初中數(shù)學中考數(shù)學各類考點分項專解74 角平分線模型知識精講

角平分線模型知識精講1. 過角平分線上一點向角的兩邊作垂線段，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質(zhì)來解決問題，例：已知：P是平分線上的一點，過點P作于點M，過點P作于點N，則.2. 若題目中已經(jīng)有了角平分線和角平分線上一點到一邊的垂線段（距離），則作另一邊的垂線段，例：已知：AD是的平分線，，過點D作于點E，則.3. 在角的兩邊上取相等的線段，結(jié)合角平分線構(gòu)造全等三角形（角邊等，造全等），例：已知：點D是平分線上的一點，在OA、OB上分別取點E、F，且，連接DE、DF，則.4. 過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，例：已知：點D是平分線上的一點，過點D作，則是等腰三角形，即.證明：是的平分線，，又，是等腰三角形.5. 有角平分線時，過角一邊上的點作角平分線的平行線，交角的另一邊所在直線于一點，也可構(gòu)造等腰三角形，例：已知：OC平分，點D是OA上一點，過點D作交OB的反向延長線于點E，則.6. 從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的另一邊相交，則可得到一個等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，點D在OA上，DE⊥OE，則可延長DE交OB于點F，則DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7. 有角平分線時，可將等角放到直角三角形中，構(gòu)造相似三角形，也可以另加一對相等的角構(gòu)造相似三角形，例：（1）已知：OC平分，點E、F分別在OA、OB上，過點E作于點M，過點F作于點N，則，如圖所示：（2）已知：OC平分，點E、F在OC上，作于點M，作于點N，則，如圖所示：（3）已知：OC平分，點E、F在OC上，作，則，如圖所示：8. 利用“在同圓或等圓中，相等的圓周角（圓心角）所對的弦相等”可得相等線段，例：已知：∠BAC是圓O的圓周角，∠DOE是圓O的圓心角，AF平分∠BAC，OG平分∠DOE，連接BF、CF、DG、EG，則BF＝CF，DG＝EG.9. 【內(nèi)內(nèi)模型】如圖，兩個內(nèi)角平分線交于點D，則.證明：平分，平分，，在中，①在中，②，由得，即.10. 【內(nèi)外模型】如圖，的一個內(nèi)角平分線和一個外角平分線交于點D，則.證明：平分，平分，，在中，，即①在中，②由得，即.11. 【外外模型】如圖，兩個外角的角平分線交于點D，則.證明：平分，平分，，在中，，即①，②由①＝②，得，在中，，，，即，由④可得，代入③式可得，整理可得.三角形幾何模型-雙角平分線（知識講解）模型1：內(nèi)角平分線+內(nèi)角平分線模型如圖一模型2：內(nèi)角平分線+外角平分線模型如圖二模型三：外角平分線+外角平分線模型如圖三模型四：飛鏢+角平分線模型飛鏢模型內(nèi)角關系模型：圖四飛鏢模型“內(nèi)角平分線+內(nèi)角平分線”模型：圖五類型一、內(nèi)角平分線+內(nèi)角平分線模型 1．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P．（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度數(shù)．（2）當∠A為多少度時，∠BPC＝3∠A？【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，求得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得；（2）根據(jù)（1）的方法求得，再結(jié)合條件∠BPC＝3∠A，解方程即可求得∠A．解：（1）平分，平分，，∠ABC+∠ACB＝130°，，，（2）平分，平分，，，，，∠BPC＝3∠A，．【點撥】本題考查了與角平分線有關的角度計算，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關鍵．類型二、內(nèi)角平分線+外角平分線模型 2．如圖，在△ABC中，．∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，得∠A2；……；∠A2013BC與∠A2013CD的平分線相交于點A2014，得∠A2014．如果∠A＝n度，則∠A2014＝___________度．（直接用含n的代數(shù)式表示）【答案】解：由∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC可得∠A=∠ACD–∠ABC，∠A1=∠A1CD–∠A1BC；又因∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC，所以，∠A1=∠A1CD–∠A1BC=∠ACD—∠ABC=（∠ACD—∠ABC），即可得到∠A1=∠A.同理可得∠A2=∠A1=×∠A……∠An=∠A.所以∠A2014=∠A==考點：三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的性質(zhì).類型三、外角平分線+外角平分線模型 3．如圖，△ABC中，分別延長△ABC的邊AB、AC到D、E，∠CBD與∠BCE的平分線相交于點P，愛動腦筋的小明在寫作業(yè)的時發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：(1)若∠A＝60°，則∠P＝°；(2)若∠A＝40°，則∠P＝°；(3)若∠A＝100°，則∠P＝°；(4)請你用數(shù)學表達式歸納∠A與∠P的關系．【答案】(1)65；(2)45；(3)40；(4)∠P=90°-∠A，理由見解析.解：試題分析：（1）若∠A=50°，則有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，根據(jù)角平分線的定義可以求得∠PBC+∠PCB的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得∠P的度數(shù)；（2）、（3）和（1）的解題步驟類似；（4）利用角平分線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可求出∠BCP=（∠A+∠ABC），∠CBP=（∠A+∠ACB）；再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠A與∠P的關系．考點：三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)．點評：本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)．關鍵是熟練掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)以及角平分線的定義．類型四、飛鏢內(nèi)角平分線+內(nèi)角平分線模型 4．如圖，平分，平分，與交于點，若，，則（）A．80° B．75° C．60° D．45°【答案】C【分析】連接先求解再求解可得再利用角平分線的定義可得：從而可得：再利用三角形的內(nèi)角和定理可得的大小.解：連接平分，平分，故選：【點撥】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應用，角平分線的定義，熟練利用三角形的內(nèi)角和定理求解與之相關的角的大小是解題的關鍵.角平分線模型鞏固練習1． 如圖，四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝8，BD＝13，BC＝12，則四邊形ABCD的面積為（）A．50 B．56 C．60 D．72【解答】A【解析】過D作DE⊥AB，交BA的延長線于E，則∠E＝∠C＝90°，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC，在Rt△BCD中，由勾股定理得：∴DE＝5，在Rt△BED中，由勾股定理得：，∵AB＝8，∴AE＝BE﹣AB＝12﹣8＝4，∴四邊形ABCD的面積S＝S△BCD+S△BED﹣S△AED＝50，故選：A．2． 如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC邊于點D，過點D作BC的平行線交AB于點E．已知AD＝3，DE＝4，則下列結(jié)論正確的是（）A．AE＝BE B．DE垂直平分AC C． D．【解答】D【解析】過D點作DF⊥AB于點F，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC邊于點D，∴DC＝DF，∵過點D作BC的平行線交AB于點E．∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝90°，∵AD＝3，DE＝4，∴，∴，∴DC＝DF＝≠3，故DE不能平分AC，故B說法錯誤；∵，∴AE≠BE，故A說法錯誤；∵，∴故C說法錯誤；∵，故D說法正確；故選：D．3． 如圖，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分線AP，BP相交于點P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列結(jié)論：（1）PE＝PF；（2）點P在∠COD的平分線上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】C【解析】（1）證明：作PH⊥AB于H，∵AP是∠CAB的平分線，∴∠PAE＝∠PAH，在△PEA和△PHA中，，∴△PEA≌△PHA（AAS），∴PE＝PH，∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，∴PF＝PH，∴PE＝PF，∴（1）正確；（2）與（1）可知：PE＝PF，又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，∴點P在∠COD的平分線上，∴（2）正確；（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，∴∠O+∠EPF＝180°，即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，由（1）知：△PEA≌△PHA，∴∠EPA＝∠HPA，同理：∠FPB＝∠HPB，∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，即∠O+2∠APB＝180°，∴∠APB＝90°﹣，∴（3）錯誤；故選：C．4. 在中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點F，且，則AC=．【解答】【解析】過點E作于G，連接CF，如圖所示：分別是和的平分線，，CF是的平分線，，在中，，由勾股定理可得.5. 如圖，在中，，，、的平分線相交于點E，過點E作交AC于點F，則EF的長為.【解答】【解析】延長FE交AB于點D，作于點G，作于點H，如圖所示：四邊形BDEG是矩形，平分，CE平分，四邊形BDEG是正方形，在和中，，同理可得，設，則，，，解得，，，即，解得，.6． 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CE⊥BE于點E，連接AE．若AC＝BC＝4，則△ABE的面積為．【解答】4【解析】作EH⊥AB于H，EK⊥BC于K．在EB上取一點J，使得EJ＝EC，連接CJ．設EC＝EJ＝m．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝，∵BE平分∠ABC，CE⊥BE于點E，∵∠ACB＝45°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝22.5°，∵EC＝EJ＝m，∠CEJ＝90°，∴∠EJC＝45°，∵∠EJC＝∠JCB+∠JBC，∴∠JCB＝∠JBC＝22.5°，∴JC＝JB＝m，∴EB＝m+m，∵EC2+EB2＝BC2，∴m2+（m+m）2＝42，∴m2＝8﹣4，∴S△ECB＝?EC?EB＝?m（m+m）＝?（1+）m2＝2，∵EB平分∠ABC，EH⊥AB，EK⊥BC，∴EH＝EK，∴，∴S△AEB＝2×＝4．解法二：延長CE交AB于點F，證明△ABE的面積等于△ABC的一半，可得S△AEB＝4．故答案為4．7. 如圖，，BE平分，CE平分，點E在AD上，求證：.【解答】見解析【解析】在直線BC上截取，連接EF，如圖所示：在和中，，，在和中，，又，即.8. 如圖，在中，三條角平分線相交于點P，求點P到AB的距離.【解答】3【解析】過點P作于點D，于點E，于點F，如圖所示：，點P是三條角平分線的交點，，又，即，點P到AB的距離為3.9. 如圖，在中，AB為直徑，CD平分交于點D，求證：.【解答】見解析【解析】連接AD、BD，過點A作，過點B作，垂足分別為點M、N，如圖所示：是的直徑，CD平分交于點D，，與都是等腰直角三角形，在中，，在中，，，是的直徑，，，又，.10. 如圖，和都是等腰直角三角形，，的頂點A在的斜邊DE上，若，求兩個三角形的重疊部分面積是多少？【解答】重疊部分面積為【解析】連接BD，AB與CD相交于點O，過點O作于點M，ON⊥BD于點N，如圖所示：又，，，在中，由勾股定理可得，在中，，解得，平分，又于點M，于點N，，，，.11．已知：如圖，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于點E，BD于點O．求證：點O到EB與ED的距離相等．【解答】見解析【解析】證明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠DOC＝∠BOC，又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，∴△DCO≌△BCO（ASA）∴CB＝CD，∴OB＝OD，∴CE是BD的垂直平分線，∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，∴EC平分∠BED，∴點O到EB與ED的距離相等．12．如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求證：AD平