安徽省合肥市巢湖夏閣中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

安徽省合肥市巢湖夏閣中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，M是正方體的棱的中點(diǎn)，給出命題①過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線、都相交；②過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線、都垂直；③過M點(diǎn)有且只有一個平面與直線、都相交；④過M點(diǎn)有且只有一個平面與直線、都平行.其中真命題是（

）

A.②③④

B．①③④

C．①②④

D．①②③參考答案：C2.已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，m⊥n，則n∥αC．若m⊥α，n?α，則m⊥n D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α參考答案：C【分析】利用線面平行、線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理對選項分別分析解答．【解答】解：對于選項A，若m∥α，n∥α，則m與n可能相交、平行或者異面；故A錯誤；對于B，若m⊥α，m⊥n，則n與α可能平行或者n在α內(nèi)；故B錯誤；對于C，若m⊥α，n?α，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得m⊥n；故C正確；對于D，若m∥α，m⊥n，則n⊥α或者n?α；故D錯誤；故選C．3.如果可分解因式為則A、B的值是

（

）A.-6，-9

B.6，9

C.-6，9

D.6，-9參考答案：B略4.有一組試驗數(shù)據(jù)如下表所示123451.55.913.424.137下列所給函數(shù)模型較適合的是（

）A. B.C. D.參考答案：C通過所給數(shù)據(jù)可知y隨x增大，其增長速度越來越快，而A，D中的函數(shù)增長速度越來越慢，而B中的函數(shù)增長速度保持不變，故選C.

5.在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，b=c，且滿足=．若點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn)，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，平面四邊形OACB面積的最大值是（）A． B． C．3 D．參考答案：A【考點(diǎn)】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；HR：余弦定理．【分析】依題意，可求得△ABC為等邊三角形，利用三角形的面積公式與余弦定理可求得SOACB=2sin（θ﹣）+（0＜θ＜π），從而可求得平面四邊形OACB面積的最大值．【解答】解：∵△ABC中，=，∴sinBcosA+cosBsinA=sinA，即sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC=sinA，∴A=C，又b=c，∴△ABC為等邊三角形；∴SOACB=S△AOB+S△ABC=|OA|?|OB|sinθ+×|AB|2×=×2×1×sinθ+（|OA|2+|OB|2﹣2|OA|?|OB|cosθ）=sinθ+（4+1﹣2×2×1×cosθ）=sinθ﹣cosθ+=2sin（θ﹣）+，∵0＜θ＜π，∴﹣＜θ﹣＜，∴當(dāng)θ﹣=，即θ=時，sin（θ﹣）取得最大值1，∴平面四邊形OACB面積的最大值為2+=．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查余弦定理的應(yīng)用，求得SOACB=2sin（θ﹣）+是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查等價轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于難題．6.設(shè)，給出下列四個圖形，其中能表示從集合到集合的函數(shù)關(guān)系的有（

）． A．個 B．個 C．個 D．個參考答案：B①．在集合中當(dāng)時，在中無元素與之對應(yīng)，故①錯誤；②．對于集合中的任一個數(shù)，在中都有唯一的數(shù)與之對應(yīng)，故②正確；③．對應(yīng)的元素，故③錯誤；④．④中的值有兩個值與之對應(yīng)，故④錯誤，綜上，能表示集合到集合的函數(shù)關(guān)系的只有個，故選．7.已知，則（

）A.i B.2i C. D.3i參考答案：D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示，即得答案.【詳解】.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)乘法的三角表示，屬于基礎(chǔ)題.8.如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)，而函數(shù)y=在區(qū)間I上是減函數(shù)，那么稱函數(shù)y=f（x）是區(qū)間I上“緩增函數(shù)”，區(qū)間I叫做“緩增區(qū)間”，若函數(shù)f（x）=是區(qū)間I上“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”I為(

)A．[1，+∞） B． C．[0，1] D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意，求f（x）=的增區(qū)間，再求y==x﹣1+的減函數(shù)，從而求緩增區(qū)間．【解答】解：f（x）=在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，y==x﹣1+，y′=﹣?=；故y==x﹣1+在[﹣，]上是減函數(shù)，故“緩增區(qū)間”I為[1，]；故選D．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9.在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，則=（）A． B． C． D．2參考答案：B【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】由條件求得c=4，再利用余弦定理求得a，利用正弦定理可得=2R=的值．【解答】解：△ABC中，∵A=60°，b=1，S△ABC==bc?sinA=?，∴c=4．再由余弦定理可得a2=c2+b2﹣2bc?cosA=13，∴a=．∴=2R===，R為△ABC外接圓的半徑，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10.某學(xué)生離家去學(xué)校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在如圖中縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則如圖中的四個圖形中較符合該學(xué)生走法的是(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】本題考查的是分段函數(shù)的圖象判斷問題．在解答時應(yīng)充分體會實際背景的含義，根據(jù)一開始就跑步，等跑累了再走余下的路程，即可獲得隨時間的推移離學(xué)校距離大小的變化快滿，從而即可獲得問題的解答．【解答】解：由題意可知：由于怕遲到，所以一開始就跑步，所以剛開始離學(xué)校的距離隨時間的推移應(yīng)該相對較快．而等跑累了再走余下的路程，則說明離學(xué)校的距離隨時間的推移在后半段時間應(yīng)該相對較慢．所以適合的圖象為：故選B．【點(diǎn)評】本題考查的是分段函數(shù)的圖象判斷問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了應(yīng)用問題的特點(diǎn)，考查了對變化率知識的應(yīng)用能力．值得同學(xué)們體會反思．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.為了研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下隨時間變化的繁殖規(guī)律，得如下實驗數(shù)據(jù)，計算得回歸直線方程為.由以上信息，得到下表中c的值為________.天數(shù)x(天)34567繁殖個數(shù)y(千個)2.5344.5c

參考答案：6因為回歸直線過樣本點(diǎn)中心,所以,則c=6.

12.設(shè)x，y∈R，a>1，b>1，若，，則的最大值為______參考答案：113.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且,則

．參考答案：12設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S13=52，∴13a1+d=52，化為：a1+6d=4．則a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨機(jī)投一點(diǎn)，則落入E中的概率_______．參考答案：15.已知，當(dāng)x=_______________時，.

參考答案：2或3.略16.已知函數(shù)它滿足對任意的，則的取值范圍是參考答案：17.若圓與恒過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)的軌跡方程為

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）(1)已知f(x)＝lg，判斷的奇偶性參考答案：(1)奇函數(shù)（2）19.(本小題滿分14分)四邊形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．（1）求證：PA∥平面BDE；（2）求證：BD⊥PC．

參考答案：解：（1）連接，，則經(jīng)過正方形中心點(diǎn)，由是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，得，……………3分又平面，平面，所以平面；………………7分（2）由平面，得，…………9分又正方形對角線互相垂直，即，…………11分點(diǎn)，平面，所以平面，得．…………14分

20.已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)a=2時，把函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式；(2)當(dāng)a=2時，求在區(qū)間[1，3]上的最值；(3)設(shè)a≠0，函數(shù)在開區(qū)間(m,n)上既有最大值又有最小值，請分別求出m、n的取值范圍(用a表示)．參考答案：解：（1）時，（2）結(jié)合圖像，，，所以函數(shù)在區(qū)間上最大值為18，最小值為4.

（3）①當(dāng)時，函數(shù)的圖像如右，要使得在開區(qū)間有最大值又有最小值，則最小值一定在處取得，最大值在處取得；，在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值為時，所以；，而在區(qū)間內(nèi)函數(shù)值為時，所以②當(dāng)時，函數(shù)的圖像如右，要使得在開區(qū)間有最大值又有最小值，則最大值一定在處取得，最小值在處取得，，在內(nèi)函數(shù)值為時，所以，，在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值為時，，所以綜上所述，時，，；時，，ks5u略21.對于給定的正整數(shù)，．對于，，有：（）當(dāng)且僅當(dāng)，稱．（）定義．（Ⅰ）當(dāng)時，，請直接寫出所有的，滿足．（Ⅱ）若非空集合，且滿足對于任意的，，，均有，求集合中元素個數(shù)的最大值．（Ⅲ）若非空集合，且滿足對于任意的，，，均有，求集合中元素個數(shù)的最大值．參考答案：見解析解：（Ⅰ），，，．（Ⅱ）若非空集合，且滿足對于任意的，，，均有，則中任意兩個元素相同位置不能同時出現(xiàn)，滿足這樣的元素有，，，共有個．故中元素個數(shù)的最大值為．（Ⅲ）不妨設(shè)其中，，，顯然若，則，∴與不可能同時成立，∵中有個元素，故中最多有個元素．22.若二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）滿足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在區(qū)間[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：見解析【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）由二次函數(shù)可設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1求得c的值，由f（x+1）﹣f（x）=2x可得a，b的值，即可得f（x）的解析式；（2）欲使在區(qū)間[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只須x2﹣3x+1﹣m＞0在區(qū)間[﹣1，1]上恒成立，也就是要x2﹣3x+1﹣m的最小值大于0，即可得m的取值范圍．【解答】解：（1）由題意可知，f（0）=1，解得，c=1，由f（x+1）﹣f（x）=2x．可知，[a（x+1）2+b（x+1）+1]﹣（ax2+bx+1）=2x，化簡得，2ax+a+b=2x，∴，∴a=1，b=﹣1．∴f（x）=x2﹣x+1；（2）不等式f（x）＞2x+m