2024年四川省綿陽市中考數(shù)學一診試卷

2024年四川省綿陽市中考數(shù)學一診試卷全解全析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選擇中，只有一項符合題目要求）1．（3分）在下列實數(shù)，3π，3.14，，，中，無理數(shù)的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．（3分）如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）A．圓柱 B．五棱柱 C．長方體 D．五棱錐3．（3分）經(jīng)歷百年風雨，中國共產(chǎn)黨從小到大、由弱到強，從建黨時50多名黨員，發(fā)展成為今天已經(jīng)擁有超過9800萬黨員的世界第一大政黨.9800萬用科學記數(shù)法表示為（）A．9.8×108 B．9.8×107 C．9.8×106 D．9.8×1034．（3分）如果a＝﹣3﹣2，b＝，c＝，那么a，b，c三數(shù)的大小為（）A．a(chǎn)＜c＜b B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a5．（3分）如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點C′的坐標是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）6．（3分）端午節(jié)又稱端陽節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國各地都有吃粽子的習俗．某超市以10元每袋的價格購進一批粽子，根據(jù)市場調(diào)查，售價定為每袋16元，每天可售出200袋；若售價每降低1元，則可多售出80袋，問此種粽子售價降低多少元時，超市每天售出此種粽子的利潤可達到1440元？若設每袋粽子售價降低x元，則可列方程為（）A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440 B．（16﹣x）（200+80x）＝1440 C．（16﹣x﹣10）（200+80）＝1440 D．（16﹣x）（200+80）＝14407．（3分）如圖，蒙古包可近似地看作由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個底面圓面積為25πm2，圓柱高為3m，圓錐高為2m的蒙古包，則需要毛氈的面積是（）A．（30+5）πm2 B．40πm2 C．（30+5）πm2 D．55πm28．（3分）（非課改）已知α，β是關于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足+＝﹣1，則m的值是（）A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或19．（3分）已知關于x的分式方程的解是非負數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m≤3 B．m＜3 C．m＞3且m≠6 D．m≥3且m≠610．（3分）如圖，Rt△OAB的頂點A（﹣2，4）在拋物線y＝ax2上，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點P，則點P的坐標為（）A．（，） B．（2，2） C．（，2） D．（2，）11．（3分）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC的中點，直線BE交⊙O于點F，如果⊙O的半徑為2，則點O到BE的距離OM＝（）A． B． C．1 D．12．（3分）如圖，CB＝CA，∠ACB＝90°，點D在BC邊上（與B，C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點F作FG⊥CA，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q．連接BE．給出以下結論：①AC＝FG；②S△FAB：S四邊形CBFG＝1：3；③∠FBE＝45°；④AD2＝FQ?AC；⑤BD2+CG2＝2AB2．其中，正確的結論有（）個．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）13．（4分）在平面直角坐標系中，如果點P1（a，﹣3）與點P2（4，b）關于原點O對稱，那么式子（a+b）2023的值為．14．（4分）如圖，直線m∥n，∠A＝50°，∠2＝30°，則∠1等于．15．（4分）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結晶，被國際氣象界譽為“中國第五大發(fā)明”．若要從“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中抽取兩張，則恰好抽到“立夏”、“秋分”兩張郵票的概率是．16．（4分）如圖，從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30°，從甲樓頂部B處測得乙樓底部D處的俯角是45°，已知甲樓的高AB是120m，則乙樓的高CD是m（結果保留根號）17．（4分）如圖，A、B是反比例函數(shù)圖象上的兩點，過點A、B分別作x軸的平行線交y軸于點C、D，直線AB交y軸正半軸于點E．若點B的橫坐標是4，CD＝3AC，，則A點的坐標是．18．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝16，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE＝6，CF＝3，將矩形沿EF折疊后，點D，C分別落在D'，C′處，延長ED'交BC于點G．當A，D'，C′三點共線時，△D'GH的面積是．三、解答題：（本大題共7個小題，共90分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.19．（16分）（1）計算：；（2）先化簡，再求值：，其中．20．（12分）為了解某校九年級學生的物理實驗操作情況，隨機抽查了40名學生實驗操作的得分．根據(jù)獲取的樣本數(shù)據(jù)，制作了下面的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，請根據(jù)相關信息，解答下列問題．（1）這40個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是分，眾數(shù)是分，中位數(shù)是分；（2）扇形統(tǒng)計圖中m的值為；（3）若該校九年級共有480名學生，估計該校九年級物理實驗操作得滿分的學生有多少名．21．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y1＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A（1，2）和B（﹣2，m）．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）請直接寫出y1＜y2時，x的取值范圍；（3）在平面內(nèi)存在一點P，且∠APB＝90°，請直接寫出OP的最小值．22．（12分）“文房四寶”是中國獨有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時期．基本中學為了落實雙減政策，豐富學生的課后服務活動，開設了書法社團，計劃為學生購買甲、乙兩種型號“文房四寶”，經(jīng)過調(diào)查得知：每套甲型號“文房四寶”的價格比每套乙型號的價格貴40元，買5套甲型號和10套乙型號共用1100元．（1）求每套甲、乙型號“文房四寶”的價格分別是多少？（2）若學校需購進甲、乙兩種型號“文房四寶”共120套，總費用不超過8600元，并且根據(jù)學生需求，要求購進乙型號“文房四寶”的數(shù)量必須低于甲型號“文房四寶”數(shù)量的3倍，問有幾種購買方案？最低費用是多少？23．（12分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB，CD是⊙O的直徑，E是DB延長線上一點，且∠DEC＝∠ABC．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若，AC＝2BC，求線段BC的長．24．（12分）在Rt△ABC中，M是斜邊AB的中點，將線段MA繞點M旋轉(zhuǎn)至MD位置，點D在直線AB外，連接AD，BD．（1）如圖1，求∠ADB的大?。唬?）已知點D和邊AC上的點E滿足ME⊥AD，DE∥AB．（i）如圖2，連接CD，求證：BD＝CD；（ii）如圖3，連接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值．25．（14分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，且過點D（2，﹣3）．點P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）當點P在直線OD下方時，求△POD面積的最大值．（3）直線OQ與線段BC相交于點E，當△OBE與△ABC相似時，求點Q的坐標．

2024年四川省綿陽市中考數(shù)學一診試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選擇中，只有一項符合題目要求）1．（3分）在下列實數(shù)，3π，3.14，，，中，無理數(shù)的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【考點】無理數(shù)；算術平方根；立方根．【專題】實數(shù)；數(shù)感．【答案】C【分析】根據(jù)無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，即可判斷無理數(shù)的個數(shù)．【解答】解：是分數(shù)，屬于有理數(shù)；，是整數(shù)，屬于有理數(shù)；3.14是小數(shù)，屬于有理數(shù)；3π，屬于無理數(shù)．故選：C．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．2．（3分）如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）A．圓柱 B．五棱柱 C．長方體 D．五棱錐【考點】由三視圖判斷幾何體．【專題】投影與視圖；空間觀念．【答案】B【分析】根據(jù)幾何體的左視圖和俯視圖都是長方形，可判斷該幾何體是柱體，進而根據(jù)主視圖的形狀，可判斷柱體側面形狀，得到答案．【解答】解：由幾何體的左視圖和俯視圖都是長方形，故該幾何體是柱體，又因為主視圖是五邊形，故該幾何體是五棱柱．故選：B．【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體，如果有兩個視圖為三角形，該幾何體一定是錐體，如果有兩個矩形，該幾何體一定柱體，其底面由第三個視圖的形狀決定．3．（3分）經(jīng)歷百年風雨，中國共產(chǎn)黨從小到大、由弱到強，從建黨時50多名黨員，發(fā)展成為今天已經(jīng)擁有超過9800萬黨員的世界第一大政黨.9800萬用科學記數(shù)法表示為（）A．9.8×108 B．9.8×107 C．9.8×106 D．9.8×103【考點】科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【專題】實數(shù)；數(shù)感．【答案】B【分析】將一個數(shù)表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．【解答】解：9800萬＝98000000＝9.8×107，故選：B．【點評】本題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關鍵．4．（3分）如果a＝﹣3﹣2，b＝，c＝，那么a，b，c三數(shù)的大小為（）A．a(chǎn)＜c＜b B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【考點】負整數(shù)指數(shù)冪；零指數(shù)冪．【專題】整式；運算能力．【答案】A【分析】利用負整式指數(shù)冪的性質(zhì)、零次冪的性質(zhì)分別進行計算即可．【解答】解：a＝﹣3﹣2＝﹣，b＝＝9；c＝＝1，∵﹣＜1＜9，∴a＜c＜b，故選：A．【點評】此題主要考查了負整數(shù)指數(shù)冪，以及零次冪，關鍵是掌握負整數(shù)指數(shù)冪：a﹣p＝（a≠0，p為正整數(shù)），零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）．5．（3分）如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點C′的坐標是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）【考點】位似變換；坐標與圖形性質(zhì)．【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′位似，△A′B′C′與△ABC的相似比為2：1，∴△ABC與△A′B′C′位似比為1：2，∵點C的坐標為（3，2），∴點C′的坐標為（3×2，2×2），即（6，4），故選：C．【點評】本題考查的是位似變換的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．6．（3分）端午節(jié)又稱端陽節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國各地都有吃粽子的習俗．某超市以10元每袋的價格購進一批粽子，根據(jù)市場調(diào)查，售價定為每袋16元，每天可售出200袋；若售價每降低1元，則可多售出80袋，問此種粽子售價降低多少元時，超市每天售出此種粽子的利潤可達到1440元？若設每袋粽子售價降低x元，則可列方程為（）A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440 B．（16﹣x）（200+80x）＝1440 C．（16﹣x﹣10）（200+80）＝1440 D．（16﹣x）（200+80）＝1440【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【專題】一元二次方程及應用；應用意識．【答案】A【分析】設每袋粽子售價降低x元，由于每天的利潤為1440元，根據(jù)利潤＝（定價﹣進價）×銷售量即可列出方程．【解答】解：設每袋粽子售價降低x元，每天的利潤為1440元．根據(jù)題意，得（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440，故選：A．【點評】考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系．7．（3分）如圖，蒙古包可近似地看作由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個底面圓面積為25πm2，圓柱高為3m，圓錐高為2m的蒙古包，則需要毛氈的面積是（）A．（30+5）πm2 B．40πm2 C．（30+5）πm2 D．55πm2【考點】圓錐的計算．【專題】計算題．【答案】A【分析】利用圓的面積得到底面圓的半徑為5m，再利用勾股定理計算出母線長，接著根據(jù)圓錐的側面展開圖為一扇形和圓柱的側面展開圖為矩形計算它們的側面積，最后求它們的和即可．【解答】解：設底面圓的半徑為R，則πR2＝25π，解得R＝5（m），圓錐的母線長＝＝（m），所以圓錐的側面積＝?2π?5?＝5π（m2）；圓柱的側面積＝2π?5?3＝30π（m2），所以需要毛氈的面積＝（30π+5π）m2．故選：A．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．8．（3分）（非課改）已知α，β是關于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足+＝﹣1，則m的值是（）A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1【考點】根與系數(shù)的關系；根的判別式．【專題】壓軸題．【答案】A【分析】由于方程有兩個不相等的實數(shù)根可得Δ＞0，由此可以求出m的取值范圍，再利用根與系數(shù)的關系和+＝﹣1，可以求出m的值，最后求出符合題意的m值．【解答】解：根據(jù)條件知：α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，∴＝﹣1，即m2﹣2m﹣3＝0，所以，得，解得m＝3．故選：A．【點評】1、考查一元二次方程根與系數(shù)關系與根的判別式及不等式組的綜合應用能力．一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．2、一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關系為：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．9．（3分）已知關于x的分式方程的解是非負數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m≤3 B．m＜3 C．m＞3且m≠6 D．m≥3且m≠6【考點】分式方程的解；解一元一次不等式．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】D【分析】先解此方程得x＝m﹣3，再運用一元一次不等式和分式方程解的范圍進行求解．【解答】解：方程兩邊都乘x﹣3，得2x﹣m＝x﹣3，解得x＝m﹣3，∴m﹣3≥0且m﹣3﹣3≠0，解得m≥3且m≠6，故選：D．【點評】此題考查了求解分式方程的應用能力，關鍵是能準確求解分式方程，并能運用分式方程解的范圍和解一元一次不等式的知識進行求解．10．（3分）如圖，Rt△OAB的頂點A（﹣2，4）在拋物線y＝ax2上，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點P，則點P的坐標為（）A．（，） B．（2，2） C．（，2） D．（2，）【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】綜合題．【答案】C【分析】首先根據(jù)點A在拋物線y＝ax2上求得拋物線的解析式和線段OB的長，從而求得點D的坐標，根據(jù)點P的縱坐標和點D的縱坐標相等得到點P的坐標即可；【解答】解：∵Rt△OAB的頂點A（﹣2，4）在拋物線y＝ax2上，∴4＝a×（﹣2）2，解得：a＝1∴解析式為y＝x2，∵Rt△OAB的頂點A（﹣2，4），∴OB＝OD＝2，∵Rt△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，∴CD∥x軸，∴點D和點P的縱坐標均為2，∴令y＝2，得2＝x2，解得：x＝±，∵點P在第一象限，∴點P的坐標為：（，2）故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，解題過程中首先求得拋物線的解析式，然后再求得點D的縱坐標，利用點P的縱坐標與點D的縱坐標相等代入函數(shù)的解析式求解即可．11．（3分）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC的中點，直線BE交⊙O于點F，如果⊙O的半徑為2，則點O到BE的距離OM＝（）A． B． C．1 D．【考點】正多邊形和圓；垂徑定理．【專題】幾何圖形．【答案】A【分析】連接OA、OB、OD，求出AD，求出CE，根據(jù)勾股定理求出BE，根據(jù)相交弦定理求出EF，根據(jù)垂徑定理求出BM，在△BOM中，根據(jù)勾股定理求出OM即可．【解答】解：連接OD，OA，OB，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠AOD＝×360°＝90°，在△AOD中，由勾股定理得：AD＝＝4，∴CD＝AD＝BC＝4，∵E是CD中點，∴DE＝CE＝2，在△BCE中由勾股定理得：BE＝，由相交弦定理得：CE×DE＝BE×EF，即2×2＝2EF，∴EF＝，∴BF＝+＝，∵OM⊥BF，OM過圓心O，∴BM＝FM＝BF＝，在△BOM中，由勾股定理得：OB2＝OM2+BM2，＝OM2+，解得：OM＝，故選：A．【點評】本題考查了正多邊形和圓，綜合運用了垂徑定理，勾股定理等知識點，關鍵是構造直角三角形，并進一步求出BM的長．12．（3分）如圖，CB＝CA，∠ACB＝90°，點D在BC邊上（與B，C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點F作FG⊥CA，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q．連接BE．給出以下結論：①AC＝FG；②S△FAB：S四邊形CBFG＝1：3；③∠FBE＝45°；④AD2＝FQ?AC；⑤BD2+CG2＝2AB2．其中，正確的結論有（）個．A．2 B．3 C．4 D．5【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】B【分析】由∠G＝90°，∠ACB＝90°，得∠C＝∠G，由正方形的性質(zhì)得AD＝FA，∠DAF＝90°，可證明∠ADC＝∠FAG，進而證明△ADC≌△FAG，得AC＝FG，可判斷①正確；再證明四邊形CBFG是矩形，則S△FAB：S四邊形CBFG＝1：2≠1：3，可判斷②錯誤；作EH⊥CB交CB的延長線于點H，可證明△DEH≌△ADC，得HD＝CA＝CB，HE＝CD，推導出HE＝HB，得∠HBE＝∠HEB＝45°，則∠FBE＝45°，可判斷③正確；再證明△QFE∽△AFG，得＝，所以AD2＝FQ?AC，可判斷④正確；連接DF，則DF2＝2AD2，所以BD2+CG2＝BD2+BF2＝DF2＝2AD2≠2AB2，可判斷⑤錯誤，于是得到問題的答案．【解答】解：∵FG⊥CA，交CA的延長線于點G，∴∠G＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠C＝∠G，∵四邊形ADEF為正方形，∴AD＝FA，∠DAF＝90°，∴∠ADC＝∠FAG＝90°﹣∠DAC，∴△ADC≌△FAG（AAS），∴AC＝FG，故①正確；∵∠C+∠G＝180°，∴CB∥GF，∵CB＝CA，CA＝GF，∴CB＝GF，∴四邊形CBFG是平行四邊形，∵∠C＝90°，∴四邊形CBFG是矩形，∴S△FAB＝BF?BC，S四邊形CBFG＝BF?BC，∴S△FAB：S四邊形CBFG＝1：2≠1：3，故②錯誤；作EH⊥CB交CB的延長線于點H，則∠H＝∠C＝∠ADE＝90°，∴∠HDE＝∠CAD＝90°﹣∠ADC，∵DE＝AD，∴△DEH≌△ADC（AAS），∴HD＝CA＝CB，HE＝CD，∴HD﹣BD＝CB﹣BD，∴HB＝CD，∴HE＝HB，∴∠HBE＝∠HEB＝45°，∵∠FBH＝∠FBC＝90°，∴∠FBE＝∠FBH﹣∠HBE＝45°，故③正確；∵∠AFE＝∠GFB＝90°，∴∠QFE＝∠AFG＝90﹣∠AFQ，∵∠FEQ＝∠G＝90°，∴△QFE∽△AFG，∴＝，∴FA?FE＝FQ?FG，∵FA＝FE＝AD，AC＝FG，∴AD2＝FQ?AC，故④正確；連接DF，則DF2＝AD2+FA2＝2AD2，∵BF＝CG，∴BD2+CG2＝BD2+BF2＝DF2＝2AD2≠2AB2，故⑤錯誤，故選：B．【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、同角的余角相等、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）13．（4分）在平面直角坐標系中，如果點P1（a，﹣3）與點P2（4，b）關于原點O對稱，那么式子（a+b）2023的值為﹣1．【考點】關于原點對稱的點的坐標．【專題】平面直角坐標系；符號意識．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接利用關于原點對稱點的性質(zhì)得出a，b的值，進而得出答案．兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點O的對稱點是P′（﹣x，﹣y）．【解答】解：∵點P1（a，﹣3）與點P2（4，b）關于原點O對稱，∴a＝﹣4，b＝3，故（a+b）2023＝（﹣4+3）2023＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】此題主要考查了關于原點對稱點的性質(zhì)，正確得出a，b的值是解題關鍵．14．（4分）如圖，直線m∥n，∠A＝50°，∠2＝30°，則∠1等于80°．【考點】平行線的性質(zhì)．【專題】幾何圖形．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】首先根據(jù)三角形的外角的知識求出∠3的度數(shù)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠1的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝30°，∠A＝50°，∴∠3＝80°，∵直線m∥n，∴∠1＝∠3，∵∠3＝80°，∴∠1＝80°，故答案為：80°【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)，關鍵是求出∠3的度數(shù)，此題難度不大．15．（4分）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結晶，被國際氣象界譽為“中國第五大發(fā)明”．若要從“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中抽取兩張，則恰好抽到“立夏”、“秋分”兩張郵票的概率是．【考點】列表法與樹狀圖法．【專題】概率及其應用；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結果數(shù)以及恰好抽到“立夏”、“秋分”兩張郵票的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票分別記為A，B，C，D，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中恰好抽到“立夏”、“秋分”兩張郵票的結果有：BC，CB，共2種，∴恰好抽到“立夏”、“秋分”兩張郵票的概率為＝．故答案為：．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．16．（4分）如圖，從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30°，從甲樓頂部B處測得乙樓底部D處的俯角是45°，已知甲樓的高AB是120m，則乙樓的高CD是40m（結果保留根號）【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】常規(guī)題型．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AB＝AD，再利用銳角三角函數(shù)關系得出答案．【解答】解：由題意可得：∠BDA＝45°，則AB＝AD＝120m，又∵∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝＝，解得：CD＝40（m），故答案為：40．【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確得出tan∠CAD＝tan30°＝是解題關鍵．17．（4分）如圖，A、B是反比例函數(shù)圖象上的兩點，過點A、B分別作x軸的平行線交y軸于點C、D，直線AB交y軸正半軸于點E．若點B的橫坐標是4，CD＝3AC，，則A點的坐標是（，3）．【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】依據(jù)題意，由cos∠BED＝＝，則設DE＝3a，BE＝5a，則BD＝4a＝4，即可求得a＝1；設AC＝b，則CD＝3b，由AC∥BD，求出b的值；再設A（，+n）、B（4，n），將點A、B的值，代入反比例函數(shù)表達式即可求解．【解答】解：∵BD∥x軸，∴∠EDB＝90°，∵cos∠BED＝＝，∴設DE＝3a，BE＝5a，∴BD＝＝4a，∵點B的橫坐標為4，∴4a＝4，則a＝1．∴DE＝3．設AC＝b，則CD＝3b，∵AC∥BD，∴．∴EC＝b．∴ED＝3b+b＝b．∴b＝3，則b＝．∴AC＝，CD＝．設B點的縱坐標為n，∴OD＝n，則OC＝CD+OD＝+n．∵A（，+n），B（4，n），∴A、B是反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）圖象上的兩點．∴k＝×（+n）＝4n．∴n＝．∴A（，3）．故答案為（，3）．【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．18．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝16，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE＝6，CF＝3，將矩形沿EF折疊后，點D，C分別落在D'，C′處，延長ED'交BC于點G．當A，D'，C′三點共線時，△D'GH的面積是．【考點】列代數(shù)式．【專題】整式；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)所給折疊方式可得出△AD′E各邊的長，進而得出∠EAD′的正切值，再根據(jù)∠AHB和∠FHC′與∠EAD′相等，進而正切值也相等，可表示出GE和GF的長，最后根據(jù)GE＝GF建立方程即可解決問題．【解答】解：由折疊可知，D′E＝DE＝6，F(xiàn)C′＝FC＝3，∠ED′H＝∠D＝90°，∴AE＝16﹣6＝10．在Rt△AD′E中，AD′＝，∴tan∠EAD′＝．∵AD∥BC，∴∠EAD′＝∠D′HG．又∵∠D′HG＝∠FHC′，∴tan∠FHC′＝tan∠D′HG＝tan∠EAD′＝．則，∴C′H＝4．∴HF＝．在Rt△D′GH中，tan∠D′HG＝，令D′G＝3x，D′H＝4x，∴GH＝．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG．由折疊可知，∠DEF＝∠GEF，∴∠GEF＝∠EFG，∴GE＝GF，則3x+6＝5x+5，解得x＝，∴D′G＝，D′H＝2，∴．故答案為：．【點評】本題考查列代數(shù)式及折疊，熟知折疊前后的對應角相等對應邊相等及勾股定理的熟練運用是解題的關鍵．三、解答題：（本大題共7個小題，共90分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.19．（16分）（1）計算：；（2）先化簡，再求值：，其中．【考點】分式的化簡求值；零指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值；實數(shù)的運算．【專題】實數(shù)；分式；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）先化簡，然后計算加減法即可；（2）先通分括號內(nèi)的式子，再算括號外的除法，然后將m的值代入化簡后的式子計算即可．【解答】解：（1）＝2﹣1﹣++1﹣＝2；（2）＝÷＝?＝＝，當時，原式＝＝+1．【點評】本題考查分式的化簡求值、實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．20．（12分）為了解某校九年級學生的物理實驗操作情況，隨機抽查了40名學生實驗操作的得分．根據(jù)獲取的樣本數(shù)據(jù)，制作了下面的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，請根據(jù)相關信息，解答下列問題．（1）這40個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8.3分，眾數(shù)是9分，中位數(shù)是8分；（2）扇形統(tǒng)計圖中m的值為30；（3）若該校九年級共有480名學生，估計該校九年級物理實驗操作得滿分的學生有多少名．【考點】條形統(tǒng)計圖；加權平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖．【專題】統(tǒng)計與概率；數(shù)據(jù)分析觀念；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)公式，眾數(shù)定義及中位數(shù)定義分別解答；（2）利用1減去其他的百分比即可求出m；（3）用總人數(shù)乘以滿分學生的比例即可．【解答】解：（1）這40個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（分），成績?yōu)?分的出現(xiàn)次數(shù)是12次，出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)為9分，第20，21個數(shù)據(jù)分別為8分，8分，故中位數(shù)是（分），故答案為：8.3，9，8；（2）m%＝1﹣10%﹣15%﹣27.5%﹣17.5%＝30%，∴m＝30，故答案為：30；（3）（名），答：該校九年級物理實驗操作得滿分的學生約有84名．【點評】此題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖結合掌握平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)的定義，求部分的百分比，利用部分的比例求總體中的人數(shù)，正確理解統(tǒng)計圖得到相關信息是解題的關鍵．21．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y1＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A（1，2）和B（﹣2，m）．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）請直接寫出y1＜y2時，x的取值范圍；（3）在平面內(nèi)存在一點P，且∠APB＝90°，請直接寫出OP的最小值．【考點】反比例函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；運算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）可先把A代入反比例函數(shù)解析式，求得m的值，進而求得n的值，把A，B兩點分別代入一次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象即可得到結論；（3）令x＝0求出y的值，確定出C坐標，得到OC的長，三角形ABP面積由三角形ACP面積與三角形BCP面積之和求出，由已知的面積求出PC的長，即可求出OP的長．【解答】解：A（1，2）在反比例函數(shù)y2＝的圖象上，∴k＝1×2＝2，∴反比例函數(shù)的解析式為y2＝，∵B（﹣2，m）在反比例函數(shù)y2＝的圖象上，∴m＝＝﹣1，∴B（﹣2，﹣1），把A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y1＝ax+b得：，解得，∴一次函數(shù)解析式為y1＝x+1；（2）由函數(shù)圖象可知：y1＜y2時，x＜﹣2或0＜x＜1；（3）∵∠APB＝90°，∴點P在以AB為直徑的圓上運動，設AB的中點為Q，當P，O，Q三點共線且O，P在AB的同側時OP有最小值，∵A（1，2），B（﹣2，﹣1），∴AB＝＝3，∴PQ＝AB＝，∵AB的中點為Q，∴Q（﹣，），∴OQ＝，∴OP＝PQ﹣OQ＝，故OP的最小值為．【點評】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、函數(shù)圖象以及特殊角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；（2）由兩函數(shù)圖象的上下位置關系，找出結論．22．（12分）“文房四寶”是中國獨有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時期．基本中學為了落實雙減政策，豐富學生的課后服務活動，開設了書法社團，計劃為學生購買甲、乙兩種型號“文房四寶”，經(jīng)過調(diào)查得知：每套甲型號“文房四寶”的價格比每套乙型號的價格貴40元，買5套甲型號和10套乙型號共用1100元．（1）求每套甲、乙型號“文房四寶”的價格分別是多少？（2）若學校需購進甲、乙兩種型號“文房四寶”共120套，總費用不超過8600元，并且根據(jù)學生需求，要求購進乙型號“文房四寶”的數(shù)量必須低于甲型號“文房四寶”數(shù)量的3倍，問有幾種購買方案？最低費用是多少？【考點】一元一次不等式組的應用；一元一次方程的應用；二元一次方程組的應用．【專題】一次方程（組）及應用；一元一次不等式（組）及應用；應用意識．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)每套甲型號“文房四寶”的價格比每套乙型號的價格貴40元，買5套甲型號和10套乙型號共用1100元，得出方程，解方程即可；（2）設需購進乙種型號“文房四寶”m套，則需購進甲種型號“文房四寶”（120﹣m）套，根據(jù)題意得到不等式組，解不等式組即可得到結論．【解答】解：（1）設每套甲型號“文房四寶”的價格是x元，則每套乙型號“文房四寶”的價格是（x﹣40）元，由題意可得5x+10（x﹣40）＝1100，解得x＝100，x﹣40＝60．答：每套甲型號“文房四寶”的價格是100元，則每套乙型號“文房四寶”的價格是60元；（2）設需購進乙種型號“文房四寶”m套，則需購進甲種型號“文房四寶”（120﹣m）套，由題意可得：，解得85≤m＜90，又∵m為正整數(shù)，∴m可以取85，86，87，88，89；∴共有5種購買方案，方案1：購進35套甲型號“文房四寶”，85套乙型號“文房四寶”；方案2：購進34套甲型號“文房四寶”，86套乙型號“文房四寶”；方案3：購進33套甲型號“文房四寶”，87套乙型號“文房四寶”；方案4：購進32套甲型號“文房四寶”，88套乙型號“文房四寶”；方案5：購進31套甲型號“文房四寶”，89套乙型號“文房四寶”；∵每套甲型號“文房四寶”的價格比每套乙型號的價格貴40元，∴甲型號“文房四寶”的套數(shù)越少，總費用就越低，∴最低費用是31×100+60×89＝8440（元）．【點評】本題考查了一元一次不等式的應用，一元一次方程的應用，正確地列出一元一次方程和一元一次不等式是解題的關鍵．23．（12分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB，CD是⊙O的直徑，E是DB延長線上一點，且∠DEC＝∠ABC．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若，AC＝2BC，求線段BC的長．【考點】切線的判定與性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心．【專題】與圓有關的位置關系；解直角三角形及其應用；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是90°，得出∠A+∠ABC＝90°，根據(jù)圓周角定理得出∠A＝∠D，推出∠DCE＝90°即可得出結論；（2）根據(jù)tanA＝tanD得出＝，再根據(jù)勾股定理得出CE，BC即可．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵BC＝BC，∴∠A＝∠D，又∵∠DEC＝∠ABC，∴∠D+∠DEC＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD⊥CE，∵OC是⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線；（2）解：由（1）知，CD⊥CE，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∵∠A＝∠D，AC＝2BC，∴tanA＝tanD，即＝，∴CD＝2CE，在Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，DE＝4，∴（2CE）2+CE2＝（4）2，解得CE＝4，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CBD＝90°，∴∠CBE＝90°，∴∠BCE＝∠D，∴，設BE＝x，BC＝2x，∴CE＝x＝4，∴x＝，∴BC＝．【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關鍵．24．（12分）在Rt△ABC中，M是斜邊AB的中點，將線段MA繞點M旋轉(zhuǎn)至MD位置，點D在直線AB外，連接AD，BD．（1）如圖1，求∠ADB的大??；（2）已知點D和邊AC上的點E滿足ME⊥AD，DE∥AB．（i）如圖2，連接CD，求證：BD＝CD；（ii）如圖3，連接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值．【考點】幾何變換綜合題．【專題】幾何綜合題；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圓的有關概念及性質(zhì)；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）證MA＝MD＝MB，得∠MAD＝∠MDA，∠MDB＝∠MBD，再由三角形內(nèi)角和定理得∠ADB＝∠MDA+∠MDB＝90°即可；（2）（i）證四邊形EMBD是平行四邊形，得DE＝BM＝AM，再證四邊形EAMD是平行四邊形，進而得平行四邊形EAMD是菱形，則∠BAD＝∠CAD，然后證A、C、D、B四點共圓，由圓周角定理得＝，即可得出結論；（ii）過點E作EH⊥AB于點H，由勾股定理得AB＝10，再由菱形的性質(zhì)得AE＝AM＝5，進而由銳角三角函數(shù)定義得EH＝3，則AH＝4，BH＝6，然后由銳角三角函數(shù)定義即可得出結論．【解答】（1）解：∵M是AB的中點，∴MA＝MB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：MA＝MD＝MB，∴∠MAD＝∠MDA，∠MDB＝∠MBD，∵∠MAD+∠MDA+∠MDB+∠MBD＝180°，∴∠ADB＝∠MDA+∠MDB＝90°，即∠ADB的大小為90°；（2）（i）證明：∵∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵ME⊥AD，∴ME∥BD，∵ED∥BM，∴四邊形EMBD是平行四邊形，∴DE＝BM＝AM，∴DE∥AM，∴四邊形EAMD是平行四邊形，∵EM⊥AD，∴平行四邊形EAMD是菱形，∴∠BAD＝∠CAD，又∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴A、C、D、B四點共圓，∵∠BCD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝CD；（ii）解：如圖3，過點E作EH⊥AB于點H，則∠EHA＝∠EHB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝10，∵四邊形EAMD是菱形，∴AE＝AM＝AB＝5，∴sin∠CAB＝＝＝，∴EH＝AE?sin∠CAB＝5×＝3，∴AH＝＝＝4，∴BH＝AB﹣AH＝10﹣4＝6，∴tan∠ABE＝＝＝，即tan∠ABE的值為．【點評】本題是幾何變換綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，四點共圓，圓周角定理以及銳角三角函數(shù)定義等知識，本題綜合性強，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．25．（14分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，且過點D（2，﹣3）．點P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）當點P在直線OD下方時，求△POD面積的最大值．（3）直線OQ與線段BC相交于點E，當△OBE與△ABC相似時，求點Q的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；數(shù)形結合；分類討論；圖形的相似．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）函數(shù)的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3），將點D坐標代入上式，即可求解；（2）S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，即可求解；（3）分∠ACB＝∠BOQ、∠BAC＝∠BOQ，兩種情況分別求解，通過角的關系，確定直線OQ傾斜角，進而求解．【解答】解：（1）函數(shù)的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3），將點D坐標代入上式并解得：a＝1，故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）設點P（m，m2﹣2m﹣3），①當點P在第三象限時，設直線PD與y軸交于點G，設點P（m，m2﹣2m﹣3），將點P、D的坐標代入一次函數(shù)表達式：y＝sx+t并解得：直線PD的表達式為：y＝mx﹣3﹣2m，則OG＝3+2m，S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，②當點P在第四象限或第二象限時，設PD交y軸于點M，同理可得：S△POD＝×OM（xD﹣xP）＝﹣m2+m+3，綜上，S△POD＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，當m＝時，其最大值為；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE與△ABC相似時，分為兩種情況：①當∠ACB＝∠BOQ時，AB＝4，BC＝3，AC＝，過點A作AH⊥BC于點H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，則sin∠ACB＝＝，則tan∠ACB＝2，則直線OQ的表達式為：y＝﹣2x…②，聯(lián)立①②并解得：x＝或﹣，故點Q（，﹣2）或（﹣，2），②∠BAC＝∠BOQ時，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，則點Q（n，﹣3n），則直線OQ的表達式為：y＝﹣3x…③，聯(lián)立①③并解得：x＝，故點Q（，）或（，）；綜上，當△OBE與△ABC相似時，Q的坐標為：（，﹣2）或（﹣，2）或（，）或（，）．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．

考點卡片1．科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法．【科學記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結：①科學記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負號．2．算術平方根（1）算術平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根．記為．（2）非負數(shù)a的算術平方根a有雙重非負性：①被開方數(shù)a是非負數(shù)；②算術平方根a本身是非負數(shù)．（3）求一個非負數(shù)的算術平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負數(shù)的算術平方根時，可以借助乘方運算來尋找．3．立方根（1）定義：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：．（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負數(shù)的立方根是負數(shù)．即任意數(shù)都有立方根．（3）求一個數(shù)a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)．注意：符號中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負數(shù)都有唯一一個立方根．【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)1．平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．2．立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0．4．無理數(shù)（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率、2的平方根等．（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，＝0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如＝1.414213562．②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．（3）學習要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分數(shù)是無理數(shù)，因為π是無理數(shù)．無理數(shù)常見的三種類型（1）開不盡的方根，如等．（2）特定結構的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．（3）含有π的絕大部分數(shù)，如2π．注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結果．如是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．5．實數(shù)的運算（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方．（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關鍵”1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等．2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．6．列代數(shù)式（1）定義：把問題中與數(shù)量有關的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義．列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關鍵詞語，仔細辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關系．③注意運算順序．列代數(shù)式時，一般應在語言敘述的數(shù)量關系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當運用．⑤正確進行代換．列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應該注意的四個問題1．在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分數(shù)要把它化成假分數(shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分數(shù)的形式．7．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式＝…”．2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．8．零指數(shù)冪零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．9．負整數(shù)指數(shù)冪負整數(shù)指數(shù)冪：a﹣p＝（a≠0，p為正整數(shù)）注意：①a≠0；②計算負整數(shù)指數(shù)冪時，一定要根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的意義計算，避免出現(xiàn)（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的錯誤．③當?shù)讛?shù)是分數(shù)時，只要把分子、分母顛倒，負指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)．④在混合運算中，始終要注意運算的順序．10．一元一次方程的應用（一）一元一次方程解應用題的類型有：（1）探索規(guī)律型問題；（2）數(shù)字問題；（3）銷售問題（利潤＝售價﹣進價，利潤率＝×100%）；（4）工程問題（①工作量＝人均效率×人數(shù)×時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和＝工作總量）；（5）行程問題（路程＝速度×時間）；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順水速度＝靜水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關的量，找出之間的相等關系列方程、求解、作答，即設、列、解、答．列一元一次方程解應用題的五個步驟1．審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關系．2．設：設未知數(shù)（x），根據(jù)實際情況，可設直接未知數(shù)（問什么設什么），也可設間接未知數(shù)．3．列：根據(jù)等量關系列出方程．4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．5．答：檢驗未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．11．二元一次方程組的應用（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系．（2）設元：找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）列方程組：挖掘題目中的關系，找出兩個等量關系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．（二）設元的方法：直接設元與間接設元．當問題較復雜時，有時設與要求的未知量相關的另一些量為未知數(shù)，即為間接設元．無論怎樣設元，設幾個未知數(shù)，就要列幾個方程．12．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結論反過來也成立．13．根與系數(shù)的關系（1）若二次項系數(shù)為1，常用以下關系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝，x1x2＝，反過來也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根與系數(shù)的關系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)．③不解方程求關于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數(shù)的關系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．14．由實際問題抽象出一元二次方程在解決實際問題時，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關系，找出并全面表示問題的相等關系，設出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關系，即列出一元二次方程．15．分式方程的解求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．16．解一元一次不等式根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．17．一元一次不等式組的應用對具有多種不等關系的問題，考慮列一元一次不等式組，并求解．一元一次不等式組的應用主要是列一元一次不等式組解應用題，其一般步驟：（1）分析題意，找出不等關系；（2）設未知數(shù)，列出不等式組；（3）解不等式組；（4）從不等式組解集中找出符合題意的答案；（5）作答．18．坐標與圖形性質(zhì)1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標有關，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數(shù)，而坐標可以是負數(shù)，在由距離求坐標時，需要加上恰當?shù)姆枺?、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去解決問題．19．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．（2）判斷正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標系中的交點個數(shù)可總結為：①當k1與k2同號時，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標系中有2個交點；②當k1與k2異號時，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標系中有0個交點．20．反比例函數(shù)綜合題（1）應用類綜合題能夠從實際的問題中抽象出反比例函數(shù)這一數(shù)學模型，是解決實際問題的關鍵一步，培養(yǎng)了學生的建模能力和從實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化的能力．在解決這些問題的時候我們還用到了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法和其他學科中的知識．（2）數(shù)形結合類綜合題利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關鍵所在．已知點在圖象上，那么點一定滿足這個函數(shù)解析式，反過來如果這點滿足函數(shù)的解析式，那么這個點也一定在函數(shù)圖象上．還能利用圖象直接比較函數(shù)值或是自變量的大?。畬?shù)形結合在一起，是分析解決問題的一種好方法．21．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結合問題解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實際生活中的應用題從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型．關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．22．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．23．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．24．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．25．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R＝+1，所以r：R＝1：+1．26．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．27．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?8．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．29．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．30．切線的判定與性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（3）常見的輔助線的：①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；②有切線時，常?！坝龅角悬c連圓心得半徑”．31．正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關系把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．32．圓錐的計算（1）連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線．連接頂點與底面圓心的線段叫圓錐的高．（2）圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．（3）圓錐的側面積：S側＝?2πr?l＝πrl．（4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側＝πr2+πrl（5）圓錐的體積＝×底面積×高注意：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等．②圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等．33．關于原點對稱的點的坐標關于原點對稱的點的坐標特點（1）兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點O的對稱點是P′（﹣x，﹣y）．（2）關于原點對稱的點或圖形屬于中心對稱，它是中心對稱在平面直角坐標系中的應用，它具有中心對稱的所有性質(zhì)．但它主要是用坐標變化確定圖形．注意：運用時要熟練掌握，可以不用圖畫和結合坐標系，只根據(jù)符號變化直接寫出對應點的坐標．34．幾何變換綜合題這種題型主要考查旋轉(zhuǎn)、平移以及動點問題，經(jīng)常是四邊形和圓的綜合題目，難度大．35．相似三角形的判定與性質(zhì)（1）相似三角形是相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對應邊的比相等和對應角相等兩方面下定義；反過來，兩個三角形相似也有對應角相等，對應邊的比相等．（2）三角形