圓的有關(guān)計(jì)算

第二十七講圓的有關(guān)計(jì)算1圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024一、正多邊形和圓1.正多邊形的定義：各邊_____，各角也_____的多邊形是正多邊形.2.正多邊形和圓的關(guān)系：把一個(gè)圓______，依次連結(jié)_______可作出圓的內(nèi)接正n邊形.相等相等n等分各分點(diǎn)2圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024二、弧長(zhǎng)公式在半徑為r的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l=

.三、扇形的面積公式在半徑為r的圓中，①圓心角是n°的扇形面積S=

，②弧長(zhǎng)為l的扇形面積S=

.3圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024四、圓錐的側(cè)面積和全面積1.圓錐的有關(guān)概念：(1)母線：圓錐_________上任意一點(diǎn)與圓錐_____的連線叫做圓錐的母線.(2)高：連結(jié)_____與底面_____的線段叫做圓錐的高.2.面積公式：如圖：母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r的圓錐：S側(cè)=_____，S全=_________.底面圓周頂點(diǎn)頂點(diǎn)圓心πrlπrl+πr24圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024【思維診斷】(打“√”或“×”)1.將一個(gè)圓分成4份，依次連接各分點(diǎn)所得的四邊形為正方形.()2.正五邊形的中心角等于72°.

()3.正六邊形外接圓的半徑等于其邊長(zhǎng).

()4.扇形的面積公式是S=.

()5.半徑為3cm，圓心角為60°的弧長(zhǎng)為cm.

()6.圓錐的底面周長(zhǎng)等于展開圖中扇形的弧長(zhǎng).

()√√××√×5圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024熱點(diǎn)考向一正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算

【例1】(2013·綿陽(yáng)中考)如圖，要擰開一個(gè)邊長(zhǎng)為a=6mm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為(

)A.6mm

B.12mm

C.6mm

D.4mm6圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024【思路點(diǎn)撥】作輔助線→一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)→利用解直角三角形的知識(shí)求b的值.7圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024【自主解答】選C.連接AC，過B作BD⊥AC于點(diǎn)D.∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD.∵此多邊形為正六邊形，∴∠ABC=120°，∴∠ABD=60°，∴∠BAD=30°，AD=AB·cos30°=6×=3(mm)，∴b=2AD=6mm.8圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024【規(guī)律方法】正多邊形的有關(guān)計(jì)算的常用公式(1)有關(guān)角的計(jì)算：①正n邊形的內(nèi)角和=(n-2)180°，外角和=360°.②正n邊形的每個(gè)內(nèi)角=，每個(gè)外角=.③正n邊形的中心角=.9圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024(2)有關(guān)邊的計(jì)算：①r2+=R2(r表示邊心距，R表示半徑，a表示邊長(zhǎng)).②l=na(l表示周長(zhǎng)，n表示邊數(shù)，a表示邊長(zhǎng)).③S正n邊形=lr(l表示周長(zhǎng)，r表示邊心距).10圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024熱點(diǎn)考向二弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用

【例2】(2014·南充中考)如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，將矩形ABCD按如圖所示的方式在直線l上進(jìn)行兩次旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)B在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)是(

)A.π B.13π C.25π D.2511圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024【思路點(diǎn)撥】確定點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑為圓弧，根據(jù)勾股定理和弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.12圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024【自主解答】選A.連接BD，B′D，∵AB=5，AD=12，∴BD==13，∴

∵

∴點(diǎn)B在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)是

13圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024【規(guī)律方法】弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用對(duì)于弧長(zhǎng)公式l=，可變形為：n=或R=，在三個(gè)量l，n，R中，若已知其中兩個(gè)量，就可以求出第三個(gè)量.注意：在計(jì)算過程中，l與R的單位要統(tǒng)一.14圓的有關(guān)計(jì)算5/8/20242.(2014·蘭州中考)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，將△ABC繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△A′B′C，則點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的路徑長(zhǎng)為(

)A. B.C. D.π15圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024【解析】選B.在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，所以AC=1，由勾股定理得，BC=，由旋轉(zhuǎn)知，∠B′CB=60°，點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的路徑長(zhǎng)為.16圓的有關(guān)計(jì)算5/8/20243.(2014·呼和浩特中考)一個(gè)底面直徑是80cm，母線長(zhǎng)為90cm的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為

.【解析】圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，則扇形的弧長(zhǎng)為80πcm，半徑為90cm，由弧長(zhǎng)公式得80π=，所以圓心角的度數(shù)n=160°.答案：160°17圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024【知識(shí)歸納】有關(guān)圓錐計(jì)算的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1.圓錐的母線長(zhǎng)為圓錐側(cè)面展開圖的半徑.2.圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于圓錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng).3.圓錐的母線長(zhǎng)l、底面半徑r、高h(yuǎn)之間具有關(guān)系：r2+h2=l2.注意：計(jì)算時(shí)圓錐側(cè)面展開圖的半徑是圓錐的母線，注意與底面半徑的區(qū)分.18圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024【巧思妙解】巧用轉(zhuǎn)化思想解題【典例】(2013·寧夏中考)如圖，以等腰直角△ABC兩銳角頂點(diǎn)A，B為圓心作等圓，☉A與☉B(tài)恰好外切，若AC=2，那么圖中兩個(gè)扇形(即陰影部分)的面積之和為(

)A.π

B.π

C.π

D.π19圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024【常規(guī)解法】選B.∵在等腰直角三角形ABC中AC=2，∴AB=2，∠A=∠B=45°，∴圓的半徑為，∴S扇形=20圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024【巧妙解法】選B.∵在等腰直角三角形ABC中AC=2，∴AB=2，∴圓的半徑為，又∵∠A+∠B=90°，∴S扇形=21圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024【解法對(duì)比】1.本題若分別求出兩個(gè)扇形的面積，再求陰影部分的面積計(jì)算量較大且容易出錯(cuò).2.觀察兩個(gè)扇形(即陰影部分)的面積之和，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為求圓心角為90°扇形的面積，步驟簡(jiǎn)單且運(yùn)算量小.22圓的有關(guān)計(jì)算5/8/2024【技巧點(diǎn)撥】轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)的重要思想方法，在求陰影部