超幾何分布高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

超幾何分布一、知識回顧1.二項(xiàng)分布：

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量X服

從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p).

一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的

概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為3.二項(xiàng)分布的均值和方差：

3.確定一個(gè)二項(xiàng)分布模型的步驟如下:(1)明確伯努利試驗(yàn)及事件A的意義,確定事件A發(fā)生的概率P；

(2)確定重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n，并判斷各次試驗(yàn)的獨(dú)立性；

(3)設(shè)X為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),則X～B(n，p).E(X)=npD(X)=np(1-p）二、探究新知問題

已知100件產(chǎn)品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方

式隨機(jī)抽取4件．設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X,求隨機(jī)變量

X的分布列.

我們知道，如果采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨(dú)立，此時(shí)X服從二項(xiàng)分布,即X～B(4，0.08).二、探究新知

如果采用不放回抽樣，那么抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X是否也服從二項(xiàng)分布?如果不服從，那么X的分布列是什么?

采用不放回抽樣，雖然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一個(gè)試驗(yàn)，而且各次抽取的結(jié)果也不獨(dú)立，不符合n重伯努利試驗(yàn)的特征，因此X不服從二項(xiàng)分布.

可以根據(jù)古典概型求X的分布列.由題意可知,X可能的取值為0、1、2、3、4.從100件產(chǎn)品中任取4件，樣本空間包含

個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能發(fā)生的.其中4件產(chǎn)品中恰有k件次品的結(jié)果數(shù)為

．由古典概型的知識,得X的分布列為

計(jì)算的具體結(jié)果(精確到0.00001)如下表所示：二、探究新知X01234P0.712570.256210.029890.001310.00002

計(jì)算結(jié)果數(shù)時(shí)，考慮抽取的次序和不考慮抽取的次序，對分布列的計(jì)算有影響嗎?為什么?三、超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為

其中n、N、M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.四、典型例題例1

從50名學(xué)生中隨機(jī)選出5名學(xué)生代表，求甲被選中的概率.

容易發(fā)現(xiàn)，每個(gè)人被抽到的概率都是

，這個(gè)結(jié)論非常直觀,這里給出了嚴(yán)格的推導(dǎo).四、典型例題例2

一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格.隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行

檢測，求至少有1件不合格的概率.五、探究新知

服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值是什么?

設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p=，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而

是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，我們猜想E()=p，即E(X)=np.

實(shí)際上，由隨機(jī)變量均值的定義，令m=max(0，n-N+M)，r=min(n，M)，有因?yàn)?/p>

，所以六、超幾何分布的均值E(X)=np

服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值：七、典型例題例3

一袋子中有100個(gè)大小相同的球,其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球,

從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).

(1)分別就有放回摸球和不放回摸球,求X的分布列；

(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估

計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.七、典型例題

二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同.對于不放回抽樣，當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)，每抽取一次后，對N的影響很小，此時(shí),超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.八、課堂小結(jié)1.超幾何分布：

2.超幾何分布的均值：

E(X)=np

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)

品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),

則X的分布列為

其中n、N、M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min

{n，M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上