復(fù)變函數(shù)解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性及唯一性定理

章解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示法

節(jié)復(fù)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)節(jié)冪級(jí)數(shù)節(jié)解析函數(shù)的泰勒(Taylor)展式節(jié)零點(diǎn)的孤立性與唯一性原理2021/5/91第一節(jié)復(fù)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)１復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義4.1對(duì)于復(fù)數(shù)項(xiàng)的無(wú)窮級(jí)數(shù)

命（部分和）。若

則稱復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂于

否則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。2021/5/92定理4.1設(shè)，則復(fù)數(shù)級(jí)（4.1）收斂于實(shí)數(shù)及分別收斂于的充要條件為2021/5/93例求證級(jí)數(shù)在時(shí)收斂于，而當(dāng)時(shí)發(fā)散。證明：1）用極限定義易證，當(dāng)時(shí)，因而由極限的性質(zhì)得到2021/5/94因此按定義4.1得2）當(dāng)時(shí)，顯然有，因而故級(jí)數(shù)發(fā)散。2021/5/953）當(dāng)時(shí)，顯然有因此級(jí)數(shù)也發(fā)散。2021/5/964）當(dāng)，而時(shí)，設(shè)，則因?yàn)?，所以它?duì)任何固定的都無(wú)極限由此可見(jiàn)，復(fù)數(shù)當(dāng)時(shí)無(wú)極限，亦即無(wú)極限，因此級(jí)數(shù)發(fā)散。2021/5/97

例4.1

考察級(jí)數(shù)的斂散性。解因發(fā)散，收斂，我們?nèi)詳喽ㄔ?jí)數(shù)發(fā)散。故雖2021/5/98例討論級(jí)數(shù)的斂散性解：而2021/5/99收斂，級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)時(shí)，由知，發(fā)散2021/5/910定理4.2柯西收斂原理（復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）級(jí)數(shù)收斂必要與充分條件是：任給可以找到一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N，p=1,2,3,…時(shí)2021/5/911定理4.3復(fù)級(jí)數(shù)（4.1）收斂的一個(gè)充分條件為級(jí)數(shù)收斂2021/5/912定義4.2若級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)稱為絕對(duì)收斂；非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)，稱為條件收斂。2021/5/913（１）一個(gè)絕對(duì)收斂的復(fù)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)可以任意重排次序，而不致改變其絕對(duì)收斂性，亦不致改變其和。（2）兩個(gè)絕對(duì)收斂的復(fù)級(jí)數(shù)可按對(duì)角線方法得出乘積級(jí)數(shù)。定理4.42021/5/914例判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性分析：考查正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。解（1），則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知道，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。2021/5/915（2）因故原級(jí)數(shù)發(fā)散2021/5/916練習(xí)：證明級(jí)數(shù)收斂，但不絕對(duì)收斂2021/5/9172.一致收斂的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義4.3設(shè)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在點(diǎn)集上存在一個(gè)函數(shù)，對(duì)于上的每一個(gè)點(diǎn)，級(jí)數(shù)（4.2）均收斂于，

則稱為級(jí)數(shù)（4.2）的和函數(shù)，記為2021/5/918

定義4.4對(duì)于級(jí)數(shù)（4.2），如果對(duì)任意給定的，存在正整數(shù)當(dāng)時(shí)，對(duì)一切的均有則稱級(jí)數(shù)（4.2）在上一致收斂于2021/5/919與定理4.2類似地我們有定理4.5級(jí)數(shù)在上一致收斂的充要條件是：，當(dāng)使時(shí)，對(duì)任一及均有2021/5/920定義4.4‘在點(diǎn)集合E上不一致收斂于某個(gè)對(duì)任何整整數(shù)總有某個(gè)使定理4.5’在點(diǎn)集E上不一致收斂某個(gè)對(duì)任何正整數(shù)N，整數(shù)總有某個(gè)及某個(gè)正整數(shù)，有2021/5/921定理（優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則）若存在正數(shù)列而且正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在集上絕對(duì)收斂且一致收斂。使對(duì)一切,有2021/5/922例求級(jí)數(shù)的和函數(shù)分析：求部分和；分別就取極限解：2021/5/923所以2021/5/924例證明級(jí)數(shù)時(shí)一致收斂當(dāng)當(dāng)時(shí)發(fā)散。證明：1）當(dāng)時(shí)，由于，而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，故由優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則知所給級(jí)數(shù)在時(shí)絕對(duì)且一致收斂。2021/5/9252）當(dāng)時(shí)，，所以絕對(duì)收斂。又由于故發(fā)散，從而所給級(jí)數(shù)在時(shí)發(fā)散。2021/5/9263）當(dāng)時(shí)，，所以收斂。發(fā)散。后者是因?yàn)閺亩o級(jí)數(shù)在時(shí)發(fā)散。2021/5/927級(jí)數(shù)在閉圓上一致收斂。因有收斂的優(yōu)級(jí)數(shù)2021/5/928思考題：證明在內(nèi)不一致收斂。2021/5/929定理4.6設(shè)復(fù)平面點(diǎn)集E表示區(qū)域、閉區(qū)域或簡(jiǎn)單曲線在E上一致收斂于f(z)，那么f(z)在E上連續(xù)。定理4.7設(shè)在簡(jiǎn)單曲線C上{fn(n)}(n=1,2,…)或序列{fn(n)}在C上一致收斂于f(z)或或連續(xù)，并且級(jí)數(shù)。設(shè)在集E上{fn(z)}(n=1,2,…)連續(xù)，并且級(jí)數(shù)，那么2021/5/930注解：注解1、在研究復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和序列的逐項(xiàng)求導(dǎo)的問(wèn)題時(shí)，我們一般考慮解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和序列；注解2、我們主要用莫勒拉定理及柯西公式來(lái)研究和函數(shù)與極限函數(shù)的解析性及其導(dǎo)數(shù)。2021/5/931內(nèi)閉一致收斂：設(shè)函數(shù)序列在復(fù)平面C上的區(qū)域D內(nèi)解析，如果級(jí)數(shù)序列{fn(n)}在D內(nèi)任一有界閉區(qū)域（或在一個(gè)緊集）上一致收斂于f(z)或，那么我們說(shuō)此級(jí)數(shù)或序列在D中內(nèi)閉（或內(nèi)緊）一致收斂于f(z)或。2021/5/932定理4.8級(jí)數(shù)（4.2）在圓內(nèi)閉一致收斂的充要條件是：對(duì)任意正數(shù)，只要級(jí)數(shù)（4.2）在閉圓上一致收斂。2021/5/933定理4.9設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析,級(jí)數(shù)在內(nèi)中閉一致收斂于函數(shù)，則在內(nèi)解析,，且在內(nèi)成立證明：，取，使得。在內(nèi)任作一條簡(jiǎn)單閉曲線，根據(jù)定理柯西定理推得2021/5/934因而由莫勒拉定理知在內(nèi)解析,再由的任意性即得在內(nèi)解析。在上一致收斂于

其次，設(shè)的邊界,由已知條件得在上一致收斂于，從而,根據(jù)定理4.7，我們有即于是定理結(jié)論成立.2021/5/935例證明級(jí)數(shù)在內(nèi)閉一致收斂。證明當(dāng)時(shí)，而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，即原級(jí)數(shù)有收斂的優(yōu)級(jí)數(shù)，故由優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則，原級(jí)數(shù)2021/5/936在較小同心閉圓上絕對(duì)且一致收斂。由定理4.8原級(jí)數(shù)在內(nèi)內(nèi)閉一致收斂。2021/5/937定義形如的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù),其中是復(fù)變量,是復(fù)常數(shù).特別地,當(dāng)，級(jí)數(shù)就變?yōu)椤?冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)在復(fù)變函數(shù)論中有著特殊重要意義,它不僅是研究解析函數(shù)的工具,而且在實(shí)際計(jì)算中也很重要。2021/5/938

定理4.10:(阿貝爾第一定理)

如果冪級(jí)數(shù)(4.3)在z1(

z0)收斂,則它在圓K：|z-z0|<|z1-z0|內(nèi)絕對(duì)收斂且內(nèi)閉一致收斂.2021/5/939證明設(shè)z是所述圓K內(nèi)的任意點(diǎn)，因?yàn)橐虼舜嬖谥邢蕹?shù)M,使得這樣一來(lái)，即有收斂，它的各項(xiàng)必然有界注意有，故級(jí)數(shù)2021/5/940為收斂的等比級(jí)數(shù)，因而在圓K內(nèi)收斂其次，對(duì)K內(nèi)任一閉圓上的一切點(diǎn)來(lái)說(shuō)，有故在上有收斂的優(yōu)級(jí)數(shù)因而它在上絕對(duì)且一致收斂。再由定理4.8，此級(jí)數(shù)在圓K內(nèi)絕對(duì)球內(nèi)閉一致收斂。2021/5/941定理4.12:如果下列條件之一成立（1）(達(dá)朗貝爾法則)（2）(柯西法則)（3）(柯西-阿達(dá)馬公式)則當(dāng)0<l<+

時(shí),冪級(jí)數(shù)(4.3)的收斂半徑為當(dāng)l=0時(shí),R=+

;當(dāng)l=+

時(shí),R=0.2021/5/942注意：由數(shù)學(xué)分析知識(shí)即知，對(duì)冪級(jí)數(shù)（4.3）有（2）若存在，則存在，且等于。又從存在顯然包含存在，且等于，反之則不然，即存在，未必存在。因此，由上極限2021/5/943而得到收斂半徑的結(jié)論最強(qiáng)例4.2試求下列各冪級(jí)數(shù)的收斂半徑解（2）（1）（3）（4）2021/5/944解因（2）故2021/5/945解因故（3）2021/5/946解當(dāng)ｎ是平方數(shù)時(shí)，（4）其他情形，因此相應(yīng)有于是數(shù)列的聚點(diǎn)是0和1，從而2021/5/947

冪級(jí)數(shù)(4.3)的和是在收斂圓盤內(nèi)有定義的一個(gè)函數(shù),稱之為和函數(shù).可以證明冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的解析性.定理4.13:設(shè)冪級(jí)數(shù)(4.3)的收斂半徑為R,則在|z-z0|<R

內(nèi),它內(nèi)閉一致收斂,它的和函數(shù)（4.5）解析,并且可逐項(xiàng)求導(dǎo).2021/5/948證明:事實(shí)上,對(duì),則在上由定理

的收斂半徑為1知級(jí)數(shù)在上絕對(duì)收斂，從而根據(jù)判別法知

在一致收斂，故在中內(nèi)閉一致收斂,在的和函數(shù)解析，且成立，由的任意性即知定理成立.但冪級(jí)數(shù)在其收斂圓上可能收斂,也可能發(fā)散.如例2級(jí)數(shù)2021/5/949由于在收斂圓上,此級(jí)數(shù)一般不趨于0,因而在上級(jí)數(shù)處處發(fā)散,但其和函數(shù)卻除處處解析.例3級(jí)數(shù)的收斂半徑為1在收斂圓上，，而級(jí)數(shù)收斂,故此級(jí)數(shù)在收斂圓上也處處收斂.2021/5/950例證明在內(nèi)解析，并求證明因?yàn)樗o冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，故由定理4.13（1）、（2），在內(nèi)解析，且在內(nèi)其收斂半徑仍為2021/5/951例求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂圓及和函數(shù)解：1）因?yàn)?，所以收斂半徑收斂圓為2）因?yàn)橛谑?，以此為公式就?021/5/9522021/5/9533.泰勒(Taylor)展開(kāi)定理現(xiàn)在研究與此相反的問(wèn)題：一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)表達(dá)?(或者說(shuō),一個(gè)解析函數(shù)能否展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示？）由§4.2冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知:一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示。2021/5/954定理4.14（泰勒定理）設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，只要圓含于，則在內(nèi)能展成冪級(jí)數(shù)其中2021/5/955證證明的關(guān)鍵是利用柯西積分公式及如下熟知的公式2021/5/956Dk分析：代入(1)得2021/5/957Dkz2021/5/958---(*)得證！2021/5/959證明(不講)2021/5/960(不講)2021/5/961證明(不講)2021/5/962結(jié)論解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級(jí)數(shù)。利用泰勒級(jí)數(shù)可把解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，這樣的展開(kāi)式是否唯一？事實(shí)上，設(shè)f(z)用另外的方法展開(kāi)為冪級(jí)數(shù):2021/5/963由此我們就可推出:推論冪級(jí)數(shù)是它的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)的泰勒展式.即2021/5/964定理4.15:函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析

它在z0

的某一鄰域內(nèi)有冪級(jí)數(shù)展式(4.8).

定義4.6:f(z)在U

內(nèi)冪級(jí)數(shù)展式(4.8)稱為f(z)在

z=z0

或在U

內(nèi)的泰勒展式,

n

為泰勒系數(shù),(4.8)右邊級(jí)數(shù)為泰勒級(jí)數(shù)

.2021/5/965注解1、在定理4.14中，f(z)在U內(nèi)的冪級(jí)數(shù)展式我們稱為它在U內(nèi)的泰勒展式。注解2、我們得到一個(gè)函數(shù)解析的另外一個(gè)刻畫。注解3、泰勒展式中的系數(shù)與z0有關(guān)。2021/5/966定理4.16如果冪級(jí)數(shù)的收斂半徑2．冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況，且則在收斂圓周上至少有一奇點(diǎn)。即不可能有這樣的函數(shù)存在，它在內(nèi)與恒等，而在上處處解析。

其中2021/5/967

2021/5/968例如的收斂半徑為1在圓周上級(jí)數(shù)收斂的，所以原級(jí)數(shù)在圓周是處處絕對(duì)收斂的，從而在閉圓絕對(duì)且一致收斂。當(dāng)z沿實(shí)軸從單位圓內(nèi)趨于1時(shí)，趨于，所以是的有一個(gè)奇點(diǎn)。2021/5/969關(guān)于冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算

冪級(jí)數(shù)在它的收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂。因此兩個(gè)冪級(jí)數(shù)在收斂半徑較小的那個(gè)圓域內(nèi)，不但可以作加法、減法還可以作乘法。至于除法，我們將通過(guò)乘法及待定系數(shù)法萊解決。2021/5/970由此可見(jiàn)，任何解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)就是Talor級(jí)數(shù)，因而是唯一的。---直接法---間接法代公式由展開(kāi)式的唯一性，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分析運(yùn)算和已知函數(shù)的展開(kāi)式來(lái)展開(kāi)函數(shù)展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)的方法：2021/5/971二．求泰勒展式的方法1．求Taylor系數(shù)如求在z=0的展開(kāi)式2021/5/9722.利用級(jí)數(shù)的運(yùn)算如如在展開(kāi)2021/5/9733．逐項(xiàng)微分法如：4.逐項(xiàng)積分法如求在的展開(kāi)式。（主支）（其中取K=0分支，即分支）2021/5/974又一般地，5．級(jí)數(shù)代入級(jí)數(shù)法如2021/5/9752021/5/976總結(jié)：掌握一些主要的泰勒展示，并能作為公式來(lái)用2021/5/9772021/5/978第四節(jié)

零點(diǎn)的孤立性與唯一性原理2021/5/979定義4.7設(shè)在解析區(qū)域一點(diǎn)的值為零，則稱為解析函數(shù)的零點(diǎn)

2021/5/980稱為的級(jí)零點(diǎn)，若2021/5/981注意：定義4.7中，1）a為解析函數(shù)f(z)的零點(diǎn)f(z)在點(diǎn)a解析，且2）a為解析函數(shù)f(z)的m階零點(diǎn)（m≥1）整數(shù)f(z)在點(diǎn)a解析，但。這是多項(xiàng)式重根概念的推廣。2021/5/982定理4.17不恒為零的解析函以為級(jí)零點(diǎn)的充要條件為：其中在點(diǎn)的的鄰域內(nèi)解析，且2021/5/983證必要性由假設(shè)，只要令即可。充分性是明顯的。2021/5/984例4.15考察函數(shù)在原點(diǎn)的性質(zhì)。2021/5/985為的三級(jí)零點(diǎn)解：顯然在解析，且由所有2021/5/986例指出函數(shù)的零點(diǎn)的級(jí)。分析如用定義4.7，由于要求高階導(dǎo)數(shù)，計(jì)算較繁，故直接用泰勒展示于定理4.17，就簡(jiǎn)單多了。解：2021/5/987其中在z平面C上解析，且，所以為的6級(jí)零點(diǎn)2021/5/988

定理4.18如在內(nèi)的解析函數(shù)不恒為零，為其零點(diǎn)，則必有的一個(gè)鄰域，使得在其中無(wú)異于的零點(diǎn)。（簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)就是：不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)必是孤立的。）2021/5/989推論4.19設(shè)（1）函數(shù)在鄰域內(nèi)解析；（2）在K內(nèi)有的一列零點(diǎn)收斂于，則在K內(nèi)必恒為零。2021/5/990定理4.20（唯一性定理）設(shè)（1）函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)解析；（2）內(nèi)又有一個(gè)收斂于的點(diǎn)列，在其上和則

和在內(nèi)恒等。相等。2021/5/991證明：假定定理的結(jié)論不成立。即在D內(nèi)，解析函數(shù)F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。顯然設(shè)z0是點(diǎn)列{zk}在D內(nèi)有極限點(diǎn)。由于F(z)在z0連續(xù)，可見(jiàn)唯一的零點(diǎn)，與解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性矛盾。在一般情形下，可用下述所謂圓鏈法來(lái)證明?？墒沁@時(shí)找不到z0的一個(gè)鄰域，在其中z0是F(z)2021/5/992設(shè)是D內(nèi)任意固定的點(diǎn)（如圖）。在D內(nèi)可以作一折線L連接及以表L與D的邊界г間的最短距離在L上依次取一串點(diǎn)使相鄰兩點(diǎn)間的距離小于定數(shù)。顯然，由推論4.19，在圓內(nèi)。在圓又重復(fù)應(yīng)用推論4.19，即知在內(nèi)。這樣繼續(xù)下去，直到最后一個(gè)含有的圓為止，在該圓內(nèi)2021/5/993，特別說(shuō)來(lái)，。因?yàn)槭荄內(nèi)任意的點(diǎn)，故證明了在D內(nèi)推論4.21設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)在D內(nèi)的某一子區(qū)域（或一小段?。┥舷嗟?，則它們必在區(qū)域D內(nèi)恒等。推理4.22一切在實(shí)軸上成立的恒等式，在z平面上也成立，只要這個(gè)恒等式的等號(hào)兩邊在z平面上都是解析的。2021/5/994例4.17設(shè)（1）在區(qū)域內(nèi)解析；（2）在內(nèi)，試證：在內(nèi)或

2021/5/995證若有使因在點(diǎn)連續(xù)，故存在鄰域在內(nèi)恒不為零。而由題設(shè)故