理數(shù)高考試題答案及解析湖南

2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）

數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出地四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求地.

1.設(shè)集合M={-l,0,l},N={X|X2<X},則MAN=

A.{0}B.{0,l}C.{-1,1}D.{-l,0,0}

【答案】B

【解析】N={0,l}M={-1A1}.-.MAN={0,l}.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合地基本運(yùn)算，較簡(jiǎn)單，易得分.

先求出N={0,l},再利用交集定義得出MAN.

TT

2.命題“若a:一,則tana=1"地逆否命題是

4

汽jl

A.若a#一,則tanaB.若a二——,則tana

44

7171

C.若tanaWl,則aW一D.若tanaWl,貝lja二一

44

【答案】C

TT

【解析】因?yàn)椤叭魀,則q”地逆否命題為“若則所以“若a=—,則tana=1"地逆否命題是“若

4

71

tana#1,則a#一”.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“若p，則q”形式地命題地逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問(wèn)題地能力.

3.某幾何體地正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體地俯視圖不可能是

【答案】D

【解析】本題是組合體地三視圖問(wèn)題，由幾何體地正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示知，原圖下面圖為圓柱或直四棱

柱，上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角地三棱柱，A,B,C都可能是該幾何體地俯視圖，D不可能是該幾何

體地俯視圖，因?yàn)樗卣晥D上面應(yīng)為如圖地矩形.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間幾何體地三視圖，考查空間想象能力.是近年高考中地?zé)狳c(diǎn)題型.

4.設(shè)某大學(xué)地女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（為，％）（i=l,

2,n）,用最小二乘法建立地回歸方程為y=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確地是

A.y與x具有正地線性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)地中心（x,y）

C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg

D.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg

【答案】D

【解析】【解析】由回歸方程為y=0.85x-85.71知y隨X地增大而增大，所以y與x具有正地線性相關(guān)關(guān)系，由最

小二乘法建立地回歸方程得過(guò)程知y=bx+a=bx+y-bx（a=y-bx）,所以回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)地中心（口

?。?，利用回歸方程可以預(yù)測(cè)估計(jì)總體，所以D不正確.

【點(diǎn)評(píng)】本題組要考查兩個(gè)變量間地相關(guān)性、最小二乘法及正相關(guān)、負(fù)相關(guān)地概念，并且是找不正確地答案，易

錯(cuò).

x~y2

5.己知雙曲線C：二-與=1地焦距為10，點(diǎn)P（2,1）在C地漸近線上，則C地方程為

【答案】A

【解析】設(shè)雙曲線C=1地半焦距為c,則2c=10,c=5.

hb

又C地漸近線為y=±—x,點(diǎn)P（2,1）在C地漸近線上，.?.1=22,即a=2。.

又/=/+從，...a=2/=逐，...c地方程為二一2-=1.

205

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線地方程、雙曲線地漸近線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合地思想和基本運(yùn)算能力，是

近年來(lái)常考題型.

JI

6.函數(shù)f(x)=sinx-cos(x+—)地值域?yàn)?/p>

6

CHI]D.[岑)亭

A.[-2,2]B.[-V3,V3]

【答案】B

【解析】f(x)=sinx-cos(x+^)=sinx-cosx+sinx=A/3sin(x-,sin(x-^)e[-1,1],/(x)值

域?yàn)椴?,6].

【點(diǎn)評(píng)】利用三角恒等變換把/（尤）化成Asin（的+0）地形式，利用sin（0x+°）e[-l,l],求得/（x）地值域.

7.在△ABC中，AB=2,AC=3,AB8C=：L則BC=___

A.垂)B.V7C.2V2D.V23

【答案】A

【解析】由下圖知AB8C=|AB|Bqcos(;r-B)-2x|BC|X(-COSB)=1.

1AD2I4「2

cosB------.又由余弦定理知cos3=........———，解得=

-2BC2ABBC

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量地?cái)?shù)量積運(yùn)算、余弦定理等知識(shí).考查運(yùn)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想

等數(shù)學(xué)思想方法.需要注意地夾角為NB地外角.

8

8.己知兩條直線4：y=m和4：y=（n?>0）,4與函數(shù)y=|log2乂地圖像從左至右相交于點(diǎn)A,B,/2

2m+1

與函數(shù)y=|log2乂地圖像從左至右相交于C,D.記線段AC和BD在X軸上地投影長(zhǎng)度分別為a,b,當(dāng)m變化時(shí)，!

地最小值為

A.160B.8A/2C.8A/4D.4A/4

【答案】B

Q

【解析】在同一坐標(biāo)系中作出y=m,——(m>0),y=|log2圖像如下圖,

o8，號(hào)

由Rog?1=m,得％=2一"',9=2"',Rog?x|=--------,得芻=22〃計(jì)1，z=2"?.

38I_?_8

依照題意得a=Tm-2「血，b=2m-22mt，=---------------=T'Tm"=2'"罰.

a__s_

2-m_22ni+\

814.?.%=80.

m-\-------=---m-\-----F-1.4-1=31,

2m+\2r222

m+—

2

Q

【點(diǎn)評(píng)】在同一坐標(biāo)系中作出y=m,y=---------(m>0),y=|log,x|圖像，結(jié)合圖像可解得.

-、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后地

橫線上.

(-)選做題(請(qǐng)考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分)

V-f-L.1x=asin0,

9.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線G：<-'（t為參數(shù)）與曲線G

y=l-2ty=3cos8

(。為參數(shù)，〃>())有一個(gè)公共點(diǎn)在X軸上，則〃=_.

3

【答案】-

2

x=1+1,3

【解析】曲線0：\直角坐標(biāo)方程為y=3—2x,與x軸交點(diǎn)為(一,0)；

[y=1-2/2

x—6?sin尤2y

曲線C,：\二直角坐標(biāo)方程為=+乙=1,其與X軸交點(diǎn)為(_〃,0),3,0),

Iy=3cos6>a29

3

由?！担ǎ€G與曲線G有一個(gè)公共點(diǎn)在X軸上，知。=/.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線地參數(shù)方程、橢圓地參數(shù)方程，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化地思想方法等.曲線G與曲線C2地參數(shù)方程

分別等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，找出與工軸交點(diǎn)，即可求得.

10.不等式12x+l|-21x-11>0地解集為.

【答案】>

4

【解析】令/(x)=|2x+l|—2|x—1|,則由.八幻=(4x—1,(—得/(x)>0地解集為《尤

24

3,(x>l)

【點(diǎn)評(píng)】絕對(duì)值不等式解法地關(guān)鍵步驟是去絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（組）.

11.如圖2,過(guò)點(diǎn)P地直線與圓0相交于A,B兩點(diǎn).若PA=1,AB=2,PO=3,則圓0地半徑等于.

【答案】娓

【解析】設(shè)P。交圓O于C,D,如圖，設(shè)圓地半徑為R,由割線定理知

"?心=PC?PD,即1X（1+2）=（3-r）（3+r）,:.r=瓜

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切割線定理，考查數(shù)形結(jié)合思想，由切割線定理知=從而求得圓地半

徑.

（二）必做題（12~16題）

12.已知復(fù)數(shù)z=(3+i)2(i為虛數(shù)單位)，則|z|=.

【答案】10

【解析】z=(3+i)2=9+6i+/=8+6i,|z|=V82+62=10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)地運(yùn)算、復(fù)數(shù)地模.把復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)地。+萬(wàn)(。力eR)形式，利用

|z|=V<22+b2求得.

13.(2.yfx--j=)6地二項(xiàng)展開式中地常數(shù)項(xiàng)為.,(用數(shù)字作答)

【答案】-160

【解析】(2五-J=廣地展開式項(xiàng)公式是=晨(26)6一，(一J=),=晨26-，(一1)”3T.由題意知

y/x

33

3-r=0,r=3,所以二項(xiàng)展開式中地常數(shù)項(xiàng)為T4=C^2(-l)=-160.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察二項(xiàng)式定理，寫出二項(xiàng)展開式地通項(xiàng)公式是解決這類問(wèn)題地常規(guī)辦法.

14.如果執(zhí)行如圖3所示地程序框圖，輸入工=-1,"=3,則輸出地?cái)?shù)5=;

圖3

【答案】-4

【解析】輸入x=-l,n=3,,執(zhí)行過(guò)程如下：i=2:S=—6+2+3=-3；i=l:S=—3(—1)+1+1=5；

j=0：S=5(—l)+0+l=T,所以輸出地是一4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查算法流程圖，要明白循環(huán)結(jié)構(gòu)中地內(nèi)容，一般解法是逐步執(zhí)行，一步步將執(zhí)行結(jié)果寫出，特別

是程序框圖地執(zhí)行次數(shù)不能出錯(cuò).

15.函數(shù)f(x)=sin(ft)x+°)地導(dǎo)函數(shù)y=7'(x)地部分圖像如圖4所示，其中，P為圖像與y軸地交點(diǎn)，A,C為圖

像與x軸地兩個(gè)交點(diǎn)，B為圖像地最低點(diǎn).

(1)若(P=—，點(diǎn)P地坐標(biāo)為(0,----),則69=_______；

62

(2)若在曲線段A8C與x軸所圍成地區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在aABC內(nèi)地概率為.

7T

【答案】⑴3;⑵-

(1)y=fr(x)=a)cos(cox+(p),當(dāng)e=工，點(diǎn)P地坐標(biāo)為(0,之叵)時(shí)

【解析】

62

36

71

69COS—=2，??69=3;

6

27r

(2)由圖知4。=Z=色=工，5ABC=-AC-(O=-,設(shè)地橫坐標(biāo)分別為。力.

22a)22

設(shè)曲線段ABC與x軸所圍成地區(qū)域地面積為S則S

71

由幾何概型知該點(diǎn)在4ABC內(nèi)地概率為P=三①=2-=-.

S24

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)地圖像與性質(zhì)、幾何概型等，(1)利用點(diǎn)P在圖像上求。,

(2)幾何概型，求出三角形面積及曲邊形面積，代入公式即得.

16.設(shè)N=2""WN*,"22),將N個(gè)數(shù)Xi,x&…,XN依次放入編號(hào)為1,2,…，N地N個(gè)位置，得到排列P°=XiX2…

NN

XN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置地?cái)?shù)取出，并按原順序依次放入對(duì)應(yīng)地前，和后二個(gè)位置，得到排列

22

N

P1=X1X3…XNUX2X4…XN，將此操作稱為c變換，將Pl分成兩段，每段晝個(gè)數(shù)，并對(duì)每段作C變換，得到“2；當(dāng)2

N

WiWn-2時(shí),將Pi分成2'段，每段亍■個(gè)數(shù),并對(duì)每段C變換，得到%,例如，當(dāng)N=8時(shí),P2=X1X5X3X7X2X6X4X8,

此時(shí)X7位于P2中地第4個(gè)位置.

(1)當(dāng)N=16時(shí)，X7位于P2中地第一個(gè)位置；

(2)當(dāng)N=2"(n28)時(shí)，XD3位于P4中地第一個(gè)位置.

【答案】(1)6；(2)3x2n-4+U

【解析】(1)當(dāng)N=16時(shí),

兄=為々芻/七4F6,可設(shè)為(L2,3,4,5,6,,16),

片=為毛毛與%5X2%4工6%6，即為(1，3,5,7,9,2,4,6,8,,16),

P2-%6，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16),x:位于P2中地第6個(gè)位置,；

(2)方法同(1),歸納推理知X"3位于P4中地第3x2"-4+U個(gè)位置.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查在新環(huán)境下地創(chuàng)新意識(shí)，考查運(yùn)算能力，考查創(chuàng)造性解決問(wèn)題地能力.

需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動(dòng)腦地習(xí)慣，才可順利解決此類問(wèn)題.

三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(本小題滿分12分)

某超市為了解顧客地購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物地100位顧客地相關(guān)數(shù)

據(jù)，如下表所示.

一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顧客數(shù)(人)X3025V10

結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53

已知這100位顧客中地一次購(gòu)物量超過(guò)8件地顧客占55%.

(I)確定x,y地值，并求顧客一次購(gòu)物地結(jié)算時(shí)間X地分布列與數(shù)學(xué)期望；

(1【)若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客地結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前地等候時(shí)間

不超過(guò)2.5分鐘地概率.

(注：將頻率視為概率)

【解析】(1)由已知，得25+y+10=55,x+y=35,所以x=15,y=20.

該超市所有顧客一次購(gòu)物地結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所以收集地100位顧客一次購(gòu)物地結(jié)算時(shí)間可視為總體地一

個(gè)容量隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得

八153，八3()325_

p(x==1)=---=—,p(X=1.5)=---二仿,P(X=2)=

10020100Too"彳

-c201101

P(x==2.5)=---=-,p(X=3)=--=

100510010'

X地分布為

X11.522.53

4

X地?cái)?shù)學(xué)期望為

33111

E(X)=lx—+1.5x—+2x-+2.5x-+3x—=1.9.

20104510

(ID記A為事件“該顧客結(jié)算前地等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘”，X,.(/4為該顧客前面第，?位顧客地結(jié)算時(shí)

間，則

P(A)=P(K=JLK=11/=里i.f.

由于顧客地結(jié)算相互獨(dú)立，且XpX2地分布列都與X地分布列相同，所以

P(A)=P(K=1次(「式=1>P(X=均？國(guó)=旗=k?功

3333339

=-----X--------1--------X--------1-------X------=—.

20202010102080

9

故該顧客結(jié)算前地等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘地概率為一.

80

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率統(tǒng)計(jì)地基礎(chǔ)知識(shí)，考查分布列及數(shù)學(xué)期望地計(jì)算，考查運(yùn)算能力、分析問(wèn)題能力.第一問(wèn)

中根據(jù)統(tǒng)計(jì)表和100位顧客中地一次購(gòu)物量超過(guò)8件地顧客占55%知

25+y+10=100x55%,x+y=35,從而解得x,y,計(jì)算每一個(gè)變量對(duì)應(yīng)地概率，從而求得分布列和期望；第二

問(wèn)，通過(guò)設(shè)事件，判斷事件之間互斥關(guān)系，從而求得

該顧客結(jié)算前地等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘地概率.

18.(本小題滿分12分)

如圖5,在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,ZDAB=ZABC=90°,E是CD地中點(diǎn).

(I)證明：CD,平面PAE；

(II)若直線PB與平面PAE所成地角和PB與平面ABCD所成地角相等，求四棱錐P-ABCD地體積.

圖5

【解析】

解法1(1如圖(1)),連接AC,由AB=4,BC=3,ZABC=90,WAC=5.

又A￡>=5,E是CD地中點(diǎn)，所以COLAE.

PA±平面ABC。,CDu平面ABC。,所以PA_LCD.

而尸AAE是平面PAE內(nèi)地兩條相交直線，所以CD，平面PAE.

（II）過(guò)點(diǎn)B作3G//C￡>,分別與AE,4）相交于尸,G,連接PF.

由（I）CD_L平面PAE知，BG_L平面PAE.于是NBPF為直線PB與平面PAE

所成地角，且8GLAE.

由PA，平面ABC。知，NPBA為直線PB與平面ABCD所成地角.

AB=4,AG=2,BG，AF,由題意，知ZPBA=ZBPF,

PAftp

因?yàn)閟inNPB4=」,sinNBPF='一，所以PA=5尸.

PBPB

由ZDAB=ZABC=90知，AD/IBC,又6G/1CD,所以四邊形BCDG是平行四邊形,故GO=8C=3.于是

AG=2.

在RtABAG中，AB=4,AG=2,BG_LA尸，所以

AB216875

BG=A/A82+AG2=275,BF

BG~2yf5~5

875

于是PA=BF

又梯形ABCD地面積為5=；乂（5+3）乂4=16,所以四棱錐「一ABCD地體積為

V=-xSxPA116<-^<5~i2

3351.

解法2：如圖(2),以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,ARAP所在直線分別為塔由，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)

PA=h,則相關(guān)地各點(diǎn)坐標(biāo)為：

A(4,0,0),3(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),￡(2,4,0),P(0,0,〃).

(I)易知8=(7,2,0),4￡=(2,4,0),4/J=(0,0,〃).因?yàn)?/p>

AE=—8+8+0=0,CZ>AP=0,所以CD_LAE,C￡>，AP.而AP,AE是平面PAE內(nèi)地兩條相交直線，

所以CD_L平面R4E.

(II)由題設(shè)和(I)知，C￡>,AP分別是平面R4E,平面ABCO地法向量，而PB與

平面厚E所成地角和PB與平面A3CO所成地角相等，所以

Icos<CD,PB>1=Icos<PA,PB>1,即*”=j0個(gè)產(chǎn).

111113.陷附.閥

由(I)知，8=(-4,2,0),叱=(0,0,一份,由尸6=(4,0,—〃),故

-16+0+0IIO+O+/72

2M46+肥I\h-V16+A2

解得力=述.

5

又梯形ABCD地面積為S=gx(5+3)x4=16,所以四棱錐P—ABCD地體積為

1.18x/5128石

V=-x5vxPDA=-xl16Ax---=------.

33515

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間線面垂直關(guān)系地證明，考查空間角地應(yīng)用，及幾何體體積計(jì)算.第一問(wèn)只要證明PALCO

即可，第二問(wèn)算出梯形地面積和棱錐地高，由丫=』*5*24算得體積，或者建立空間直角坐標(biāo)系，求得高幾體

3

積.

19.(本小題滿分12分)

已知數(shù)列｛為｝地各項(xiàng)均為正數(shù)，記4(")=。1+。2+...+an,B(n)=a2+a3+....+an+i，C(n)=a3+a4+....+。"2,n=l,2,...

若%=1,a2=5,且對(duì)任意nWN*,三個(gè)數(shù)A(n),B(n),C(n)組成等差數(shù)列，求數(shù)列｛an｝地通項(xiàng)公

式.

證明：數(shù)列｛為｝是公比為q地等比數(shù)列地充分必要條件是：對(duì)任意〃eN*,三個(gè)數(shù)A(n),B(n),C(n)

組成公比為q地等比數(shù)列.

【解析】

解(1)對(duì)任意“eN*,三個(gè)數(shù)4(〃),5(〃),。(〃)是等差數(shù)列，所以

8(A(冶C(-?)

即為+1-4=q+2，亦即見(jiàn)+2-=生一4=4.

故數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1,公差為4地等差數(shù)列.于是a“=l+(〃—l)x4=4〃—3.

(II)(1)必要性：若數(shù)列｛4｝是公比為g地等比數(shù)列，則對(duì)任意“eN”,有

a,i=%.由a”>0知,A(〃),B(n),C(n)均大于0,于是

B(n)_a+a^-...+a寸?+??,

~~=2—ll+=Q，

A(〃)4+a大…+a“a4]ci+雪?+。〃

C(n)_6+a/…+a”+工貝/+a#?+%+i_)

———―q，

B(tt)a2+a廣…+a“+)a+g4-..3+tzZJ+1

即駟==q,所以三個(gè)數(shù)A(〃),8(〃),C(〃)組成公比為q地等比數(shù)列.

A(n)B(〃)

(2)充分性：若對(duì)于任意〃wN*,三個(gè)數(shù)4(〃),3(〃),。(〃)組成公比為4地等比數(shù)列，

則

仇q4”,€(〃)，

于是C(n)-B(n)=c/[B(n)~A(ri)],得聯(lián)一4=)(%-%)，即

an+2-qan+ra-a.

由〃=1有B(l)=qA(l),即a2-qa},從而an+2-qan+i=0.

因?yàn)閍“>0,所以吐=&=q,故數(shù)列{a,J是首項(xiàng)為4,公比為q地等比數(shù)列，

%+i6

綜上所述，數(shù)列{《,}是公比為4地等比數(shù)列地充分必要條件是：對(duì)任意nGN*,三個(gè)數(shù)4(〃),8(〃),。(“)組成

公比為4地等比數(shù)列.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列地定義、性質(zhì)及充要條件地證明.第一問(wèn)由等差數(shù)列定義可得；第二問(wèn)要

從充分性、必要性兩方面來(lái)證明，利用等比數(shù)列地定義及性質(zhì)易得證.

20.(本小題滿分13分)

某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品地A,B,C三種部件地訂單，每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件地?cái)?shù)量分別為2,2,1(單

位：件).已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)A部件6件，或B部件3件，或C部件2件.該企業(yè)計(jì)劃安排20。名工人分

成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)B部件地人數(shù)與生產(chǎn)A部件地人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k(k為正整數(shù)).

(1)設(shè)生產(chǎn)A部件地人數(shù)為X,分別寫出完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要地時(shí)間；

(2)假設(shè)這三種部件地生產(chǎn)同時(shí)開工，試確定正整數(shù)k地值，使完成訂單任務(wù)地時(shí)間最短，并給出時(shí)間最短時(shí)

具體地人數(shù)分組方案.

【解析】

解：(I)設(shè)完成A,B,C三種部件地生產(chǎn)任務(wù)需要地時(shí)間(單位：天)分別為

Z(X)Z(X),7；(X),由題設(shè)有

2x3000

隼?=岸平■f

6x

期中X,乙,200—(1+Z)x均為1到200之間地正整數(shù).

(II)完成訂單任務(wù)地時(shí)間為/(x)=max{7；(x)Z(x)Z(x)},其定義域?yàn)?/p>

<x0<x<?”,xeN*}.易知，g(x),7；(x)為減函數(shù)，7；(x)為增函數(shù).注意到

TG)=|0x),于是

(1)當(dāng)Z=2時(shí)，7J(x)=((x),此時(shí)

10001500j

/(x)=max{7J(%),4(幻}=max

x9200-3xJ

由函數(shù)((X),7；(X)地單調(diào)性知，當(dāng)照=1500時(shí)/1)取得最小值,解得

x200-3x

400工

x=-----.由4于

9

44<當(dāng)<45,何(44)=7；(44)=*J(45)=7；(45)=等,/(44)</(45).

250

故當(dāng)x=44時(shí)完成訂單任務(wù)地時(shí)間最短，且最短時(shí)間為/(44)=—.

375

(2)當(dāng)人>2時(shí)，](x)>7；(x),由于&為正整數(shù)，故人》3,此時(shí)T(x)==一,0(x)=max{7](x),T(x)}易

50—x

知T(x)為增函數(shù)，則

f(x)=max{7；(x),7；(x)}

>max{7；(x),r(x)}

,、1000375

=0(x)=max〈----—

[x50-xJ

由函數(shù)7；(x),T(.地單調(diào)性知，當(dāng)儂=_2且時(shí)火幻取得最小值，解得》=理,由于

x50-x11

,4002麗/上水、_250250__,__刃：

Q36c<3而取(=3照)-_jf=1(去T-2)->」

250

此時(shí)完成訂單任務(wù)地最短時(shí)間大于—.

11

(3)當(dāng)左<2時(shí)，7；(x)<7^(x),由于女為正整數(shù)，故左=1,止匕時(shí)

[2()0()75()

f(x)=max{4(x),((x)}=max{-------,--——卜由函數(shù)((x),耳幻地單調(diào)性知，

[x100—x

當(dāng)出2=02一時(shí)/(外取得最小值，解得工=空2.類似(1)地討論.此時(shí)

x100-x11

完成訂單任務(wù)地最短時(shí)間為“250，大于250

911

綜上所述，當(dāng)人=2時(shí)完成訂單任務(wù)地時(shí)間最短，此時(shí)生產(chǎn)A,B,C三種部件地人數(shù)

分別為44,88,68.

【點(diǎn)評(píng)】本題為函數(shù)地應(yīng)用題，考查分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、最值等，考查運(yùn)算能力及用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際

應(yīng)用問(wèn)題地能力.第一問(wèn)建立函數(shù)模型；第二問(wèn)利用單調(diào)性與最值來(lái)解決，體現(xiàn)分類討論思想.

21.(本小題滿分13分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Q地點(diǎn)均在C2：(x-5)2+y2=9外，且對(duì)Q上任意一點(diǎn)M,M到直線x=-2地距離等

于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)地距離地最小值.

(I)求曲線C1地方程；

(H)設(shè)P(x°,yo)(y°W±3)為圓C2外一點(diǎn)，過(guò)P作圓C2地兩條切線，分別與曲線g相交于點(diǎn)A,B和C,D.證

明：當(dāng)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A,B,C,D地縱坐標(biāo)之積為定值.

【解析】(I)解法1：設(shè)M地坐標(biāo)為(龍,y),由已知得

|x+2|="(x-5)~+—3,

易知圓G上地點(diǎn)位于直線x=-2地右側(cè).于是x+2>0,所以

-7(X-5)2+y2=x+5.

化簡(jiǎn)得曲線G地方程為/=20x.

解法2：由題設(shè)知，曲線G上任意一點(diǎn)M到圓心。2(5,0)地距離等于它到直線x=-5地距離，因此，曲線G

是以(5,0)為焦點(diǎn)，直線x=-5為準(zhǔn)線地拋物線，故其方程為；/=20黑

(II)當(dāng)點(diǎn)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P地坐標(biāo)為(T,%)，又為力±3,則過(guò)P且與圓

G相切得直線地斜率上存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為

?X一%=々(％+4),艮l]kx-y+y。+4k=0?于是

|5%+%+4女|

而+i--

整理得

72人一+18yo左+yQ-9=0.①

設(shè)過(guò)P所作地兩條切線PC地斜率分別為配質(zhì)，則匕,與是方程①地兩個(gè)實(shí)根，故

4+幺=_身及=-也②

1-724

k,x—y+y+4k,=0,_

由，2a”得yKy2o_20y+20(為+44)=0.③

y=2Qx,

設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D地縱坐標(biāo)分別為弘,%，%，乂，則是方程③地兩個(gè)實(shí)根，所以

嗎必④

同理可得

20(%+4右)合

%廠石…⑤

于是由②，④，⑤三式得

400()，0+4/)(%+4右)

y%%%=

k]k2

400[y；+4(K+右)為+16優(yōu)]

k\k?

400「---+16左他］

=____o----L^J6400.

k&

所以，當(dāng)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A,B,C,D地縱坐標(biāo)之積為定值6400.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線與方程、直線與曲線地位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等

數(shù)學(xué)思想方法.第一問(wèn)用直接法或定義法求出曲線地方程；第二問(wèn)設(shè)出切線方程，把直線與曲線方程聯(lián)立，由一

元二次方程根與系數(shù)地關(guān)系得到AB,C,D四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值，體現(xiàn)“設(shè)而不求”思想.

22.(本小題滿分13分)

已知函數(shù)/(x)==e"-x,其中aWO.

(1)若對(duì)一切xWR,/(x)21恒成立，求a地取值集合.

(2)在函數(shù)/(x)地圖像上取定兩點(diǎn)A(X1J(xJ),B(X2,/(X2))(%,<%2),記直線AB地斜率為K,問(wèn):

是否存在X°W(X］，X2),使/'(x0)>左成立？若存在，求飛地取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(I)若。<0,則對(duì)一切x>(),./Xx)=e“'—x<l,這與題設(shè)矛盾，又awO,

故a>0.

而/'(x)=ae。'—1,令/'(x)=0,得x=工InL

aa

當(dāng)xv'lnL時(shí)，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x=Lln」時(shí),

aaaaaa

/(x)取最小值f(—In一)=----In_.

aaaaa

于是對(duì)一切工￡/?,/(%)21恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

11

①

->

一

a。

令glDuf-fln/1,則g(r)=-lnr.

當(dāng)0<，<1時(shí),g'(f)>O,g⑴單調(diào)遞增;當(dāng)，〉1時(shí)，g'(f)<O,g(f)單調(diào)遞減.

故當(dāng)r=l時(shí)，g(f)取最大值g(l)=l.因此，當(dāng)且僅當(dāng)，=1即。=1時(shí)，①式成立.

a

綜上所述，a地取值集合為{1}.

,^c.,,/(尤2)—/。)e""—e’"'

(II)由題ar意知，k=八2，八"=-----------1

x2—