湖北省孝感市伍洛鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

湖北省孝感市伍洛鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若，是第三象限的角,則=

A.

B.

C.

D．-2參考答案：D略2.一個(gè)幾何體的三視圖如所示，則該幾何體的外接球表面積為（）A．3π B．5π C．10π D．20π參考答案：D【考點(diǎn)】球的體積和表面積；簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖．【分析】由題意，直觀圖是以俯視圖為底面，側(cè)棱垂直與底面的四棱錐，求出該幾何體的外接球的半徑，可得結(jié)論．【解答】解：由題意，直觀圖是以俯視圖為底面，側(cè)棱垂直與底面的四棱錐，∴該幾何體的外接球的半徑為=，∴該幾何體的外接球表面積為4π?5=20π，故選D．3.已知，則的最小值為（

）A．8

B．16

C．20

D．25參考答案：4.已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率的倒數(shù)之和的最大值為A． B． C．3 D．2參考答案：A設(shè)橢圓離心率，雙曲線(xiàn)離心率，由焦點(diǎn)三角形面積公式得，即，即，設(shè)，由柯西不等式得最大值為.5.一個(gè)幾何體的三視圖如圖示，則這個(gè)幾何體的體積為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：知識(shí)點(diǎn)：三視圖G2D解析：由三視圖可知該幾何體為正方體截取一個(gè)角之后剩余的部分，如圖，所以其體積為，則選D.【思路點(diǎn)撥】由三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵是判斷原幾何體形狀，可在熟悉的幾何體的三視圖基礎(chǔ)上進(jìn)行解答.6.已知i是虛數(shù)單位，則=A．i

B．－i

C．1

D．－1參考答案：C【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】=，故選：C．

7.函數(shù)的部分圖象大致為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B8.定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（成中心對(duì)稱(chēng)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有且則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略9.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為（）A． B．C．3 D．參考答案：C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】如圖所示，該幾何體為三棱錐P﹣ABC．過(guò)點(diǎn)P作PO⊥平面ABC，垂足為O點(diǎn)，連接OB，OC，則四邊形ABOC為平行四邊形．OA⊥OB．【解答】解：如圖所示，該幾何體為三棱錐P﹣ABC．過(guò)點(diǎn)P作PO⊥平面ABC，垂足為O點(diǎn)，連接OB，OC，則四邊形ABOC為平行四邊形．OA⊥OB．則最長(zhǎng)棱為PC==3．故選：C．10.已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，則=(

)A．

B．

C．

D．2參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若是偶函數(shù)，則_________.

參考答案：略12.右圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，如果主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，俯視圖為正方形，那么該幾何體的體積為_(kāi)_______________.參考答案：略13.已知函數(shù)=x+sinx.項(xiàng)數(shù)為19的等差數(shù)列滿(mǎn)足，且公差.若，則當(dāng)=__________時(shí)，.參考答案：略14.（5分）已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b均為正實(shí)數(shù)），則類(lèi)比以上等式，可推測(cè)a、b的值，進(jìn)而可得a+b=．參考答案：55【考點(diǎn)】：類(lèi)比推理．【專(zhuān)題】：計(jì)算題；推理和證明．【分析】：觀察所給的等式，照此規(guī)律，第7個(gè)等式中：a=7，b=72﹣1=48，即可寫(xiě)出結(jié)果．解：觀察下列等式=2，=3，=4，…，照此規(guī)律，第7個(gè)等式中：a=7，b=72﹣1=48，∴a+b=55，故答案為：55【點(diǎn)評(píng)】：本題考查歸納推理，考查對(duì)于所給的式子的理解，主要看清楚式子中的項(xiàng)與項(xiàng)的數(shù)目與式子的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系．15.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(c,0),過(guò)F作與x軸垂直的直線(xiàn)與橢圓相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P的橢圓的切線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

___。參考答案：略16.在極坐標(biāo)系中，若過(guò)點(diǎn)（3，0）且與極軸垂直的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=

.參考答案：略17.如果等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則常數(shù)參考答案：-1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.

已知函數(shù)

（I）求的單調(diào)區(qū)間；

（II）證明：當(dāng)參考答案：（Ⅰ）f￠(x)＝2(x－a)ex＋(x－a)2ex＝(x－a)[x－(a－2)]ex．…………2分令f￠(x)＝0，得x1＝a－2，x2＝a．當(dāng)x變化時(shí)，f￠(x)、f(x)的變化如下：x(－∞，a－2)a－2(a－2，a)a(a，＋∞)f￠(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，a－2)，(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(a－2，a)．……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得[f(x)]極大＝f(a－2)＝4ea－2．（1）當(dāng)a≤1時(shí)，f(x)在(－∞，1]上的最大值為f(a－2)或f(1)，由解得－1≤a≤1；（2）當(dāng)a－2≤1＜a，即1＜a≤3時(shí)，f(x)在(－∞，1]上的最大值為f(a－2)，此時(shí)f(a－2)＝4ea－2≤4e3－2＝4e；（3）當(dāng)a－2＞1，即a＞3時(shí)，f(1)＝(a－1)2e＞4e，f(x)≤4e不恒成立．綜上，a的取值范圍是[－1，3]．…………………12分略19.若F1，F(xiàn)2是橢圓C：+=1（0＜m＜9）的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)P，滿(mǎn)足以橢圓短軸為直徑的圓與線(xiàn)段PF1相切于該線(xiàn)段的中點(diǎn)M．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)（0，）的直線(xiàn)l與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B，線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)l1交x軸于點(diǎn)N，R是線(xiàn)段AN的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l1與直線(xiàn)BR的交點(diǎn)E的軌跡方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．【分析】（Ⅰ）求出a=3，b=，設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)F1，設(shè)線(xiàn)段PF1的中點(diǎn)為：M；由題意，OM⊥PF1，又OM=b，OM是△PF1F2的中位線(xiàn)，由橢圓定義，在Rt△OMF1中的勾股定理，求出b=2，得到m．然后求解橢圓C的方程．（Ⅱ）上焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，）．直線(xiàn)l的斜率k必存在．設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），弦AB的中點(diǎn)Q（x0，y0），利用平方差法得到AB的斜率，通過(guò)（1）當(dāng)x0≠0時(shí)，k=kAB=，推出9x02+4y02﹣4y0=0，連結(jié)BN，則E為△ABN的重心，設(shè)E（x，y），利用重心坐標(biāo)公式，推出代入9x02+4y02﹣4y0=0軌跡方程，（2）當(dāng)x0=0時(shí)，驗(yàn)證即可．【解答】解：（Ⅰ）∵0＜m＜9，∴a=3，b=，不妨設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)F1，設(shè)線(xiàn)段PF1的中點(diǎn)為：M；由題意，OM⊥PF1，又OM=b，OM是△PF1F2的中位線(xiàn)，∴|PF2|=2b，由橢圓定義，|PF1|=2a﹣2b=6﹣2b．∴=3﹣b，在Rt△OMF1中：，∴c2=b2+（3﹣b）2，又c2=a2﹣b2=9﹣b2．，∴b2+（3﹣b）2=9﹣b2交點(diǎn)b=0（舍去）或b=2，∴m=b2=4．∴橢圓C的方程：+=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）橢圓C的方程：+=1．上焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，）．直線(xiàn)l的斜率k必存在．設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），弦AB的中點(diǎn)Q（x0，y0），由，可得4（y1+y2）（y1﹣y2）=﹣9（x1+x2）（x1﹣x2），∴k==﹣=﹣（y0≠0）（1）當(dāng)x0≠0時(shí)，k=kAB=∴k==?9x02+4y02﹣4y0=0，?又l1：y﹣y0=，∴N（），連結(jié)BN，則E為△ABN的重心，設(shè)E（x，y），則，∴代入9x02+4y02﹣4y0=0可得：48x2+3y2﹣2，（y≠0）．（2）當(dāng)x0=0時(shí)，l：y=，N（0，0），E（0，）也適合上式，綜上所述，點(diǎn)E的軌跡方程為：48x2+3y2﹣2，（y≠0）．20.已知函數(shù)R．（1）若，①當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值（用a表示）；②若f(x)有三個(gè)相異零點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a使得這三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列？若存在，試求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）函數(shù)f(x)圖象上點(diǎn)A處的切線(xiàn)與f(x)的圖象相交于另一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處的切線(xiàn)為，直線(xiàn)的斜率分別為，且，求a，b滿(mǎn)足的關(guān)系式．參考答案：解：（1）①由及，得，

令，解得或.由知，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，因此，的極大值為，的極小值為.②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在三個(gè)相異零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與①同理可得的極小值為，的極大值為.要使有三個(gè)不同零點(diǎn)，則必須有，即.

不妨設(shè)的三個(gè)零點(diǎn)為，且，則，，

①，②，③②-①得，因?yàn)?，所以?/p>

④同理，

⑤⑤-④得，因?yàn)椋裕?/p>

又，所以.

所以，即，即，因此，存在這樣實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件.

（2）設(shè)A（m，f(m)）,B(n，f(n))，則，，又，由此可得，化簡(jiǎn)得，因此，，

所以，，所以.

21.（12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋嚽蠛瘮?shù)（）的最小正周期和最值．

參考答案：解析：……2’…………4’當(dāng)＞0時(shí)，，解得，………………6’從而，

，T=，最大值為5，最小值為－5；………………8’當(dāng)m＜0時(shí)，解得，………………10’從而，，T=，最大值為，最小值為．……………………12’22.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求證AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大??；

參考答案：（I）（II）連結(jié)AC、BD交于G，連結(jié)FG，∵ABCD為正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC，∠FGB為二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，在直