新教材 人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè) 第三章 排列、組合與二項(xiàng)式定理 課時(shí)練習(xí)題及章末測(cè)驗(yàn) 含解析

第三章排列、組合與二項(xiàng)式定理

1.基本計(jì)數(shù)原理........................................................-1-

2.基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用..................................................-5-

3.排列及排列數(shù)........................................................-8-

4.排列數(shù)的應(yīng)用.......................................................-12-

5.組合與組合數(shù).......................................................-15-

6.組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.................................................-18-

7.二項(xiàng)式定理.........................................................-22-

8.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、楊輝三角和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用......................-25-

章末綜合測(cè)驗(yàn)...........................................................-29-

1.基本計(jì)數(shù)原理

一、選擇題

1.圖書(shū)館的書(shū)架有3層，第1層有3本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，第2層有5本不同的語(yǔ)文書(shū)，第

3層有8本不同的英語(yǔ)書(shū)，現(xiàn)從中任取1本書(shū)，不同的取書(shū)方法共有（）

A.120種B.64種

C.39種D.16種

D[由于書(shū)架上共有3+5+8=16（本）書(shū)，則從中任取1本，共有16種不同的取法.]

2.已知aC{3,4,5},{112},{1,4,9,16）,則方程（*—a）"+（y-"6）'=步可表示不

同圓的個(gè)數(shù)是（）

A.6B.9

C.16D.24

D[確定一個(gè)圓可以分三個(gè)步驟：第一步，確定a,有3種選法；第二步，確定6,有2

種選法；第三步，確定八有4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同圓的個(gè)數(shù)為3X2X4=

24.]

3.李芳有4件不同顏色的襯衣、3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙五

一”勞動(dòng)節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則李芳不同的選擇方式有（）

A.24種B.14種

C.10種D.9種

B[不選連衣裙有4X3=12種方法，選連衣裙有2種.共有12+2=14種.]

4.將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法共有（）

A.5,種B.3,種

C.8種I）.15種

B［每封信均有3種不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3X3X3X3X3=35種投

法.］

5.如果x,yCN,且1WXW3,x+y<7,則滿足條件的不同的有序自然數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是（）

A.15B.12

C.5D.4

A［利用分類加法計(jì)數(shù)原理.

當(dāng)x=l時(shí)，y=0,1,2,3,4,5,有6個(gè)；當(dāng)x=2時(shí)，y=0,1,2,3,4,有5個(gè)；當(dāng)x=3時(shí),

y=0,1,2,3,有4個(gè).據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有6+5+4=15個(gè).］

二、填空題

6.有三個(gè)袋子，分別裝有不同編號(hào)的紅色小球6個(gè)，白色小球5個(gè)，黃色小球4個(gè).若

從三個(gè)袋子中任取1個(gè)小球，有種不同的取法.

15［有3類不同方案：

第1類，從第1個(gè)袋子中任取1個(gè)紅色小球，有6種不同的取法；

第2類，從第2個(gè)袋子中任取1個(gè)白色小球，有5種不同的取法：

第3類，從第3個(gè)袋子中任取1個(gè)黃色小球，有4種不同的取法.

其中，從這三個(gè)袋子的任意一個(gè)袋子中取1個(gè)小球都能獨(dú)立地完成“任取1個(gè)小球”這

件事，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有6+5+4=15種.］

7.某班2020年元旦晚會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了2個(gè)新節(jié)目，

如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法的種數(shù)為.

42［將第一個(gè)新節(jié)目插入5個(gè)節(jié)目排成的節(jié)目單中有6種插入方法，再將第二個(gè)新節(jié)目

插入到剛排好的6個(gè)節(jié)目排成的節(jié)目單中有7種插入方法，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有插

入方法：6X7=42（種）.］

8.5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員.現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員參加團(tuán)體比賽,

則入選的3名隊(duì)員中至少有一名老隊(duì)員的選法有種.（用數(shù)字作答）

9［分為兩類：兩名老隊(duì)員、一名新隊(duì)員時(shí)，有3種選法；兩名新隊(duì)員、一名老隊(duì)員時(shí),

有2X3=6（種）選法，即共有9種不同選法.］

三、解答題

9.某單位職工義務(wù)獻(xiàn)血，在體檢合格的人中，0型血的共有28人，A型血的共有7人，

B型血的共有9人，AB型血的共有3人.

（1）從中任選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法；

（2）從四種血型的人中各選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？

［解］從0型血的人中選1人有28種不同的選法；

從A型血的人中選1人有7種不同的選法；

從B型血的人中選1人有9種不同的選法；

從AB型血的人中選1人有3種不同的選法.

(1)任選1人去獻(xiàn)血，即無(wú)論選哪種血型的哪一個(gè)人，“任選1人去獻(xiàn)血”這件事情都可

以完成，所以用分類加法計(jì)數(shù)原理，有28+7+9+3=47種不同的選法.

(2)要從四種血型的人中各選1人，即從每種血型的人中各選出1人后，“各選1人去獻(xiàn)

血”這件事情才完成，所以用分步乘法計(jì)數(shù)原理，有28X7X9X3=5292種不同的選法.

10.某校高中三年級(jí)一班有優(yōu)秀團(tuán)員8人，二班有優(yōu)秀團(tuán)員10人，三班有優(yōu)秀團(tuán)員6人,

學(xué)校組織他們?nèi)⒂^某愛(ài)國(guó)主義教育基地.

(1)推選1人為總負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？

(2)每班選1人為小組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？

(3)從他們中選出2個(gè)人管理生活，要求這2個(gè)人不同班，有多少種不同的選法？

［解］(1)分三類，第一類是從一班的8名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，有8種不同的選法；第二類

是從二班的10名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，有10種不同的選法；第三類是從三班的6名優(yōu)秀團(tuán)員中

產(chǎn)生，有6種不同的選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有川=8+10+6=24(種)不同的選法.

(2)分三步，第一步從一班的8名優(yōu)秀團(tuán)員中選1名小組長(zhǎng)，有8種不同的選法，第二步

從二班的10名優(yōu)秀團(tuán)員中選1名小組長(zhǎng)，有10種不同的選法.第三步是從三班的6名優(yōu)秀

團(tuán)員中選1名小組長(zhǎng)，有6種不同的選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有*=8X10X6=

480(種)不同的選法.

(3)分三類：每一類又分兩步，第一類是從一班、二班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人，有8X10

種不同的選法；第二類是從二班、三班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人，有10X6種不同的選法；第

三類是從一班、三班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人，有8X6種不同的選法.因此，共有川=8X10

+10X6+8X6=188(種)不同的選法.

11.從集合{1,2,3,…，8}中任意選出3個(gè)不同的數(shù)，使這3個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的

等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4

C.6D.8

B［以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1,2,4;以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2,4,8.把這兩個(gè)數(shù)列的

順序顛倒，又得到2個(gè)數(shù)列，.?.所求數(shù)列為4個(gè).］

22

12.(多選題)已知集合力={-1,2,3,4},m,n^A,則對(duì)于方程》+1=1的說(shuō)法正確的

是()

A.可表示3個(gè)不同的圓

B.可表示6個(gè)不同的橢圓

C.可表示3個(gè)不同的雙曲線

D.表示焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓的有3個(gè)

22

ABD［當(dāng)勿=〃>0時(shí)，方程*+匕=1表示圓，故有3個(gè)，選項(xiàng)A正確；當(dāng)加且勿，〃>0

mn

22

時(shí)，方程上+工=1表示橢圓，故有3X2=6個(gè)，選項(xiàng)B正確；若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以

mn

初>/7>0.當(dāng)m=4時(shí),〃=2,3；當(dāng)卯=3時(shí)，〃=2；即所求的橢圓共有2+1=3（個(gè)），選項(xiàng)D正確；

XV

當(dāng)山水。時(shí)，方程一I■-=1表示雙曲線，故有3X1+1義3=6個(gè)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.］

mn

13.4名學(xué)生參加跳高、跳遠(yuǎn)、游泳比賽，4人都來(lái)爭(zhēng)奪這三項(xiàng)冠軍，則冠軍分配方法的

種數(shù)是.

64［因?yàn)樘吖谲姷姆峙溆?種不同的方法，

跳遠(yuǎn)冠軍的分配有4種不同的方法，游泳冠軍的分配有4種不同的方法，

所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，冠軍的分配方法有4X4X4=64（種）.］

14.（一題兩空）若在如圖1的電路中，只合上一個(gè)開(kāi)關(guān)可以接通電路，有種不

同的方法；在如圖2的電路中，合上兩個(gè)開(kāi)關(guān)可以接通電路，有種不同的方法.

56［對(duì)于圖1,按要求接通電路，只要在/中的兩個(gè)開(kāi)關(guān)或8中的三個(gè)開(kāi)關(guān)中合上一

個(gè)即可，故有2+3=5（種）不同的方法.

對(duì)于圖2,按要求接通電路必須分兩步進(jìn)行：

第一步，合上］中的一個(gè)開(kāi)關(guān)；

第二步，合上8中的一個(gè)開(kāi)關(guān)，

故有2X3=6（種）不同的方法.］

15.已知集合,井={-3,-2,-1,0,1,2},P（a,⑸表示平面上的點(diǎn)（a,be刪.

（1）一可以表示平面上的多少個(gè)不同點(diǎn)？

（2）?？梢员硎酒矫嫔系亩嗌賯€(gè)第二象限的點(diǎn)？

（3）戶可以表示多少個(gè)不在直線y=x上的點(diǎn)？

［解］（1）完成這件事分為兩個(gè)步驟：a的取法有6種，人的取法有6種.由分步乘法計(jì)

數(shù)原理知，戶可以表示平面上的6X6=36（個(gè)）不同點(diǎn).

（2）根據(jù)條件需滿足a<0,核0.

完成這件事分兩個(gè)步驟：a的取法有3種，6的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，P

可以表示平面上的3X2=6（個(gè)）第二象限的點(diǎn).

（3）因?yàn)辄c(diǎn)P不在直線y=x上，所以第一步。的取法有6種，第二步b的取法有5種，根

據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，P可以表示6x5=30（個(gè)）不在直線y=x上的點(diǎn).

2.基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

一、選擇題

1.將3張不同的奧運(yùn)會(huì)門(mén)票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是

（）

A.2160B.720

C.240D.120

B[第1張門(mén)票有10種分法，第2張門(mén)票有9種分法，第3張門(mén)票有8種分法，由分步

計(jì)數(shù)原理得共有10X9X8=720（種）分法.]

2.用0,1,…，9這10個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.243B.252

C.261D.648

B[0,1,2,…，9共能組成9X10X10=900（個(gè)）三位數(shù)，其中無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有

9X9X8=648（個(gè)），所以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900—648=252（個(gè)）.]

3.某城市的電話號(hào)碼由六位升為七位（首位數(shù)字均不為零），則該城市可增加的電話部數(shù)

是（）

A.9X8X7X6X5X4X3X2

B.8X96

C.9X10°

D.8.1X106

D[電話號(hào)碼是六位數(shù)字時(shí)，該城市可安裝電話9X105部，同理升為七位時(shí)為9X10",

可增加的電話數(shù)是9義1。5=8.IX10".故選D.]

4.有48兩種類型的車(chē)床各一臺(tái)，現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都會(huì)操作兩

種車(chē)床，丙只會(huì)操作A種車(chē)床，要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車(chē)床，則不同的

選派方法有（）

A.6種B.5種

C.4種D.3種

C[不同的選派情況可分為3類：若選甲、乙，有2種方法；若選甲、丙，有1種方法;

若選乙、丙，有1種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選派方法有2+1+1=4（種）.］

5.有四位教師在同一年級(jí)的四個(gè)班各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測(cè)時(shí)要求每位教師不能

在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有（）

A.8種B.9種

C.10種D.11種

B［設(shè)四位監(jiān)考教師分別為A,B,C,D,所教班分別為a,b,c,d.若A監(jiān)考b,則余

下三人監(jiān)考剩下的三個(gè)班，共有3種不同方法.同理，若4監(jiān)考c,"時(shí)，也分別有3種不同

方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理，得監(jiān)考方法共有3+3+3=9（種）.］

二、填空題

6.小張正在玩一款種菜的游戲，他計(jì)劃從倉(cāng)庫(kù)里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡蘿卜這

5種種子中選出4種分別種植在四塊不同的空地上（一塊空地只能種植一種作物），若小張已決

定在第一塊空地上種茄子或辣椒，則不同的種植方案共有種.

48［當(dāng)?shù)谝粔K地種茄子時(shí)，有4X3X2=24種不同的種法；當(dāng)?shù)谝粔K地種辣椒時(shí)，有

4X3X2=24種不同的種法,故共有48種不同的種植方案.］

7.有10本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，9本不同的語(yǔ)文書(shū)，8本不同的英語(yǔ)書(shū)，從中任取兩本不同類

的書(shū)，共有不同的取法______種.

242［取兩本書(shū)中，一本數(shù)學(xué)、一本語(yǔ)文，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有10X9=90（種）不

同取法；

取兩本書(shū)中，一本語(yǔ)文、一本英語(yǔ)，有9X8=72（種）不同取法；

取兩本書(shū)中，一本數(shù)學(xué)、一本英語(yǔ)，有10X8=80（種）不同取法.

綜合以上三類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理，共有90+72+80=242（利。不同取法.］

8.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參

加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有

種.

20［分三類：若甲在周一，則乙丙有4X3=12種排法；若甲在周二，則乙丙有3X2=

6種排法；若甲在周三，則乙丙有2X1=2種排法.所以不同的安排方法共有12+6+2=20

種.］

三、解答題

9.如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相

鄰的兩個(gè)格子顏色不同，且兩端的格子的顏色也不同，不同的涂色方法共有多少種？（用數(shù)字

作答）

［解］不妨將圖中的4個(gè)格子依次編號(hào)為①②③④，當(dāng)①③同色時(shí)，有6X5X1X5=150

種方法；當(dāng)①③異色時(shí)，有6X5X4X4=480種方法.所以共有150+480=630種方法.

10.用數(shù)字1,2,3,4,5,6組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，然后由小到大排成一個(gè)數(shù)列.

(1)求這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)；

(2)求這個(gè)數(shù)列中的第89項(xiàng)的值.

［解］(1)完成這件事需要分別確定百位、十位和個(gè)位數(shù)，可以先確定百位，再確定十

位，最后確定個(gè)位，因此要分步相乘.

第一步：確定百位數(shù)，有6種方法.

第二步：確定十位數(shù)，有5種方法.

第三步：確定個(gè)位數(shù)，有4種方法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有

*=6X5X4=120個(gè)三位數(shù).

所以這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為120.

(2)這個(gè)數(shù)列中，百位是1,2,3,4的共有4X5X4=80個(gè)，

百位是5的三位數(shù)中，十位是1或2的有4+4=8個(gè)，

故第88項(xiàng)為526,故從小到大第89項(xiàng)為531.

11.一個(gè)旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示，某人從一點(diǎn)處進(jìn)，0點(diǎn)處出，沿圖中線路游覽4

B,。三個(gè)景點(diǎn)及沿途風(fēng)景，則不重復(fù)(除交匯點(diǎn)。外)的不同游覽線路有()

A.6種B.8種

C.12種D.48種

D［每個(gè)景區(qū)都有2條線路，所以游覽第一個(gè)景點(diǎn)有6種選法，游覽第二個(gè)景點(diǎn)有4種

選法，游覽第三個(gè)景點(diǎn)有2種選法，故共有6X4X2=48種不同的游覽線路.］

12.如圖所示，一環(huán)形花壇分成力，B,C,〃四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每

塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為()

A.96B.84

C.60D.48

B［可依次種4B,C,〃四塊，當(dāng)。與4種同一種花時(shí)，有4X3X1X3=36種種法;

當(dāng)C與力所種花不同時(shí);有4X3X2X2=48種種法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的種法種數(shù)為36+48=84.］

13.從集合｛1,2,3,4,5｝中任取2個(gè)不同的數(shù)，作為方程〃+的=0的系數(shù)48的值，

則形成的不同直線有條.

18［第一步，取/的值，有5種取法；第二步，取8的值，有4種取法，其中當(dāng)/=1,

6=2時(shí)與4=2,6=4時(shí)是相同的方程：當(dāng)月=2,6=1時(shí)與4=4,6=2時(shí)是相同的方程，故

共有5X4-2=18條.］

14.(一題兩空)從2,3,5,7,11中每次選出兩個(gè)不同的數(shù)作為分?jǐn)?shù)的分子、分母，則可產(chǎn)

生不同的分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是,其中真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是一—.

2010［產(chǎn)生分?jǐn)?shù)可分兩步：第一步，產(chǎn)生分子有5種方法；第二步，產(chǎn)生分母有4種

方法，共有5X4=20個(gè)分?jǐn)?shù).產(chǎn)生真分?jǐn)?shù)，可分四類：第一類，當(dāng)分子是2時(shí)，有4個(gè)真分

數(shù)，同理，當(dāng)分子分別是3,5,7時(shí)，真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)分別是3,2,1,共有4+3+2+1=10個(gè)真

分?jǐn)?shù).］

15.用〃種不同的顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖甲、乙)，要求在①，②，③，④四

(1)若〃=6,為甲著色時(shí)共有多少種不同方法？

(2)若為乙著色時(shí)共有120種不同方法，求〃的值.

［解］完成著色這件事，共分四個(gè)步驟，可依次考慮為①，②，③，④著色時(shí)各自的方

法數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理確定總的著色方法數(shù).

(1)為①著色有6種方法，為②著色有5種方法，為③著色有4種方法，為④著色也有4

種方法.所以共有著色方法6X5X4X4=480種.

(2)與(1)的區(qū)別在于與④相鄰的區(qū)域由兩塊變成了三塊，同理，不同的著色方法數(shù)是〃(〃

—1)(n~2)(n~3).由〃(〃一1)一2)(〃-3)=120,所以(一一3。)(//—3〃+2)—120=0.

即(P-3/7)2+2(/72-3/J)-12X10=0.所以/72-3/7-10=0.所以n=5.

3.排列及排列數(shù)

一、選擇題

1.A；2=9X10X11X12,則卬等于（）

A.3B.4

C.5D.6

B［由排列數(shù)公式可知277=4,故選B.］

2.從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為（）

A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲;

B.甲乙丙，乙丙甲;

C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙;

D.甲乙，甲丙，乙丙.

C［這是一個(gè)排列問(wèn)題，與順序有關(guān)，任意兩人對(duì)應(yīng)的是兩種站法，故C正確.］

3.下列問(wèn)題屬于排列問(wèn)題的是（）

①?gòu)?0個(gè)人中選2人分別去種樹(shù)和掃地;

②從10個(gè)人中選2人去掃地;

③從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì);

④從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作log,中的底數(shù)與真數(shù).

A.①④B.①②

C.④D.①③④

A［根據(jù)排列的概念知①④是排列問(wèn)題.］

4.計(jì)算，r=（）

A.12B.24

C.30D.36

7X6X5X4X3X2—6X5X4X3X2

D［原式==7X6—6=36.]

5X4X3X2

5.不等式片一一水7的解集為（）

A.{n\—1〈水5}B.（1,2,3,4）

C.{3,4}D.{4}

C[由A3—/X7,得（/?—1）（〃一2）—/7<7,即一又因?yàn)?且〃-122,所以〃

=3,4.故選C.]

二、填空題

6.（一題兩空）從a,b,c,d,e五個(gè)元素中每次取出三個(gè)元素，可組成個(gè)以上

為首的不同排列，它們分別是.

12bac,bad,bae,bca,bed,bee,bda,bdc,bde,bea,bee,bed［畫(huà)出樹(shù)狀圖如

下：

可知共12個(gè)，它們分別為bac,bad,bae,bea,bed,bee,bda,bdc,bde,bea,bee,

bed.］

7.集合—{x|*=A；,RWN+},則集合一中共有個(gè)元素.

3［因?yàn)?GN+,且加＜4,所以尸中的元素為A：=4,AI=12,A；=A：=24,即集合戶中

有3個(gè)元素.］

8.若把英語(yǔ)單詞“%rd”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤有種.

23［因?yàn)椤皐ord”有四個(gè)不同的字母，所以可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤種數(shù)為A；-1=23.］

三、解答題

9.下列問(wèn)題中哪些是排列問(wèn)題？

(1)5名學(xué)生中抽2名學(xué)生開(kāi)會(huì)；

(2)5名學(xué)生中選2名做正、副組長(zhǎng)；

(3)從2,3,5,7,11中任取兩個(gè)數(shù)相乘；

⑷從2,3,5,7,11中任取兩個(gè)數(shù)相除；

(5)6位同學(xué)互通一次電話；

(6)6位同學(xué)互通一封信；

(7)以圓上的10個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)作弦；

(8)以圓上的10個(gè)點(diǎn)中的某點(diǎn)為起點(diǎn)，作過(guò)另一點(diǎn)的射線.

［解］(2)(4)(6)(8)都與順序有關(guān)，屬于排列；其他問(wèn)題則不是排列.

io.證明:A：+%AL=A3.

［證明］左邊=—吟下+4———r

n~k!n~k+!

〃！刀一一++左］

n~k+!

n+n\________〃+!

n—k+!n~k+!

右邊=Aj+I=777~~r~,

n~K-V!

所以A：+AA：T=A3.

11.若5=八；+人；+用+A；+…+A黑，則S的個(gè)位數(shù)字是（）

A.8B.5

C.3D.0

C[因?yàn)楫?dāng)眾5時(shí)，解的個(gè)位數(shù)是0,故S的個(gè)位數(shù)取決于前四個(gè)排列數(shù)，又A；+A：+

用+A：=33,所以S的個(gè)位數(shù)字是3個(gè)

12.（多選題）下列各式中與排列數(shù)A：相等的是（）

n-m!

B.〃（〃一1）（〃一2）…（〃一血

商-\

*H—///+1

D.

AD［因?yàn)榛@=--~故A正確;

n-m!

.?.A!AU；=A：,故D正確.]

13.（一題兩空）如果A：=15X14X13X12X11X1O,那么〃=,m=.

156[15X14X13X12XllX10=A；s,故"=15,R=6.]

14.有4名司機(jī)，4名售票員要分配到4輛汽車(chē)上，使每輛汽車(chē)上有一名司機(jī)和一名售

票員，則可能的分配方法有種.

576[司機(jī)、售票員各有A：種安排方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有A：A：種不同的安排

方法.]

15.滬寧鐵路線上有六個(gè)大站：上海、蘇州、無(wú)錫、常州、鎮(zhèn)江、南京，鐵路部門(mén)應(yīng)為

滬寧線上的這六個(gè)大站準(zhǔn)備（這六個(gè)大站間）多少種不同的火車(chē)票？

[解]對(duì)于兩個(gè)大站｛和無(wú)從/到6的火車(chē)票與從8到/的火車(chē)票不同，因?yàn)槊繌堒?chē)

票對(duì)應(yīng)于一個(gè)起點(diǎn)站和一個(gè)終點(diǎn)站.因此，每張火車(chē)票對(duì)應(yīng)于從6個(gè)不同元素（大站）中取出2

個(gè)元素（起點(diǎn)站和終點(diǎn)站）的一種排列.所以問(wèn)題歸結(jié)為從6個(gè)不同元素中取出2個(gè)不同元素

的排列數(shù)解=6X5=30.

故一共需要為這六個(gè)大站準(zhǔn)備30種不同的火車(chē)票.

4.排列數(shù)的應(yīng)用

一、選擇題

1.某電影要在5所大學(xué)里輪流放映，則不同的輪映方法有（）

A.25種B.5,種

C.解種D.5,種

C［其不同的輪流放映相當(dāng)于將5所大學(xué)的全排列，即2.］

2.某天上午要排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、體育、計(jì)算機(jī)四節(jié)課，其中體育不排在第一節(jié)，那么這天

上午課程表的不同排法共有（）

A.6種B.9種

C.18種D.24種

C［先排體育有排種,再排其他的三科有眉種，共有AbA：=18（種）.］

3.從2,4中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)

的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.12

C.18D.24

D［先從2,4中選一個(gè)數(shù)字，有2種選法；再?gòu)?,3,5中選兩個(gè)數(shù)字并排列，有屋種選

法；最后將從2,4中選出的一個(gè)數(shù)字放在十位或百位的位置，有2種放法.綜上所述，奇數(shù)

的個(gè)數(shù)為2X底X2=24.］

4.將甲、乙、丙等六位同學(xué)排成一排，且甲、乙在丙的兩側(cè)，則不同的排法種數(shù)為（）

A.480B.360

C.120D.240

D［甲、乙、丙等六位同學(xué)進(jìn)行全排可得有A：=720（種），甲、乙、丙的排列有用=6（種），

720

因?yàn)榧住⒁以诒膬蓚?cè)，所以可能為甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法種數(shù)共有B

2X6=

240（種）.故選D.］

5.生產(chǎn)過(guò)程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安

排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩名工人中安排1人，第四道工序只能

從甲、丙兩名工人中安排1人，則不同的安排方案共有（）

A.24種B.36種

C.48種D.72種

B［分類完成：第1類，若甲在第一道工序，則丙必在第四道工序，其余兩道工序無(wú)限

制，有A：種排法；

第2類，若甲不在第一道工序（此時(shí)乙一定在第一道工序），則第四道工序有2種排法，

其余兩道工序有解種排法，有2A：種排法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有8+2解=36種不同的安排方案.］

二、填空題

6.用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為.

48［從2,4中取一個(gè)數(shù)作為個(gè)位數(shù)字，有2種取法；再?gòu)钠溆嗨膫€(gè)數(shù)中取出三個(gè)數(shù)排在

前三位，有種排法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，這樣的四位偶數(shù)共有2XA：=48個(gè).］

7.從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同的活動(dòng).若其中

甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯活動(dòng)，則選派方案共有種.

240［翻譯活動(dòng)是特殊位置優(yōu)先考慮，有4種選法（除甲、乙外），其余活動(dòng)共有用種選

法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有4XA1=24O種選派方案.］

8.兩家夫婦各帶一個(gè)小孩一起去公園游玩，購(gòu)票后排隊(duì)依次入園.為安全起見(jiàn)，首尾一

定要排兩位爸爸，另外，兩個(gè)小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)為.

24［分3步進(jìn)行分析，①先安排兩位爸爸，必須一首一尾，有席=2種排法，

②兩個(gè)小孩一定要排在一起，將其看成一個(gè)元素，考慮其順序有解=2種排法，

③將兩個(gè)小孩看作一個(gè)元素與兩位媽媽進(jìn)行全排列，有A：=6種排法.

則共有2X2X6=24種排法.］

三、解答題

9.用數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有多少

個(gè)？

［解］第1類，個(gè)位數(shù)字是2,首位可排3,4,5之一，有A；種排法，排其余數(shù)字有解種

排法，所以有A；A；個(gè)數(shù)；

第2類，個(gè)位數(shù)字是4,有個(gè)數(shù)；

第3類，個(gè)位數(shù)字是0,首位可排2,3,4,5之一，有A；種排法，排其余數(shù)字有A；種排法,

所以有A；A：個(gè)數(shù).

由分類加法計(jì)數(shù)原理，可得共有2A；A；+A：A；=240個(gè)數(shù).

10.有紅、藍(lán)、黃、綠四種顏色的球各6個(gè)，每種顏色的6個(gè)球分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,

從中任取3個(gè)標(biāo)號(hào)不同的球，求顏色互不相同且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的取法種數(shù).

［解］所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的方法有135,136,146,246,共4種方法.3個(gè)球顏色互不相同

有A；=4X3X2X1=24種，所以這3個(gè)球顏色互不相同且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的取法種數(shù)有

4X24=96種.

1L將字母a,a,b,b,c,c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也

互不相同，則不同的排列方法共有（）

A.10種B.12種

C.9種D.8種

B[先排第一列，因?yàn)槊苛械淖帜富ゲ幌嗤?，因此共?種不同的排法.

再排第二列，其中第二列第一行的字母共有酎種不同的排法，第二列第二、三行的字母

只有1種排法.

因此共有Ah1=12（種）不同的排列方法.]

12.（多選題）用0到9這10個(gè)數(shù)字，可組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.A：+A；?Aj?As

B.A；+A；,（As-As）

C.As?As?As+A.；?Aj?As

D.Aio—Ag—As（As-As）

ABCD[法一：先排個(gè)位，若個(gè)位是0,則前3個(gè)數(shù)位上可以用剩下的9個(gè)數(shù)字任意排，

有A；種，若個(gè)位不是0,則個(gè)位有4種選擇，再排千位，有8種方法，再排百位和十位有解種

方法，所以沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)共有A；+A；XAlX解=2296種.

法二：個(gè)位是0的不同四位數(shù)偶數(shù)共有A；種，個(gè)位不是0的不同四位偶數(shù)有A；XA；個(gè)，

其中包含個(gè)位是偶數(shù)且千位為0的A：XAl種，故沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)共有：A；+A；（A；-A。

=2296個(gè).

法三：若千位為奇數(shù)，則有A；XA熾展個(gè)，若千位是偶數(shù)，有A：XA：X解個(gè)，故共有A；XA!

XA：+A；XA；XA；=2296個(gè).

法四：沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有“一抬個(gè)，沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)有A；（解一腌個(gè)，故

沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有A：o-A^-AJ（A^-Ai）=2296個(gè).

故選ABCD.]

13.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五種不同的商品在貨架上排成一排，其中甲、乙兩

種必須排在一起，而丙、丁兩種不能排在一起，則不同的排法共有種.

24[甲、乙作為元素集團(tuán)，內(nèi)部有心種排法，“甲、乙”元素集團(tuán)與“戊”全排列有

A；種排法.將丙、丁插在3個(gè)空中有收種方法.所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A次熟;=24種

排法.]

14.（一題兩空）六個(gè)停車(chē)位置，有3輛汽車(chē)需要停放，若要使三個(gè)空位連在一起，則停

放的方法數(shù)為一;若三個(gè)空車(chē)位不連在一起，則停放的方法數(shù)為一

2496[把3個(gè)空位看作一個(gè)元素，與3輛汽車(chē)共有4個(gè)元素全排列，故停放的方法有

A：=4X3X2X1=24種.不考慮任何限制，共有生=120種不同放車(chē)方法，若三個(gè)空車(chē)位不連

A3

在一起，則共有120—24=96種停放方法.]

15.從數(shù)字0、1、3、5、7中取出不同的三個(gè)作系數(shù)，可組成多少個(gè)不同的一元二次方

程a/+6x+c=0?其中有實(shí)數(shù)根的有幾個(gè)？

［解］（Da只能在1、3、5、7中選一個(gè)有A；種，b、。可在余下的4個(gè)中任取2個(gè)，有

片種.故可組成一元二次方程A；?心=48個(gè).

（2）方程要有實(shí)根，需/=爐一4ac20.

c=0,a、6可在1、3、5、7中任取2個(gè)，有A；種；

c#0,6只能取5、7,方取5時(shí)，a、c只能取1、3,共有心個(gè)；6取7時(shí)，a、c可取1、

3或1、5,有2A；個(gè).故有實(shí)根的一元二次方程共有A：+A；+2A：=18個(gè).

5.組合與組合數(shù)

一、選擇題

1.以下四個(gè)命題，屬于組合問(wèn)題的是（）

A.從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)排成一列

B.老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌

C.在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星

D.從13位司機(jī)中任選出兩位開(kāi)同一輛車(chē)往返甲、乙兩地

C［從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星，與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題.］

2.某新農(nóng)村社區(qū)共包括8個(gè)自然村，且這些村莊分布零散，沒(méi)有任何三個(gè)村莊在一條直

線上，現(xiàn)要在該社區(qū)內(nèi)建“村村通”工程，共需建公路的條數(shù)為（）

A.4B.8

C.28D.64

C［由于“村村通”公路的修建，是組合問(wèn)題，故共需要建《=28條公路.］

3.異面直線a,人上分別有4個(gè)點(diǎn)和5個(gè)點(diǎn)，由這9個(gè)點(diǎn)可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是（）

A.20B.9

c.dD.CiCs+CsCi

B［分兩類：第1類，在直線a上任取一點(diǎn)，與直線6可確定C：個(gè)平面；第2類，在直

線6上任取一點(diǎn)，與直線a可確定個(gè)平面.故可確定C；+C［=9個(gè)不同的平面.］

4.組合數(shù)1,n,rdN）恒等于（）

A.B.（/?+1）（r+l）C^!

C.〃心；D.籌；

5.將標(biāo)號(hào)為力、B、aD、E、尸的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中，若每個(gè)信封放2張

卡片，其中標(biāo)號(hào)為4、6的卡片放入同一信封，則不同的放法共有（）

A.12種B.18種

C.36種D.54種

［由題意，不同的放法共有C；C：=3X-y-=18種.］

6.設(shè)集合力=（&,a-i,a3,團(tuán)，a},則集合力中含有3個(gè)元素的子集共有個(gè).

10［從5個(gè)元素中取出3個(gè)元素組成一組就是集合4的子集，則共有程=10個(gè)子集.］

7.10個(gè)人分成甲、乙兩組，甲組4人，乙組6人，則不同的分組種數(shù)為.（用

數(shù)字作答）

210［從10人中任選出4人作為甲組，則剩下的人即為乙組，這是組合問(wèn)題，共有C,；o=

210種分法.］

8.甲、乙、丙三地之間有直達(dá)的火車(chē)，相互之間的距離均不相等，則車(chē)票票價(jià)的種數(shù)是

3［甲、乙、丙三地之間的距離不等，故票價(jià)不同，同距離兩地票價(jià)相同，故該問(wèn)題為

組合問(wèn)題，不同票價(jià)的種數(shù)為戊=f=3.］

三、解答題

9.從1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)后得到一個(gè)由這三個(gè)數(shù)組成的最小三位數(shù)，則可

以得到多少個(gè)不同的這樣的最小三位數(shù)？

［解］從6個(gè)不同數(shù)字中任選3個(gè)組成最小三位數(shù)，相當(dāng)于從6個(gè)不同元素中任選3個(gè)

元素的一個(gè)組合，故所有不同的最小三位數(shù)共有*=聆*=20個(gè).

117

10.（1）求式子區(qū)一至=標(biāo)中的X；

（2）解不等式cr'>3&.

［解］（1）原式可化為：士一―—>一一,.-.^_23x

0?U?1v,（?

+42=0,

?.,0WxW5,

?..x=21（舍去）或x=2,即x=2為原方程的解.

得：.m>27~3ni,

9—7/n

271

.*./77>-=7—T.

44

又TOW加一1W8,且0WrW8,勿WN,

即1W%W8,???勿=7或8.

11.已知圓上有9個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)連一線段，若任意兩條線的交點(diǎn)不同，則所有線段在圓

內(nèi)的交點(diǎn)有（）

A.36個(gè)B.72個(gè)

C.63個(gè)D.126個(gè)

D[此題可化歸為圓上9個(gè)點(diǎn)可組成多少個(gè)四邊形，所有四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為

所求，所以交點(diǎn)為己=126個(gè).]

12.（多選題）Cj+C：二的值是（）

A.7B.9

C.20D.46

"+1W10

17-xWlO

CD，，7WxW9,

x+leO

、17—x20

又xGN,'.x=l,