貴州省貴陽市花溪區(qū)花溪區(qū)高坡民族中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

貴陽市花溪區(qū)高坡民族中學(xué)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中九年級數(shù)學(xué)測試卷(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題：以下每小題均有A，B，C，D四個選項，其中只有一個選項正確，每小題3分，共36分．1.下列函數(shù)的圖象，經(jīng)過原點的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將代入每個函數(shù)解析式，然后求出y的值，如果，則函數(shù)的圖象，經(jīng)過原點．【詳解】解：A．時，，函數(shù)圖象過原點，符合題意B．時，，函數(shù)圖象不過原點，不符合題意；C．是反比例函數(shù)，時，無意義，函數(shù)圖象不可能過原點，不符合題意；D．時，，函數(shù)圖象不過原點，不符合題意．故選：A．【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖象上點的特點，解題的關(guān)鍵是將代入函數(shù)解析式，求出y的值．2.二次函數(shù)的圖象的對稱軸是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將二次函數(shù)寫成頂點式，進而可得對稱軸．【詳解】解：．二次函數(shù)的圖象的對稱軸是．故選A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式是解題的關(guān)鍵．3.將二次函數(shù)化為的形式，結(jié)果為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題是將一般式化為頂點式，由于二次項系數(shù)是1，只需加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊成完全平方式即可．【詳解】解：將二次函數(shù)化為的形式為，故D正確．故選：D．【點睛】本題考查是二次函數(shù)的三種形式，正確運用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點式是解題的關(guān)鍵．4.已知二次函數(shù)y=x2?2x?3的自變量x1，x2，x3對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，y3．當?1<x1<0，1<x2<2，x3>3時，y1，y2，y3三者之間的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得拋物線的對稱軸為直線x=1，拋物線與x軸的交點坐標，畫出草圖，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解．【詳解】解：y=x2?2x?3=(x-1)2-4，∴對稱軸為直線x=1，令y=0，則(x-1)2-4=0，解得x=-1或3，∴拋物線與x軸的交點坐標為(-1，0)，(3，0)，二次函數(shù)y=x2?2x?3的圖象如圖：由圖象知．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．利用數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．5.已知二次函數(shù)（a，b為常數(shù)）．命題①：該函數(shù)的圖像經(jīng)過點(1，0)；命題②：該函數(shù)的圖像經(jīng)過點(3，0)；命題③：該函數(shù)的圖像與x軸的交點位于y軸的兩側(cè)；命題④：該函數(shù)的圖像的對稱軸為直線．如果這四個命題中只有一個命題是假命題，則這個假命題是（）A.命題① B.命題② C.命題③ D.命題④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對稱軸為直線，確定a的值，根據(jù)圖像經(jīng)過點（3，0），判斷方程的另一個根為x=-1，位于y軸的兩側(cè)，從而作出判斷即可．【詳解】假設(shè)拋物線的對稱軸為直線，則，解得a=-2，∵函數(shù)的圖像經(jīng)過點(3，0),∴3a+b+9=0，解得b=-3，故拋物線的解析式為，令y=0，得，解得，故拋物線與x軸的交點為（-1，0）和（3，0），函數(shù)的圖像與x軸的交點位于y軸的兩側(cè)；故命題②，③，④都是正確，命題①錯誤，故選A．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法確定解析式，拋物線與x軸的交點，對稱軸，熟練掌握待定系數(shù)法，拋物線與x軸的交點問題是解題的關(guān)鍵．6.某種新型禮炮的升空高度h（m）飛行時間t（s）的關(guān)系式是，若這種禮炮在點火升空到最高點處引爆，則從點火升空到引爆需要的時間為（）．A.3S B.4S C.5S D.6S【答案】B【解析】【詳解】解：因為這種禮炮在點火升空到最高點處引爆，所以從點火升空到引爆需要的時間，實際是求頂點的橫坐標，當時，h有最高點，所以從點火升空到引爆需要的時間為4S．故選B．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握“二次函數(shù)的性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．7.若二次函數(shù)y=x2+2x+m的圖象與坐標軸有3個交點，則m的取值范圍是（）A.m＞1 B.m＜1 C.m＞1且m≠0 D.m＜1且m≠0【答案】D【解析】【分析】由拋物線與坐標軸有三個交點可得出：方程x2+2x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，且m≠0，利用根的判別式△＞0可求出m的取值范圍，此題得解．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=x2+2x+m的圖象與坐標軸有3個交點，∴方程x2+2x+m=0有兩個不相等實數(shù)根，且m≠0，∴△=22﹣4m＞0，∴m＜1．∴m＜1且m≠0．故選D．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點以及根的判別式，利用根的判別式△＞0找出關(guān)于m的一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．8.已知拋物線上的部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應(yīng)值如表：x…-10123…y…30-1m3…以下結(jié)論正確的是（）A.拋物線的開口向下B.當時，y隨x增大而增大C.方程的根為0和2D.當時，x的取值范圍是【答案】C【解析】【分析】利用表中數(shù)據(jù)求出拋物線解析式，根據(jù)解析式依次進行判斷．【詳解】解：將代入拋物線的解析式得；，解得：，所以拋物線的解析式為：，A、，拋物線開口向上，故選項錯誤，不符合題；B、拋物線的對稱軸為直線，在時，y隨x增大而增大，故選項錯誤，不符合題意；C、方程的根為0和2，故選項正確，符合題意；D、當時，x的取值范圍是或，故選項錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法和函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：利用待定系數(shù)法求出解析式，然后利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)解答．9.拋物線的對稱軸為直線．若關(guān)于的一元二次方程（為實數(shù)）在的范圍內(nèi)有實數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給出的對稱軸求出函數(shù)解析式為，將一元二次方程的實數(shù)根可以看做與函數(shù)的有交點，再由的范圍確定的取值范圍即可求解；【詳解】∵的對稱軸為直線，∴，∴，∴一元二次方程的實數(shù)根可以看做與函數(shù)的有交點，∵方程在的范圍內(nèi)有實數(shù)根，當時，，當時，，函數(shù)在時有最小值2，∴，故選A．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；能夠?qū)⒎匠痰膶崝?shù)根問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與直線的交點問題，借助數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．10.如一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像如圖所示，則二次函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象找出a、b、c的正負，再根據(jù)拋物線的對稱軸為x=-，找出二次函數(shù)對稱軸在y軸右側(cè)，比對四個選項的函數(shù)圖象即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵一次函數(shù)y1=ax+c圖象過第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴-＞0，∴二次函數(shù)y3=ax2+bx+c開口向下，二次函數(shù)y3=ax2+bx+c對稱軸在y軸右側(cè)；∵反比例函數(shù)y2=的圖象在第一、三象限，∴c＞0，∴與y軸交點在x軸上方．滿足上述條件的函數(shù)圖象只有選項A．故選：A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象、反比例函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象找出a、b、c的正負．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，熟悉函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．11.二次函數(shù)的圖象的一部分如圖所示．已知圖象經(jīng)過點，其對稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③；④若拋物線經(jīng)過點，則關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，5，上述結(jié)論中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行逐項判斷即可求解．詳解】解：①由圖象可知，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正確；②∵對稱軸為直線x==1，且圖象與x軸交于點（﹣1，0），∴圖象與x軸的另一個交點坐標為（3，0），b=﹣2a，∴根據(jù)圖象，當x=2時，y=4a+2b+c＞0，故②錯誤；③根據(jù)圖象，當x=﹣2時，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正確；④∵拋物線經(jīng)過點，∴根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線也經(jīng)過點，∴拋物線與直線y=n的交點坐標為（﹣3，n）和（5，n），∴一元二次方程的兩根分別為，5，故④正確，綜上，上述結(jié)論中正確結(jié)論有①③④，故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．12.如圖所示，在中，，，，動點P從點A開始沿邊向B點以的速度移動(不與點B重合)，動點Q從點B開始沿邊向C點以的速度移動(不與點C重合)．如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，經(jīng)過時與相似，那么的值為（）A. B.2 C.或3 D.2或【答案】C【解析】【分析】分和兩種情況計算求解．【詳解】∵，，，動點P以的速度移動,動點Q以的速度移動,運動時間為，∴，，，當時，∴，解得；當時，∴，解得；故選C．【點睛】本題考查了直角三角形背景下動態(tài)三角形相似的條件應(yīng)用，正確分類三角形的相似是解題的關(guān)鍵．二、填空題：每小題4分，共16分．13.函數(shù)的圖象是拋物線，則m=__________．【答案】-1【解析】【詳解】根據(jù)拋物線的定義，得，解得：m=–1．14.將二次函數(shù)的圖象先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得二次函數(shù)表達式為_______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律，即可得出平移后的二次函數(shù)的解析式．【詳解】∵將二次函數(shù)y=(x?2)2+3的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，∴得到新的二次函數(shù)解析式為y=(x?3?2)2+3?2=(x?5)2+1．故答案為【點睛】考查二次函數(shù)的平移，掌握二次函數(shù)的平移知識是解題的關(guān)鍵．15.在平面直角坐標系中，拋物線與y軸交于點，則該拋物線關(guān)于點成中心對稱的拋物線的表達式為______．【答案】【解析】【分析】由拋物線解析式求得拋物線的頂點坐標與點的坐標，然后結(jié)合中心對稱的性質(zhì)，求得新拋物線頂點坐標，即可得拋物線解析式．【詳解】由拋物線知，拋物線頂點坐標是．由拋物線知，．∴該拋物線關(guān)于點成中心對稱的拋物線的頂點坐標是．∴該拋物線關(guān)于點成中心對稱的拋物線的表達式為：．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，表示出新拋物線的頂點坐標是解題的關(guān)鍵．16.有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬為，拱頂距水面，在如圖的直角坐標系中，該拋物線的解析式為___________．【答案】y=－0.04（x－10）2+4【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)所求拋物線的解析式為y=a（x-h）2+k，由已知條件易知h和k的值，再把點C的坐標代入求出a的值即可；【詳解】解：設(shè)所求拋物線的解析式為：y=a（x-h）2+k，并假設(shè)拱橋頂為C，如圖所示：∵由AB=20，AB到拱橋頂C的距離為4m，則C（10，4），A（0，0），B（20，0）把A，B，C的坐標分別代入得a=-0.04，h=10，k=4拋物線的解析式為y=-0.04（x-10）2+4.故答案為y=－0.04（x－10）2+4.【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握并利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題9小題，共98分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點.（1）求的值和圖象的頂點坐標．（2）點在該二次函數(shù)圖象上.①當時，求的值；②若到軸的距離小于2，請根據(jù)圖象直接寫出的取值范圍.【答案】（1）；（2）①11；②.【解析】【分析】（1）把點P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a；（2）①把m=2代入解析式即可求n的值；②由點Q到y(tǒng)軸的距離小于2，可得-2＜m＜2，在此范圍內(nèi)求n即可.【詳解】（1）解：把代入，得，解得.∵，∴頂點坐標為.（2）①當m=2時，n=11，②點Q到y(tǒng)軸的距離小于2，∴|m|＜2，∴-2＜m＜2，∴2≤n＜11.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的特征是解題的關(guān)鍵．18.已知關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為(－1，2)，且圖象過點(1，－3)．(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)寫出它的開口方向、對稱軸．【答案】(1)y＝－(x＋1)2＋2；(2)向下，x＝－1.【解析】【詳解】試題分析：（1）由二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（-1，2）可設(shè)其解析式為：，再代入點B（1，-3）就可求出的值，從而得到此函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）中所求得的這個二次函數(shù)的解析式可以知道其圖象的開口方向和對稱軸.試題解析：(1)設(shè)函數(shù)解析式為y＝a(x＋1)2＋2，把點(1，－3)代入，得a＝－.∴拋物線的解析式為y＝－(x＋1)2＋2.(2)由拋物線的解析式為：y＝－(x＋1)2＋2，可知拋物線的開口向下，對稱軸為直線x＝－1.點睛：（1）拋物線的開口方向是由二次函數(shù)表達式中“”的值確定的，當時，開口向上，當時，開口向下；（2）要求拋物線的頂點坐標或?qū)ΨQ軸，就把拋物線的表達式化為“頂點式：”，則其頂點坐標為：，對稱軸為直線：.19.拋物線與軸交于，（1）求的值；（2）求拋物線與軸的交點坐標及頂點坐標；（3）當取何值時，拋物線在軸上方？（4）當取何值時，隨的增大而增大？【答案】（1）（2），；；（3）（4）【解析】【分析】（1）把點代入拋物線解析式求，（2）根據(jù)的值確定拋物線解析式，根據(jù)解析式確定拋物線的頂點坐標，對稱軸，開口方向，與軸及軸的交點，畫出圖象．（3）根據(jù)函數(shù)圖象即可求解；（4）根據(jù)函數(shù)圖即可求解．【小問1詳解】由拋物線與軸交于，得：．拋物線為．列表得：……圖象如圖：【小問2詳解】由，得：．拋物線與軸的交點為，．拋物線頂點坐標為．【小問3詳解】由圖象可知：當時，拋物線在軸上方．【小問4詳解】由圖象可知：當時，值隨值的增大而減?。军c睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.如圖，在平面直角坐標系xOy中，邊長為2的正方形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過B、C兩點．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）結(jié)合函數(shù)的圖象探索：當y>0時x的取值范圍．【答案】（1）y=-x2+x+2(2)當y>0時，-1<x<3【解析】【詳解】解：(1)∵正方形OABC的邊長為2∴B點坐標(2，2)，C點坐標(0，2)．將B、C兩點代入y＝－x2＋bx＋c，得解得b＝，∴y＝－x2＋x＋2.(2)令y＝0，則－x2＋x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴拋物線與x軸的交點坐標分別為(－1，0)、(3，0)，結(jié)合函數(shù)圖象，當y>0時，－1<x<3.21.歡歡家想利用房屋側(cè)面的一面墻(假設(shè)墻足夠長)，再砌三面墻，圍成一個矩形羊圈(如圖所示)，一面墻的中間留出寬的進出門(門使用另外的材料)．現(xiàn)備有足夠砌長的圍墻的材料，設(shè)羊圈與已有墻面垂直的墻的長度為，羊圈面積為．（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式．（2）要使羊圈面積為，如何設(shè)計三面圍墻的長度．（3）能否使羊圈面積為?說明理由．（4）你能求出羊圈面積的最大值嗎?【答案】（1）（2）有兩種方案：垂直于已知墻面的墻的長為2時，平行于已知墻面的墻長為7；或垂直于已知墻面的墻長為4時，平行于已知墻面的墻長為3；（3）不能，理由見解析（4）羊圈面積的最大值為18【解析】【分析】（1）根據(jù)長方形的面積公式列方程求解即可；（2）使（1）方程等于16求出即可，看方程是否有解即可；（3）使（1）方程等于20求出即可，看方程是否有解即可；（4）利用配方法求出二次函數(shù)的最值即可．【小問1詳解】根據(jù)題意得出：當矩形羊圈的寬為時，其長為,∴，【小問2詳解】設(shè)垂直于墻的邊長為，則，解得，，當時，，當時，，有兩種方案：垂直于已知墻面的墻的長為2時，平行于已知墻面的墻長為7；或垂直于已知墻面的墻長為4時，平行于已知墻面的墻長為3；【小問3詳解】設(shè)垂直于墻的邊長為，則，整理得，，，此方程無解，所以不能夠圍成；【小問4詳解】由題意，得：，因此當時，最大面積為18．【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，對于面積問題應(yīng)熟記各種圖形的面積公式．注意根據(jù)根的判別式來判斷方程是否有解．22.如圖，拋物線交x軸于A、B兩點（點A在B左邊），交y軸于點C．（1）求A、B兩點的坐標；（2）求直線的函數(shù)關(guān)系式；（3）點P在拋物線的對稱軸上，連接，若的面積為4，求點P的坐標．【答案】（1）A、B兩點坐標為和（2）（3）點P的坐標為或【解析】【分析】（1）令得解得方程的解即為A、B兩點坐標；（2）令，解得拋物線與y軸交點C的坐標，設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式，解得k和b的值即可得出直線的函數(shù)關(guān)系式；（3）求得拋物線的對稱軸，設(shè)對稱軸與直線的交點記為D，求得D點坐標，設(shè)點P的坐標，表示出，再根據(jù)三角形的面積公式得出點P的坐標．【小問1詳解】解：當時，則：，解得或，所以A、B兩點坐標為和；【小問2詳解】解：拋物線與y軸交點C坐標為，由（1）得，，設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式，，解得，∴直線的函數(shù)關(guān)系式為；【小問3詳解】解：拋物線的對稱軸為，對稱軸與直線的交點記為D，則D點坐標為，∵點P在拋物線的對稱軸上，∴設(shè)點P的坐標為，，，，或．∴點P的坐標為或．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23.如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F(xiàn)點以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運動，E點同時以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運動，設(shè)運動時間為t秒（0＜t＜5）．（1）求證：△ACD∽△BAC；（2）求DC的長；（3）設(shè)四邊形AFEC的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值．【答案】（1）證明見解析（2）6.4cm（3）當t=時，y的最小值為19【解析】【分析】（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一組直角，即可證得所求的三角形相似．（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的長，根據(jù)（1）題所得相似三角形的比例線段，即可求出DC的長．（3）分析圖象可知：四邊形AFEC的面積可由△ABC、△BEF的面積差求得，分別求出兩者的面積，即可得到y(tǒng)、t的函數(shù)關(guān)系式，進而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出y的最小值．【詳解】(1)∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA又∵AC⊥BC,∠ACB=90°,∴∠D=∠ACB=90°，∴△ACD∽△BAC.(2)Rt△ABC中,AC==8cm，∵△ACD∽△BAC,∴DCAC=ACAB，即，解得：DC=6.4cm.(3)過點E作AB的垂線，垂足為G，∵∠ACB=∠EGB=90°，∠B公共，∴△ACB∽△EGB，∴,即,故EG=；y=S△ABC?S△BEF=12×6×8?12(10?2t)?=，故當t=時，y的最小值為19.24.某商家正在熱銷一種商品，其成本為30元/件，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)隨著售價增加，銷售量在減少．商家決定當售價為60元/件時，改變銷售策略，此時售價每增加1元需支付由此產(chǎn)生的額外費用150元．該商品銷售量y（件）與售價x（元/件）滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，（其中，且x為整數(shù)）（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當售價為多少時，商家所獲利潤最大，最大利潤是多少？【答案】（1）；（2）當售價為70元時，商家所獲利潤最大，最大利潤是4500元【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法分段求解函數(shù)解析式即可；（2）分別求出當時與當時的銷售利潤解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）當時，設(shè)，將和代入，可得，解得，即；當時，設(shè)，將和代入，可得，解得