信號與系統(tǒng) (第三版) 全套課件（上）

西安電子科技大學(xué)出版社信號與系統(tǒng)(第三版)張小虹

編著胡建萍

主審高等學(xué)校信息工程類“十二五”規(guī)劃教材第一章

信號與系統(tǒng)第二章

連續(xù)時間信號和系統(tǒng)的時域分析第三章 連續(xù)時間信號和系統(tǒng)的頻域表示與分析第四章 連續(xù)時間信號和系統(tǒng)的復(fù)頻域表示與分析第五章 離散時間系統(tǒng)的時域分析第六章

Z

變換及其應(yīng)用目

錄第一章 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)概述信號及其分類典型信號連續(xù)信號的運算連續(xù)信號的分解系統(tǒng)及其響應(yīng)系統(tǒng)的分類LTI系統(tǒng)分析方法基于MATL

AB的信號描述及其運算1.1

信號系統(tǒng)概述現(xiàn)代社會的人們每天都會與各種各樣載有信息的信號密切接觸。例如,聽廣播、看電視是接收帶有信息的消息；發(fā)短信、打電話是為了把帶有信息的消息借助一定形式的信號傳送出去。信號是各類消息的運載工具，是某種變化的物理量，如電話鈴聲，交通紅綠燈，收音機、電視機、手機收到的電磁波等，并稱之為聲信號、光信號、電信號。不同的聲、光、電信號都包含有一定的意義，這些意義統(tǒng)稱為信息，消息中有意義或?qū)嵸|(zhì)性的內(nèi)容可用信息量度量。在自然科學(xué)，社會等諸多領(lǐng)域中，系統(tǒng)的概念與方法被廣泛應(yīng)用。系統(tǒng)泛指由若干相互作用，相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成的，具有特定功能的整體。通信、控制系統(tǒng)是信息科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域的重要組成部分，它們還可以組合成更復(fù)雜的系統(tǒng)。本書所研究的是信號通過系統(tǒng)進行傳輸、處理的基本理論和基本分析方法，通?？捎蓤D1.1－1所示的方框圖表示。其中f(▲)是系統(tǒng)的輸入（激勵），y(▲)是系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)），h(▲)是系統(tǒng)特性的一種描述?！啊笔切盘柕淖宰兞?，可以是連續(xù)變量t，也可以是離散變量n。圖1.1-1信號與系統(tǒng)分析框圖圖1.1－1所示信號與系統(tǒng)分析框圖中，有激勵、系統(tǒng)特性、響應(yīng)三個變量。描述它們的有時域、頻域、復(fù)頻域三種方法。研究各變量的不同描述方法之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系以及三個變量之間的關(guān)系（已知其中兩個求解出第三個），是“信號與系統(tǒng)”課程研究的主要問題。因為存在連續(xù)與離散兩類不同的信號的描述，所以有連續(xù)與離散兩類不同的傳輸、處理系統(tǒng)。本書采用先連續(xù)信號與系統(tǒng)分析，后離散信號與系統(tǒng)分析的順序編排。1.2

信號及其分類人們用來傳遞信息的信號主要是電信號。電信號有許多眾所周知的優(yōu)點，傳播速度快、傳播方式多:有線、無線、微波、衛(wèi)星等。日常許多非電的物理量如壓力、流速、聲音、圖像等都可以利用轉(zhuǎn)換器變換為電信號進行處理、傳輸。本書討論的電信號，一般是指隨時間變化的電壓或電流，有時

也可以是電荷或磁通。為了對信號進行處理或傳輸，要對信號的特性進行分析研究。這既可以從信號隨時間變化的快、慢、延時來分析信號時間特性也可以從信號所包含的主要頻率分量的振幅大小、相位的變化來分析信號的頻率特性。當然，不同的信號具有不同的時間特性與頻率特性。信號隨時間變化的關(guān)系，可以用數(shù)學(xué)上的時間函數(shù)來表示，所以有時亦稱信號為函數(shù)f(t)，離散信號為序列x(n)。因此本書中信號與函數(shù)、序列這幾個名詞通用。信號的函數(shù)關(guān)系可以用數(shù)學(xué)表達式、波形圖、數(shù)據(jù)表等表示，其中數(shù)學(xué)表達式、波形圖是最常用的表示形式。1.確定性信號與隨機信號信號可以用確定的時間函數(shù)來表示的，是確定性信號，也稱規(guī)則信號。如正弦信號、單脈沖信號、直流信號等。信號不能用確定的時間函數(shù)來表示，只知其統(tǒng)計特性，如在某時刻取某值的概率的，則是隨機信號。從常識上講，確定性信號不包括有用的或新的信息。但確定性信號作為理想化模型，其基本理論與分析方法是研究隨機信號的基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上根據(jù)統(tǒng)計特性可進一步研究隨機信號。本書只涉及確定性信號。2．周期信號與非周期信號周期信號是依一定的時間間隔周而復(fù)始、無始無終的信號一般表示為f(t)=f(t+nT)

n=0,

±1,

...

（1.2-1）其中T為最小重復(fù)時間間隔，也稱周期。不滿足式（1.2-1）這一關(guān)系的信號為非周期信號。如果若干周期信號的周期具有公倍數(shù)，則它們疊加后仍為周期信號,疊加信號的周期是所有周期的最小公倍數(shù)；其頻率為周期的倒數(shù)。只有兩項疊加時，若T1、T2與ω1、ω2分別是兩個周期信號的周期與角頻率，疊加后信號的角頻率、周期的計算為,

T

=

N1T1

=

N2T2T2

T1T1

=

T21N1

N2ω

=

ω20,ω

=（1.2-2a）號的角頻率、周期的計算為1

20

0

0n其中N1、N2為不N可1

約的正整N數(shù)2

。若是大于N兩n項疊加時，信NNNω

=

,ω

=

,,ω

=

,00N（1.2-2b）T=

N1T1=N2T2＝N3T3=

NnTn其中，N1,N2,?,Nn為正整數(shù)。若N1,N2,?,Nn無公因子，則ω

=

1若有公因子N，

則00Nω

=

N（1.2-2c）例1.2-1判斷下列信號是否為周期信號，若是，求出其周期e1(t)=a

sin5t+b

cos8t；e2(t)=3

cos1.2t-5

sin5.6t。解(1)方法一：ω1

=

5ω2

8為有理數(shù)，且無公因子，所以，2π0ω

=

5

=

8

=

1,

T

=

=

2π0

5

8

ω方法二：01Tω

=

2π=

15T1

=

8T2

=

2π=

T2πT

=

2π

T

=5

,

2

8(2)方法一：3

14

ω00ω

=

1.2

=

5.6

=

0.4,

T

=

2π=

5πω1

=

1.2

=

3

=

N1ω2

5.6

14

N2方法二：1.2

5.6211

2=14T,3T2π

2ω0

=

T

=

5

=

0.4=

5π=

TT

=

2π=,

T

=

2π3．連續(xù)時間信號與離散時間信號按函數(shù)的獨立變量(自變量)取值的連續(xù)與否，可將信號分連續(xù)信號與離散信號。本書默認獨立變量(自變量)為時間，實工程中可為非時間變量。連續(xù)時間信號在所討論的時間內(nèi)，對任意時間值(除有限連續(xù)點外)都可以給出確定的函數(shù)值。連續(xù)時間信號的幅值可是連續(xù)的（也稱模擬信號），也可以是離散的(只取某些規(guī)定如圖1.2-1所示。圖1.2-1連續(xù)時間信號離散信號亦稱序列，其自變量n是離散的，通常為整數(shù)。若是時間信號（可為非時間信號），它只在某些不連續(xù)的、規(guī)定的瞬時給出確定的函數(shù)值，其它時間沒有定義，其幅值可以是連續(xù)的也可以是離散的，如圖1.2-2所示。圖1.2-2離散時間信號圖1.2-2中,1n=藝1.1

2

n

=

0,2

0 n為其它

1

藝1

n

=

藝2,3x

(n)

=

0

n

>

0n

<

0x2

(n)

=

e藝a

nx1(n)還可簡寫為x1(n)=［-1

1

2

1

2

-1］式中小箭頭標明n=0的位置。4．能量信號與功率信號為了了解信號能量或功率特性，常常研究信號f(t)（電壓或電流）在單位電阻上消耗的能量或功率。在(-T/2~T/2)區(qū)間信號的平均功率P為T

/

2f

2

(t)dtP

=

1T

藝T/2（1.2-3）在(-∞,∞)區(qū)間信號的能量E為（1.2-4）藝∞∞E

=

f

2

(t)dt

如果信號f(t)的能量有界，即0<E<∞，而平均功率P=0，則它就是能量信號，例如單脈沖信號。如果信號f(t)的平均功率有界，即0<P<∞，而能量E趨于無窮大，那么它就是功率信號，例如周期正弦信號。如果有信號能量E趨于無窮大，且功率P趨于無窮大，就是非能量非功率信號，例如e-at信號。也就是說，按能量信號與功率信號分類并不能包括所有信號。5.因果信號與非因果信號按信號所存在的時間范圍，可以把信號分為因果信號與非因果信號。當t<0時，連續(xù)信號f(t)=0，信號f(t)是因果信號，反之為非因果信號；當n<0時，離散信號x(n)=0，則信號x(n)是因果信號，反之為非因果信號。1.3.1常用連續(xù)信號1.實指數(shù)信號實指數(shù)信號如圖1.3-1所示，其函數(shù)表達式為f(t)=Aea

t

（1.3-1）式中，a>0時,f(t)隨時間增長;a<0時,f(t)隨時間衰減;

a=0時,f(t)不變。常數(shù)k表示t=0時的初始值;|a

|的大小反映信號隨時間增、減的速率。1.3

典型信號通常還定義時間常數(shù)τ=1/|a

|，τ越小，指數(shù)函數(shù)增長實際上遇到的多是τ藝或衰減的速率越快，如

圖0

1.3-1所t示<。0如圖1.3-2所示的f(單t)邊=指

數(shù)信號，其表示式為

t

Ee

t

≥0（1.3-2）特別地，若f(0)=A，當t=τ時et

=τ

Af

(τ)

|t

=τ=

f

(t)

=

=

0.368

A即經(jīng)過時間τ后，信號衰減為初始值的36.8%。圖1.3-1實指數(shù)信號圖1.3-2單邊指數(shù)信號2.正弦信號正弦信號也包括余弦信號，因為兩者只在相位上相差π/2，一般正弦信號表示為f(t)=k

sin(ωt+θ)（1.3-3）其中，k是振幅、ω是角頻率、θ是初相。周期T

=

2π=

1ω

f是頻率f的倒數(shù)。正弦信號如圖1.3-3所示。正弦信號如圖1.3-3所示。實際工作中通常遇到的是衰減正弦信號，即包絡(luò)按指數(shù)規(guī)率變化的振蕩信號，如圖1.3-4所示。

0f

(t)

=

ke藝a

t

sinωt

t

>

0t

<

0（1.3-4）(a>0)圖1.3-3正弦信號圖1.3-4單邊衰減振蕩信號3.復(fù)指數(shù)信號f(t)=Aest

（1.3-5）其中,s=σ+jω為復(fù)數(shù)，σ為實部系數(shù)，ω為虛部系數(shù)。借用歐拉公式：Aest=Ae(σ+jω)t=Aeσt

e

jωt=Aeσt

cosωt+jAeσt

sinωt（1.3-6）復(fù)指數(shù)信號可分解為實部與虛部。實部為振幅隨時間變化的余弦函數(shù)，虛部為振幅隨時間變化的正弦函數(shù)?？煞謩e用波形畫出實部、虛部變化的情況。σ表示了正、余弦信號振幅隨時間變化的情況；ω是正、余弦信號的角頻率。特別地,當σ>0時，正、余弦信號是增幅振蕩；當

σ<0時，正、余弦信號是減幅振蕩；當σ=0時，正、余弦信號是等幅振蕩。當ω=0時，f(t)為一般指數(shù)信號；當σ=0，ω=0時f(t)為直流信號。雖然實際上沒有復(fù)指數(shù)信號，但它概括了多種情況，因此也是一種重要的基本信號。還可以借用歐拉公式將正、余弦信號表示為復(fù)指數(shù)形式，即j2cos

ωt=

1

(e

jωt

+e藝jωt

)j2sinωt=

1

(e

jωt

藝e藝jωt

)（1.3-7）（1.3-8）4.Sa(t)信號(抽樣信號)tSa(t)信號定義為f(t)=Sa(t)=sint（1.3-9）不難證明，Sa(t)信號是偶函數(shù)，當t→±∞時，振幅衰減，且f(±nπ)=0，其中n為整數(shù)。Sa(t)信號還有以下性質(zhì)atSa(at)

=

sinat（1.3-12）Sa(at)波形如圖1.3-6所示。2∞Sa

(t)dt

=

π

0（1.3-10）（1.3-11）實際遇到的多為S

a∞(a

t)信號，表達式為

藝∞Sa(t)dt=πSa(t)信號如圖1.3-5所示。圖1.3-5

Sa(t)信號圖1.3-6Sa(at)信號1.3.2

階躍信號與沖激信號定義

t

>

0

1

t

<

01.單位階躍信號uu((tt))=

0（1.3-13）單位階躍信號u(t)如圖1.3-7(a)所示。利用單位階躍信號u(t)可以很方便地用數(shù)學(xué)函數(shù)來描述信號的接入（開關(guān)）特性或因果（單邊）特性。

0

t

<

0f

(t)u(t)

=

f

(t)

t

>

0（1.3-14）圖1.3－7單位階躍信號u(t)和階躍信號u(t-t0)例1.3-1用階躍信號表示如圖1.3-8所示的單邊正弦信號。解1t

<

0f

(t)

=

0=sinωt匭u(t)

sinωt

t

>

0圖1.3-8單邊正弦信號2.單位沖激函數(shù)δ(t)

我們可以在用理想元件組成的電路中引入沖激的概念。如圖1.3-9所示電路，當t=0時，開關(guān)K由a→b，電容器上的電壓的波形如圖1.3-10所示，即vC(t)=Eu(t)。圖1.3-9理想電路圖1.3-10vC(t)由電容器上電壓與電流的關(guān)系，我們可以得到電容電流表示為CCdtdυi

(t)

=

C當t>0或t<0時，不難得到流過電容器的電流iC(t)為零。而在t=0時，電容器電壓vC(t)突變?yōu)镋，我們知道這時的

電流一定不為零?？梢哉J為在t=0瞬間，有一無窮大的電

流流過電容器，將電荷轉(zhuǎn)移到電容器上，完成了對電容

器的充電，使得電容電壓在這一時刻發(fā)生了跳變。這種

電流持續(xù)時間為零，電流幅度為無窮大，但電流的時間

積分有限的物理現(xiàn)象可以用沖激函數(shù)δ(t)來描述。由對矩形脈沖取極限表示

的單位沖激函數(shù)為

2

τ

τ

2τ→0u(t藝)δ(t)=lim

1

u(t+τ

藝)（1.3-15）單位沖激函數(shù)一般定義為

∞

δ(t)dt

=1

藝∞單位沖激函數(shù)的波形用箭頭表示，如圖1.3-12所示。

0

t

≠0

∞

t

=

0

(t)

=

δ

（1.3-16）圖1.3-11矩形脈沖的極限為沖激函數(shù)圖1.3-12沖激函數(shù)00描述任一時刻t=t時的沖激函數(shù)記為δ(t－t)，表示式為

∞

藝∞000

0

t

≠t0∞

t

=

tδ(t藝t)dt=1δ(t藝t)=（1.3-17）由于沖激函數(shù)的幅值為無窮，因此沖激函數(shù)能比較的是其強度。定義式（1.3-16）的積分值（面積）為沖激強度，如4δ(t)、Aδ(t)。作圖時強度一般標在箭頭旁，如圖1.3-13所示Aδ(t－t0)。圖1.3-13Aδ(t－t0)沖激函數(shù)還具有如下運算性質(zhì):1)取樣性或“篩選”若f(t)是∞在t=0處連續(xù)的有界∞函數(shù)，則

藝∞f

(t)δ(t)dt

=

藝∞

f

(0)δ(t)dt

=

f

(0)（1.3-18）以及∞∞

藝∞f(t)δ(t藝t0

)dt=

藝∞f(t0

)δ(t藝t0

)dt=f(t0

)（1.3-19）式（1.3-19

）表明沖激函數(shù)具有取樣（篩選）特性。如果要從連續(xù)函數(shù)f(t)中抽取任一時刻的函數(shù)值f(t0)，只要乘以δ(t－t0)，并在(－∞,∞)區(qū)間積分即可。同理f(t藝t1

)δ(t藝t0

)dt=f(t0

藝t1

)∞

藝∞（1.3-20）例1.3-2計算5

52

2藝5藝5(1)(c3o)

stδ((tt);+2t+1)δ((t2);)(t-(14))δ

(t)(；t+2t+1)δ(t藝6)dt解(1)costδ(t)=δ(t)，因為cos0=1。(4)(3)52(2)(t-1)δ(t)=-δ(t)，因為(t-1)|t=0=-1。52

2=

1

藝5藝5t=0(t+2t+1)δ(t藝6)dt=0,因為δ(t藝6)不在積分區(qū)內(nèi)(t+2t+1)δ(t)=1因為(t+2t+1)|2)偶函數(shù)δ(t)=δ(-t)（1.3-21）證f(藝τ)δ(τ)dτ∞=f(0)

藝∞δ(τ)dτ=f(0)∞∞

藝∞f(t)δ(藝t)dt=

藝∞

∞藝∞t

≠0dt

∞

t

=

∞

1

t

>

0

0

t

<

0du(t)

=

δ(t)

=

03)與單位階躍函

數(shù)uδ((t)τ互)d為τ積=分

、微分關(guān)系（1.3-23）（1.3-22）由式（1.3-23），圖1.3-9電路的電容電流iC(t)可以用δ(t)函數(shù)描述為dtCdυC

(t)=

CEδ(t)i

(t)

=

C4)尺度特性aδ(a

t)

=

1

δ(t)（1.3-24）證a>0時a∞a

藝∞∞

藝∞δ(τ)dτ=

1δ(a

t)dt

=

1a11

1a

a

藝∞∞藝∞∞∞

藝∞δ(τ)dτ=藝δ(τ)dτ=藝a<0時δ(at)dt

=綜合a>0、a<0兩種情況，得δ(a

t)=

1

δ(t)a*

δ(t)的廣義函數(shù)定義廣義（分布）函數(shù)理論認為，雖然某些函數(shù)不能確定它在每一時刻的函數(shù)值（不存在自變量與因變量之間的確定映射關(guān)系），但是可以通過它與其他函數(shù)（又稱測試函數(shù)）的相互作用規(guī)律（運算規(guī)則）來確定其函數(shù)關(guān)系，這種新的函數(shù)是廣義（分布）函數(shù)。即按照它“做”什么，而不是它“是”什么而定義的函數(shù)，叫做廣義函數(shù)或分布函數(shù)。δ(t)就是一個把在t=0處連續(xù)的任意有界函數(shù)φ(t)，賦予φ(0)值的一種（運算規(guī)則）廣義函數(shù)，記為∞

藝∞笆(t)δ(t)dt=笆(0)這種用運算規(guī)則來定義函數(shù)的思路，是建立在測度理論基礎(chǔ)上的，它與建立在映射理論基礎(chǔ)上的普通函數(shù)是相容且不矛盾的。所以，只要一個函數(shù)g(t)與任意的測試函數(shù)φ(t)之間滿足關(guān)系式∞

藝∞笆(t)g(t)dt=笆(0)則這個函數(shù)g(t)就是單位沖激函數(shù)，即g(t)=δ(t)其中φ(t)是在t=0時刻任意的有界函數(shù)。3.單位斜坡函數(shù)R(t)

0

t

<

0單位斜坡函數(shù)波形R如(t)圖=1.

3-14所示，=定tu義(t為)

t

t

>

0（1.3-25）任意時刻的斜坡函數(shù)如圖1.3-15所示，表示為00R(t藝t)=

0=(t藝t0

)u(t藝t0

)t

<

t

t

>

t0

t藝t0（1.3-26）圖1.3-14R(t)圖1.3-15R(t－t0)單位斜坡函數(shù)與階躍進函數(shù)u(t)互為微分、積分關(guān)系，即R(t)

=dtdR(t)

=

u(t)

0tu(τ)dτ=

0t<

0

（1.3-27a）

t

t

>

0

（1.3-27b）例1.3-3f(t)如圖1.3-16所示，由奇異信號描述f(t)。解f(t)

=(t+2)［u(t+2)－

u(t)

］+(－

t+2)［u(t)－

u(t－

2)］=

R(t+2)－2R(t)+R(t－

2)圖1.3-16例1.3-3圖4.單位函數(shù)gτ(t)22

0

12τ=

t

>

τt

<

τ

2

門函數(shù)gτ(t)是以原點為中心，以τ為時寬，幅度為1的矩形單脈沖信號，

波形如τ圖1.3-17所τ示

。

g(t)=u(t+

)藝u(t藝)（1.3-28）圖1.3-17門函數(shù)gτ(t)5.單位符號函數(shù)sgnt1.3-18所示。符號函數(shù)是t>0時為1

，1

t<0時t為>－01的函數(shù)，波形如圖sgnt

=

藝1

t

<

0=2u(t)藝1=藝u(藝t)+u(t)

=

1

t

>

0

藝1

t

<

0（1.3-29）圖1.3-18符號函數(shù)6.單位沖激偶函數(shù)δ′(t)對單位沖激函數(shù)求導(dǎo)得到單位沖激偶函數(shù)。因為單位沖激函數(shù)可表示為1

2dδ(t)

dtτ

τ

δ(t)=lim

u(t+2

)藝u(t藝)

τ→0

τ

2

τ1

τ

τ

′δ(t)

==

limτ→0δ

t+

藝δ

t藝

2

(1.3-30)(1.3-31)所以式（1.3-31

）取極限后是兩個強度為無限大的沖激函數(shù)，當t從負值趨向零時，是強度為無限的正沖激函數(shù)；當t從正值趨向零時，是強度為負無限的沖激函數(shù)，如圖

1.3-19所示。

圖1.3-19單位沖激偶函數(shù)δ′(t)′

單位沖激偶函數(shù)具∞有如′下特性：藝∞δ(t)f(t)dt=藝f(0)(1)對證f′(t)在0點連續(xù)的函數(shù)，有f

′(t)δ(t)dtdt

藝∞∞藝∞藝∞=藝f

′(0)

藝∞δ(t)dt=藝f

′(0)∞=f(t)δ(t)|∞

藝∞

∞

藝∞f

(t)

dδ(t)δ′(t)

f

(t)dt

=(2)由圖1.3-19的單位沖激偶函數(shù)可見，δ′(t)的正、負兩個沖激的面積相等，互相抵消，沖激偶函數(shù)所包含的面積為零，即∞

藝∞δ′(t)dt=0(1.3-32)

藝∞

0

0t<0藝0藝<t<0+t

>

0+(t)dt

=

∞tδ′(3)δ′(t)與δ(t)互為積分、微分關(guān)系，即δ′(t)

=

dδ(t)dt(1.3-33)1.4

連續(xù)信號的運算1.4.1時移、折疊、尺度信號的時移也稱信號的位移、時延。將信號f(t)的自變量t用t-t0

替換，得到的信號f(t-t0)就是f(t)的時移，它是f(t)的波形在時間t軸上整體移位t0。若t0>0，f(t)的波形在時間

t軸上整體右移t0

；若t0<0，f(t)的波形在時間t軸上整體左移t0，如圖1.4-1所示。圖1.4-1信號的時移將f(t)自變量t用－t替換，得到信號f(－t)是f(t)的折疊信號。f(－t)的波形是f(t)的波形以t=0為軸反折，所以也稱時間軸反轉(zhuǎn)，如圖1.4-2所示。圖1.4-2信號的折疊將f(t)的自變量t用at(a≠0)替換，得到f(a

t)稱為f(t)的尺度變換，其波形是f(t)波形在時間t軸上的壓縮或擴展。若|a

|>1，波形在時間t軸上壓縮；|a

|<1，波形在時間t軸上擴展，故信號的尺度變換又稱為信號的壓縮與擴展。例如，假設(shè)f(t)=sinω0t是正常語速的信號，則f(2t)=sin2ω0t=f1(t)是兩倍語速的信號，而f(t/2)=sin(ω0t/2)=f2(t)是降低一半語速的信號。f1(t)與f2(t)在時間軸上被壓縮或擴展，但幅度均沒有變化，如圖1.4-3所示。圖1.4-3信號的尺度變換例1.4-1已知f(t)的波形如圖1.4-4(a)所示，試畫出f(－2t)、f(－t/2)的波形。解

f(－2t)、f(－t/2)除了尺度變換，還要折疊（反折）。第一步:尺度變換，如圖1.4-4(b)所示。第二步:折疊,如圖1.4-4(c)所示。圖1.4-4例1.4-1中f(－2t)、f(－t/2)例1.4-2已知f(t)的波形如圖1.4-5(a)所示，試畫出f(2-2t)的波形。解f(2-2t)是f(t)的時移、折疊及壓縮信號。第一步：折疊,如圖1.4-5(b)所示；第二步：時移變換，如圖1.4-5(c)所示；第三步：尺度變換，如圖1.4-5(d)所示。圖1.4-5例1.4-2中f(2－2t)的形成以上變換都是函數(shù)自變量的變換，而變換前后端點上的函數(shù)值（沖激函數(shù)除外）不變。所以可以通過少數(shù)特殊點函數(shù)值不變的特性，確定變換前后波形中各端點的相應(yīng)位置。具體方法是：設(shè)變換前信號為f(at+b)，用t1表示變換前端點的位置；變換后信號為f(mt′+n)，用t1’表示變換后端點的位置,則變換前后的函數(shù)值為（1.4-1a）f(at1+b)=f(mt1’+n)由式（1.4-1a），可得at1+b=

mt1’+n（1.4-1b）由式（1.4-1b）解出變換后的端點的位置為1

1mt′=

1

(at+b藝n)（1.4-1c）1.4.2微分與積分微分是對f(t)求導(dǎo)數(shù)的運算，表示為f

′(t)

=

df

(t)（1.4-2）dt信號經(jīng)過微分后突出了變化部分，如圖1.4-6所示。圖1.4-6信號的微分運算積分是對f(t)在(-∞,t)區(qū)間內(nèi)的定積分，表示式為f(τ)dτty(t)=

藝∞（1.4-3）信號經(jīng)過積分后平滑了變化部分，如圖1.4-7所示。圖1.4-7信號的積分運算1.4.3信號的加（減）、乘（除）信號的相加（減）或相乘（除）是信號瞬時值相加（減）或相乘（除）。f1(t)±f2(t)是兩個信號瞬時值相加（減）形成的新信號；f1(t)▲f2(t)或f1(t)/f2(t)=f1(t)▲［1/f2(t)］是兩個信號瞬時值相乘形成的新信號。如圖1.4-8(a)所示f1(t)、f2(t)，求f1(t)+f2(t)、例1.4-3f1(t)▲f2(t)。解

f1(t)+f2(t)如圖1.4-8(b)所示，

f1(t)▲f2(t)如圖1.4-8(c)所示。實際工作中經(jīng)常遇到幅度衰減的振蕩信號，是信號相乘的典型應(yīng)用。圖1.4-8例1.4-3信號的相加與相乘t

≥0

Ae藝a

tf1

(t)

,

f2

(t)

=

cos

ω0

tt

<

0

0,畫出f1(t)▲f2(t)波形。例1.4-4解01

2

Ae藝a

t

cos

ωtf(t)匭f(t)=

t

≥0

t

<

0

0f1(t)▲f2(t)是幅度按指數(shù)規(guī)律變化的余弦信號，如圖1.4-9所示。一般兩個信號相乘，變化慢的信號形成包絡(luò)線，包絡(luò)線反映了相乘信號總的變化趨勢。圖

1.4-9

f1(t)▲f2(t)形成衰減振蕩信號(a)指數(shù)信號；(b)余弦信號；(c)幅度衰減的余弦信號1.5

連續(xù)信號的分解1.5.1規(guī)

則

信

號

的

分

解一般規(guī)則信號可以分解為若干個簡單信號的組合。下面

舉

例

說

明

規(guī)

則

信

號

的

分

解

。例1.5-1用簡單信號表示如圖1.5-1(a)所示信號f1(t)。解

將f1(t)分解為無數(shù)不同時移的鋸齒波的疊加，

表示為1A

Af

(t)

=

A=

T

(t藝nT)[u(t藝nT)藝u(t藝(n+1)T)]∞n=0t[u(t)

藝u(t

藝T

)]

+

(t

藝T

)[u(t

藝T

)

藝u(t

藝2T

)]

+T

T或如圖1.5-1(b)所示，將f1(t)分解為一個幅度為A的斜坡函數(shù)與無窮多個時移的階躍函數(shù)的疊加（減），表示為∞1n=1=

R(t)藝A

u(t藝nT)

TATf(t)=

AR(t)藝Au(t藝T)藝Au(t藝2T)藝

圖1.5-1(a)鋸齒波；(b)鋸齒波的一種分解例1.5-2用簡單信號表示如圖1.5-2(a)所示信號f2(t)。圖1.5-2(a)例1.5-2信號；(b)例1.5-2信號的分解解

f2(t)可以分解為四個不同時刻出現(xiàn)的階躍函數(shù)，表示為f2(t)=u(t+2)+u(t+1)－u(t－1)－u(t－2)或如圖1.5-2(b)所示，將f2(t)分解為兩個寬度不同的門函數(shù)，表示為f2(t)

=f21

(t)+f22

(t)=［u(t+2)－u(t

－2)］+［u(t+1)

－u(t－1)］=g4(t)+g2(t)1.5.2

信號的直流與交流分解信號可以分解為直流分量fD(t)與交流分量fA(t)，即f(t)=fD(t)+fA(t)

(1.5-1)信號的直流分量fD(t)是信號的平均值。信號f(t)除去直流分量

fD(t)，剩下的即為交流分量fA(t)。1.5.3

奇偶信號的分解這種分解方法是將實信號分解為偶分量與奇分量之和。其優(yōu)點是可以利用偶函數(shù)與奇函數(shù)的對稱性簡化信號運算。偶分量定義fe(t)=fe(藝t)（1.5－2）奇分量定義fo(t)=藝fo(藝t)（1.5－3）其中11fe

(t)=2

[f(t)+f(藝t)]fo

(t)=2

[f(t)+f(藝t)]（1.5－5）（1.5－6）例1.5－3用圖解法分別將圖1.5－3(a)所示信號分解為奇、偶分量。解如圖1.5-3(b)所示。圖1.5-3例1.5-3信號的奇偶分解1.5.4任

意

信

號

的

脈

沖

分

解

任意信號的脈沖分解方法，是將沖激信號或階躍信號作為基本信號元，將任意信號分解為無窮多個沖激信號或階躍信號，如圖1.5－4及圖1.5－5所示。這類分解的優(yōu)點是基本信號元的波形簡單，響應(yīng)好求，并且可以充分利用LTI系統(tǒng)的疊加、

比例與時不變性，

方便地求解復(fù)雜信號的響應(yīng)。圖1.5-4將信號分解為脈沖之和圖1.5-5將信號分解為階躍信號之和如圖1.5－4所示，f(t)可以分解為沖激信號之和，這種分解思路是先把信號f(t)分解成寬度為Δt的矩形窄脈沖之和，任意時刻kΔt的矩形脈沖幅度為f(kΔt)。為使分析簡單，我們假設(shè)f(t)為因果信號。這樣f0(t)=f(0)[u(t)藝u(t藝Δt)]f1(t)=f(Δt)[u(t藝Δt)藝u(t藝2Δt)]?fk(t)=f(kΔt)[u(t藝kΔt)藝u(t藝(k+1)Δt)]?信號f(t)可近似表示為

f(t)轅f0(t)+f1(t)+f2(t)+?fk(t)+?n轅

f

(kΔt)[u(t藝kΔt

)藝u(t藝(k+1)Δt

)]k=0n轅

Δt

f

(kΔt

)[u(t藝kΔt

)藝u(t藝(k+1)Δt

)]Δt

1k=0nf(kΔt)[u(t藝kΔt)藝u(t藝(k+1)Δt)]Δt1f

(t)

=

lim

Δt→0

k=0k=0n令窄脈Δ沖t→寬0

度Δt→Δ0t

，并對其取極限，得到=lim

f(kΔt)δ(t藝Δt)Δt此時kΔt→τ，Δt→dτ，求和運算變?yōu)榉e分運算。于是，用沖激函數(shù)表示任意信號的積分形式為tn

→，

即0k=0f(τ)δ(t藝τ)dτf

(t)

=

0t（1.5-6）如圖1.5-5所示，

f(t)可以分解為階躍信號之和，

分解思路

是

先

把

信

號

分

解

為

階

躍

信

號

的

疊

加

， 此

時

令Δt≈

u(t藝kΔt)Δt任意時刻kΔt的階Δf躍(k為Δt)fk

(t)≈[f(kΔt)藝f(kΔt藝(k藝1)Δt]u(t藝kΔt)

將信號f(t)近似表示為f

(t)

≈f0

(t)

+

f1

(t)

+

f2

(t)

+

+

fk

(t)

+nk

=1

Δf

(kΔt)

Δtu(t藝kΔt)Δt

≈f

(0)u(t)

+

然

后

， 令

窄

脈

沖

寬

度

Δt→0

， 并

對

上

式

取

極

限

為最后，得到任意信號用階躍信號表示的積分形式為t+f

(t)

=

f

(0)u(t)

+

0f

′(τ)u(t藝τ)dτ（1.5-8）1.6系統(tǒng)及其響應(yīng)1.6.1

系統(tǒng)的定義系統(tǒng)所涉及的范圍十分廣泛，包括大大小小有聯(lián)系的事物組合體。如物理系統(tǒng)、非物理系統(tǒng)；人工系統(tǒng)、自然系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等等。系統(tǒng)具有層次性，可以有系統(tǒng)嵌套系統(tǒng)；對某一系統(tǒng)，其外部更大的系統(tǒng)稱為環(huán)境，所包含的更小的系統(tǒng)為子系統(tǒng)。因為本書涉及的是電信號，所以本書的系統(tǒng)，是產(chǎn)生信號或?qū)π盘栠M行傳輸、處理變換的電路（往往也稱為網(wǎng)絡(luò)）系統(tǒng)。這是由電路元器件組成的實現(xiàn)不同功

能的整體。本書將用具體電路網(wǎng)絡(luò)作為系統(tǒng)的例子，討論信號的傳輸、處理、變換等問題，所以書中網(wǎng)絡(luò)、系統(tǒng)、電路三個名詞通用。由于信息網(wǎng)絡(luò)的廣泛應(yīng)用，在信息科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域中“網(wǎng)絡(luò)”也泛指通信網(wǎng)或計算機網(wǎng)，與本書的“網(wǎng)絡(luò)”不同。例如，我們所涉及的連續(xù)系統(tǒng)，其功能是將輸入信號轉(zhuǎn)變?yōu)樗璧妮敵鲂盘?，如圖1.6-1所示。圖1.6-1中,f(t)是系統(tǒng)的輸入（激勵），y(t)是系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）。為敘述簡便,激勵與響應(yīng)的關(guān)系也常表示為f(t)→y(t)，其中“→”表示系統(tǒng)的作用。圖1.6-1信號與系統(tǒng)分析框圖1.6.2系統(tǒng)的初始狀態(tài)在討論連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)前，首先討論連續(xù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)（條件），其基本概念也可用于離散系統(tǒng)?！俺跏肌睂嶋H是一個相對時間，通常是一個非零的電源接入電路系統(tǒng)的瞬間，或電路發(fā)生“換路”的瞬間，可將這一時刻記為t=t0。為討論問題方便，本書一般將t0=0記為“初始”時刻；并用0-表示系統(tǒng)“換路”前系統(tǒng)儲能的初始狀態(tài)，用0+表示“換路”后系統(tǒng)響應(yīng)的初始條件。下面以電容、電感的電壓、電流關(guān)系理解系統(tǒng)初始狀態(tài)與初始條件的概念。例1.6-1

如圖1.6-2所示簡單理想電路系統(tǒng)，

已知激勵電流i(t)，求響應(yīng)vC(t)。dtdυ

(t)解由電容iC的(t電)=壓i、(t)電=流C關(guān)系C(1.6-1)式(1.6-1)是一階線性微分方程，解此方程可得響應(yīng)為CtCi

(τ)dτC

藝∞v

(t)

=

1(1.6-2)圖1.6-2例1.6-1簡單電路式(1.6-2)說明電容電壓與過去所有時刻流過電容的電流有關(guān)，因此也稱電容為動態(tài)（記憶、儲能）元件。要知道全部時刻的電流iC(t)是不實際的，通常要計算vC(t)一般是由已知某時刻t0開始到所要C計算時刻t的i(t)，以及此C

0時刻前的電容電壓v(t)來確定，即C1

1t

tCC

C

0iCCi

(τ)dτ+t0+藝∞v

(t)

=(τ)dτ=

v

(t

)

+

(1.6-3a)若t0=0，代入上式成為+

藝∞tCC

C

+tCCC

0v

(t)

=

1i

(τ)dτi

(τ)dτ=

v

(t

)

+

1(1.6-3b)切相關(guān)。

vC(

vC(0-)是在iC(t)時刻t=用，反映了系統(tǒng)在該時刻的儲能。由電容與電感的對偶關(guān)系，不難得到式(1.6-3)t中0+

只有已知t>t0或t>0時的iC(t)以及系統(tǒng)的初始條件vC(

)、

vC(0+)，

才能求解t>t0（t>0）系統(tǒng)的響應(yīng)vC(t)?；騮0

_t=0-以前的作而vC(t0+)或vC(0+)與系統(tǒng)的初始狀態(tài)vC(t0

_)或vC(0-)密t)0或_LLdtdi

(t)v

(t)

=

L(1.6-4)LLtLtLv

(τ)dτv

(τ)dτL

t0L

t++v

(τ)dτ=

i

(t

)

+

1i

(t)

=

1)

+

1vL

(τ)dτ=

iL

(t0+i

(t)

=

1L

L

+∞L

藝∞∞L

藝∞(1.6-5a)(1.6-5b)與電容情況相同，(1.6-5)式表明電感也為動態(tài)(記憶、儲能)元件。只有已知t>t0

(t>0)時的vL(t)以及系統(tǒng)的初始條件iL(t0+)、iL

(0+)，才能求解t>t0

(t>0)系統(tǒng)的響應(yīng)i

L

(t

)。同樣的iL(t0+)、iL

(0+)與系統(tǒng)的初始狀態(tài)iL(t0藝)、iL(0藝)密切相關(guān)，iL

(t0藝)、iL

(0藝)是電壓vL(t)在時刻t=t0藝、t=0藝以前的作用（系統(tǒng)在該時刻的儲能）。以及1.6.3

系統(tǒng)的響應(yīng)下面通過具體例題討論系統(tǒng)的響應(yīng)。例1.6-2如圖1.6-2所示電路系統(tǒng)，且已知vC(0-)=1/2V，C=2F,電流i(t)的波形如圖1.6-3所示，求t≥0的響應(yīng)vC(t)并繪出波形圖。圖1.6-3例1.6-2電流i(t)波形解

由已知條件可見，

該系統(tǒng)既有初始儲能,

也有激勵，所以系統(tǒng)響應(yīng)既有初始儲能產(chǎn)生的部分，也有激勵產(chǎn)生的部分。從電流i(t)波形可知，i(t)除了在t=0時刻加入，在t=1及t=2還有變化，都可以理解為“換路”，因此在t=0－、t=1－及t=2－分別有三個初始狀態(tài)vC(0－)、vC(1－)、vC(2－)，利用該電容電壓無跳變，要解出對應(yīng)的三個初始條件vC(0+)、vC(1+)、

vC(2+)。由此得到響應(yīng)(如圖1.6-4所示)為圖1.6-4例1.6－2中vC(t)波形由引起響應(yīng)的不同原因，我們給出系統(tǒng)零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的定義：當系統(tǒng)的激勵為零，僅由系統(tǒng)初始狀態(tài)（儲能）產(chǎn)生的響應(yīng)是零輸入響應(yīng)，記為yzi

(t)或yx

(t)；當系統(tǒng)的初始狀態(tài)（儲能）為零，僅由系統(tǒng)激勵產(chǎn)生的響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)，記為yzs

(t)或yf

(t)。上例是一階微分方程描述的簡單系統(tǒng)。我們看到，為了求解它的響應(yīng)，除了知道系統(tǒng)的激勵外，還需要知道系統(tǒng)的一個初始條件。推論，若系統(tǒng)是由n階微分方程描述的，則求解響應(yīng)

ddm

dm藝1=b0

dtm

f(t)+b1

dtm藝1除了dn激勵外，還dn必藝1須知道系統(tǒng)的n個d初始條件（狀態(tài)）。an0階d線tn

性y(微t)分+方a1

程dt的n藝1一y般(t形)+式

為+an藝1

dt

y(t)+an

y(t)f(t)+

+bm藝1

dt

f(t)+bm

f(t)(1.6-6)當給定y(0+),y′(0+),匭匭,y(n-1)(0+)，及f(t)，可以得到n階線性微分方程的完全解。為

討

論問題方便

y(0+),

y′(0+),

匭匭,y(n-1)(0+)

可簡寫為y(k)(0+)(k=0,1,2,

匭)或{y(k)(0+)}

。{y(k)(0+)}

這樣一組數(shù)據(jù)是解微分方程所需要的標準初始條件。在處理實際n階電路系統(tǒng)時，已知的儲能情況，通常是由

n個獨立儲能元件的初始值(電容電壓、電感電流){xk(0藝)}

(k=1,2,匭,n)(以下簡寫為{xk(0藝)})表示，儲能元件的初始值也可簡稱初始狀態(tài)。電路中的各獨立的iL

(0藝)、vC

(0藝)是{xk(0藝)}的組成部分，是我們求解零輸入響應(yīng)的已知條件。這樣的初始狀態(tài)反映了系統(tǒng)儲能的情況，它為求t>0的系統(tǒng)響應(yīng)提供了以往儲能的全部信息(若初始時間為t=t0

時類推)，由此而確定的響應(yīng)是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。雖然初始狀態(tài)一般有{xk(0藝)}={xk(0+)}，但通常{xk(0藝)}不能全部直接用于系統(tǒng)微分方程求解，所以也稱其為非標準初始條件。例如一階RC或RL電路中，待求的響應(yīng)是電阻電壓。而已知的初始狀態(tài)，是電容上的電壓vC

(0藝)或電感上的電流iL

(0藝)，即非標準化初始條件。通過{xk(0藝)}及0+初始值等效電路，可以確定系統(tǒng)零輸入時的標準初始條件y(k)(0+)，即可以將非標準化初始條件轉(zhuǎn)換為標準化初始條件。有關(guān)初始條件標準化的具體內(nèi)容將在第2章討論。因為零輸入響應(yīng)是由初始狀態(tài){xk(0藝)}產(chǎn)生的，零狀態(tài)響應(yīng)是由激勵f(t)產(chǎn)生的，所以也有教材將零輸入響應(yīng)記為yx(t)；零狀態(tài)響應(yīng)記為yf(t)。1.7

系統(tǒng)的分類1.7.1動態(tài)系統(tǒng)與靜態(tài)系統(tǒng)含有動態(tài)元件的系統(tǒng)是動態(tài)系統(tǒng)，如RC、RL電路。沒有動態(tài)元件的系統(tǒng)是靜態(tài)系統(tǒng)也稱即時系統(tǒng)，如純電阻電路。動態(tài)系統(tǒng)在任意時刻的響應(yīng)不僅與該時刻的激勵有關(guān)，還與該時刻以前的激勵有關(guān)；靜態(tài)系統(tǒng)在任意時刻的響應(yīng)

僅與該時刻的激勵有關(guān)。描述動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為微分

方程，描述靜態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為代數(shù)方程。1.7.2

因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)滿足在任意時刻的響應(yīng)y(t)僅與該時刻以及該時刻以前的激勵有關(guān)，而與該時刻以后的激勵無關(guān)。也可以說，因果系統(tǒng)的響應(yīng)是由激勵引起的，激勵是響應(yīng)的t原因，響應(yīng)是激勵的結(jié)果；響應(yīng)不會發(fā)生在激勵加入之前，系統(tǒng)不具有預(yù)知未來響應(yīng)的能力。例如系y統(tǒng)(t)的=激

藝∞勵ff((τt))與dτ響應(yīng)y(t)的關(guān)系為f(t)=dy(t)/dt，這是一階微分方程，而響應(yīng)與激勵的關(guān)系是積分關(guān)系，則系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。響應(yīng)與激勵具有因果關(guān)系的系統(tǒng)也稱為物理可實現(xiàn)系統(tǒng)。如果響應(yīng)出現(xiàn)在激勵之前，那么，系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)，也稱為物理不可實現(xiàn)系統(tǒng)。書中一般不特別指明均為因果系統(tǒng)。例如圖1.7-1(a)所示系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵的關(guān)系為y1(t)=f1(t－1)，響應(yīng)出現(xiàn)在激勵之后，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)；如圖1.7-1(b)所示系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵的關(guān)系為y2(t)=f2(t+1)，響應(yīng)出現(xiàn)在激勵之前，那么它是非因果系統(tǒng)。圖1.7-1(a)因果系統(tǒng)；(b)非因果系統(tǒng)一般由模擬元器件如電阻、電容、電感等組成的實際物理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)。在數(shù)字信號處理時，利用計算機的存儲功能，可以逼近非因果系統(tǒng)，實現(xiàn)許多模擬系統(tǒng)無法完成的功能，這也是數(shù)字系統(tǒng)優(yōu)于模擬系統(tǒng)的一個重要方面。另外，t<0時為零的信號也稱為因果信號。對于因果系統(tǒng)，在因果信號激勵下，響應(yīng)也是因果信號。1.7.3連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)激勵與響應(yīng)均為連續(xù)時間信號的系統(tǒng)是連續(xù)時間系統(tǒng)，也稱模擬系統(tǒng)；激勵與響應(yīng)均為離散時間信號的系統(tǒng)是離散時間系統(tǒng)，也稱數(shù)字系統(tǒng)。普通的電視機是典型的連

續(xù)時間系統(tǒng)，而計算機則是典型的離散時間系統(tǒng)。隨著大規(guī)模集成電路技術(shù)的發(fā)展與普及，越來越多的系統(tǒng)是既有連續(xù)時間系統(tǒng)又有離散時間系統(tǒng)的混合系統(tǒng)。如圖1.7-2所示為一個混合系統(tǒng)。圖1.7-2混合系統(tǒng)1.7.4線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)“線性”系統(tǒng)是滿足疊加性與比例(齊次或均勻)性的系統(tǒng)?？紤]引起系統(tǒng)響應(yīng)的因素，除了系統(tǒng)的激勵之外，還有系統(tǒng)的儲能，因此線性系統(tǒng)必須滿足以下三個條件。1.

分解性系統(tǒng)的響應(yīng)有不同的分解形式，其中線性系統(tǒng)的響應(yīng)一定可以分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)響應(yīng)可表示為y(t)=yzi

(t)+yzs

(t)（1.7-1）式中，yzi

(t)是零輸入響應(yīng)，yzs

(t)是零狀態(tài)響應(yīng)。2.

零輸入線性輸入為零時，由各初始狀態(tài){x1(0),x2(0),...,xn(0)}引起的響應(yīng)滿足疊加性與比例性，若t≥0xk(0-n）→yzik

(t)

(k=1~n)

則a

k

xk

(0藝)→

ak

yzik

(t)t≥0(k

=

1

~

n)k

=1

k=1n(1.7-2)式（1.7-2）可用圖1.7-3的方框圖表示。圖1.7-3零輸入線性3.零狀態(tài)線性初始狀態(tài)為零時，由各輸入激勵f1(t),f2(t),...,fm(t)引起的響應(yīng)具有疊加性與比例性（均勻性），若mfi(t)u(t)→yzsi

(t)u(t)m則i

=1

i

=1

bi

fi

(t)u(t)

→

bi

yzsi

(t)u(t)(1.7-3)式（1.7-3）可由圖1.7-4的方框圖表示。圖1.7-4零狀態(tài)線性不滿足上述任何一個條件的系統(tǒng)就是非線性系統(tǒng)。如果線性系統(tǒng)還是因果系統(tǒng)，那么由t<t0，f(t)=0可以得到y(tǒng)(t)=0

t<t0例1.7-1已知系統(tǒng)輸入f(t)與輸出y(t)的關(guān)系如下，判斷系統(tǒng)是否線性。-2(2)

y(t)=4x(0

)+2f

(t)u(t)；0

_

f

(τ)dτ((13))

yy((tt))==3x2(0x-()0f(_t))u+(t)3；t解(1)不滿足可分解性，是非線性系統(tǒng)；不滿足零狀態(tài)線性，是非線性系統(tǒng)；滿足可分解性、零輸入線性、零狀態(tài)線性，所以是線性系統(tǒng)。例1.7－2討論具有如下輸入、輸出關(guān)系的系統(tǒng)是否線性。(1.7-4)y(t)=2+4

f(t)

解是非f1(線t)→性y系1(t統(tǒng))=。2+4

f1(t)f2(t)

→

y2(t)=

2+4

f2(t)f1(t式)+(f12(.t7)－→4y)(分t)=明2+是4[一f1(t個)+線f2(t性)]方≠y程1(t)，+y卻2(t描)=述4+的4[是f1(t一)+個f2(非t)]線性系統(tǒng)，結(jié)論似乎有些奇怪。這個系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系如圖1.7－5所示，可以表示為一個線性系統(tǒng)的輸出與該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)之和。式(1.7－4)表示的線性系統(tǒng)為

f(t)→4f(t)=yzs(t)零輸入響應(yīng)為yzi(t)=2實際應(yīng)用中存在可以由圖1.7－5表示的系統(tǒng)，這類系統(tǒng)的總輸出等于一個零狀態(tài)線性系統(tǒng)的響應(yīng)與一個確定的零輸入響應(yīng)之和，也有人將其稱為增量線性系統(tǒng)。圖1.7-5一種增量線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)1.7.5時變系統(tǒng)與非時變系統(tǒng)從系統(tǒng)的參數(shù)來看，系統(tǒng)參數(shù)不隨時間變化的是時不變系統(tǒng)，也稱非時變系統(tǒng)、常參系統(tǒng)、定常系統(tǒng)等；系統(tǒng)參數(shù)隨時間變化的是時變系統(tǒng)，也稱變參系統(tǒng)。從系統(tǒng)響應(yīng)來看，時不變系統(tǒng)在初始狀態(tài)相同的情況下，系統(tǒng)響應(yīng)與激勵加入的時刻無關(guān)。即在{x1(0),x2(0),...,xn(0)}時，f(t)→y(t)則在{x1(t0),x2(t0),...,xn(t0)}時,f(t-t0)→y(t-t0)（1.7-4）非時變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可由圖1.7-6表示。從圖1.7-5可見，當激勵延遲一段時間t0

加入時不變系統(tǒng)時，輸出響應(yīng)亦延時t0才出現(xiàn)，并且波形變化的規(guī)律不變。圖1.7-6時不變系統(tǒng)例1.7-3已知系統(tǒng)激勵與響應(yīng)之間的關(guān)系如下，判斷是否是時不變系統(tǒng)。y(t)=cos3t▲x(0)+2tf(t)u(t)解

因為初始狀態(tài)x(0)與激勵f(t)u(t)的系數(shù)均不是常數(shù)，所以是時變系統(tǒng)。圖1.8-11.8

LTI系統(tǒng)分析方法系統(tǒng)框圖表示如圖1.8-1所示系統(tǒng)框圖。圖中T［

］表示將輸入信號轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵鲂盘柕倪\算關(guān)系，可表示為系統(tǒng)運算關(guān)系Ty(［t)=］T既［滿f(足t)］線性又（滿1.足8-1時）不變性的是線性時不變系統(tǒng)，簡寫為LTI系統(tǒng)。分析LTI系統(tǒng)具有重要意義，因為LTI系統(tǒng)在實際應(yīng)用中相當普遍，或在一定條件

范圍內(nèi)一些非LTI系統(tǒng)可近似為LTI系統(tǒng)；尤其是LTI系統(tǒng)的分析方法已經(jīng)形成了完整、嚴密的理論體系。而非線性系統(tǒng)分析，迄今沒有統(tǒng)一、通用的分析方法，只能視具體問題具體討論。此后不特別說明，本書涉及的均是LTI系統(tǒng)。LTI系統(tǒng)模型描述LTI系統(tǒng)模型的方法有兩類：輸入—輸出描述法它著眼于系統(tǒng)激勵與響應(yīng)的外部關(guān)系，不關(guān)心系統(tǒng)內(nèi)部的變量情況。適用于單輸入、單輸出系統(tǒng)，如通信系統(tǒng)中大量遇到的就是單輸入單輸出系統(tǒng)。狀態(tài)變量描述法它除了給出系統(tǒng)的響應(yīng)外，還可以提供系統(tǒng)內(nèi)部變量的情況，適用于多輸入、多輸出的情況。在控制系統(tǒng)理論研究中，廣泛采用狀態(tài)變量描述法。1.8.2

LTI系統(tǒng)分析方法LTI系統(tǒng)分析方法有時域方法與頻（變）域方法兩種。

LTI系統(tǒng)分析的一個基本任務(wù)是求解系統(tǒng)對任意激勵信號

的響應(yīng)，基本方法是將信號分解為多個基本信號元。時域分析將脈沖信號作為基本信號元，信號可以用沖激（階躍）函數(shù)表示。（復(fù)）頻域（也稱變域）分析將正弦（復(fù)指數(shù)）函數(shù)作為基本信號元，信號可以用不同頻率的正弦（復(fù)指

數(shù)）函數(shù)表示。它們是同一信號兩類不同的分解方法，對應(yīng)著兩類分析方法。這兩類分析方法思路相同，都是先求得基本信號元的響應(yīng)，然后疊加。即這兩類分析方法均以疊加性、均勻性及時不變特性作為分析問題的基點，

沒有本質(zhì)區(qū)別，僅是分解的基本信號元不同而已。1.8.3

LTI系統(tǒng)的微、積分性質(zhì)若f(t)→y(t)，則dt利用LTI系統(tǒng)具有的疊加、比例與時不變特性，可推得LTI系統(tǒng)具有如下微分特性：df

(t)

→

dy(t)(1.8-2)dt證若f(t)→y(t),由時不變性，輸入時移t0，輸出也時移t0，得到f(t-t0)→y(t-t0)由疊加性，輸入為兩項疊加，輸出也為兩項疊加，得到f(t)-f(t-Δt)→y(t)-y(t-Δt)再由比例性，輸入乘1/Δt，輸出也乘1/Δt，得到ΔtΔt

f(t)藝f(t藝Δt)

→

y(t)藝y(t藝Δt)Δt

y(t)藝y(t藝Δt)

Δt對上式兩邊同f

時(t)取藝極f限(t藝Δt)→

limΔt→0limΔt→0得到df

(t)

→

dy(t)

dt

dt這個性質(zhì)說明，當系統(tǒng)的輸入是原信號的導(dǎo)數(shù)時，LTI系統(tǒng)的輸出亦為原輸出響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。這一結(jié)論可以推導(dǎo)到高階導(dǎo)數(shù)與積分，即若f(t)→y(t)，則dtn

dtndn

y(t)dn

f(t)→n為正整數(shù)（1.8-3）y(τ)dτtt

0f

(τ)dτ→

0（1.8-4）式（1.8-3）與（1.8-4）表示當系統(tǒng)的輸入是原信號的n階導(dǎo)數(shù)時，系統(tǒng)的輸出亦為原輸出響應(yīng)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)；當系統(tǒng)的輸入是原信號的積分時，系統(tǒng)的輸出亦為原輸出

響應(yīng)函數(shù)的積分。LTI系統(tǒng)的微分特性和積分特性如圖1.8-2所示。圖1.8-2LTI系統(tǒng)的微分特性和積分特性1.9 基于