(diǎn)H，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；（2）如圖2，已知a+b=0，OC＞OB，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連DE，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連OF和CF，請補(bǔ)全圖形，探究OF與CF有什么數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．4．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了如下問題：如圖1，已知中，是邊上的中線．求證：．智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長至，使，∵是邊上的中線∴在和中∴（依據(jù)一）∴在中，（依據(jù)二）∴．任務(wù)一：上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：______________________________________________；依據(jù)2：______________________________________________．歸納總結(jié)：上述方法是通過延長中線，使，構(gòu)造了一對(duì)全等三角形，將，，轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，進(jìn)而解決問題，這種方法叫做“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．任務(wù)二：如圖3，，，則的取值范圍是_____________；任務(wù)三：如圖4，在圖3的基礎(chǔ)上，分別以和為邊作等腰直角三角形，在中，，；中，，．連接．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．5．如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,,動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)沿軸正方向以的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)也同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)在軸上以的速度運(yùn)動(dòng),且滿足關(guān)系式,連接,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.(1)求的值;(2)當(dāng)為何值時(shí)，(3)如圖2,在第一象限存在點(diǎn),使,求.6．（1）如圖1，已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE．（提示：由于DE=AD+AE，證明AD=CE，AE=BD即可）（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意鈍角，請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且ABF和ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試證明DEF是等邊三角形．7．已知：為的中線，分別以和為一邊在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，連接，．(1)如圖1，若，求的度數(shù)．(2)如圖1，求證：．(3)如圖2，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)與交于點(diǎn)，若點(diǎn)為中點(diǎn)，且，請?zhí)骄亢偷臄?shù)量關(guān)系，并直接寫出答案（不需要證明）．8．如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一點(diǎn)，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并證明；（3）如圖3，將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，求BD與AC夾角的度數(shù)．【參考答案】2．（1）120；（2）相等，理由見解析；（3）AO=2OG．理由見解析【分析】（1）證明△EAB≌△DBC（SAS），可得結(jié)論．（2）結(jié)論：AF=BO，證明△FCA≌△OCB（SAS），可得結(jié)解析：（1）120；（2）相等，理由見解析；（3）AO=2OG．理由見解析【分析】（1）證明△EAB≌△DBC（SAS），可得結(jié)論．（2）結(jié)論：AF=BO，證明△FCA≌△OCB（SAS），可得結(jié)論．（3）證明△AFO≌△OBR（SAS），推出OA=OR，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠A=∠CBD=60°，在△EAB和△DBC中，，∴△EAB≌△DBC（SAS），∴∠ABE=∠BCD，∴∠BOD=∠BCD+∠CBE=∠ABE+∠CBE=∠CBA=60°，∴∠BOC=180°-60°=120°．故答案為：120．（2）相等．理由：如圖②中，∵△FCO，△ACB都是等邊三角形，∴CF=CO，CA=CB，∠FCO=∠ACB=60°，∴∠FCA=∠OCB，在△FCA和△OCB中，，∴△FCA≌△OCB（SAS），∴AF=BO．（3）如圖③中，結(jié)論：AO=2OG．理由：延長OG到R，使得GR=GO，連接CR，BR．在△CGO和△BGR中，，∴△CGO≌△BGR（SAS），∴CO=BR=OF，∠GCO=∠GBR，AF=BO，∴CO∥BR，∵△FCA≌△OCB，∴∠AFC=∠BOC=120°，∵∠CFO=∠COF=60°，∴∠AFO=∠COF=60°，∴AF∥CO，∴AF∥BR，∴∠AFO=∠RBO，在△AFO和△OBR中，，∴△AFO≌△OBR（SAS），∴OA=OR，∵OR=2OG，∴OA=2OG．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．3．（1）60°；（2）見解析；（3）不變，【分析】（1）由題意，先證△ADE是等邊三角形，再證△BAD≌△CAE，得∠ACE=∠B=60°；（2）由題意，先求出∠BEC=30°，然后求出∠CF解析：（1）60°；（2）見解析；（3）不變，【分析】（1）由題意，先證△ADE是等邊三角形，再證△BAD≌△CAE，得∠ACE=∠B=60°；（2）由題意，先求出∠BEC=30°，然后求出∠CFE=90°，利用直角三角形中30度角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，即可得證；（3）延長AE至F，使EF=AE，連DF、CF，先證明△ADF是等邊三角形，然后證明△EGF≌△EHA，結(jié)合HG是定值，即可得到答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，∵AD＝DE，∠AED＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴，即，∴△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠B=60°；（2）連CF，如圖：∵AB=AC=AE，∴∠AEB=∠ABE，∵∠BAC=60°，∠EAC=90°，∴∠BAE=150°，∴∠AEB=∠ABE=15°；∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠AEC=45°，∴∠BEC=30°，∠EBC=45°，∵AD垂直平分BC，點(diǎn)F在AD上，∴CF=BF，∴∠FCB=∠EBC=45°，∴∠CFE=90°，在直角△CEF中，∠CFE=90°，∠CEF=30°，∴CE=2CF=2BF；（3）延長AE至F，使EF=AE，連DF、CF，如圖：∵∠AED＝90°，EF=AE，∴DE是中線，也是高，∴△ADF是等腰三角形，∵∠ADE＝30°，∴∠DAE=60°，∴△ADF是等邊三角形；由（1）同理可求∠ACF=∠ABC=60°，∴∠ACF=∠BAC=60°，∴CF∥AB，過E作EG⊥CF于G，延長GE交BA的延長線于點(diǎn)H，易證△EGF≌△EHA，∴EH=EG=HG，∵HG是兩平行線之間的距離，是定值，∴S△ABE＝S△ABC＝；【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線，從而進(jìn)行解題．4．（1）①A（0，2），B（-2，0）；②H（0，-2）；（2）CF⊥OF，CF=OF，證明見解析．【分析】（1）①利用絕對(duì)值、完全平方的非負(fù)性的應(yīng)用，求出a、b的值，即可得到答案；②過C作y解析：（1）①A（0，2），B（-2，0）；②H（0，-2）；（2）CF⊥OF，CF=OF，證明見解析．【分析】（1）①利用絕對(duì)值、完全平方的非負(fù)性的應(yīng)用，求出a、b的值，即可得到答案；②過C作y軸垂線交BA的延長線于E，然后證明△CEA≌△CBD，得到OB=OH，即可得到答案；（2）由題意，先證明△DFG≌△EFO，然后證明△DCG≌△ACO，得到△OCG是等腰直角三角形，再根據(jù)三線合一定理，即可得到結(jié)論成立．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴A（0，2），B（2，0）；②過C作x軸垂線交BA的延長線于E，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，∵EC⊥BC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BC=EC，∠BCE=90°=∠ACD，∴∠ACE=∠DCB，∵AC=DC，∴△CEA≌△CBD，∴∠CBD=∠E=45°，∴OH=OB=2，∴H（0，2）；（2）補(bǔ)全圖形，如圖：∵點(diǎn)B、E關(guān)于y軸對(duì)稱，∴OB=OE，∵a+b=0，即∴OA=OB=OE延長OF至G使FG=OF，連DG，CG，∵OF=FG，∠OFE=∠DFG，EF=DF∴△DFG≌△EFO∴DG=OE=OA，∠DGF=∠EOF∴DG∥OE∴∠CDG=∠DCO；∵∠ACO+∠CAO=∠ACO+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠CAO；∴∠CDG=∠DCO=∠CAO；∵CD=AC，OA=DG∴△DCG≌△ACO∴OC=GC，∠DCG=∠ACO∴∠OCG=90°，∴∠COF=45°，∴△OCG是等腰直角三角形，由三線合一定理得CF⊥OF∵∠OCF=∠COF=45°，∴CF=OF；【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，非負(fù)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線進(jìn)行解題．5．任務(wù)一：依據(jù)1：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（或“邊角邊”或“SAS”）；依據(jù)2：三角形兩邊的和大于第三邊；任務(wù)二：；任務(wù)三：EF=2AD，見解析【分析】任務(wù)一：依據(jù)1：根據(jù)全等的判解析：任務(wù)一：依據(jù)1：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（或“邊角邊”或“SAS”）；依據(jù)2：三角形兩邊的和大于第三邊；任務(wù)二：；任務(wù)三：EF=2AD，見解析【分析】任務(wù)一：依據(jù)1：根據(jù)全等的判定方法判斷即可；依據(jù)2：根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷；任務(wù)二：可根據(jù)任務(wù)一的方法直接證明即可；任務(wù)三：根據(jù)任務(wù)一的方法，延長中線構(gòu)造全等三角形證明線段關(guān)系即可．【詳解】解：任務(wù)一：依據(jù)1：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（或“邊角邊”或“SAS”）；依據(jù)2：三角形兩邊的和大于第三邊．任務(wù)二：任務(wù)三：EF=2AD．理由如下：如圖延長AD至G，使DG=AD，∵AD是BC邊上的中線∴BD=CD在△ABD和△CGD中∴△ABD≌△CGD∴AB=CG，∠ABD=∠GCD又∵AB=AE∴AE=CG在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180°又∵∠BAE=90°，∠CAF=90°∴∠EAF+∠BAC=360°-（∠BAE+∠CAF）=180°∴∠EAF=∠GCD在△EAF和△GCA中∴△EAF≌△GCA∴EF=AG∴EF=2AD．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，倍長中線法，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．6．（1）；（2）；（3）【分析】（1）把滿足的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式即可解答；（2）畫出圖形，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向有兩種情況，分情況根據(jù)列方程解答即可；【詳解】解：（1）（解析：（1）；（2）；（3）【分析】（1）把滿足的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式即可解答；（2）畫出圖形，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向有兩種情況，分情況根據(jù)列方程解答即可；【詳解】解：（1）（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，如解圖-2-1：

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，如解圖-2-2：（3）過作，連在與∴，在與中∴，，∴，，∴是等邊三角形，∴，又∵∴∵∴【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形是本題的關(guān)鍵．7．（1）見解析；（2）成立，見解析；（3）見解析【分析】（1）運(yùn)用AAS證明△ADB≌△CEA即可；（2）運(yùn)用AAS證明△ADB≌△CEA即可；（3）運(yùn)用SAS證明△DBF≌△EAF，后運(yùn)解析：（1）見解析；（2）成立，見解析；（3）見解析【分析】（1）運(yùn)用AAS證明△ADB≌△CEA即可；（2）運(yùn)用AAS證明△ADB≌△CEA即可；（3）運(yùn)用SAS證明△DBF≌△EAF，后運(yùn)用有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明即可．【詳解】（1）如圖1，∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）如圖2，∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）如圖3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF為等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．8．(1)∠BAC=50°；(2)見解析；(3)【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出∠EAB和∠CAF，再根據(jù)構(gòu)建方程即可解決問題；（2）延長AD至H，使DH=AD，連接BH，想辦法證解析：(1)∠BAC=50°；(2)見解析；(3)【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出∠EAB和∠CAF，再根據(jù)構(gòu)建方程即可解決問題；（2）延長AD至H，使DH=AD，連接BH，想辦法證明△ABH≌△EAF即可解決問題；（3）先證明△ACD≌△FAG，推出∠ACD=∠FAG，再證明∠BCF=150°即可．(1)∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABE=65°，∴∠EAB=50°，∵AC=AF，∴∠ACF=∠AFC=75°，∴∠CAF=30°，∵∠EAF+∠BAC=180°，∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC=180°，∴50°+2∠BAC+30°=180°，∴∠BAC=50°．(2)證明：延長AD至H，使DH=AD，連接BH，∵EF=2AD，∴AH=EF，在△BDH和△CDA中，，∴△BDH≌△CDA，∴HB=AC=AF，∠BHD=∠CAD，∴AC∥BH，∴∠ABH+∠BAC=180°，∵∠EAF+∠BAC=180°，∴∠EAF=∠ABH，在△ABH和△EAF中，，∴△ABH≌△EAF，∴∠AEF=∠ABH，EF=AH=2AD，(3)結(jié)論：∠GAF-∠CAF=60°．由（1）得，AD=EF，又點(diǎn)G為