陜西省西安交大附中灞右岸學校2023-2024學年九年級上學期開學考試數(shù)學試題【含答案】

2023～2024學年第一學期初三年級摸底練習注意事項：1.本試卷分為第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）．全卷共3頁，總分100分．考試時間90分鐘．一、選擇題（共10題，每小題3分計30分）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程是一元二次方程；即可進行解答．【詳解】解：A、是二元一次方程，不符合題意；B、是一元二次方程，符合題意；C、是二元二次方程，不符合題意；D、不是整式方程，不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的定義．2.如圖，直線，若，，，則的長是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，得到，代入數(shù)值求出，即可求出的長．【詳解】解：∵，∴∴，解得，∴，故選：C．【點睛】此題考查了平行線分線段成比例：一組平行線截兩條直線，所截對應線段成比例．3.用配方法解方程，下列配方正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)配方法的求解步驟，進行求解即可．【詳解】解：移項：左右兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方：化簡：故選：D【點睛】此題考查了配方法求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法求解一元二次方程的步驟．4.在一不透明的箱子里放有個除顏色外其他完全相同的球，其中只有個白球，任意摸出一個球記下顏色后，放回袋中，再搖勻，再摸，通過大量重復摸球后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在，則大約是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在同樣條件下，大量反復實驗時，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，列出方程求解．【詳解】解：由題意可得：∴∴故選：【點睛】本題主要考查了利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在概率附近，根據(jù)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．5.下列條件中，能判定平行四邊形是菱形的是（）A.對角線互相垂直 B.對角線相等C.對角線互相平分 D.有一個角是直角【答案】A【解析】【分析】由菱形的判定和矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【詳解】解：A、對角線互相垂直平行四邊形是菱形，說法正確，符合題意；B、對角線互相相等的平行四邊形是矩形，說法錯誤，不符合題意；C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，說法錯誤，不符合題意；D、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，說法錯誤，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了菱形的判定方法：四邊都相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．6.如圖，小正方形邊長均為1，則下列圖形中三角形(陰影部分)與△ABC相似的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點求出三角形的三邊，再根據(jù)相似三角形的判定定理即可求解．【詳解】已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、、只有選項B的各邊為1、、與它的各邊對應成比例．故選B．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理．7.如圖，將沿方向平移得到，恰好是的中點，與重疊部分（即圖中陰影部分）的面積與面積的比是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由平移性質(zhì)得，從而可證，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由平移的性質(zhì)得，∴，∴．∵恰好是的中點，∴，∴．故選C．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．8.一花戶，有26m長的籬笆，要圍成一邊靠住房墻（墻長12m）的面積為的長方形花園，且垂直于住房墻的一邊留一個1m的門，設垂直于住房墻的其中一邊長為x，則可列方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為m，根據(jù)花圃面積為即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊的長為m，根據(jù)題意得：．故選：D．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)花圃的面積列出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9.如圖，中，，D是的中點，過點D作的垂線，交于E，連接，，，則（）A.3 B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出AB，再利用線段的垂直平分線的性質(zhì)求出BE，最后利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】∵，D是AB的中點，∴，∵DE⊥AB，∴EA=EB=5，設CE=x，在Rt△ACE和Rt△ABC中，，，即，∴，∴，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，涉及到了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和線段的垂直平分線上的點與線段兩個端點的距離相等的知識，解題關(guān)鍵是利用勾股定理建立方程．10.如圖，在正方形中，點E在對角線上，于點，于點，連接，若，，則的長度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖所示，連接交于點，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，是等腰直角形，可求出的長，同時可證，是等腰直角三角形，四邊形是矩形，可求出的長，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接交于點，∵四邊形是正方形，線段是對角線，∴，，，∴是等腰直角形，則，∴，∵，∴，是等腰直角三角形，四邊形是矩形，∴，，∵，∴，且，∴，，∴，∴，在中，，，∴，故選：．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的綜合，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共6題，每小題4分計24分）11.一元二次方程x2＝2x的解為________．【答案】x1＝0，x2＝2【解析】【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】移項得x2－2x=0，即x（x－2）=0，解得x=0或x=2．故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．12.已知，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，設，進而得出，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】解：設，∴∴，故答案為：．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13.“黃金分割”被視為最美麗的幾何學比率，在建筑、藝術(shù)和日常生活中處處可見.主持人站在舞臺的黃點分割位置會更自然得體，如圖，舞臺長米，點是線段的黃金分割點(即)，則的長是______．【答案】米【解析】【分析】利用黃金分割的定義進行計算，即可解答．【詳解】點是線段的黃金分割點(即)，米，米，米，故答案為：米．【點睛】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．14.如圖所示，用圖中一個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤做“配紫色”游戲：自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，每次停止后，記下指針所指區(qū)域（指針指向區(qū)域分界線時，轉(zhuǎn)動無效，重新轉(zhuǎn)動）的顏色，若其中一次轉(zhuǎn)出紅色，另一次轉(zhuǎn)出藍色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖示，將圓盤分三個區(qū)域，分別是紅，藍，空白，用畫樹狀圖的形式將所有等可能結(jié)果表示出來，再根據(jù)概率的計算方法即可求解．【詳解】解：如圖所述，圓盤分三個區(qū)域，分別是紅，藍，空白，∴用樹狀圖表示所有等可能結(jié)果如如圖所示，∴共有中等可能結(jié)果，其中可配成紫色的結(jié)果有中，∴可配成紫色的概率為，故答案為：．【點睛】本題主要考查列表法或畫樹狀圖求隨機事件的概率，掌握畫樹狀圖求概率的方法是解題的關(guān)鍵．15.若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是_____．【答案】k＞﹣1且k≠0【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式列不等式即可求得k的取值范圍．【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴△==＞0，且，解得：k＞﹣1且k≠0，故答案為：k＞﹣1且k≠0【點睛】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式．對于一元二次方程，根的判別式△=，當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程沒有實數(shù)根；要注意這個隱含條件，避免漏解．16.如圖，在中，，，作直線，點E為直線上的一個動點，連接，在右側(cè)作等腰直角，使得，，連接，則的周長最小值為___________；【答案】【解析】【分析】連接，作點關(guān)于的對稱點連接交于點，連接先求得的最小值，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出的周長最小值為的周長倍，即可求解．【詳解】解：連接，作點關(guān)于的對稱點連接交于點，連接∴，當點與點重合時，，即最小，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，是等腰直角三角形，∴，又，，∴，∴，∴，∴當?shù)闹荛L最小時，的周長最小，最小值為的周長倍，∵的最小值為，∴的周長最小值為，∴的周長最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱求最小值，相似三角形的性質(zhì)與判定，證明是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共8題，計66分）17解方程：（1）；（2）．【答案】（1）原方程的解為：，（2）原方程的解為：，【解析】【分析】（1）運用直接開方法解一元二次方程即可；（2）運用因式分解法解一元二次方程即可．【小問1詳解】解：直接開方得，，∴，即，，∴原方程的解為：，．【小問2詳解】解：因式分解得，，∴當時，；當時，；∴原方程的解為：，．【點睛】本題主要考查直接開方法，因式分解法求一元二次方程的解，掌握其運算方法是解題的關(guān)鍵．18.如圖，四邊形是菱形，．求的長及菱形的面積．【答案】的長為，菱形的面積為【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得是等邊三角形，，在中，根據(jù)含特殊角的直角三角形的性質(zhì)可求出的長，由此可求出的長，根據(jù)菱形的面積的計算方法即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，即，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴的長為，菱形的面積為．【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含特殊角的直角三角形的性質(zhì)的綜合，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．19.尺規(guī)作圖：如圖，已知，，請用尺規(guī)作圖的方法在上確定一點，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】作圖見詳解【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法，作的角平分線即可．【詳解】解：如圖所示，作的角平分線交于點，①以點為圓心，以任意長為半徑畫弧交于點，連接；②分別以點為圓心，以大于為半徑畫弧交于點，連接交于點，則即為的角平分線；∵，平分，∴，且，∴，即．【點睛】本題主要考查角平分線的作圖方法，相似三角形的判定方法，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．20.一個不透明的口袋中有4個大小相同的小球，球面上分別寫有數(shù)字1、2、3、3，從袋中隨機地摸出一個小球，記錄下數(shù)字后放回，再隨機地摸出一個小球．（1）求第一次摸出一個球，球上的數(shù)字是偶數(shù)的概率是______；（2）請利用畫樹狀圖或列表法的方法，求兩次摸出球上的數(shù)字的和為奇數(shù)的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）列出表格，共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出球上的數(shù)字的和為奇數(shù)的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【小問1詳解】∵4個球上的數(shù)有1個偶數(shù)，∴第一次摸出一個球，球上的數(shù)字是偶數(shù)的概率是，故答案為：；【小問2詳解】列表如下：123312344234553456634566由表可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出球上的數(shù)字的和為奇數(shù)的結(jié)果有6種，∴兩次摸出球上的數(shù)字的和為奇數(shù)的概率．【點睛】本題考查的是用樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點．四邊形ABDE是平行四邊形．求證：四邊形ADCE是矩形【答案】見解析【解析】【詳解】證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD．∵D為BC的中點，∴CD＝DB．∴CD∥AECD＝AE，∴四邊形ADCE平行四邊形．∵AB＝AC，∴AC＝DE．∴平行四邊形ADCE是矩形．22.如圖，嘉嘉同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點處，手電筒的光從平面鏡上點處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點，落在墻上的點處，點到地面的高度，點到地面的高度，燈泡到木板的水平距離，墻到木板的水平距離為．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點、、、在同一水平面上．求燈泡到地面的高度．【答案】【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可求解．【詳解】證明：，故，即，，，，光在鏡面反射中的入射角等于反射角，，又，，，，解得：，燈泡到地面的高度為．【點睛】本題考查相似三角形的應用，由相似得到對應線段成比例是解題的關(guān)鍵．23.今年元旦期間，某網(wǎng)絡經(jīng)銷商進購了一批節(jié)日彩燈，彩燈的進價為每條元，當銷售單價定為元時，每天可售出條，為了擴大銷售，決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查：銷售單價每降低元，則每天可多售出條．若設這批節(jié)日彩燈的銷售單價為(元)，每天的銷售量為(條)．（1）求每天的銷售量(條)與銷售單價(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當銷售單價為多少元時，銷售這批節(jié)日彩燈每天所獲得的利潤為元？【答案】（1）；（2）元．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意的數(shù)量關(guān)系，求出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）轉(zhuǎn)化為解一元二次方程即可求解．【小問1詳解】根據(jù)題意，得銷售量與銷售單價之間為一次函數(shù)關(guān)系，當時，；當時，；設銷售量與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系為，則：，解得：，∴銷售量與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系為，【小問2詳解】根據(jù)題意，得，整理，得：，解得：，，∵采取適當?shù)慕祪r措施，∴，∴當銷售單價為元時，銷售這批節(jié)日彩燈每天所獲得的利潤為元．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂