空間向量及其線性運(yùn)算同步練習(xí)

空間向量及其線性運(yùn)算同步練習(xí)

一、選擇題

1.已知向量胃=（t+l,l,t）,B=則付一川的最小值為（）

A.V2B.V3C.2D.4

2.如圖所示，空間四邊形0A8C中，瓦5=五，而=3,5?=陽(yáng)

點(diǎn)M■在市上，且麗=2MA，N為8C的中點(diǎn)，MN=xa+

yb+zc＞則x,y,z的值分別為（）

p11_21

A11R_￡11D.|,|

‘2’3’2?3‘2’2*2,2,32

3.已知空間向量五=（0,2,1）,亍=（0,則與向量8+3方向相反的單位向量3的

坐標(biāo)是（）

A.（0,1,2）B.（0,-1,-2）

C（。，美發(fā)）D.（0,一親,一專(zhuān)）

4,已知正方體4BCD-49C'?的中心為。，則在下列各結(jié)論中正確的共有（）

①示+而與赤+正是一對(duì)相反向量；

@05-泰與萬(wàn)7-亦是一對(duì)相反向量；

@~OA+OB+OC+而與萬(wàn)7+~OBi+~OC'+而是一對(duì)相反向量；

④瓦？-瓦5與泰-下是一對(duì)相反向量.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.已知在四面體4BCD中，點(diǎn)M是棱點(diǎn)，且BM=3MC,1

點(diǎn)N是棱的中點(diǎn)，若麗二久荏+y而+z同其中X,/V\A*

?Z為實(shí)數(shù)，則x+y+z的值是（）/\X.

M

C

B.-C.-2

6.已知向量為=(-3,2,5),3=(1,無(wú)，-1),且五，3，則尤的值為()

7.已知兩個(gè)向量五=(2,-1,3)1=(4,m,n)，且明/B，則爪+n的值為()

A.-4C.-8

8.如圖，在空間四邊形ABCQ中，AB-~CD+AC-~DB+

AD-SC=()

A.-1

B.1

C.O

D.不確定

9.在三棱柱4BC-4/1C1中，融=%配=3,磯=e.點(diǎn)M在棱BC上，且BM=2MC,

N為A4i的中點(diǎn)，若以?xún)?yōu)方尤為基底，則而=()

A2—ly*,1-?n2—ly*1IT-1.7.2r1-c1-27*,IT

A.——a——D+-cB.-a——b+-cC.——a+-b——cD.——a——/?+-c

10.如圖所示，已知空間四邊形ABCZ),連接AC,BD,M,G分別是BC,CO的中點(diǎn),

則南+3就+3前等于()

D.MG

11.如圖，以長(zhǎng)方體ABCDABiGDi的頂點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)。的三條棱所在的直線為

坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若西的坐標(biāo)為(4,3,2),則好的坐標(biāo)是()

12.已知正方體48CD—AB'C'。'中，點(diǎn)廠是側(cè)面CD。'。'的中心，^AF=AD+xAB+

yAA''則％-丫等于()

A.0B.1C.-D.--

22

13.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，嬴在基底｛優(yōu)后，現(xiàn)下的坐標(biāo)為(2,1,3),其中］=“+2j,3=

2j+3k,c^3k-j,則向量鼐在基底0J,舟下的坐標(biāo)為()

A.(7,3,12)B.(3,7,12)C.(2,4,6)D.(8,3,12)

14.平行六面體A8CD-4/停也中，向量荏，而，標(biāo)兩兩的夾角均為60。，且|布|=

1.|而|=2，|鞏|=3，貝1J|宿|等于()

A.5B.6C.4D.8

二、填空題

15.給出下列

①若向量區(qū)方共線，則向量市石所在的直線平行；

②若三個(gè)向量?jī)?yōu)b，不兩兩共面，則向量乙b，?共面；

③已知空間的三個(gè)向量落b，c,則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量力，總存在實(shí)數(shù)x,?

z使得萬(wàn)—xa.+yb+zc;

④若A,B,C,。是空間任意四點(diǎn)，則有麗+阮+而+礪=0.

其中為真命題的是—.

16.已知力(1,0,0),B(0,—1,1),嬴+4而與麗的夾角為1對(duì)，貝設(shè)=.

17.已知四=(1,—2,3)，AC=(-1,2,1),則正=.

18.已知正方體4BCD-&B1C1D1中，若點(diǎn)尸是側(cè)面CD】的中心，且刀=而+小同一

nAA^則根=.

19.已知向量五=(0,—1,1),1=(4,1,0)，以為+同=聞且4>0,則

A=.

三、解答題

20.已知向量五=(2,1,—2),不=(—1,0,1)，若向量石同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：①五1=

-1:@\b\=3;③3與？垂直.

(1)求向量石的坐標(biāo)；

(2)若向量3與向量胃=1)共線，求向量五—3與23+3下夾角的余弦值.

21.三棱柱ABC-4/16中，M,N分別是力道、81cl上的點(diǎn)，且BM=2&M,C】N=

2B1N,設(shè)AB=a>AC=b>AAt=c-

(/)試用優(yōu)石片表示向量亦;

2

(〃)若NBAC=90,NBA4i==60%AB=AC=AA1=1,求MN的長(zhǎng).

22.在空間直角坐標(biāo)系。一xyz中，。(0,0,0),4(1,0,0),5(1,2,0),C(0,1,2),

點(diǎn)P滿(mǎn)足布=AAC.

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)(用4表示)；

(2)若。P1BC,求4的值.

23.如圖，在三棱柱48C-中，M,N分別是4/,&G上的點(diǎn)，且BM=24M,

GN=2/N.設(shè)荏=a,XC=氏硒＞=c.

(1)試用五花片表示向量麗;

(2)若NB4C=90。，/BAA】=NC7L41=60。，AB=AC=AA1=1,求MN的長(zhǎng).

答案和解析

1.C

解：由已知方一3=(2,1—t,t—1)，

所以H-同=J22+(1—t)2+(t—1)2=V2t2-4t+6,

因?yàn)閠eR,所以，2t2一牝+6=J2(t-1)2+4>2.

故選C.

2.B

解：MN=0N-OM+0C)~l0A=-|a+|K+|c,

所以x=一|,y=|,z=|

故選：B.

3.D

解：?.?E=(0,2,1),3=(0,-1,1)，

：.a+b=(0,1，2),|a+K|=V5)

二與向量N+3方向相反的單位向量E的坐標(biāo)是一專(zhuān)x(0,1,2)=(0,-東，-

故選D

4.C

解：如圖所示,

@OA=-~OC'yOD=-OB7>

所以瓦？+說(shuō)=—0#+而)是一對(duì)相反向量；

@~0B-~0C=CB，O7-OD7=F7，而方=?R，故不是相反向量;

③同①也是正確的；

④萬(wàn)不—改=啟，元—赤=否=一而，是一對(duì)相反向量，

所以①③④正確，

故選C.

5.B

解：因?yàn)锽M=3MC,點(diǎn)N是棱AD的中點(diǎn)；

二麗=一：?jiǎn)N=iAD；-.■BC=AC-AB;

42

：.~MN=~MB+~BA+AN=--(AC-AB)-AB+-AD=--AB--AC+-AD.①

4、72442^

vMN=x^AB+y~KC+zAD②；

131

，，z=-；

???x=——4,y=——42

?,?%+y+z=一工.

/2

6.A

解：由題可得五.另=0，

-3xl+2x%+5x(—1)=0,

解得久=4,

故選A.

7.B

解”胃〃1

???存在實(shí)數(shù)k使得方=k另，

2=4*

-l=km,

{3=用1

解得k=}m=-2,n=6,

則m+n=4.

故選B.

8.C

解：AB-CD+AC-DB+AD-BC

=(XC+CB)-CD+ZC-DB+AD-BC

=AC-CD+CB-CD+AC-UB+AD-BC

=AC-(CD+DB)+CB-(CD+~DA)

=AC-CB+~CB-~CA

-CB-(AC+CA)

=CB-0

=0.

故選C.

9.D

解：因?yàn)锽M=2MC,

所以前=通+前=通+|芯=南+|(而一通)=|a+|b.

因?yàn)镹為A4i的中點(diǎn)，

_>-1___>-1

所以AN=5ZZ1=2c,

故MN=AN-AM=—a—b4—c.

332

故選

10.C

1T71——

解：因?yàn)镸、G分別是8C、CD的中點(diǎn)，所以工BC=BM，-BD=MG

22

-?1-?i->-?->-?—>

所以AB+%BC+LB。=AB+BM+MG=AG

22

故選c.

ll.A

解：???西的坐標(biāo)為(4,3,2),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，;當(dāng)(4,3,2),

BC=4,DC=3,CC1=2,：.6的坐標(biāo)為(0,3,2).故選A.

12.A

解：由向量的運(yùn)算法則可得

AF=AD+1DF=AD+-(DC+而)

=AD+|(XS+Z?)

—.1_1—

=AD+-AB+-AA'?

又彳？=AD+xAB+yAA;>

故x=}y=I，所以x-y=O,

故選A.

13.D

解：因?yàn)橥?在基底低，瓦礙下的坐標(biāo)為(2,1,3),

所以工？=2a+b+3c>

又因?yàn)槲?4彳+2),3=2，+351=3%一，，

所以市=23+3+32=2(4；+20+(2j+3%)+3(3%-j)=8i+3j+12fc,

所以則向量就在基底fJ,舟下的坐標(biāo)為(8,3,12).

故選D

14.A

解：如圖，???平行六面體ABC。-&B1GD1中,

向量屈、而、就兩兩的夾角均為60。，

且|同|=1，|而|=2，|而］=3，

?*-24cl=A.B+BC+CCp

>2>>--->一

2

ACr=(AB+BC+CCJ

->2-->2--->2-->-->--->--->-->--->

=48+BC+CQ+2XB-BC+2XB-CQ+2BC-CQ

=l+4+9+2xlx2xcos60°+2x1x3xcos600+2x2x3xcos60°

=25,

|=5.

故選A.

15.④

解：若行,另共線，貝展，石所在的直線可能平行也可能重合，故①不正確；

三個(gè)向量為，b,表中任兩個(gè)一定共面，但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面，故②不正確；

只有當(dāng)了，b，不不共面時(shí)，空間任意一個(gè)向量心才一定能表示為「=xa+yb+zc,

故③不正確;據(jù)向量運(yùn)算法則可知④正確.

故答案為④.

16.—西

6

解：OA+AOB=(1,0,0)+2(0,-1,1)=(1,-/L,/L)-

???OA+4而與人的夾角為120。，

(PA+XOB\OB2A

,,C0S-\OA+XOB\\OB\-V14-2A2V2,

化為萬(wàn)=g

o

A<0,：.A———.

6

故答案為-遺.

6

17.(-2,4,-2)

解：「毋=(1,-2,3)，AC=(-1,2,1),

：.BC=AC-AB=(-2,4,-2).

故(—2,4,—2).

推導(dǎo)出配=前-荏，由此能求出結(jié)果.

本題考查向量的求法，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)

題.

得

解：如圖所示，

AF=AD+DF，而=[(西+反)，西=視，DC=AB，

，AFADAAAB

.■=+-21I+-2,

與無(wú)聲=五3十?重不一江石漆比較可得小=|)

19.3

解：由向量五=b=(4,1,0)-

得4五+3=(4,1—；1,4)，

由a五+同=內(nèi)，得16+(1-4)2+■=29,

解得4=3或4=一2(舍去)，

故答案為3.

(2x+y—2z=-1,x=2,

20.解(1)設(shè)B=(K,y,z)，則由題意可知，久2+y2+z2=9,解得.y=_l,或

1-%+z=0,z=2

'x=—2,

y=-1,**,b=(2,-1,2)或b=(_2,_1,—2)?

、z=-2.

(2)?.?向量石與向量N=(1,—gl)共線，...1=Q，—1,2),

又???汗=(2,1,—2),c=(-1,0,1),a-K=(0,2,-4)126+3c=(1,-2,7)，

(a-K)-(2K+3c)=-32,K|a-b\=2V5,|2b+3c|=3V6,

???五—I與2B+32夾角的余弦值為cos值一反21+33=(黑I]院藍(lán))=—嚓.

21.解:(1)BM=24iM,QN=2B、N,

>1----*----?1----->

BIN

???MN=~MA[+A^B[+O

1—>一1----->

=-BA-\+AB+-B-iCi

31311

ii