第02講空間幾何體的外接球與內切球（教師版）

第02講空間幾何體的外接球與內切球（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯考點2023年新I卷，第12題,5分球體相關計算正棱錐及圓柱體的相關計算2022年新I卷，第8題,5分球的體積的有關計算多面體與球體內切外接問題錐體體積的有關計算由導數求函數的最值(不含參)2022年新Ⅱ卷，第7題,5分球的表面積的有關計算多面體與球體內切外接問題無2021年新Ⅱ卷，第4題,5分球的表面積的有關計算無2020年新I卷，第4題,5分球的截面的性質及計算無2020年新I卷，第16題,5分球的截面的性質及計算無2020年新Ⅱ卷，第4題,5分球的截面的性質及計算無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的?？純热?，設題穩(wěn)定，難度較中等或偏上，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握球體的表面積公式和體積公式3.會利用（二級）結論快速解題【命題預測】本節(jié)內容是新高考卷的?？純热荩话阌刑厥鈳缀误w、墻角問題、對棱相等、側棱垂直于底面、側面垂直于底面的外接內切問題，需強化復習.知識講解球的表面積和體積公式球的表面積：S＝4πR2球的體積：V＝eq\f(4,3)πR3球的切接概念空間幾何體的外接球：球心到各個頂點距離相等且等于半徑的球是幾何體的外接球空間幾何體的內切球：球心到各面距離相等且等于半徑的球是幾何體的內切球幾個與球有關的切、接常用結論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1.墻角模型（三條直線兩兩垂直）補形為長方體，長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).直棱柱外接球之漢堡模型（1）補型：補成長方體，若各個頂點在長方體的頂點上，則外接球與長方體相同（2）作圖：構造直角三角形，利用勾股定理直三校柱內接于一球（棱柱的上下底面為直角三角形）R底面外接圓的半徑r的求法（1）正弦定理（2）直角三角形：半徑等于斜邊的一半（3）等邊三角形：半徑等于三分之二高（4）長（正）方形：半徑等于對角線的一半正棱錐類型h?R2+側棱垂直與底面垂面型R側面垂直與底面切瓜模型如圖：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC為小圓直徑)

（1）由圖知球心O必為△PAC的外心,即△PAC在大圓面上,先求出小圓面直徑AC的長;

（2如圖：:平面PAC⊥平面BAC（1）確定球心O的位置,由圖知P,O,H三點共線;

（2）算出小圓面半徑AH=r,算出棱錐的高PH=?

（內切球如圖：求任意三棱雉的內切球半徑(等體積法)

（1）先求出四個表面的面積和整個椎體的體積;

（2）設內切球半徑為r,建立等式:VP?

（3）解出r結論：若棱錐的體積為V，表面積為S，則內切球的半徑為.考點一、特殊幾何體外接球1．（2023·全國·高三專題練習）長方體的長，寬，高分別為3，，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出長方體外接球半徑，再由球體體積公式求體積.【詳解】球O的半徑為，∴體積．故選：A2．（2022·北京·101中學?？既＃┮粋€底面積為1的正四棱柱的頂點都在同一球面上，若此球的表面積為，則該四棱柱的高為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根據球的表面積公式，可算出，由正四棱柱的頂點在同一球面上，可得正四棱柱體對角線恰好是球的一條直徑，即可得到答案【詳解】設球的半徑為，則，解得設四棱柱的高為，則，解得故選：C3．（2022秋·廣東江門·高三鶴山市鶴華中學?？奸_學考試）一平面截一球得到直徑為的圓面，球心到這個平面的距離是，則該球的體積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出過球心的截面，利用勾股定理可求得球的半徑，由球的體積公式可求得結果.【詳解】設球心為，截面圓心為，連接，則垂直于截面圓，如圖所示，在中，，，球的半徑，球的體積．故選：B.4．（2023·貴州貴陽·校聯考三模）已知一圓錐內接于球，圓錐的表面積是其底面面積的3倍，則圓錐與球的體積之比是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用圓錐的表面積是其底面面積的3倍以及直角三角形的性質，求出球的半徑和圓錐的底面半徑的關系，進一步求出圓錐的體積和球的體積的比值．【詳解】如圖所示，設圓錐的底面圓圓心為點，延長與球面交于.設圓錐底面半徑為r，母線為l，則，得，圓錐的高設球半徑為R，則中，有，即，即，，故，故選：B.5．（2023·全國·校聯考模擬預測）上、下底面均為等邊三角形的三棱臺的所有頂點都在同一球面上，若三棱臺的高為，上、下底面邊長分別為，，則該球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設三棱臺為，其中是下底面，是上底面，點，分別為，的中心，證明點就是幾何體的外接球的球心，即得解.【詳解】設三棱臺為，其中是下底面，是上底面，點，分別為，的中心，則，，同理，所以，同理.所以.所以點就是幾何體的外接球的球心.所以球半徑，所以體積為．故選：A1．（2023·全國·高三專題練習）長方體的長、寬、高分別為2，2，1，其頂點都在球的球面上，則球的表面積為.【答案】【分析】根據長方體的體對角線為其外接球的直徑即可求解.【詳解】因為長方體的外接球的直徑為長方體的體對角線，長方體的長、寬、高分別為2，2，1，所以長方體的外接球的直徑，故長方體的外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：2．（2022·內蒙古巴彥淖爾·?？家荒＃┮粋€正方體的頂點都在同一個球的球面上，該正方體的棱長為a，則球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得球的半徑，再利用球的表面積公式即可求得該球的表面積【詳解】正方體的對角線是球的直徑，所以，則，所以球的表面積故選：D.3．（2023·湖北·統考二模）已知直三棱柱存在內切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直三棱柱的高后可求其外接球的半徑，從而可求外接球的表面積.【詳解】因為，故，故的內切圓的半徑為.因為直三棱柱存在內切球，故直三棱柱的高即為內切球的直徑.而內切球的半徑即為底面三角形內切圓的半徑，故內切球的半徑為1，故直三棱柱的高為2.將直三棱柱補成如圖所示的長方體，則外接球的直徑即為該長方體的體對角線，故外接球的半徑為，故外接球的的表面積為.故選：D.4．（2023·福建泉州·校聯考模擬預測）已知正四棱臺的高為，下底面邊長為，側棱與底面所成的角為，其頂點都在同一球面上，則該球的體積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】連接，過作的垂線垂足為，過作的垂線垂足為，求得上、下底面所在圓的半徑，設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，利用球的截面圓的性質，列出方程求得，結合球的體積公式，即可求解.【詳解】設正四棱臺上下底面所在圓面的半徑分別為，連接，過作的垂線垂足為，過作的垂線垂足為，因為正四棱臺的高為，下底面邊長為，側棱與底面所成的角為，可得，即，設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，可得，，故或，即或，解得，符合題意，所以球的體積為．故選：B.考點二、墻角問題1．（2023·天津·?？寄M預測）已知三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，且，則此三棱錐的外接球的體積為A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知：可將三棱錐放入長方體中考慮，則長方體的外接球即三棱錐的外接球，故球的半徑為長方體體對角線的一半，設，則，故,得球的體積為：2．（2021春·廣西柳州·高三柳鐵一中?？茧A段練習）已知三棱錐的四個頂點都在球的表面上，平面，且，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可知CA,CB,CD兩兩垂直，所以補形為長方形，三棱錐與長方體共球，，求的外接球的表面積，選C【點睛】求共點三條側棱兩兩垂直的三棱錐外接球相關問題，我們常用的方法為補形成長方體，轉化為求長方體的外接球問題．充分體現補形轉化思想．3．（2023·天津河西·統考二模）在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】三棱錐補成長方體，計算出長方體的體對角線長，即為三棱錐的外接球直徑長，再利用球體表面積公式可求得結果.【詳解】在三棱錐中，平面，，，，將三棱錐補成長方體，如下圖所示，所以，三棱錐的外接球直徑即為長方體的體對角線長，設三棱錐的外接球直徑為，則，則，因此，三棱錐外接球的表面積為.故選：C.1．（2022·四川達州·統考二模）四面體的每個頂點都在球的球面上，兩兩垂直，且，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據幾何體特征可知球即為以為長、寬、高的長方體的外接球，根據長方體外接球半徑為體對角線長一半可求得球的半徑，由球的表面積公式可得結果.【詳解】四面體的外接球即為以為長、寬、高的長方體的外接球，球的外接球半徑，球的表面積.故選：B.2．（2023·四川成都·石室中學校考三模）若三棱錐PABC的所有頂點都在同一個球的表面上，其中PA⊥平面ABC，，，，則該球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先補形為長方體，再根據長方體外接球計算球的體積即可.【詳解】因為PA⊥平面ABC，，所以可將該三棱錐進行補形，補成一個長方體，從而長方體的外接球就是該三棱錐的外接球，則外接球的直徑為，得，故三棱錐PABC的外接球的體積為.故選：D.考點三、對棱相等問題1．（2023·遼寧·鞍山一中校聯考模擬預測）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據給定條件，構造面對角線長分別為4，5，的長方體，求出其體對角線長即可求解作答.【詳解】三棱錐中，，，，構造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，，則長方體的對角線長等于三棱錐外接球的直徑，如圖，設長方體的棱長分別為，，，則，，，則，因此三棱錐外接球的直徑為，所以三棱錐外接球的表面積為．故選：A2．（2023·甘肅張掖·統考模擬預測）在四面體中，，則四面體外接球表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用割補法及勾股定理，結合長方體的體對角線是外接球的直徑及球的表面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，此四面體可以看成一個長方體的一部分，長方體的長、寬、高分別為，，，四面體如圖所示，所以此四面體的外接球的直徑為長方體的體對角線，即,解得.所以四面體外接球表面積是.故答案為：B.3．（2023·河南·開封高中?？寄M預測）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構造一個長方體，四面體四個頂點在長方體頂點上，利用長方體的對角線為外接球直徑求解即可.【詳解】設四面體的外接球的半徑為,則四面體在一個長寬高為的長方體中，如圖，則故，故四面體ABCD外接球的體積為，故選：C1．（2023·四川成都·樹德中學?？既＃┮阎忮F的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據給定條件，證明平面，再確定球心O的位置，求出球半徑作答.【詳解】在三棱錐中，如圖，，則，同理，而平面，因此平面，在等腰中，，則，，令的外接圓圓心為，則平面，，有，取中點D，連接OD，則有，又平面，即，從而，四邊形為平行四邊形，，又，因此球O的半徑，所以球的表面積.故選：A2．（2023·江西·統考模擬預測）在三棱錐中，已知，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因為三棱錐的對棱相等，所以可以把它看成長方體的面對角線長,根據長方體外接球直徑是體對角線求解即可.【詳解】因為三棱錐的對棱相等，所以可以把它看成長方體的面對角線，設長方體的同一頂點三條棱長分別為,且長方體的面對角線長為，則,長方體體對角線為長方體外接球直徑，即為三棱錐外接球的直徑，，它外接球半徑等于，所以球的表面積為.故選:A.3．（2023·全國·模擬預測）在三棱錐中，已知，，，則下列結論錯誤的是（

）A．異面直線與所成角的余弦值為B．異面直線與所成角的余弦值為C．三棱錐外接球的表面積為D．直線與平面所成角的正弦值為【答案】D【分析】將三棱錐補形成長方體，求出長方體的長、寬、高，建立空間直角坐標系，表達出各點的坐標，在長方體中進行向量的計算，即可判斷各選項的正誤．【詳解】由題意，在三棱錐中，已知，，，∴可將三棱錐補形成長方體，建立空間直角坐標系如下圖所示：由幾何知識得，,,，解得，，．則，，，．對于A：，，所以，所以異面直線AB與PC所成角的余弦值為，故A正確．對于B：，，所以,所以異面直線BC與PA所成角的余弦值為，故B正確．對于C：易知三棱錐外接球的半徑所以三棱錐PABC外接球的表面積，故C正確．對于D：設平面PBC的法向量為，則,即，取，得，，所以，設直線與平面所成的角為，則，故D錯誤．故選：D.考點四、側棱垂直底面問題1．（2023·寧夏銀川·寧夏育才中學校考三模）三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意可將三棱錐補形為長方體，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，根據長方體的性質求外接球的半徑，即可得結果.【詳解】如圖所示，根據題意可將三棱錐補形為長方體，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，可知該球的直徑即為，設球的半徑為，可得，即，故三棱錐的外接球的表面積.故選：C.2．（2023·廣西柳州·柳州高級中學校聯考模擬預測）在三棱錐P－ABC中，，，且，，，，則此三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知求得，根據勾股定理證明得到，進而推得平面，則該三棱錐可以看作是長方體的一部分，求出長方體的體對角線長，即可得出外接球的半徑，進而根據體積公式，即可得出答案.【詳解】如圖1，因為，，，所以.又，，所以在中，有，所以，，即.又，平面，平面，，所以平面.則該三棱錐可以看作是長方體的一部分，如圖2其中，，，，則，所以此三棱錐外接球的半徑為，所以，此三棱錐外接球的體積為.故選：B.3．（2023·山東德州·三模）在四棱錐中，底面為矩形，平面，點為上靠近的三等分點，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理可得三角形的外接圓半徑為，根據勾股定理即可求解外接球半徑，進而可求表面積.【詳解】由題意可得所以在三角形中，由等面積法可得,設三角形的外接圓半徑為，圓心為,則由正弦定理得，由于平面,設三棱錐外接球的半徑為,球心到平面的距離為，過作,則，因此,故外接球的表面積為,故選：A1．（2023·山西呂梁·統考二模）在三棱錐中，已知底面，，，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設中點，中點，由直角三角形外接圓為斜邊中點，且由題意可知，所以底面，則為三棱錐外接球的球心，可解.【詳解】設中點，中點，由，，所以的外接圓直徑，且圓心為，由于底面，，所以底面，則為三棱錐外接球的球心，所以外接球的直徑，所以外接球的體積．故選：B2．（2023·海南·統考模擬預測）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的體積為，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】由球體積公式求球體半徑，正余弦定理求外接圓半徑，結合線面垂直模型求即可.【詳解】由題意，設球的半徑為，則，由，外接圓半徑，根據線面垂直模型知：.故選：A3．（2023·四川·校聯考模擬預測）在三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用正弦定理求出外接圓的半徑，然后利用求出三棱錐外接球的半徑，即可算出表面積.【詳解】設外接圓的半徑為，圓心為，根據正弦定理，則，故，設三棱錐外接球的半徑為，球心為O，由，可知為等腰三角形，過作于，則為中點，由平面，平面，故，則共面，因為平面，平面，所以，又，故，于是四邊形為平行四邊形，因為，所以四邊形為為矩形，則，故三棱錐的外接球的表面積為.故選：A.4．（2023·江西·江西師大附中校考三模）已知正方體的棱長為2，為棱上的一點，且滿足平面平面，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】確定平面，得到，根據勾股定理確定為中點，將四面體放入長方體中，計算半徑得到表面積.【詳解】如圖所示：為的中點，連接，，，，則，平面，平面平面，平面平面，故平面，平面，故，設，則，，，，即，解得，將四面體放入長方體中，設四面體的外接球半徑為，則，，外接球的表面積.故選：A.考點五、側面垂直于底面問題1．（2023·貴州貴陽·校聯考模擬預測）在三棱錐中，已知，且平面平面ABC，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過面面垂直確定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半徑，結合表面積公式可得答案.【詳解】如圖，設外接球的半徑為R，取AB的中點，連接，則由，得，因為平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面ABC，則球心O在直線上．連接OA，則，因為，所以；因為，所以.因為，所以球心在線段上．在中，由勾股定理，得，即，解得，所以三棱錐的外接球表面積為.故選：B．2．（2023·黑龍江大慶·統考二模）如圖，邊長為的正方形ABCD所在平面與矩形ABEF所在的平面垂直，，N為AF的中點，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意得到平面ABEF，進一步得出，，則MC為外接球直徑，代入球的表面積公式即可求解．【詳解】由可知，，，可求，，，因為平面平面ABEF，平面平面，又，平面，所以平面ABEF，平面ABEF，所以，由，，得，又，同理可得得，又，所以，所以.所以MC為外接球直徑，在Rt△MBC中，即，故外接球表面積為．故選：A．3．（2023·河南開封·統考三模）已知正方體的棱長為1，P為棱的中點，則四棱錐P－ABCD的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別取三角形，四邊形的外心，，利用正弦定理得到，即可得到，然后利用勾股定理得到，最后根據球的表面積公式求表面積即可.【詳解】設四棱錐的外接球球心為，取中點，連接，取三角形，四邊形的外心，，連接，，，，，因為正方體的棱長為1，點為中點，所以，，，，，，所以，外接球的表面積.故選：C.4．（2023·河南鄭州·校聯考二模）如圖，在三棱錐中，，，平面平面ABC，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意說明為等腰直角三角形，根據面面垂直性質推出平面，進而結合球的幾何性質，確定三棱錐外接球球心位置，求出外接球半徑，即可求得答案.【詳解】由于，，故，即為等腰直角三角形，取AC的中點為M，連接，因為，即為正三角形，故,由于平面平面，平面平面，平面，故平面，平面，故；又M為的外心，則三棱錐外接球的球心必在BM上，設的中心為O，則O在BM上且，而，則，即，即O點即為三棱錐外接球的球心，故外接球半徑為，所以外接球表面積為，故選：B【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵在于要能根據條件，結合球的幾何性質，確定出三棱錐外接球球心的位置，進而求得半徑.1．（2023·四川達州·統考二模）三棱錐的所有頂點都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，則球O的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取BD的中點O，根據條件得到和都是直角三角形，其外接圓的圓心都是，再根據平面平面BCD，得到O為外接球的球心求解.【詳解】解：如圖所示：取BD的中點O，因為則是直角三角形，因為。所以是直角三角形，所以和的外接圓的圓心都是，又因為平面平面BCD，所以O為外接球的球心，因為，，所以外接球的半徑為，所以外接球的體積為，故選：A2．（2023·全國·模擬預測）如圖所示，已知三棱錐中，底面為等腰直角三角形，斜邊，側面為正三角形，D為的中點，底面，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設三棱錐外接球的球心為O，確定球心的位置，即球心落在過底面外心的垂線上，利用圖形的幾何性質求得外接球半徑，即可求得答案.【詳解】如圖，設E是的中點，連接，D為的中點，故,底面為等腰直角三角形，即,故；設三棱錐外接球的球心為O，連接，因為底面為等腰直角三角形，E是的中點，即E為的外心，故平面,在等腰直角三角形中，斜邊，則.因為是正三角形，所以，因為，所以三棱錐是正三棱錐，所以O在底面上的射影F是的重心，則點F在上，所以.因為底面，故,而底面，故,又因為，平面,故平面，而平面,故,故四邊形是矩形，所以，所以，所以三棱錐外接球的半徑，其表面積為，故選：D.3．（2023·江西九江·統考一模）三棱錐中，與均為邊長為的等邊三角形，若平面平面，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點，連接，，可得平面，平面，取的外心，的外心，分別過，作平面與平面的垂線交于點，即為球心，結合球的性質求得半徑，可得三棱錐外接球的表面積.【詳解】

解：如圖，取中點，連接，，則，，因為平面平面，所以可得平面，平面，取的外心，的外心，分別過作平面與平面的垂線交于點，即為球心，連接，易得，，，.故選：B.考點六、二面角與球體綜合1．（2023·河南·襄城高中校聯考三模）如圖1，在中，，，，，沿將折起，使得二面角為60°，得到三棱錐，如圖2，若，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先推出底面，，然后構造長方體找到三棱錐的球心為的中點，再計算可得結果.【詳解】因為，，，平面，平面，所以平面．又平面，則，因為平面，平面，所以．又，平面，平面，所以平面．又平面，所以，即90°．因為為60°，所以60°，在中，，可得，．易知，的四個頂點可以與一個長方體的四個頂點重合，如圖所示，則該長方體的外接球即為的外接球，球心PC的中點，，表面積為，故A正確．故選：A.2．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預測）圖1為兩塊大小不同的等腰直角三角形紙板組成的平面四邊形ABCD，其中小三角形紙板的斜邊AC與大三角形紙板的一條直角邊長度相等，小三角形紙板的直角邊長為a，現將小三角形紙板ACD沿著AC邊折起，使得點D到達點M的位置，得到三棱錐，如圖2．若二面角的大小為，則所得三棱錐M－ABC的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由線面垂直得出球心的位置，結合三角形中的計算求出球的半徑，計算可得球的表面積.【詳解】如圖，取AC的中點E，AB的中點F，連接ME，EF．因為，所以．易知，因為，所以，所以．過點E作OE⊥平面MAC，過點F作OF⊥平面ABC，，連接OA，易知E，F兩點分別是△MAC和△ABC的外心，所以點O是三棱錐的外接球的球心．因為，所以，，所以，因為，，所以，所以，又，所以，則三棱錐的外接球的半徑為，所以外接球的表面積．故選：C.3．（2023·浙江·統考模擬預測）在四面體中，與都是邊長為6的等邊三角形，且二面角的大小為，則四面體外接球的表面積是（

）A．52π B．54π C．56π D．60π【答案】A【分析】三棱錐的外心必定在過一個三角形的外心與這個三角形所成的面垂直的垂線上，從而確定球心的位置，結合題意，利用幾何關系求出外接球的半徑，代入球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點，連接，分別取和的外心與，過兩點分別作平面和平面的垂線，交于點，則就是外接球的球心，連接，則為二面角的平面角，即，則是等邊三角形，其邊長為，，在中，，所以，又由，所以，所以四面體的外接球的表面積為.故選：A.1．（2023·廣東·校聯考模擬預測）已知四棱錐平面，二面角的大小為.若點均在球的表面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用點均在球的表面上可得四點共圓，先證明平面，得出二面角的平面角為，可計算出，再利用勾股定理可得出四邊形外接圓的直徑為，則，最后利用外接球的表面積公式代入即可得出答案.【詳解】因為，所以，因為點均在球的表面上，所以四邊形內接于圓，所以，所以，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又，所以二面角的平面角為，所以，在中，因為，所以，由余弦定理可得：，即，即或（舍去），所以，所以外接圓的直徑為：，即四邊形外接圓的直徑為，因為平面，所以，四棱錐外接球的半徑為：所以四面體外接球的表面積為.故選：B.2．（2023·浙江·校聯考模擬預測）在三棱錐中，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】取AC的中點M，可得即為二面角的平面角，△ACB的外心為O1，過O1作平面ABC的垂線，過△ACD的外心M作平面ACD的垂線，兩條垂線均在平面BMD內，它們的交點就是球心O，在平面ABC內，設，然后表示出外接球的半徑，利用基本不等式可求出其最小值，從而可求得答案.【詳解】當D在△ACD的外接圓上動的時候，該三棱錐的外接球不變，故可使D點動到一個使得DA=DC的位置，取AC的中點M，連接，因為，DA=DC，所以，，故即為二面角的平面角，△ACB的外心為O1，過O1作平面ABC的垂線，過△ACD的外心M作平面ACD的垂線，兩條垂線均在平面BMD內，它們的交點就是球心O，畫出平面BMD，如圖所示；在平面ABC內，設，則，，因為，所以，所以，所以令，則，所以，當且僅當時取等，故選:B【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了三棱錐外接球的求法、三角函數的最值問題，解題的關鍵是根據題意找出外接球的球心位置，考察學生的空間想象能力和邏輯思維能力，考查學生的推理運算能力，屬于難題.考點七、數學文化與球體綜合1．（2023·天津南開·南開中學?？寄M預測）在《九章算術》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑為四個面都為直角三角形的三棱錐，如圖，在塹堵中，，鱉臑的外接球的體積為，則陽馬體積的最大值為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】設的外接球半徑為r，根據鱉臑的外接球的體積即可求得r，再根據的外接球的半徑與三棱柱的外接球的半徑相同可得到x，y的關系式，再根據四棱錐的體積公式結合基本不等式即可求解．【詳解】設的外接球半徑為r，則的外接球的體積為．．又陽馬的體積為，所以陽馬體積的最大值為．故選：B．2．（2023·廣西南寧·南寧二中?？寄M預測）在《最強大腦》的節(jié)目中，作為腦力角逐的考題，阿基米德多面體成為了難倒一眾天才的“元兇”，因此“一夜爆紅”.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現了數學的對稱美.例如足球一般是有12個正五邊形和20個正六邊形構成的阿基米德多面體.如圖是以一正方體的各條棱的中點為頂點的多面體，這是一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長為1，則經過該多面體的各個頂點的球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，把多面體放在棱長為的正方體中，結合正方體的結構特征確定球心，求出球半徑作答.【詳解】將該多面體放入正方體中，如圖所示.由于多面體的棱長為1，所以正方體的棱長為，因為該多面體是由棱長為的正方體連接各棱中點所得，所以該多面體外接球的球心為正方體對角線的中點，其外接球直徑等于正方體的面對角線長，即，所以，所以經過該多面體的各個頂點的球的表面積.故選：C1．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學?？寄M預測）《九章算術》中，稱一個正方體內兩個互相垂直的內切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”，現提供一中計算“牟合方蓋”體積的方法，顯然，正方體的內切球也是“牟合方蓋”的內切球.因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方蓋”，截面均為正方形，平面截內切球得到上述正方形的內切圓，結合祖暅原理，利兩個同高的立方體如在等高處的截面面積相等，則體積相等.若正方體棱長為3，則“牟合方蓋”體積為（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】C【分析】先求得正方體內切球的體積，再由已知得出牟合方蓋的體積.【詳解】正方體的棱長，則其內切球的半徑為，內切球的體積.由于截面正方形與其內切圓的面積之比為.設牟合方蓋的體積為，則，從而牟合方蓋的體積.故選：C.2．（2023·全國·模擬預測）中國古建筑聞名于世，源遠流長．如圖1所示的五脊殿是中國傳統建筑中的一種屋頂形式，該屋頂的結構示意圖如圖2所示，在結構示意圖中，已知四邊形ABCD為矩形，，，與都是邊長為1的等邊三角形，若點A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，根據球的性質可得平面ABCD，根據中位線的性質和勾股定理可得且，分類討論當O在線段上和O在線段的延長線上時2種情況，結合球的性質和表面積公式計算即可求解.【詳解】如圖，連接AC，BD，設，因為四邊形ABCD為矩形，所以為矩形ABCD外接圓的圓心．連接，則平面ABCD，分別取EF，AD，BC的中點M，P，Q，根據幾何體ABCDEF的對稱性可知，直線交EF于點M．連接PQ，則，且為PQ的中點，因為，所以，連接EP，FQ，在與中，易知，所以梯形EFQP為等腰梯形，所以，且．設，球O的半徑為R，連接OE，OA，當O在線段上時，由球的性質可知，易得，則，此時無解．當O在線段的延長線上時，由球的性質可知，，解得，所以，所以球O的表面積，故選：D．【點睛】求解外接球問題的關鍵在于確定球心的位置，而確定球心位置的依據一是球心到球面上各點的距離都等于球的半徑，二是球心與截面圓圓心的連線垂直于截面．由此出發(fā)，利用一些特殊模型，或借助一般方法，即可確定外接球球心的位置．3．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學?？级＃??平衡盾構機等國之重器更是世界領先.如圖是某重器上一零件結構模型，中間最大球為正四面體的內切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個球的表面積和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出輔助線，先求出正四面體的內切球半徑，再利用三個球的半徑之間的關系得到另外兩個球的半徑，得到答案.【詳解】如圖，取的中點，連接，，則，，過點作⊥底面，垂足在上，且，所以，故，點為最大球的球心，連接并延長，交于點，則⊥，設最大球的半徑為，則，因為∽，所以，即，解得，即，則，故設最小球的球心為，中間球的球心為，則兩球均與直線相切，設切點分別為，連接，則分別為最小球和中間球的半徑，長度分別設為，則，則，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九個球的表面積和為.故選：B【點睛】解決與球有關的內切或外接的問題時，解題的關鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑考點八、最值與球體綜合1．（2023·云南·統考模擬預測），，，在同一個球面上，是邊長為6的等邊三角形；三棱錐的體積最大值為，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖可得三棱錐的高，進而由直角三角形，可求出外接圓半徑，即可求出結果.【詳解】如圖，三角形ABC的中心為M，球心為O，當時，三棱錐體積最大，，設，則外接圓體積為故選：B2．（2023·廣東茂名·統考一模）已知菱形ABCD的各邊長為2，.將沿AC折起，折起后記點B為P，連接PD，得到三棱錐，如圖所示，當三棱錐的表面積最大時，三棱錐的外接球體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意結合三角形面積公式分析可得當時，三棱錐的表面積取最大值，再根據直角三角形的性質分析三棱錐的外接球的球心和半徑，即可得結果.【詳解】由題意可得：均為邊長為2的等邊三角形，為全等的等腰三角形，則三棱錐的表面積，當且僅當，即時，三棱錐的表面積取最大值，此時為直角三角形，，取的中點，連接，由直角三角形的性質可得：，即三棱錐的外接球的球心為，半徑為，故外接球體積為.故選：D.【點睛】結論點睛：若三棱錐有兩個面為共斜邊的直角三角形，則三棱錐的外接球的球心為該斜邊的中點.3．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）某正六棱錐外接球的表面積為，且外接球的球心在正六棱錐內部或底面上，底面正六邊形邊長，則其體積的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據正六棱錐和球的幾何性質，結合球的表面積公式、棱錐的體積公式、導數的性質進行求解即可.【詳解】設該正六棱錐的高，側棱長為，設該正六棱錐外接球的半徑為，如圖，因為正六棱錐外接球的表面積為，所以有，因為外接球的球心在正六棱錐內部或底面上，所以，設，在正六邊形中，因為正六邊形邊長為，所以，在中，由余弦定理可知，在直角三角形中，，所以有，由勾股定理可知，因為，所以，因此有4，而，所以，該正六棱錐的體積，，當時，單調遞增，所以，，因此該正六棱錐的體積的取值范圍是，故選：C4．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知四棱錐的底面是矩形，.若四棱錐的外接球的體積為，設是該球上的一動點，則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】易得四邊形ABCD和三角形PAD的外接圓的圓心，分別再作垂線從而得到外接球的球心，再由為直角三角形，得到其外接圓直徑PB，再結合外接球的半徑求得球心到面PAB的距離,再加上外接球的半徑，得到M到面PAB的最大值距離求解.【詳解】解：如圖，在矩形中，連接對角線，記，則點為矩形的外接圓圓心，設，在中，由余弦定理得，即，的外接圓半徑為.記的外接圓圓心為，則，取的中點，連接，顯然，，且共線，因為，所以平面，即平面，平面，有，而平面，所以平面.過作平面，使，連接，于是，則四邊形為矩形，有，則平面，根據球的性質，得點為四棱錐外接球的球心，因為球的體積為，所以，解得，而，在中，，所以外接圓直徑.取的中點，連接，顯然為外接圓圓心，則平面，且，所以四棱錐的外接球上的點到平面的距離的最大值為8，即三棱錐的高的最大值為8，而，故三棱錐的體積的最大值為.故選：D.5．（2023·河南·校聯考模擬預測）點是圓柱上底面圓周上一動點，是圓柱下底面圓的內接三角形，已知在中，內角、、的對邊分別為、、，若，，三棱錐的體積最大值為，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理結合基本不等式可求得面積的最大值，利用正弦定理可求得圓柱底面圓半徑，利用錐體體積公式可求得圓柱的高，進而可求得該三棱錐外接球的半徑，結合球體表面積公式可求得結果.【詳解】在中，由余弦定理可得，即，當且僅當時，等號成立，所以，，設圓柱的高為，則，因為三棱錐的體積的最大值為，則，所以，，圓柱底面圓半徑，設三棱錐的外接球的半徑為，則該三棱錐的外接球和圓柱的外接球為同一個球，則，因此，三棱錐外接球的表面積為.故選：B.6．（2023·全國·模擬預測）如圖，在三棱錐中，平面，，，，，，，分別為，，，的中點，為上一點，，當的面積取得最小值時，三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，，根據中位線性質得到線線平行關系，再利用線面垂直的性質得到線線垂直，設，，根據得到，得到，再根據基本不等式即可求出最值，再轉化為長方體外接球問題即可.【詳解】連接，，因為，，，分別為，，，的中點，所以，，，則，因為平面，所以平面，平面，平面，所以，所以，平面，所以．設，，則，，，因為，所以，即，整理得，所以．由基本不等式得，當且僅當，即，時等號成立，所以當取得最小值時，，．因為，平面，所以可將三棱錐補形為如圖所示的長方體，則三棱錐的外接球即該長方體的外接球，易知該長方體外接球的直徑為，故三棱錐外接球的半徑為，故三棱錐外接球的表面積為，故選：B．【點睛】方法點睛：求解有關三棱錐外接球的問題時，常見方法有兩種：一種是補形，解題時要認真分析圖形，看能否把三棱錐補形成一個正方體（長方體），若能，則正方體（長方體）的頂點均在外接球的球面上，正方體（長方體）的體對角線為外接球的直徑；另一種是直接法，三棱錐中過任意兩個面的外接圓圓心的垂線的交點即三棱錐外接球的球心．1．（2023·河南開封·統考三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將三棱錐可以補成長方體，從而得到為三棱錐的外接球的直徑，要想體積最小，則最小即可，設，表達出，從而得到，進而求出外接球體積的最小值.【詳解】根據題意三棱錐可以補成分別以為長、寬、高的長方體，其中為長方體的對角線，則三棱錐的外接球球心即為的中點，要使三棱錐的外接球的體積最小，則最?。O，則，，，所以當時，，則有三棱錐的外接球的球半徑最小為，所以．故選：A2．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預測）如圖，球的表面積為，四面體內接于球，是邊長為的正三角形，平面平面，則該四面體體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據球的表面積求得求得半徑，再根據題意得出當時，點到底面的距離最大，求出點到底面的距離即可求出最大值.【詳解】因為球的表面積為，所以，由題意知底面三角形的面積為定值，要使四面體體積的最大，只須頂點到底面的距離最大即可，又因為平面平面，可知當時，點到底面的距離最大，外接圓的半徑，則到面的距離為，且到面的距離為，設點到平面的距離為，則，解得，此時體積最大值為.故選：B.3．（2023·福建廈門·統考模擬預測）一封閉圓臺上、下底面半徑分別為1，4，母線長為6.該圓臺內有一個球，則這個球表面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，作出圓臺軸截面，分析可知，當球與相切時，其表面積最大，再結合條件求得球的半徑，即可得到結果.【詳解】畫出圓臺的軸截面，要使球的表面積最大，則球需要與相切，設圓的半徑為，則，又因為，所以，因為，作，，所以，所以，所以，且，即,解得，所以球表面積的最大值為，故選:A4．（2023·西藏林芝·統考二模）在三棱錐中，，平面經過的中點E，并且與BC垂直，當α截此三棱錐所得的截面面積最大時，此時三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取靠近的四等分點，的中點，截此三棱錐所得的截面為平面，當時截面面積最大，，為，外接圓圓心，球心滿足面，面，由求得外接球的半徑進而求得球的表面積.【詳解】如圖所示，取中點及靠近的四等分點，的中點，連接，，，，，由，所以，又是中點，是的中點，所以可知，同理可得，又，平面，平面，所以平面，所以平面即為平面，又因為，所以，所以，所以截此三棱錐所得的截面面積為，當時，取得最大值，設外接球球心為，半徑為，，分別為，外接圓圓心，球心滿足面，面，又因為和均為邊長為4的正三角形，所以，所以四邊形為正方形，且，又,所以，∴.故選：D.5．（2023·河南·校聯考模擬預測）在三棱錐中，平面，且，當三棱錐的體積取最大值時，該三棱錐外接球的體積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，則三棱錐的體，構造函數，利用導數求最值可得，再求三棱錐外接球半徑可得答案．【詳解】設，則，故三棱錐的體積，設，則，由，得，由，得，則在上單調遞增，在上單調遞減，從而，即三棱錐體積的最大值是，此時，即，因為平面，把三棱錐不成一個長方體，則三棱錐與所補成的長方體有相同的外接球，所以外接球的半徑，則三棱錐外接球的體積為．故選：B.6．（2023·遼寧·校聯考三模）在三棱錐中，，平面經過的中點，并且與垂直，當截此三棱錐所得的截面面積最大時，此時三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取靠近的四等分點，的中點，截此三棱錐所得的截面為平面，當時截面面積最大，，為，外接圓圓心，球心滿足面，面，由求得外接球的半徑進而求得球的表面積.【詳解】

如圖所示取靠近的四等分點，的中點，連接，，.由，可知.同理可知.又，所以平面，所以平面即為平面.又易知，所以截此三棱錐所得的截面面積為，當時，取得最大值，設為外接球球心，，為，外接圓圓心，球心滿足面，面，所以四邊形為正方形，且，，，∴.故選：D.考點九、內切球綜合1．（2023·山東泰安·統考模擬預測）將半徑為，圓心角為的扇形圍成一個圓錐（接縫處忽略不計），則該圓錐的內切球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先算出扇形的弧長，從而可得圓錐底面的半徑，故可求軸截面內切圓的半徑即為圓錐內切球的半徑，最后根據公式可求體積.【詳解】

設圓錐的母線長為，底面半徑為，由題意可得，由，所以．因為，圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，該等邊三角形（如圖）的內切圓半徑為圓錐內切球半徑，而等邊三角形的邊長為4，故，故．故選：C．2．（2023·浙江臺州·統考模擬預測）在四棱錐中，平面平面，為邊長為1的等邊三角形，底面存在一個內切球（內切球定義：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個球是這個多面體的內切球），則內切球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據內切球在等邊三角形內的“正投影”求得內切球的半徑，進而求得內切球的表面積.【詳解】由于平面平面，為邊長為1的等邊三角形，底面為矩形，所以四棱錐的內切球在等邊三角形的“正投影”是等邊三角形的內切圓，設等邊三角形的內切圓半徑為，則，解得，所以內切球的半徑為，其表面積為.故選：D3．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐廬中學期末）已知四面體，且，，面面，則四面體的外接球與內切球的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取中點，中點，以為軸建立坐標系，利用外接球球心到頂點的距離相等求外接球半徑，利用等體積法求內切球半徑即可求解.【詳解】取中點，中點，連接，因為，則，又且，則，又面面，面面，面，所以面，由面，則，所以兩兩垂直，以為軸建立如圖所示坐標系，則，，，，設四面體外接球球心為，因為△外接圓圓心為，所以面，設，因為，所以解得，即，所以四面體外接球半徑，因為，，所以，即，△為等腰三角形，所以△在邊上的高為，所以四面體的側面積，四面體的體積，設四面體內切球的半徑為，則由等體積法可得解得，所以四面體的外接球與內切球的表面積之比為，故選：C4．（2023秋·浙江麗水·高三浙江省麗水中學校聯考期末）將菱形沿對角線折起，當四面體體積最大時，它的內切球和外接球表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當平面平面時，四面體的高最大，并利用導函數討論體積的最大值，構造長方體求外接球的半徑，利用等體積法求內切球的半徑，進而可求解.【詳解】不妨設菱形的邊長為，，，外接球半徑為，內切球半徑為，取中點為，連接，因為，所以，當平面平面時，平面平面，平面，所以平面，此時四面體的高最大為，因為，所以所以，，令解得，令解得，所以在單調遞增，單調遞減，所以當時最大，最大體積為，此時，以四面體的頂點構造長方體，長寬高為，則有解得，所以，所以外接球的表面積為，又因為，所以，，所以，所以，所以，所以內切球的表面積為，所以內切球和外接球表面積之比為，故選:C.5．（2023·廣東·統考模擬預測）已知某圓錐的內切球（球與圓錐側面?底面均相切）的體積為，則該圓錐的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得內切球半徑，再畫圖設底面半徑為，利用三角函數值代換表達出表面積的公式，再設，根據基本不等式求最小值即可【詳解】設圓錐的內切球半徑為，則，解得，設圓錐頂點為，底面圓周上一點為，底面圓心為，內切球球心為，內切球切母線于，底面半徑，，則，又，故，又，故，故該圓錐的表面積為，令，則，當且僅當，即時取等號.故選：A.6．（2023秋·江蘇常州·高三常州高級中學?？奸_學考試）將一個半徑為的球削成一個體積最大的圓錐，則該圓錐的內切球的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設圓錐的底面半徑為，則高為，表示出圓錐的體積，換元后利用導數可求出體積的最大值，從而可求出圓錐的底面半徑和高，再求出母線長，作出圓錐的截面，然后利用三角形相似可求出圓錐內切球的半徑.【詳解】設圓錐的底面半徑為，則高為，所以圓錐的體積為，令，得，所以，則，所以當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以當時，取得最大值，即時，圓錐的體積最大，此時圓錐的高為，母線長為，設圓錐的內切球半徑為，圓錐的軸截面圖如圖所示，則，因為，所以，所以,即，解得，故選：D【點睛】關鍵點點睛：此題考查圓錐的內切球問題，考查導數的應用，解題的關鍵是表示出圓錐的體積，化簡后利用導數求出其最大值，從而可確定圓錐的大小，考查空間想象能力和計算能力，屬于難題.1．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學?？寄M預測）表面積為的球內切于圓錐，則該圓錐的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓錐內切球的半徑，設圓錐頂點為，底面圓周上一點為，底面圓心為，內切球球心為，內切球切母線于，底面半徑，，則，求出，再換元利用基本不等式求出函數的最小值得解.【詳解】設圓錐的內切球半徑為，則，解得，設圓錐頂點為，底面圓周上一點為，底面圓心為，內切球球心為，軸截面如下圖示，內切球切母線于，底面半徑，，則，又，故，又，故，故該圓錐的表面積為，令，所以，所以.（當且僅當時等號成立）所以該圓錐的表面積的最小值為.故選：B2．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學?？茧A段練習）《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，其中有很多對幾何體外接球與內切球的研究．其中的一些研究思想啟發(fā)著后來者的研究方向．已知正四棱錐的外接球半烴為R，內切球半徑為r，且兩球球心重合，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】正四棱錐的外接球和內接球球心重合，說明其結構特殊，找出結構的特殊性，再計算.【詳解】如圖：設底面正方形ABCD的對角線長為2a，高為h，，正方形的中心為O，外接球的球心為，則有即，在中，①，②，以O為原點，建立空間直角坐標系如上圖，則有，，設平面PCD的一個法向量為，則有，，令，則，設向量與平面PCD的夾角為，則，球心到平面PCD的距離，，由①得即③，故設，則③可整理成，兩邊平方得，，由①②得；故選：B.3．（2023·河北秦皇島·校聯考模擬預測）如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設它的體積為，它的內切球的體積為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】軸截面四邊形的內切圓的半徑即為該幾何體內切球的半徑，求出半徑，再根據球的體積公式和圓錐的體積公式即可得解.【詳解】如圖，四邊形為該幾何體的軸截面，則四邊形的內切圓的半徑即為該幾何體內切球的半徑，設內切球的半徑為，由，得，則，，所以.故選：D.4．（2023·湖南·校聯考模擬預測）定義：與圓錐的底面和各母線均相切的球，稱為圓錐的內切球，此圓錐稱為球的外切圓錐．已知某圓錐的內切球半徑等于1，則該圓錐體積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】圓錐的內切球問題，作圖分析利用基本不等式求解即可.【詳解】如圖，作出該幾何體的軸截面得到如圖所示的平面圖形，設該圓錐的內切球球心為，底面圓的圓心為點，底面半徑為，高為，法一：由等面積法可得：，化簡得：，又：，∴，當且僅當，即時取等號．法二：如圖：，∴，∴，∵，∴，∴，當且僅當，即時取等號．故選：C．5．（2023·湖北·統考二模）已知直三棱柱存在內切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直三棱柱的高后可求其外接球的半徑，從而可求外接球的表面積.【詳解】因為，故，故的內切圓的半徑為.因為直三棱柱存在內切球，故直三棱柱的高即為內切球的直徑.而內切球的半徑即為底面三角形內切圓的半徑，故內切球的半徑為1，故直三棱柱的高為2.將直三棱柱補成如圖所示的長方體，則外接球的直徑即為該長方體的體對角線，故外接球的半徑為，故外接球的的表面積為.故選：D.6．（2023·福建寧德·?？寄M預測）將一個半徑為2的球削成一個體積最大的圓錐，則該圓錐的內切球的半徑為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設圓錐的底面半徑為，則圓錐的高為，表示出圓錐的體積，換元后利用導數可求出體積的最大值，從而可求出圓錐的底面半徑和高，再求出母線長，作出圓錐的截面，然后利用三角形相似可求出圓錐內切圓的半徑.【詳解】設圓錐的底面半徑為，則圓錐的高為，所以圓錐的體積，令（），則，所以，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以當，即時，圓錐的體積最大，此時圓錐的高為，母線長為，設圓錐的內切球半徑為，圓錐的截面如圖所示,則，，，因為∽，所以，，解得,故選：D【點睛】關鍵點點睛：此題考查圓錐的內切球問題，解題的關鍵是表示出圓錐的體積，化簡后利用導數求出其最大值，從而可確定出圓的大小，考查空間想象能力和計算能力，屬于較難題.考點十、球心不確定類型1．（2023·江西南昌·南昌市八一中學?？既＃┮阎睦忮F的底面是矩形，高為，，，，，則四棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出輔助線，求出平面外接圓半徑，再利用勾股定理求出外接球的半徑，即可求出球的表面積.【詳解】如圖，在矩形中，連接對角線，記，則點為矩形的外接圓圓心，取的中點，連接，記的外接圓圓心為，易知，且共線.因為，平面，所以平面，所以平面，平面，，，平面，所以平面，所以，所以，易得，所以由正弦定理得的外接圓半徑為，即.過作平面，且，連接，由平面，可知，則四邊形為矩形，所以，則平面.根據球的性質，可得點為四棱錐的外接球的球心，因為，所以四棱錐的外接球的表面積為.故選：C2．（2023·甘肅·模擬預測）如圖，在菱形中，，，E為對角線BD的中點，將沿BD折起到的位置，若，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過球心作平面，則為等邊三角形的中心，由與都是邊長相同的等邊三角形得，利用勾股定理得、，最后由球的的表面積公式計算可得答案.【詳解】過球心作平面，則為等邊三角形的中心，∵四邊形是菱形，，∴與都是邊長相同的等邊三角形，∵，∴，∵，∴，∴，，中，，由勾股定理得，∴球的半徑，∴三棱錐的外接球的表面積為.故選：A．【點睛】方法點睛：一般外接球需要求球心和半徑，首先應確定球心的位置，借助于外接球的性質，球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線（這兩個多邊形需有公共點），這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心，再根據半徑，頂點到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構成勾股定理求解，有時也可利用補體法得到半徑.3．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）如圖，在正三棱臺中，，，，則正三棱臺的外接球表面積為（

）A．64 B． C． D．【答案】B【分析】先求得臺體的高，然后利用勾股定理列方程，求得外接球的半徑，進而求得外接球的表面積.【詳解】設外接球球心為，等邊三角形的外心為，等邊三角形的外心為，三點共線，則是正三棱臺的高，設臺體的高為，設外接球的半徑為，過作，垂足為，根據正棱臺的性質可知，所以平面，平面，所以，設等邊三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得.設等邊三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得.在直角三角形中，，所以.當球心O在線段上，則，解得，當球心O在的延長線上時，則，無解，所以正三棱臺的外接球表面積為.故選：B4．（2023·河北秦皇島·校聯考二模）已知正方體的棱長為2，P，Q分別是，的中點，則經過點，Q，C，D，C1的球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出的外接圓半徑，矩形的外接圓半徑，再利用幾何關系求出球的半徑，進而求出結果.【詳解】根據正方體，得，，所以平面，四邊形是矩形，其中，，的三邊為，，，，設的外接圓半徑為，則，于是，設矩形的外接圓半徑為，則，設球心為，過作平面，垂足為，過作平面，垂足為，則是矩形的外心，是三角形的外心，取中點，則，于是平面，所以四邊形是矩形.設球半徑為，，則，于是球的表面積為.故選：D.1．（2023·四川·四川省金堂中學校校聯考三模）如圖，在梯形中，，將沿對角線折起，使得點翻折到點，若面面，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設為的中點，為的中點，為的外心，為三棱錐的外接球球心，利用球的截面性質得到四邊形為矩形，然后設外接球半徑為，由求解.【詳解】解：如圖，設為的中點，為的中點，為的外心，為三棱錐的外接球球心，則面面.由題意得為的外心，在中，，所以，又四邊形為矩形，，設外接球半徑為，則外接球表面積，故選：B.2．（2023·江西·校聯考模擬預測）已知三棱錐滿足，．則其外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理求得外接圓半徑，根據三棱錐圖像，分別表示出，，然后利用勾股定理，解得，進而利用球體的體積公式即可得出答案.【詳解】在中，，，根據三角形的外接圓半徑公式，可得的外接圓半徑，如圖所示．設點在平面內的投影的為，則，在中，因為，解得，設三棱錐的外接球半徑，即，，在中，由勾股定理得，即，解得，故三棱錐的外接球半徑，根據球體的體積公式.故選：C3．（2023·全國·校聯考模擬預測）在正三棱錐PABC中，D，E分別為側棱PB，PC的中點，若，且，則三棱錐PABC外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結合題意，利用三角形相似得到，取線段PE的中點F，連接DF，AF，利用余弦定理和勾股定理求出外接球半徑，代入外接球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖，因為PABC為正三棱錐，所以，．取線段PE的中點F，連接DF，AF，因為D為PB的中點，所以，．因為AD⊥BE，所以．在中，，由勾股定理，得．設，PA=x，在中，由余弦定理的推論，得①．同理，在中，由余弦定理的推論，得②．聯立①②，解得，．在中，由余弦定理，得，所以．取的中心，連接，，則平面ABC，三棱錐PABC的外接球球心O在上，連接OA，設外接球半徑為R．在中，OA=R，，所以，所以，所以，即，解得，所以所求外接球的表面積為．故選：C．4．（2023·河北邯鄲·統考三模）三棱錐中，平面，，．過點分別作，交于點，記三棱錐的外接球表面積為，三棱錐的外接球表面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點，的中點，連，，，，證明是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑；是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑，設，求出，根據球的表面積公式可求出結果.【詳解】取的中點，的中點，連，，，，因為平面，平面，所以，，，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，在直角三角形中，是斜邊的中點，所以，在直角三角形中，是斜邊的中點，所以，所以是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑.因為，是斜邊的中點，所以，因為，是斜邊的中點，所以，所以是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑.設，則，則，，所以.故選：B.考點十一、球體多選題綜合1．（2023·湖南·湖南師大附中校聯考模擬預測）如圖，正方體的棱長為3，點是側面上的一個動點（含邊界），點在棱上，且，則下列結論正確的有（

）A．沿正方體的表面從點到點的最短路程為B．保持與垂直時，點的運動軌跡長度為C．若保持，則點的運動軌跡長度為D．當在點時，三棱錐的外接球表面積為【答案】BCD【分析】根據平面展開即可判斷A；過做平面平面，即可判斷B；根據點的軌跡是圓弧，即可判斷C；建立空間直角坐標系求得圓心坐標即可判斷D.【詳解】對于，將正方體的下面和側面展開可得如圖圖形，連接，則，故錯誤；對于，因為平面，平面，，又，平面，所以平面，平面，所以，同理可得，平面，所以平面，所以過點作交交于，過作交交于，由，可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面，，則平面平面，設平面交平面于，則的運動軌跡為線段，由點在棱上，且，可得，所以，故B正確；對于，若，則在以為球心，為半徑的球面上，過點作平面，則，此時，所以點在以為圓心，2為半徑的圓弧上，此時圓心角為，點的運動軌跡長度為，故正確；對于D，以為坐標原點，所在直線分別為軸建系，則，設三棱錐的外接球球心為，由得，，解得：，所以三棱錐的外接球半徑，所以三棱錐的外接球表面積為，D正確.故選：BCD.2．（2023·云南昭通·統考模擬預測）如圖，已知正方體的棱長為2，點是的中點，點是線段上的一動點，則下列說法正確的是（

）A．B．三棱錐的內切球的體積為C．三棱錐的體積為D．直線與平面所成角的最大值為【答案】ACD【分析】建立空間坐標系，利用向量與垂直判斷A，利用體積分割法求解內切球的半徑，進一步求內切球的體積判斷B，證明平面，根據等體積法計算棱錐的體積判斷C，利用向量法計算直線與平面所成角的正弦值，求函數最值即可求出最大角判斷D.【詳解】由正方體性質知，如圖以點A為坐標原點，AB、AD、分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系.則，，，，，，，，，因為點是線段上的一動點，所以設，則.對于A，因為，，所以，所以，故，故選項A正確；對于B，三棱錐的體積為，又三棱錐的所有棱長均為，所以三棱錐的表面積為，設三棱錐的內切球半徑為，則，解得，所以三棱錐的內切球的體積為，故選項B錯誤；對于C，設，連接BF，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，所以點P到平面的距離為點到平面的距離，所以，故選項C正確；對于D，易知平面的一個法向量為，，設直線與平面所成角為，則，令，因為，所以，則，所以即時，有最大值為，又，且函數在上單調遞增，所以的最大值為，即直線與平面所成角的最大值為，故選項D正確.綜上，說法正確的是ACD.故選：ACD6．（2023·遼寧遼陽·統考二模）正三棱錐的底面邊長為3，高為，則下列結論正確的是（

）A．B．三棱錐的表面積為C．三棱錐的外接球的表面積為D．三棱錐的內切球的表面積為【答案】ABD【分析】求得的位置關系判斷選項A；求得三棱錐的表面積判斷選項B；求得三棱錐的外接球的表面積判斷選項C；求得三棱錐的內切球的表面積判斷選項D.【詳解】如圖，取棱的中點，連接則正三棱錐中，.因為平面，且，所以平面，則，故A正確；作平面，垂足為，則.由正三棱錐的性質可知在上，且.因為，所以，則.因為，所以，則三棱錐的表面積，故B正確；設三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則在上，連接，則，即，解得，則三棱錐的外接球的表面積為，故C錯誤.設三棱錐的內切球的半徑為，則，解得，從而三棱錐的內切球的表面積為，故D正確.故選：ABD7．（2023·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）已知半徑為Rr1和r2，母線長為l，球的表面積與體積分別為S1和V1，圓臺的表面積與體積分別為S2和V2.則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．的最大值為【答案】ABC【分析】根據題意結合圓臺與球的表面積、體積公式逐項分析判斷.【詳解】由切線長定理易得，A正確；由勾股定理知，解得，B正確；因為，，所以正確；因為，當且僅當時，等號成立，這與圓臺的定義矛盾，故D錯誤.故選：ABC.1．（2023·山東煙臺·校聯考三模）底面為直角三角形的三棱錐的體積為4，該三棱錐的各個頂點都在球O的表面上，點P在底面ABC上的射影為K，，則下列說法正確的是（

）A．若點K與點A重合，則球O的表面積的最小值為B．若點K與點A重合，則球O的體積的最小值為C．若點K是的斜邊的中點，則球O的表面積的最小值為D．若點K是的斜邊的中點，則球O的體積的最小值為【答案】AD【分析】設的兩直角邊長分別為x，y，根據題意求得，然后分點K與點A重合和點K是的斜邊的中點兩種情況進行求解即可判斷.【詳解】設的兩直角邊長分別為x，y，球O的半徑為R.因為三棱錐的體積為4，，所以，解得.對于選項A，B：由題意知平面ABC，所以（當且僅當時取等號），解得，所以球O的表面積，球O的體積，故A正確，B錯誤；對于選項C，D：若點K是的斜邊的中點，則，（球O的球心位于直線PK上）所以（當且僅當時取等號），即，所以球O的表面積，球O的體積，故C錯誤，D正確.故選：AD【點睛】方法技巧求解此類題要過好三關：一是構造關，即會構造長方體模型快速求解外接球的直徑，長方體的外接球的直徑等于共點的三條棱長的平方和的開方；二是方程關，即會利用三棱錐的底面三角形的外接圓的圓心?球心與三棱錐的頂點構成的直角三角形，用勾股定理得關于球半徑的方程；三是最值關，利用基本不等式求最值，要注意“一正二定三相等”.2．（2023·湖南長沙·長沙一中?？家荒＃┤鐖D圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則下列各選項正確的是（

）A．球與圓柱的體積之比為B．四面體的體積的取值范圍為C．平面截得球的截面面積最小值為D．若為球面和圓柱側面的交線上一點，則的取值范圍為【答案】ABD【分析】根據給定的條件，利用球、圓柱的體積公式計算判斷A；利用建立函數關系判斷B；求出球心O到平面DEF距離的最大值判斷C；令點P在圓柱下底面圓所在平面上的投影點為Q，設，利用勾股定理建立函數關系，求出值域可判斷D.【詳解】對于A，球的體積為，圓柱的體積，則球與圓柱的體積之比為，A正確；對于B，設為點到平面的距離，，而平面經過線段的中點，四面體CDEF的體積，所以四面體的體積的取值范圍為，B正確；對于C，過作于，如圖，而，則，又，于是，設截面圓的半徑為，球心到平面的距離為，則，又，則平面DEF截球的截面圓面積，C錯誤；對于D，令經過點P的圓柱的母線與下底面圓的公共點為Q，連接，當與都不重合時，設，則，當與之一重合時，上式也成立，因此，，則，令，則，而，即，因此，解得，所以的取值范圍為，D正確.故選：ABD.3．（2023·廣東深圳·深圳中學?？寄M預測）如圖，棱長為2的正四面體中，，分別為棱，的中點，為線段的中點，球的表面與線段相切于點，則下列結論中正確的是（

）A．平面B．球的體積為C．球被平面截得的截面面積為D．球被正四面體表面截得的截面周長為【答案】ABD【分析】根據題中條件，根據線線垂直，證明線面垂直，可判斷球為正四面體的棱切球，可判斷BCD.【詳解】

設?分別為?的中點，連接，，，，，，，則，，，，故，，則四邊形為平行四邊形.故，交于一點，且互相平分，即點也為的中點，又，，故，.，，平面，故平面，由于，平面，則平面，故，結合點也為的中點，同理可證，，，平面，故平面，A正確；由球的表面正好經過點，則球的半徑為，棱長為2的正四面體中，，為的中點，則，故，則，所以球的體積為，B正確；由平面，平面，故平面平面，平面平面，由于平面，延長交平面于點，則平面，垂足落在上，且為正的中心，故，所以，即為球心到平面的距離為故球被平面截得的截面圓的半徑為，則球被平面截得的截面圓的面積為，C錯誤；由A的分析可知，也為棱，中點連線的中點，則球與每條棱都交于棱的中點，結合C的分析可知，球被正四面體的每個面截得的截面都為圓，且圓的半徑都為，故球被正四面體表面截得的截面周長為，D正確.故選：ABD.4．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預測）如圖，棱長為2的正四面體中，，分別為棱，的中點，為線段的中點，球的表面正好經過點，則下列結論中正確的是（

）A．平面B．球的體積為C．球被平面截得的截面面積為D．過點與直線，所成角均為的直線可作4條【答案】ABD【分析】設分別為的中點，連接，根據線面垂直的判定定理可判斷A；求出球的半徑，計算球的體積，進而判斷B；求出球O被平面截得的截面圓的半徑，可求得截面面積，進而判斷C；通過平移與補形法，通過角平分線的轉化尋找平面進而找出直線，從而可判斷D.【詳解】設分別為的中點，連接，則,故，則四邊形為平行四邊形，故交于一點，且互相平分，即O點也為的中點，又，故,平面，故平面，由于平面，則平面，故，結合O點也為的中點，同理可證,平面，故平面，A正確；由球O的表面正好經過點M，則球O的半徑為,棱長為2的正四面體中，，M為的中點，則，故,則，所以球O的體積為，B正確；由平面，平面