2021高二數(shù)學(xué)寒假作業(yè)同步練習(xí)題：選擇性必修第一冊綜合練習(xí)

專題08選擇性必修第一冊綜合練習(xí)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

y-丫2r—

1..已□知劉雙狄曲四線cC：r彳—-4=1(。>0,匕>0)的一條漸近線方程是y=它的一個焦點坐標(biāo)為(2,0),

a2b2

則雙曲線C的方程為()。

3

【答案】D

22

【解析】?.?雙曲線C：=一5=1(。>0,〃>0)的一個焦點坐標(biāo)為(2,0),二。=2,焦點在x軸上,

ab-

,漸近線方程是y=>令人=加("?>0),則〃=，〃,

：.c=>la2+h2=2m=2,：.m=l,：,a=\,6=內(nèi)，...雙曲線方程為/一］-=1,故選D。

2.已知點A(JIl)為拋物線公=2內(nèi)(0>0)上一點，則A到其焦點廠的距離為()。

3

2

B、V2+-

2

C、2

D、V2+1

【答案】A

【解析】把A(VI1)代入拋物線中，解得p=l，則拋物線的準(zhǔn)線方程為^二-3，

3.AABC的頂點分別為A(l,-1,2)、8(5,-6,2)、C(l,3,-1),則AC邊上的高5。的長為()?

A、2

B、舊

C、5

D、6

【答案】C

【解析】:A(l,-1,2)、5(5,-6,2),C(l,3,-1),則荏=(4,—5,0),AC=(0,4,-3),

?.?點O在直線AC上，...設(shè)通=XAC=(0,4X,-3k).

貝i)麗=石一Q=(0,4入,一3九)一(4,一5,0)=(T,4?i+5,-3k),

XVBD±AC,則3D-AC=Tx0+(軟+5)x4+(—3入)x(-3)=0，解得九=一《。

.?.麗=(T,軟+5,—3入)=(T,g,￡),貝”而|=J(-4)2+($2+(?)2=5,故選c。

4.如果6、舄、…、匕是拋物線C：V=4x上的點，它們的橫坐標(biāo)依次為為、々…、怎，P是拋物線

c的焦點,若百+超+…+x“=io,貝尸|+|鼻尸|+…+|?F|=()。

A、n+10

B、zt+20

C、2/1+10

D、2M+20

【答案】A

【解析】由題可知拋物線的焦點為(1,0),準(zhǔn)線為x=-l,

由拋物線定義可知I片尸|=%+1、\P2F\=X2+\.

故16尸|+|舄F|+…+|￡F|=〃+10,故選A。

5.正方體ABC。—A,瓦G。中，M、N分別為AC上的點，且滿足4。=3皿，AN=2NC,則

異面直線MN與GR所成角的余弦值為()。

舊

AA、——

5

Ra

4

C、正

5

D、旦

3

【答案】C

【解析】以。為原點，DA、DC、為x軸、y軸、z軸建系，設(shè)48=3,

則由4。=3"￡>、AN=2NC可得:C,(0,3,3).R(0,0,3)、M(1,0,1)>N(l,2,0),

---*--,

：.QD.=(0,-3,0),礪=(0,2,—1),則cos<或，礪=—處

IC.DJ-IWI5

又MN與GA所成角為銳角，

則異面直線MN與GR所成角的余弦值為|cos<GA，MN>|=*,

故選Co

6.如圖，正方體的棱長為1，E、F分別是棱8C、上的點，若4平面45E,

則CE與。尸的長度之和為（）。

A.1

2

B正

2

C旦

2

D、1

【答案】D

【解析】以RA、4G、DQ為x、y、z軸建系，設(shè)CE=x（），

則E(知1,1),4(1,1,0),F(O,O,l-yo)-8(1,1,1),

...南=(占一1,0,1),麗=(1,1,%),由于4EJL平面ABb,

.-.^EFB=(x0-1,0,1)-(1,1,%)=與-1+0+%=0=瓦+%=1，

故CE與。R的長度之和為1,故選D。

7.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E、尸分別是他、8c的中點，將A40E、AEBF、&FCD令

別沿DE、EF、FD折起，使得A、B、C三點重合于點A',若四面體4EFO的四個頂點在同一個球面

上，則該球的表面積為（）o

A^57c

B、6兀

C、8兀

D、10n

【答案】D

【解析】四面體AEFQ為底面為等腰AA'EF,頂點為。的三棱錐D-A'EF,

則A'E=A'F=1,EF=6,A'D=2,DE=DF=4^>,

y

則DA'±A'E,DA'1.A'F,則DA'1.平面A'EF,X

XA'E2+A'F2=EF2,則AA'EF為直角三角形，A'E1A'F,

以A'為原點如圖建系,則A'((),(),()),E(1,O,O),尸(0,1,0),￡>(0,0,2),

設(shè)四面體A'EFD的外接圓的圓心為。(x,y,z),則。A'=OE=。尸=O。，

由空間兩點間距離公式知：X2+y2+z2=(x-l)-+y2+z2,x2++z2=x2+(y-l)~+z2,

x2+y2+z2=x2+y2+(z-2)2,解得x=g,y=g，z=l,

，半徑為八爐”喟邛,

該球的表面積為S=4兀r=4兀x6K,故選Bo

22

8.已知耳、居分別是雙曲線E：W—2r=1（。>0,6>0）的左、右焦點，且|百區(qū)|=2,若P是該雙曲

ab

線右支上一點，且滿足|P耳1=2|P瑪則月后面積的最大值是（）。

D、2

【答案】B

【解析】設(shè)|P4|=〃，/片”=。，由題意得加=2",c=l,

由雙曲線定義得m-n=2a,n=2a>c-a=\-a=>?>-=>?>—=>?2>—.

339

由余弦定理得cosO=C4c_5n2-4

2nm4n2

MN5

S"F、F2=|sin9="2J]_(：j3)2

9_9/+40〃2-16=49心步+等2g,

4

2

當(dāng)

>時4

-20一

99-△P6居面積的最大值是故選B。

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得3分。

9.若3、君、：是空間的非零向量，則下列命題中的假命題是（）。

AN（a-b）-c=（b-c）-a

B、若=?向,則々〃B

C＞若a.c=l)c,則々〃。

D、若Q.Q=H,則1二加

【答案】ACD

【解析】(4%)?C是與C共線的向量，區(qū)，。卜。是與4共線的向量，。與C不一定共線，A錯,

若q%=-|a|-|B|,則〃與：方向相反，,a〃1,B對,

若a.c=Vc,則(a-5),c=0,即不能推出Q〃Z,C錯，

若ci.ci=：E,則|q|=|B|,。與芯方向不一定相同，不能推出。=兀D錯，

故選ACDo

4/?

10.若平面內(nèi)兩條平行線4：x+(a—l)y+2=0與4：ar+2y+l=0間的距離為手，則實數(shù)〃=()。

A、—2

B、-1

C、1

D、2

【答案】BD

【解析】lj/l2,/.a(a-1)=2,解得a=-l或"=2,

a——\^'\d-,符合，當(dāng)a=2時d=3“,符合，故選BD。

54

II.如圖所示，設(shè)E、尸分別是正方體A3C3-4耳G4的棱CO上兩點，且AB=2、EF=1,其中正確

的命題為()。

A、三棱錐片族的體積為定值

B、異面直線耳。與所所成的角為60°

C、片￡)|J?平面片后產(chǎn)

D、直線用R與平面片E廠所成的角為30°

【答案】AD

【解析】以。為原點建系,設(shè)E(0,f,0),則F(0,r+1,0).

1112

A選J頁，%]-8[EF=%i-O[EF=§*59后-XB]G=§X]X2xlx2=§為定值，故對,

B選項，異面直線用烏與瓦'所成的角與直線與。與GA所成的角為同一個角，

即異面直線BR與E尸所成的角的平面角為NB]D￡=45°，故錯，

C選項，4〃=（220），平面/即平面45co的法向量為〃=（1,0,1）,

設(shè)直線瓦。與平面所成的角的平面角為0,

則sinO=|cos<BQ/>|=|/"I+zxu+uxi=匕則。=30°,故錯,

V22+22+O-V12+O+122

D選項，由C選項可知直線BR與平面片ER所成的角為30°,故對,

故選AD。

22

12.已知6、居是雙曲線「-斗=1（。>0,b>0）的左、右焦點，過居作雙曲線一條漸近線的垂線，垂

ab

足為點A,交另一條漸近線于點8,且4丹=,48,則該雙曲線的離心率為（

）。

3

V6

A、

2

B、6

3屈

C、

~2~

D、36

【答案】AB

【解析】（1）當(dāng)康時，設(shè)/丹OA=a,則/AO8=2a,設(shè)a=l,

由題意可知0A=a=\,OF?—ce,AF2=b，BF?=3b，

則AB=4h,tana=—=/?,tan2a=—=4Z??

a

/卜、/口c2tana2b,

代入得tan2a=-----—=----=4Ab,

1-tan-a\-h7

即2=4—4方2,解得b=也,則”0="2+。2=

2

,1-----a

(2)當(dāng)=§后B時，設(shè)/5OA=a,ZAOB=p,設(shè)

則NgO8=a+p,ZfjOB=7i-(a+p),

由題意可知0A=a=1,OF2=c=eAF2=b,BF?=3b,

1t

則AB=26,tana=—=/?,tanp=—=2b,

aa

則tanZF}OB=tan[K-(a+P)]=-tan(a+P)=tana,

/c、tana+tanB

則tan(a+0)=------------=-tana,

1-tanatanp

代入得-"-=—b,即3=2/?2—1,解得b=則e=c=J"+—*=A/5,

\-b-2b

故選AB。

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知巴、鳥為橢圓C：=+)-=1的左、右焦點，M為橢圓上一點，且△MB內(nèi)切圓的周長等于3兀，

a16

若滿足條件的點M恰好有兩個，則。=。

【答案】±5

【解析】由題意得內(nèi)切圓的半徑等于：，因此&鳴鳥的面積為:x［x(2a+2c)='受^

即更等=；x|yM|x2c,?.?滿足條件的點M恰好有兩個，

22

?二"為橢圓短軸端點，即ly〃l=4,3a=5c,而〃c=16,/.a=25fa=±5

22

14.已知直線乙：ax-2y=2a-4/2：2x^ay=2a+4,當(dāng)0<av2時，直線九、4與兩坐標(biāo)軸圍成一

個四邊形，則四邊形面積的最小值為,此時實數(shù)。=o(本小題第一個空3分，第二個空2

分)

【答案】--

42

【解析】直線ax-2y=2a-4的必過點為P(2,2),斜率為色，在y軸上的截距為2-a,且0<2-"2

直線2了+。2,=242+4的必過點也為玖2,2),斜率為,

3a"

在x軸上的截距為+2,且/+2〉2

四邊形的面積S=Lx2x(2-a)+Lx2x(a2+2)=a2—a+4=(a-_L)2+”,

2224

...四邊形面積的最小值為"，此時a=,。

42

15.如圖所示，平行六面體中，AB=AD=AAX=1,ZBAD=ZBAAl=120°,ZDA^=60°,

則線段AG的長度是________。D'VX

［答案］V2VAV------74^，

?解析+育飛7「1

/.AC}=AB+AD+M+2ABAD+2ABAAi+2AD-AA}------------

=l+l+l+2xlxlx(--)+2xlxlx(--)-i-2xlxlx—=2?

222

AIAC,|=V2o

16.已知產(chǎn)是雙曲線C：》2一今=1的右焦點，/＞是C左支上一點，A（0,6后），當(dāng)AAPF周長最小時，該

8

三角形的面積為。

【答案】12m

【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為耳，由雙曲線定義知，|尸尸|=2a+|/V",

A4尸產(chǎn)的周長為|A4|+|P用+|A用=|PA|+2a+|P6l+|A用=jR4|+|P6l+|AE|+2a,

由于|4尸|+2。是定值，要使A鏟尸的周長最小，則|PA|+|P/"最小,

即尸、4、耳共線,???A（0,6向,6（-3,0），

直線A耳的方程為二+4==1,即》=：=-3,

-36V62V6

2

代入r-2_=1整理得：/+6面＞—96=0,

8

解得y=2#或y=-8后舍），P點的縱坐標(biāo)為2后,

,"SgPF=S^FF\_S"FF\=—x6x6y[6—x6x2>[6=12-^6。

22

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）若直線/經(jīng)過直線3x+4y-2=0與直線2x+y+2=0的交點P,且垂直于直線x-2y-1=0。

（1）求直線/的方程；

（2）求直線/關(guān)于原點0對稱的直線方程。

【解析】⑴由產(chǎn)+分-2=0解得卜=-2,由于點尸的坐標(biāo)是（_2,2）,2分

[2x+y+2=0[y=2

又?.?直線x—2y-l=0的斜率為犬=；,

由直線/與x-2y-l=0垂直可得用=—1=—2,4分

k'

故直線/的方程為：y-2=-2（x+2）,即2x+y+2=（）,5分

⑵又直線/的方程2x+y+2=0在x軸、y軸上的截距分別是一1與—2,7分

則直線/關(guān)于原點對稱的直線在x軸、y軸上的截距分別是1與2,9分

所求直線方程為二+2=1,即2x+y—2=0。10分

12

18.（12分）已知等腰梯形4BCZ）如圖1所示，其中AB〃C。，E、產(chǎn)分別為AB、CD的中點，且/W=E/=2,

CD=6,〃為BC中點，現(xiàn)將梯形ABCD按所所在直線折起，使平面EPCB1.平面瓦。4,如圖2所示,

N是線段CQ上一動點，且CN=kND。

(1)當(dāng)九=工時，求證：〃平面皿石；

2

(2)當(dāng)九=1時，求二面角M-24-尸的余弦值。

圖I圖2

【解析】(1)證明：過點M作"PJ_E尸于點P,過點N作NQ,F。于點。，連接PQ,1分

由題意，平面EbCB_L平面瓦94,

RF+CF

...平面￡7ZA，且例P==2,2分

2

CFLEF,EF,；.￡F_L平面CF。，；.NQLEF,由NQLFO,3分

NQ_L平面EFD4,又CN=；ND,

2

NQ=[CF=2，即MP〃NQ，MP=NQ,4分

則MN〃/^Q,由MN<z平面ADEE,PQu平面皿花，

MN〃平面45EE；5分

(2)以F為坐標(biāo)原點，F(xiàn)E方向為x軸，ED方向為y軸，F(xiàn)C方向為z軸，如圖建系，

33

則M(l,0,2),A(2,l,0),尸(0,0,0),C(0,0,3),0(0,3,0),N(0,-,-),6分

22

———.----31

設(shè)平面4MN的法向量分別為%=(孫％,4),/VW=(-1,-1,2)>MN=(—1弓，—豈

勺?AM-一再一y+2Z]=0

則,_____31，取西=1,則為=1、馬=1,即a=(1,1,1)，8分

n,?MN=-%)+—%—Z]=0

設(shè)平面F4V的法向量分別為應(yīng)=(工2,%，Z2)，育=(2,1,0)、?7V=(0,|,|)

n2-FA=2X2+%=0

則,——,33，取々=1，則為=一2、z?=2,即第=(1,一2,2),10分

n2.FN=y2+z2=()

、乙乙

設(shè)二面角"-24-尸的平面角為0,經(jīng)觀察。為銳角,

Ixl+lx(-2)+1x2

則COS0=1COS<勺,%>1=1￥相二

1ni.|%|73x79邛

l

二面角M-NA-F的余弦值為—12分

19.（12分）設(shè)圓/+/+2；<：-15=0的圓心為A,直線/過點8（1,0）且與x軸不重合，/交圓A于C、。兩

點,過B作4c的平行線交AD于點E。

（1）證明|￡4|+|￡3|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（2）設(shè)點E的軌跡為曲線G，直線/交G于加、N兩點，過8且與/垂直的直線與圓A交于尸、。兩點,

求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

【解析】（1）證明：'：\AD\=\AC\,EB//AC,故NEBO=NAC￡>=NAOC,

：.\EB\=\ED\,^\EA\+\EB\^EA\+\ED\=\AD\,1分

又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為。+1)2+/=16,從而［4。|=4,二|所|+|￡8|=4,2分

由題設(shè)得4-1,0),8(1,0),|AB|=2,

.?.點E的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，

X2y2

設(shè)E：—z-4-^-7=1(?>b>0),ywO,3分

ab

22

則。=2、c=1,b=y/3,則軌跡。的方程為工+^-=1(丁w。)；4分

43

(2)當(dāng)/與x軸不垂直時，設(shè)/的方程為y=Z(x-l)(k。0),M(xpy)、N(x?,y2),

y—k(x—1)

由，二，得：(3+4&2)d一弘2》+4及2-12=0,△>()恒成立，6分

3x2+4/=12

7

則.+&=a8：以，*.工2=t4：:,IMNh71+I\xt-x21=>7分

D十QKD十JKDI

12

過點3(1,0)同與/垂直的直線機：y=--(x-l),A到加的距離為/,8分

k收+i

“0=2F一（島）2川震，

故四邊形知尸"。的面積5=3乂|腦7|*|/>0|=12』^^：，9分

可得當(dāng)/與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為（128百），10分

當(dāng)/與x軸垂直時，其方程為x=l,

|AW|=3,\PQ\=8,四邊形MPNQ的面積為12,11分

綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為［1286）。12分

20.(12分)四棱錐P-A8CD中，平面ABC。，2AD=BC=2a(a>0),ADIIBC,PD=43a,

NDAB=0。

⑴若0=60°,AB=2a,Q為尸3的中點，求證：DQLPC；

⑵若0=90°,AB=a,求平面B4T＞與平面PBC所成角的大小。

第(1)問圖

【解析】(1)證明：連接AD=a,AB=2a,ZDAB=60\

由余弦定理：BD2=DA2+AB2-2DAAB-COS600,解得3。=島，2分

AA8￡>為直角三角形，BDLAD,,:AD//BC,：.BCLBD,

又PD_L平面ABCD,BCYPD,?：PDC\BD=D,

BC,平面3分

BCu平面PBC,二平面平面PBC,

又,；PD=BD=N，Q為PB中點，：.DQLPB,4分

?.?平面P8￡)n平面P3C=P3,OQ_L平面尸3C,

又：PCu平面PBC,ADQ1PC；5分

⑵由。=90°,AB^a,可得8。=。。=億，取BC中點A/,則為矩形,

以。為坐標(biāo)原點分別以DA、DM、DP所在直線為x、y、z軸，

建立空間宜角坐標(biāo)系。-乎，

則￡>(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(-a,a,0)、M(0,0,a)、P(0,0,75a),7分

平面A4。，...而是平面B4D的法向量，麗=(0,a,0),8分

設(shè)平面P8C的法向量為〃=(x,y,z),

—?i——?n-PB=0

PB=(a9a,-j3a),BC=(-2tz,0,0),,

n-BC=0

令z=l,可得卜+ay-島=0,解得7=(0,向)，10分

-2ax=0

設(shè)平面E4D與平面PBC所成角的平面角為0,8S0=|曰J=&二巫,

\DM\-\n\2a2

，平面Q4D與平面P8c所成角為烏。12分

6

21.(12分)如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，底面4B8是平行四邊形，PZU底面A8C￡>,24=48=2,

BC=-PA,BD=6,E在PC邊上。

2

(1)求證：平面平面P08；

(2)當(dāng)E是PC邊上的中點時，求異面直線AP與3E所成角的余弦值；z

(3)若二面角E-8。-C的大小為30°,求OE的長。?

【解析】(1)證明：；底面48CD是平行四邊形，AO=BC=1,

又BD=g,AB=2,滿足A￡>2+B￡)2=A52,AADYBD,1分

又：包)，底面ABC。，皮)，平面BAO，2分

8￡>u平面PDB，二平面P/M_L平面PDB；3分

(2)以。為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則0(0,0,0)、4(1,0,0),B(0,V3,0).C(—1,6,0)、尸(0,0,右)，4分

：E是PC邊上的中點,E(—,

則Q=(—1,0,揚，麗=(-g,-乎,乎)，5分

設(shè)直線4P與巫所成角的平面角為a，

?I~AD~DCII|AP?BE|2,7八

??cosa=|cos<AP,BE>|=|——|=------；6分

\AP\-\BE\7

⑶由C,E,尸三點共線，得詼=入麗+（1—九）反，fiO<X<l,

從而有方=（九一1,6（1一九），瘋）,=（0,73,0）,7分

,,,,,、，-n,DE—（X.—l）x+V3（l—九）y+入z—0

設(shè)平面￡DB的法I可量為〃=（x,y,z）,.?.《___.,

n-DB=y/3y=0

令x=5則y=0,z=R,可取3=（6,0,曰）,

10分

X九

又平面的法向量可取獲=(0,0,1),二面角E-80-C的大小為30°,

.n-m,A/3?)1,33百6、..,V39公

??cos30o—I~|—,??入=—,??DE—(z，,)，??IDnjE7\-012jj

\n\\m\244444

22.(12分)已知點P是