來源初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(初二分冊)

第八講非負(fù)數(shù)時間：2005-9-822:29:00來源：初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(初二分冊)佚名所謂非負(fù)數(shù)，是指零和正實(shí)數(shù)．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在解題中頗有用處．常見的非負(fù)數(shù)有三種：實(shí)數(shù)的偶次冪、實(shí)數(shù)的絕對值和算術(shù)根．1．實(shí)數(shù)的偶次冪是非負(fù)數(shù)假設(shè)a是任意實(shí)數(shù)，那么a2n≥0(n為正整數(shù))，特別地，當(dāng)n=1時，有a2≥0．2．實(shí)數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)假設(shè)a是實(shí)數(shù)，那么性質(zhì)絕對值最小的實(shí)數(shù)是零．`3．一個正實(shí)數(shù)的算術(shù)根是非負(fù)數(shù)4．非負(fù)數(shù)的其他性質(zhì)(1)數(shù)軸上，原點(diǎn)和原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示的數(shù)都是非負(fù)數(shù)．(2)有限個非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)，即假設(shè)a1，a2，…，an為非負(fù)數(shù)，那么a1＋a2＋…＋an≥0．(3)有限個非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個加數(shù)也必為零，即假設(shè)a1，a2，…，an為非負(fù)數(shù)，且a1＋a2＋…＋an=0，那么必有a1＝a2＝…＝an＝0．在利用非負(fù)數(shù)解決問題的過程中，這條性質(zhì)使用的最多．(4)非負(fù)數(shù)的積和商(除數(shù)不為零)仍為非負(fù)數(shù)．(5)最小非負(fù)數(shù)為零，沒有最大的非負(fù)數(shù)．(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)根的充要條件是判別式△=b2-4ac為非負(fù)數(shù)．應(yīng)用非負(fù)數(shù)解決問題的關(guān)鍵在于能否識別并揭示出題目中的非負(fù)數(shù)，正確運(yùn)用非負(fù)數(shù)的有關(guān)概念及其性質(zhì)，巧妙地進(jìn)行相應(yīng)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決．解得a=3，b=-2．代入代數(shù)式得解因?yàn)?20x-3)2為非負(fù)數(shù)，所以-(20x-3)2≤0．①-(20x-3)2≥0．②由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以原式=｜｜20±0｜＋20｜=40．說明此題解法中應(yīng)用了“假設(shè)a≥0且a≤0，那么a=0”，這是個很有用的性質(zhì)．例3x，y為實(shí)數(shù)，且解因?yàn)閤，y為實(shí)數(shù)，要使y的表達(dá)式有意義，必有解因?yàn)閍2+b2-4a-2b+5=0，所以a2-4a+4+b2-2b+1=0，即(a-2)2+(b-1)2=0．(a-2)2=0，且(b-1)2=0．所以a=2，b=1．所以例5x，y為實(shí)數(shù)，求u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值時的x，y的值．解u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2=(x-y+1)2+(2x-y)2+2．因?yàn)閤，y為實(shí)數(shù)，所以(x-y+1)2≥0，(2x-y)2≥0，所以u≥2．所以當(dāng)時，u有最小值2，此時x=1，y=2．例6確定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的實(shí)數(shù)根的個數(shù)．解將原方程化為a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，即(ax-1)2+x2+a2+3=0．對于任意實(shí)數(shù)x，均有(ax-1)2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0無實(shí)根．例7求方程的實(shí)數(shù)根．分析此題是一個方程，但要求出兩個未知數(shù)的值，而要確定兩個未知數(shù)的值，一般需要兩個方程．因此，要將方程變形，看能否出現(xiàn)新的形式，以利于解題．解之得經(jīng)檢驗(yàn)，均為原方程的解．說明應(yīng)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)“幾個非負(fù)數(shù)之和為零，那么這幾個非負(fù)數(shù)都為零”，可將一個等式轉(zhuǎn)化為幾個等式，從而增加了求解的條件．例8方程組求實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn的值．解顯然，x1=x2=…=xn=0是方程組的解．由方程組可知，在x1，x2，…，xn中，只要有一個值為零，那么必有x1=x2=…=xn=0．所以當(dāng)x1≠0，x2≠0，…，xn≠0時，將原方程組化為將上面n個方程相加得又因?yàn)閤i為實(shí)數(shù)，所以經(jīng)檢驗(yàn)，原方程組的解為例9求滿足方程｜a-b｜+ab=1的非負(fù)整數(shù)a，b的值．解由于a，b為非負(fù)整數(shù)，所以解得例10當(dāng)a，b為何值時，方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有實(shí)數(shù)根？解因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，所以△≥0，即△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0，所以2a2-4ab-4b2+2a-1≥0，-a2+2a-1-a2-4ab-4b2≥0，-(a-1)2-(a+2b)2≥0．因?yàn)?a-1)2≥0，(a+2b)2≥0，所以例11實(shí)數(shù)a，b，c，r，p滿足pr＞1，pc-2b+ra=0，求證：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有實(shí)數(shù)根．證由得2b=pc+ra，所以△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac=p2c2+2pcra+r2a2-4ac=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac=(pc-ra)2+4ac(pr-1)．由pr-1＞0，又(pc-ra)2≥0，所以當(dāng)ac≥0時，△≥0；當(dāng)ac＜0時，也有△=(2b)2-4ac＞0．綜上，總有△≥0，故原方程必有實(shí)數(shù)根．例12對任意實(shí)數(shù)x，比擬3x2+2x-1與x2+5x-3的大?。庥帽炔罘ǎ?3x2+2x-1)-(x2+5x-3)=2x2-3x+2即(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)＞0，所以3x2+2x-1＞x2+5x-3．說明比差法是比擬兩個代數(shù)式值的大小的常用方法，除此之外，為判定差是大于零還是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了這兩個方法，使問題得到解決．例13a，b，c為實(shí)數(shù)，設(shè)證明：A，B，C中至少有一個值大于零．證由題設(shè)有A+B+C=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)．因?yàn)?a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．假設(shè)A≤0，B≤0，C≤0，那么A+B+C≤0與A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一個大于零．例14a≥0，b≥0，求證：分析與證明對要求證的不等式兩邊分別因式分解有由不等式的性質(zhì)知道，只須證明因?yàn)閍≥0，b≥0，所以又因?yàn)樗栽坏仁匠闪ⅲ?5四邊形四條邊長分別為a，b，c，d，它們滿足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，試判斷四邊形的形狀．解由可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，所以(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0，即(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因?yàn)閍，b，c，d都是實(shí)數(shù)，所以(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以由于a，b，c，d都為正數(shù)，所以