常微分方程-§31解的存在唯一性定理與逐步逼近法省公開課金獎全國賽課一等獎微課獲獎?wù)n件

第三章

一階微分方程解存在定理5/7/2024常微分方程1/405/7/2024常微分方程2/40需處理問題5/7/2024常微分方程3/40§3.1解存在唯一性定理與逐步迫近法

5/7/2024常微分方程4/40一存在唯一性定理1定理1考慮初值問題5/7/2024常微分方程5/40(1)初值問題(3.1)解等價于積分方程連續(xù)解.證實思緒(2)結(jié)構(gòu)(3.5)近似解函數(shù)列5/7/2024常微分方程6/40(逐步求(3.5)解,逐步迫近法)5/7/2024常微分方程7/40這是為了即5/7/2024常微分方程8/405/7/2024常微分方程9/40下面分五個命題來證實定理,為此先給出積分方程解假如一個數(shù)學(xué)關(guān)系式中含有定積分符號且在定積分符號下含有未知函數(shù),則稱這么關(guān)系式為積分方程.積分方程5/7/2024常微分方程10/40命題1初值問題(3.1)等價于積分方程證實:即5/7/2024常微分方程11/40反之故對上式兩邊求導(dǎo),得且5/7/2024常微分方程12/40結(jié)構(gòu)Picard逐步迫近函數(shù)列問題:這么結(jié)構(gòu)函數(shù)列是否行得通,即上述積分是否有意義?注5/7/2024常微分方程13/40命題2證實:(用數(shù)學(xué)歸納法)5/7/2024常微分方程14/405/7/2024常微分方程15/40命題3證實:考慮函數(shù)項級數(shù)它前n項部分和為5/7/2024常微分方程16/40對級數(shù)(3.9)通項進行預(yù)計5/7/2024常微分方程17/405/7/2024常微分方程18/40于是由數(shù)學(xué)歸納法得知,對全部正整數(shù)n,有5/7/2024常微分方程19/40現(xiàn)設(shè)命題4證實:5/7/2024常微分方程20/40即5/7/2024常微分方程21/40命題5證實:由5/7/2024常微分方程22/405/7/2024常微分方程23/40綜合命題1—5得到存在唯一性定理證實.5/7/2024常微分方程24/40一存在唯一性定理1定理1考慮初值問題5/7/2024常微分方程25/40命題1初值問題(3.1)等價于積分方程結(jié)構(gòu)Picard逐步迫近函數(shù)列命題25/7/2024常微分方程26/40命題3命題4命題55/7/2024常微分方程27/402存在唯一性定理說明5/7/2024常微分方程28/405/7/2024常微分方程29/405/7/2024常微分方程30/405/7/2024常微分方程31/403一階隱方程解存在唯一性定理定理2考慮一階隱方程則方程(3.5)存在唯一解滿足初始條件5/7/2024常微分方程32/40三近似計算和誤差預(yù)計求方程近似解方法---Picard逐步迫近法,這里5/7/2024常微分方程33/40注:上式可用數(shù)學(xué)歸納法證實則5/7/2024常微分方程34/40例1討論初值問題解存在唯一區(qū)間,并求在此區(qū)間上與真正解誤差不超解因為由(3.19)5/7/2024常微分方程35/405/7/2024常微分方程36/40例2求初值問題解存在唯一區(qū)間.解5/7/2024常微分方程37/40例3利用Picard迭代法求初值問題解.解與初值問題等價積分方程為5/7/2024常微分方程38/40其