隨機過程概要及概率基礎

隨機過程概要及概率基礎二、隨機數(shù)學發(fā)展概述隨機現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律偶然性必然性第2頁,共43頁，2024年2月25日，星期天3隨機過程Brown運動:1827年，Brown在顯微鏡下發(fā)現(xiàn)花粉的無規(guī)則運動,將此奇怪現(xiàn)象公諸于世,無人能解釋原因.1900年，法國數(shù)學家Bachelier給出

一維Brown運動粗略模型,其博士論文為《投機的理論》，研究證券價格的漲落，開創(chuàng)近代金融數(shù)學的先河，但他的結(jié)果幾十年之后才得到認可.1905年,Einstein首次進行量化分析,認為花粉運動源自分子無規(guī)則熱運動,每秒碰撞次.Wiener1918年發(fā)表系列論文,成功解決這一問題,故稱Wiener—Einstein過程.

第3頁,共43頁，2024年2月25日，星期天Markov過程(1856—1922):十九世紀末用矩陣研究馬氏鏈,開始隨機過程理論.Erlang因研究電話問題得到了Poisson過程,創(chuàng)立了排隊論.Feller研究了生滅過程.平穩(wěn)過程:從辛欣研究大數(shù)定律開始，1934年完成.鞅論:萊維（Levy.PaulPierre,1886-1971）

1930－1955年創(chuàng)立.

杜悖(J.Doob)研究停時.隨機積分:伊藤清(1915—日),87年獲Wolf獎,97年有人因研究Ito微分方程的解而獲諾貝爾經(jīng)濟獎.最優(yōu)停時:1名秘書,100人應征,如何選?Gilbert和Mosteller1966年證明37%規(guī)則,前37個不要,第38個后開始超過前面就定下來,

選中最優(yōu)率為1/e=0.367879.而隨機取這一結(jié)果僅1%.第4頁,共43頁，2024年2月25日，星期天三、初步概率論第5頁,共43頁，2024年2月25日，星期天四、隨機過程定義及分類1、定義定義域值域T(E,B)(Ω,F,B)E：狀態(tài)空間,相空間,E中元素叫狀態(tài).一般為實數(shù)或復數(shù).

B為Borel可測集全體

第6頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2、分類按定義域、值域分：（1）T及E都可列（2）T可列，E非可列（3）T及E都非可列（4）T非可列，E可列其中T可列，即（1）、（2）為隨機序列（時間序列）.其中E可列,即（1）、（4）為可列過程,E為有限集時為有限過程.第7頁,共43頁，2024年2月25日，星期天按概率關(guān)系分（1）Markov過程獨立增量過程

Poisson過程Wiener過程（2）正態(tài)過程,二項過程,負二項過程（3）平穩(wěn)過程,寬平穩(wěn)過程(白噪聲)（4）鞅我國王梓坤為概率第一人.第8頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

應用隨機過程

Appliedstochasticprocesses

第一章概率論的基本知識

第9頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第一章1.1.概率空間一、隨機試驗：可重復性（同一條件）結(jié)果多個（不唯一）

試驗前未知二、樣本空間Ω：隨機事件A為Ω的子集.

ω：樣本點Ω={ω全體}三、定義域、事件域（σ－代數(shù)）1、2、3、見下面第10頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

3、可列并封閉

可測空間：信息全體

四、值域、事件概率1、(非負性)2、(規(guī)范性)3、，，

(可列可加性)第11頁,共43頁，2024年2月25日，星期天五、稱概率空間，廣義測度不保證非負,不保證為1.六、性質(zhì)1、單調(diào)不減2、對立事件和為13、，，

有限可加性4、無限次可加第12頁,共43頁，2024年2月25日，星期天七、選取方法有窮為子集全體可列為子集全體不可列為Lebesgue可測八、極限事件1、遞增事件列：，，

2、遞減事件列：，，第13頁,共43頁，2024年2月25日，星期天九、P的連續(xù)性（P與lim可交換順序）

證明：

第14頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

可列可加正項級數(shù)收斂(不超過1)考慮部分和數(shù)列

等價替換(后半部分用對偶律)

第15頁,共43頁，2024年2月25日，星期天十、調(diào)和級數(shù)實例.

第16頁,共43頁，2024年2月25日，星期天十一、統(tǒng)計物理模型解一（Maxwell-Boltzman)

質(zhì)點可分辨，處于每個狀態(tài)的質(zhì)點個數(shù)任意。

解三（Fermi-Dirac)

質(zhì)點不可分辨，每個狀態(tài)只有一個質(zhì)點。適于電子、中子、質(zhì)子等Fermi子。

解二（Bose-Einstein)

質(zhì)點不可分辨，處于每個狀態(tài)的質(zhì)點個數(shù)任意。

適于光子、介子、核

子等Bose子。

第17頁,共43頁，2024年2月25日，星期天1.2隨機變量隨機變量X分布函數(shù):

滿足：(ⅰ)單調(diào)不減；(ⅱ)右連續(xù)；(ⅲ)；(ⅳ)；

第18頁,共43頁，2024年2月25日，星期天一、存在性命題1.2.1：設是單調(diào)不減，右連續(xù)的函數(shù)，且有，，則必存在概率空間及其上的一個隨機變量，使。證明：（略）離散的：連續(xù)的：第19頁,共43頁，2024年2月25日，星期天二、命題1.2.2已給n元函數(shù)，滿足：(ⅰ)對任一是單調(diào)不減的，(ⅱ)對任一是右連續(xù)的，(ⅲ)

第20頁,共43頁，2024年2月25日，星期天(ⅳ)設，則

則必存在概率空間及其上的隨機向量，使的分布函數(shù)第21頁,共43頁，2024年2月25日，星期天注意:

(ⅳ)不能由(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)推出反例：定義

滿足(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)，但是對第22頁,共43頁，2024年2月25日，星期天三、(聯(lián)合分布唯一確定邊沿密度,反之不成立.)此例兩個密度函數(shù)顯然不同，密度函數(shù)非零區(qū)域相同.邊緣密度如下:第23頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

X邊緣密度:

利用密度函數(shù)的輪換對稱性,可得Y邊源密度也相同均為1/2+y.第24頁,共43頁，2024年2月25日，星期天四、事件獨立：n個事件獨立，個表達式。

隨機變量獨立：獨立，要求聯(lián)合密度為邊緣密度之積，即：

命題1.2.5至1.2.7知道結(jié)果就行.其中，第25頁,共43頁，2024年2月25日，星期天五、隨機變量相互獨立六、若隨機變量相互獨立，為可測函數(shù)，，則

也相互獨立.第26頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例:1.2.8：已知n階正定對稱矩陣B，是n維隨機變量的密度。式中表示B的行列式的值，表示矩陣C的轉(zhuǎn)置矩陣，表示矩陣B的逆矩陣。下面證明因為B對稱正定，故存在正交陣T，使：第27頁,共43頁，2024年2月25日，星期天其中是B的特征值且。

作變換,右乘T,,可得因為，第28頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第29頁,共43頁，2024年2月25日，星期天所以

是n維正態(tài)分布的密度函數(shù).例:1.2.9:事件A的示性函數(shù):第30頁,共43頁，2024年2月25日，星期天1.3隨機變量的數(shù)字特征一、數(shù)學期望（mean,mathematicalexpectation)連續(xù)型（絕對可積條件下）離散型（絕對收斂條件下）抽象積分：第31頁,共43頁，2024年2月25日，星期天二、隨機變量函數(shù)的期望三、矩（moment）1、普通k階矩2、k階絕對矩3、k階中心矩物理上，一階矩是重心，二階矩是轉(zhuǎn)動慣量。第32頁,共43頁，2024年2月25日，星期天四、方差（二階中心矩，variance）

方差表示穩(wěn)定性：方差大，風險大；方差小，風險小。五、n維隨機向量

是n維隨機向量，分布函數(shù)為，為n維Borel函數(shù)，則：第33頁,共4