單輝祖工力4一般力系

平面任意力系第四章工程實例

§4-1力的平移力的平移定理

Od令F’=F=-F’’F’F”FOdF’F”FF”FF”FF”FM作用于剛體上的力

F

的作用線可等效地平移到任意一點O，但須附加一力偶，此附加力偶的矩等于原力對O點的矩。逆過程：

平面內的一個力和一個力偶總可以等效地被同平面內的一個力替換，但作用線平移一段距離OMF’FdMF’dF位置由M

的轉向確定。力線平移的討論1F力線平移的討論2圖中單手攻絲時，由于力系(F’,MO)的作用，不僅加工精度低，而且絲錐易折斷。例4-1求圖中力F對點A之矩。若r=20cm，R=50cm，F(xiàn)=300N。解:F600OAF*OOAMF1F2F3O

O

F1F1M2M1F2

F2

F3F3M3O

R,Mo§4-2平面任意力系向平面內一點簡化O

點稱為簡化中心將各力向簡化中心平移平面任意力系平面匯交力系平面力偶系一個合力R,一個合力偶MO

﹛主矢：O

R,Moxy主矢為原力系各力的矢量和主矢大小主矢方向主矢與簡化中心無關主矢用于量度平面任意力系對物體的移動作用效應主矢的作用線通過簡化中心主矩：O

R,Moxy主矩用于量度平面任意力系對物體繞簡化中心轉動的作用效應結論:

平面任意力系向平面內任一點簡化可得到作用線通過簡化中心的主矢和關于簡化中心的主矩。主矢為該力系各力的矢量和,主矩為該力系各力對簡化中心矩的代數(shù)和。主矩與簡化中心有關主矩為原力系各力對簡化中心矩的代數(shù)和固定端約束的工程實例AAAAA固定端支座反力簡化圖形

AFAXAYAMAMAXAYAMAXAYAMAXAYAMA

情況一：主矢等于零，即R’=0主矩合成結果說明MO

≠

0合力偶此力偶為原力系的合力偶，由簡化結果彼此等效知：此情況下，主矩與簡化中心O無關。平衡MO

=0§4-3節(jié)將重點討論。平面力系的簡化結果分析O

Mo

情況二：主矢不等于零，即 R’≠0主矩合成結果說明MO

=0合力R此力為原力系的合力，合力的作用線通過簡化中心。合力R大小等于

主矢MO

≠0此力為原力系的合力，合力的作用線距簡化中心的距離O

RO合力矩定理

平面任意力系的合力對作用面內任一點的矩等于力系中各力對同一點的矩的代數(shù)和。合力對O點的矩為：

MO

(R)=Rd=MO∵主矩

MO

=∑MO

(F)∴MO

(R)=∑MO(F)RdMOR’MOR’MOR’MOR’MOR’證： 由前表的第二種情況可知：即，主矢R’=0,這樣可知主矩與簡化中心D的位置無關，以B點為簡化中心有：MD=MB

=M-F3×1=1Nm，主矩

MD=1Nm例4-2圖示力系,已知:M=2(Nm)

F2F3F1MABCD3m1m1m1m1m解：求力系的主矢及關于D點的主矩。。求力系的合力。例4-3重力壩受力如圖所示。設解：（1）先將力系向O點簡化，主矢在x、y軸上的投影。主矢的大小kNkN式中kN而因為FRy

為負，故主矢在第四象限內，與x軸的夾角為70.84

。

（2）合力FR的大小和方向與主矢相同。其作用線位置根據(jù)合力矩定理求得（圖c），解得即力系的主矩（順時針圖b）§3-3平面力系的平衡條件平面任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和力系對任意點的主矩都等于零。即：R’=0,MO=0

由：平衡的解析條件：∑X=0，

XA+3lq/2－Fsin60°=0XA=316.4

kN∑Y=0，F(xiàn)cos60°－P+YA

=0

YA=-100kN∑MA(

F)=0，

MA

－3l

2

q/2－M+

3lFsin60°－Flsin30°=0

MA

=-789.2kNm

自重為P=100kN的T

字形剛架，l=1m，M=20kNm，F(xiàn)=400kN，q=20kN/m

，試求固定端A的約束反力。例4-4解：qMABDll3lF60°PXAYAMA自重不計的簡支梁AB受力如圖，M=Pa。試求

A和B支座的約束反力。例4-5MPqxy4a2aNBXAYA解：受力分析，取坐標軸如圖。XAXANBNBYAYA∑MA

(F)=0,NB·4a－M－P·2a－q·2a·a=0∑X=0,XA

=0∑Y=0,YA－q·2a－P+NB

=0AB當我們更換第三個方程，結果同。解：受力分析，取坐標軸如圖?！芃A

(F)=0,NB·4a－M－P·2a－q·2a·a=0∑X=0,XA=0MPqxy4a2aNBXAYAXAXANBNBYAYAAB－YA

·4a+q·2a·3a+P·2a－M=0∑MB=0,二力矩形式的平衡方程:

∑MA

(F)=0，則力系簡化為過A點的一個合力

∑MB

(F)=0

，則力系簡化為過B點的一個合力合力沿AB的連線

∑X=0，R×COSα=0

若α≠90OR=0，物體平衡若α=90O，（AB⊥x）方程自然滿足，平衡不定ABxα用二力矩方程要求AB聯(lián)線不與x軸垂直用三力矩方程要求A、B、C三點不共線平衡方程的三種形式基本二力矩三力矩要求x

軸

不平行y軸要求AB聯(lián)線不與x軸垂直要求A、B、C

三點不共線形式限制條件平衡方程∑X=0∑Y=0∑MO(F)=0∑X=0∑MA(F)=0∑MB(F)=0∑M

A

(F)=0∑M

B

(F)=0∑MC

(F)=0平面平行力系的平衡方程

平行力系：力系中所有力的作用線都相互平行的力系。

于是，獨立的平衡方程數(shù)只有兩個∑Y=0∑MO

(F)=0或∑MA

(F)=0∑MB(F)=0A、B連線不與力平行F1F2F3FN如選x

軸與各力垂直就有∑X≡0xyO（1）保證起重機在滿載和空載時都不至翻倒，求平衡載荷P3應為多少？塔式起重機如圖，P1=700kN，P2=200kN，試問：例4-66m12m2m2mABP2P1P3NBNA（2）當P3=180kN時，求滿載時軌道A、B

輪的約束反力。保證起重機在滿載和空載時都不至翻倒，求平衡載荷P3應為多少？（P1=700kN，P2=200kN）6m12m2m2mABP2P1P3NBNA解：滿載而不翻倒時，臨界情況下，NA

=0∑MB

=0,

P3min(6+2)+2P1－P2(12－2)=0

P3min=(10P2－2P1)/8=75kN當空載（

P2=0）而不翻到，臨界情況下，NB=0∑MA=0,P3max(6－2)－2P1=0

P3max=2P1/4=350kN得：75kN≤P3≤350kN當P3=180kN時，求滿載時軌道A、B

給輪的反力。6m12m2m2mABP2P1P3NBNAP1=700kN，P2=200kN解：∑MA=0,

P3(6－2)－2P1－P2(12+2)+4NB

=0

NB=(14P2+2

P1

－4P3)/4=870kN∑Y=0,NA+NB

－P3－P1

－P2=0

NA

=210kN用∑MB=0可以進行校驗?！?-4剛體系的平衡·靜定和靜不定問題工程結構大都是幾個剛體組成的系統(tǒng)。為提高結構堅固性，常常增加多余約束，使未知量個數(shù)超過獨立方程數(shù)，這樣的問題稱為靜不定或超靜定問題。當系統(tǒng)中的未知量個數(shù)等于獨立方程數(shù)，這樣的問題稱為靜定問題。在平面任意力系的作用下，每個物體可寫出三個平衡方程，若體系由n

個物體組成，則可寫出3n

個獨立方程。（平行、匯交力系減少）系統(tǒng)平衡時，組成該系統(tǒng)的每個物體皆平衡。ABC靜定和靜不定問題對比（1）本問題為平面匯交力系，獨立方程數(shù)為2個未知量的個數(shù)——（1）2個（2）3個PP靜定和靜不定問題對比（2）XAYAMAXAYAMA本問題為平面任意力系，獨立方程數(shù)為3個未知量4個未知量3個未知量3個未知量4個XAYAN1N2NXAYAN靜定和靜不定問題對比（3）

獨立方程數(shù)6個

未知量

獨立方程數(shù)3個

未知量XAYAXBYBXAYAXBYBXCYCYC’XC’ABCAB6個4個

無底圓柱形空桶放在光滑水平面上，內放兩個重球，每個球重P、半徑r，圓桶半徑R

。不計摩擦和桶壁厚，求圓桶不至翻倒的最小重量G

min

。例4-7PPABGCD取整體為研究對象，受力情況如圖。翻倒的臨界情況時，min桌面對圓筒的約束反力集中在最右邊的一點上。且：G=Gmin

。PPABCDCDaRb解1：分別以兩個球和圓桶為研究對象,畫受力圖。設BE=a

，AE=b。顯然，DO=BE=a

，b=2(R-r)。O以兩球為對象EOOGmin∑MO(F)=0，

Gmin

R－FD’a=0Gmin

=FD’a／R=Pb

／R

Gmin=2P(1－r／R)→FD=Pb／a∑MA

(F)=0，F(xiàn)D

a－Pb=0FC’FCFB

FA

以桶為對象，選擇O點，解2：以兩個球為研究對象ABCDPPNCDPPABOGminN→N=2P以整體為研究對象∑Y=0，N－P－P=0∑MO(F)=0， Pr+Gmin

R－(N－P)(2R－

r)

=0靜定組合梁如圖，已知Q=10kN，P=20kN，p=5kN/m，q=6kN/m和2a=1m。梁自重不計，求A，B的支座反力。2a2a2a2aaa例4-8ABCDXAYAMApqQPNB解：1、以CD為對象例3-8(續(xù)1)BDCqQNB2a2aaXCYC∑X=0，

XC=0∑MC(F)=0，－

Q·a+NB·2a－=0

NB

=Q

／2+4qa／3=9（kN)∑M

B

(F)=0,=0

Q

a－YC·

2a－

YC=Q／2-qa

／3=4kN)Q=10kN，q=6kN/m2a=1mNBYCXCNBXCYC例3-8(續(xù)2)2、再以AC為對象AC2a2aaPXAYAMApYC’XC’由（1）知,X

C’=0,YC’

=4kN∑X=0，X

A=0∑Y=0，YA－P

－

p·2a

－YC’=0

Y

A

=

P+p·2a+YC’=29(kN)∑M

A(F)=0，MA－P·a

－p·2a·3a－YC’·4a=0

MA

=10+7.5+8=25.5(kN·m)P=20kN，p=5kN/m，2a=1mXAYAMAXAYAMA校驗：以整體為研究對象2a2a2a2aaaABCDXAYAMApqQPNBYA

－P

－p·2a

－Q+NB

－qa

=29－20－5－10+9－3=0

MA－P·a

－p·2a·3a－Q·5a+NB

·6a－

20qa2/3

=25.5－10－7.5－25+27－10=0∑Y=0，?∑MA

(F)=0，?????滿足圖示結構，已知載荷F1、F2、M及尺寸a，且M=F1a，F(xiàn)2作用于銷釘上，求:

（1）固定端A的約束反力；

（2）銷釘

B

對

AB

桿及T

形桿的作用力。例4-9aaaa/2a/2BDEACF1F2M1、以CD為研究對象aaDCMXCYCXDYD∑MD(F)=0，YC·2a

-M=0

YC

=F1/2XCYCXDYDXCYCXDYDaaaa/2a/2BEACF1F2MDM=F1aYBT2、以T形桿為研究對象BECaaa/2a/2F1XC’YC’XBT∑Y=0,

YBT+YC’－F1=0

YBT

=F1

／2∑MC(F)=0,

XBT

a

－YBT

a－

F1a=0

XBT=3F1／2YBTXC’YC’XBTYBTXC’YC’XBTaaaa/2a/2BEACF1F2MD

Y’C=YC=F1/2前頁已算得：

XBT=3F1／2

YBT

=F1

／2XBT

和YBT

就是銷對T形桿的作用力3、以銷釘

b為研究對象YB’XB’F2∑X=0,XB’－XBT’=0 XB’=3F1／2∑Y=0,YB’－YBT’－F2=0YB’=YBT’+F2=F2+F1

／2XB’和

YB’

是懸臂梁AB對銷的作用力。顯然， XBT’=XBT=3F1／2

YBT’=YBT=F1／2YB’XB’YB’XB’aaaa/2a/2BEACF1F2MD前頁已算得：XB’=3F1／2，

YB’=F2+F1

／2

顯然，

XB=XB’=3F1／2

YB

=YB’=F2+F1

／2這就是銷對懸臂梁AB的作用力。

以懸臂梁AB為研究對象aBAXBYBXAYA∑X=0,

XA

－XB=0 XA=3F1／2∑Y=0, YA－YB=0YA

=