高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元質(zhì)檢7立體幾何（B）（含解析）新人教A版

單元質(zhì)檢七立體幾何(B)(時(shí)間:45分鐘滿分:100分)一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)1.若圓錐的表面積是底面積的3倍,則該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為()A.2π3 B.C.π D.72.如圖,在三棱錐A-BCD中,DA,DB,DC兩兩垂直,且DB=DC,E為BC的中點(diǎn),則AE·BC等于(A.3 B.2C.1 D.03.在空間四邊形ABCD中,E,F分別為AB,AD上的點(diǎn),且AE∶EB=AF∶FD=1∶4.又H,G分別為BC,CD的中點(diǎn),則()A.BD∥平面EFG,且四邊形EFGH是平行四邊形B.EF∥平面BCD,且四邊形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD,且四邊形EFGH是平行四邊形D.EH∥平面ADC,且四邊形EFGH是梯形4.如圖,已知直平行六面體ABCD-A1B1C1D1的各條棱長(zhǎng)均為3,∠BAD=60°,長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD1上運(yùn)動(dòng),另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng),則MN的中點(diǎn)P的軌跡(曲面)與共頂點(diǎn)D的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為()A.2π9 BC.2π3 D5.(2018上海,15)《九章算術(shù)》中,稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬.設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱,如圖.若陽(yáng)馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn),以AA1為底面矩形的一邊,則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是()A.4 B.8 C.12 D.166.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,平面α過(guò)直線BD,α⊥平面AB1C,α∩平面AB1C=m,平面β過(guò)直線A1C1,β∥平面AB1C,β∩平面ADD1A1=n,則m,n所成角的余弦值為()A.0 B.12 C.22 D二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)7.在菱形ABCD中,AB=2,∠BCD=60°,現(xiàn)將其沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C(如圖),則異面直線AB與CD所成的角的余弦值為.

8.已知球O的球面上有四點(diǎn)S,A,B,C,其中O,A,B,C四點(diǎn)共面,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,則三棱錐S-ABC的體積的最大值為.

三、解答題(本大題共3小題,共44分)9.(14分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).(1)證明:PB∥平面AEC;(2)設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=3,求三棱錐E-ACD的體積.10.(15分)如圖,在幾何體ABCDE中,四邊形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分別是線段BE,DC的中點(diǎn).(1)求證:GF∥平面ADE;(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.11.(15分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=22,PA=2.(1)取PC的中點(diǎn)N,求證:DN∥平面PAB;(2)求直線AC與PD所成角的余弦值;(3)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M,使得二面角M-AC-D的大小為45°?如果存在,求BM與平面MAC所成的角;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

單元質(zhì)檢七立體幾何(B)1.C解析設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為θ,根據(jù)條件得πrl+πr2=3πr2,即l=2r,根據(jù)扇形面積公式得θπl(wèi)22即θ=r·2πl(wèi)2.D解析AE·BC=(AD+DE)·BC=AD·BC+3.B解析如圖,由題意,得EF∥BD,且EF=15BDHG∥BD,且HG=12BD故EF∥HG,且EF≠HG.因此,四邊形EFGH是梯形.由題可得EF∥平面BCD,而EH與平面ADC不平行,故選B.4.A解析MN=2,則DP=1,則點(diǎn)P的軌跡為以D為球心,半徑r=1的球面的一部分,則球的體積為V=43π·r3=4∵∠BAD=60°,∴∠ADC=120°,120°為360°的13,只取半球的1則V'=4π5.D解析設(shè)正六棱柱為ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,以側(cè)面AA1B1B,AA1F1F為底面矩形的陽(yáng)馬有E-AA1B1B,E1-AA1B1B,D-AA1B1B,D1-AA1B1B,C-AA1F1F,C1-AA1F1F,D-AA1F1F,D1-AA1F1F,共8個(gè);以對(duì)角面AA1C1C,AA1E1E為底面矩形的陽(yáng)馬有F-AA1C1C,F1-AA1C1C,D-AA1C1C,D1-AA1C1C,B-AA1E1E,B1-AA1E1E,D-AA1E1E,D1-AA1E1E,共8個(gè).所以共有8+8=16(個(gè)),故選D.6.D解析如圖所示,∵BD1⊥平面AB1C,平面α過(guò)直線BD,α⊥平面AB1C,∴平面α即為平面DBB1D1.設(shè)AC∩BD=O.∴α∩平面AB1C=OB1=m.∵平面A1C1D過(guò)直線A1C1,與平面AB1C平行,而平面β過(guò)直線A1C1,β∥平面AB1C,∴平面A1C1D即為平面∩平面ADD1A1=A1D=n,又A1D∥B1C,∴m,n所成角為∠OB1C,由△AB1C為正三角形,則cos∠OB1C=cosπ6=37.14解析如圖,取BD的中點(diǎn)O,連接AO,CO∵AB=2,∠BCD=60°,∴A(0,0,3),B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,3,0),∴AB=(1,0,-3),CD=(-1,-3,0),∴cos<AB,CD>=AB·∴異面直線AB與CD所成的角的余弦值為148.33解析記球O的半徑為R,由△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且O,A,B,C四點(diǎn)共面,易求R=2作SD⊥AB于D,連接OD,OS,易知SD⊥平面ABC,注意到SD=SO2-OD2=R2因此高SD的最大值為232-因?yàn)槿忮FS-ABC的體積為13S△ABC·SD=13×34×22所以三棱錐S-ABC的體積的最大值為33×1=39.(1)證明如圖,連接BD交AC于點(diǎn)O,連接EO.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點(diǎn).又因?yàn)镋為PD的中點(diǎn),所以EO∥PB.因?yàn)镋O?平面AEC,PB?平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)解因?yàn)镻A⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP的方向?yàn)閤軸、y軸、則P(0,0,1),D(0,3,0),E0,設(shè)B(m,0,0)(m>0),則C(m,3,0),AC=(m,3,0).設(shè)n1=(x,y,z)為平面ACE的法向量,則n可取n1=3m由題意得n2=(1,0,0)為平面DAE的一個(gè)法向量.由題設(shè)|cos<n1,n2>|=12即33+4m2=因?yàn)镋為PD的中點(diǎn),所以三棱錐E-ACD的高為12三棱錐E-ACD的體積V=1310.(1)證法一如圖,取AE的中點(diǎn)H,連接HG,HD.因?yàn)镚是BE的中點(diǎn),所以GH∥AB,且GH=12AB又因?yàn)镕是CD的中點(diǎn),所以DF=12CD由四邊形ABCD是矩形,得AB∥CD,AB=CD,所以GH∥DF,且GH=DF,從而四邊形HGFD是平行四邊形,所以GF∥DH.又因?yàn)镈H?平面ADE,GF?平面ADE,所以GF∥平面ADE.證法二如圖,取AB中點(diǎn)M,連接MG,MF.因?yàn)镚是BE的中點(diǎn),所以GM∥AE.又因?yàn)锳E?平面ADE,GM?平面ADE,所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中,由M,F分別是AB,CD的中點(diǎn),得MF∥AD.又因?yàn)锳D?平面ADE,MF?平面ADE,所以MF∥平面ADE.又因?yàn)镚M∩MF=M,GM?平面GMF,MF?平面GMF,所以平面GMF∥平面ADE.因?yàn)镚F?平面GMF,所以GF∥平面ADE.(2)解如圖,在平面BEC內(nèi),過(guò)B點(diǎn)作BQ∥EC.因?yàn)锽E⊥CE,所以BQ⊥BE.又因?yàn)锳B⊥平面BEC,所以AB⊥BE,AB⊥BQ.以B為原點(diǎn),分別以BE,BQ,BA的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,2),B(0,0,0),E因?yàn)锳B⊥平面BEC,所以BA=(0,0,2)為平面BEC的一個(gè)法向量.設(shè)n=(x,y,z)為平面AEF的法向量,由題意,得AE=(2,0,-2),AF=(2,2,-1).由n取z=2,得n=(2,-1,2).從而cos<n,BA>=n·所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為2311.解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2).(1)證明:PC中點(diǎn)N(0,0,1),∴DN=(1,0,1).設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z),由AP=(0,0,2),AB=(2,0,0),可得n=(0,1,0).∵DN·n=0,DN?平面PAB,∴DN∥平面PAB.(2)設(shè)AC與PD所成的角為θ.∵AC=(0,2,0),PD=(-1,1,-2),∴cosθ=22(3)設(shè)M(x,y,z)及