2021屆高考文數(shù)二輪復習：九解析幾何（文）教師版

9解析幾何

命題趨勢

本部分考查點主要有：

(1)直線間的位置關系、點到線和線到線的距離、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系，主要以選擇題、

填空題的形式出現(xiàn)，選做題當中也會出現(xiàn)直線與圓的位置關系考查；

(2)橢圓、拋物線、雙曲線的方程與性質的考查，直線與橢圓、拋物線、雙曲線位置關系的考查.

?.?考點清單

1.直線方程與圓的方程

(1)直線方程的五種形式

名稱方程形式適用條件

點斜式y(tǒng)-y0=似刀一久0)

不能表示斜率不存在的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b

_AM

兩點式不能表示平行于坐標軸的直線

%一%%2一%

不能表示平行于坐標軸的直線

截距式--1--—T1

ab和過原點的直線

AxBy+C=0（4,B

一般式可以表示所有類型的直線

不同時為零）

(2)兩條直線平行與垂直的判定

①兩條直線平行：

對于兩條不重合的直線舊若其斜率分別為七，k2,則有/]〃/20《=左2；

當直線小不重合且斜率都不存在時，

②兩條直線垂直：

如果兩條直線人,%的斜率存在，設為心，的，則有41%0自,卜2=-1；

當其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為。時，.

(3)兩條直線的交點的求法

直線k:A-^x+B-^y+C]=0,I242久+B2y+C2=0,

Ax+5.y+C,=0

則人與%的交點坐標就是方程組?的解.

A2x+B^y+C2=0

(4)三種距離公式

①BQ1，為)，P2(X2,%)兩點之間的距離：仍止2I=[(久2—*1)2+(光一丘1)2.

②點PoOo，%)到直線/：Ax+By+C=。的距離：d=出。+'—+。

VA2+B2

|c,-c2|

③平行線a*+By+G=0與4久+By+C2=0間距離：d='=」.

VA2+B2

(5)圓的定義及方程

定義平面內與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)

標準方程(%—a)2+(y—b)2=r2(r>0)圓心：(a,b),半徑：r

國心:

x2+y2+Dx+Ey+F=0,

一般方程

(。2+E2-4F>0)

半徑：-A/D2+E2-4F

2

(6)點與圓的位置關系

點“Oo，M))與圓(％-a)2+(y-b)2="的位置關系:

①若MQo，Vo)在圓外，貝IJOo—a)2+(yo-b)2>產.

22

②若MQo,()在圓上,則(孫-a/+(y0-b)=r.

③若MQo，yo)在圓內,貝IJOo—a)2+(y。-b)2<產.

2.直線、圓的位置關系

(1)直線與圓的位置關系(半徑為人圓心到直線的距離為d)

相離相切相交

G

圖形

量方程觀點J<0J=0J>0

化幾何觀點d>rd=rd<r

(2)圓與圓的位置關系

設兩圓的圓心距為d,兩圓的半徑分別為R,r(R>r),則

位置關系外離外切相交內切內含

公共點個數(shù)01210

R-r<d

d,R,丁的關系d>R+7d=R+rd=R-rd<R—r

<R+r

公切線條數(shù)43210

3.圓錐曲線及其性質

(1)橢圓的標準方程及幾何性質

焦點在無軸上焦點在y軸上

2222

標準方程”=3>。)3+”=1(?>。)

A2

圖形

焦點坐標

&(―c,0),F2(C,0)6(0,—c),F2(0,c)

A(—〃,。)，々(a，。)，(0,—b)\(0,—a),4(。，口)，

頂點坐標

Bi(—b,0),Bz(b,0)

B2(o,6)

長軸長軸力i4=2a,a是長半軸的長

短軸短軸B/2=2b,6是短半軸的長

焦距焦距&F2=2C,c是半焦距

范圍\x\<a,|y|<b\x\<b,\y\<a

e=-=Jl-^(0<e<l),e越接近1,橢圓越扁；e越接近0,橢圓越

離心率a\a

圓

(2)雙曲線的標準方程及幾何性質

2222

標準方程—7-77=1(。>0力>0)--77=1(。>0力>0)

abab

圖形

一般方程mx2+ny2=l(mn<0)

范圍|x|>a,yGR|y|>a,xER

焦點Fi(—c,0),F2(C,0)&(0,-c),F2(0,C)

頂點A1(一a,0),42(a,0)&(0,-a),X2(0,a)

對稱性關于%軸、y軸對稱，關于原點中心對稱

幾

線段442叫做雙曲線的實軸，它的長M〃2l=2a；線段B/2叫

何

實、虛軸長做雙曲線的虛軸，它的長|B/2l=26（a叫做雙曲線的實半軸

性

長，匕叫做雙曲線的虛半軸長）

質

焦距焦距1尸抵1=2。，c是半焦距

c[~b^.八

離心率e=-=1+—(e>l)

aA\a~

漸近線方程y=±-x

ab

（3）拋物線的標準方程及其幾何性質

y2=2pxy2=—2pxx2=2pyx2=—2py

方程標準(P>0)(P>0)(P>。)(P>0)

P的幾何意義：焦點F到準線2的距離

圖形I/一

一7T\

頂點0(0,0)

對稱軸y=軸）X=0(y軸)

焦點吧。］

離心率6=1

PPP

準線方程x=-----X_Ly=——y=—

2222

范圍%>0,yGRx<0,y6Ry>0,xGRy<0,xER

焦半徑（其中

M=-^o+fW=^o+f\PF\=-y+^-

|PF|=-%0+-|0

p（久o，Vo）

4.圓錐曲線的綜合問題

（1）直線與圓錐曲線的位置關系

判斷直線I與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線/的方程+By+C=0（4,B不同時為0）代入圓錐曲線C的

方程F（x,y）=0,消去y（也可以消去光）得到一個關于變量x（或變量y）的一元方程.

Ax+By+C=Q

即聯(lián)立消去y,得a/+bx+c=0.

F（x,y）=0

①當aK0時，設一元二次方程a/+6比+c=。的判別式為/,

則4>0Q直線與圓錐曲線C相交；

4=0Q直線與圓錐曲線C相切；

/<0。直線與圓錐曲線C相離.

②當a=0,6力。時，即得到一個一次方程，則直線I與圓錐曲線C相交，且只有一個交點，此時,

若C為雙曲線，則直線/與雙曲線的漸近線的位置關系是平行；

若C為拋物線，則直線/與拋物線的對稱軸的位置關系是平行或重合.

（2）圓錐曲線的弦長

設斜率為k（k力0）的直線Z與圓錐曲線C相交于M,N兩點，M（xr,無），設如y2）,

則|MN|=，1+K%-%2|=和+燈［（石+%）2-例々］或

精題集訓

.（70分鐘）

。經典訓練題

一、選擇題.

22

1.橢圓—+當=1上的點到長軸兩個端點的距離之和最大值為（）

45

A.2B.4C.2V5D.6

【答案】D

【解析】橢圓上到長軸兩個端點的距離之和最大的點是短軸端點，

所以最大值為2，。2+爐=6,故選D.

【點評】本題考了橢圓的幾何性質，屬于基礎題.

2.點P在函數(shù)y=ex的圖象上.若滿足到直線y=x+a的距離為短的點P有且僅有3個，則實數(shù)a的值

為（）

A.2V2B.2A/3C.3D.4

【答案】C

【解析】過函數(shù)y=ex的圖象上點p[o,Vo）作切線，使得此切線與直線y=x+a平行，

y'=ex,于是e&=l,則Xo=O,y0=1,

■-P（0,1）,

于是當點P到直線y=x+a的距離為四時，

則滿足到直線y=x+a的距離為四的點P有且僅有3個，

.1.d=-一，?,解得ci=-1或a=3.

A/1+I

又當。=-1時，函數(shù)y=ex的圖象與直線y=x-1相切，從而只有兩個點到直線距離為近，所以不滿足;

故a=3,故選C.

【點評】本題考查利用導數(shù)求切線切點，以及曲線與直線的位置關系的綜合應用，難度較大.

3.直線ax+y—1=0被圓/+/—2m—8y+13=0所截得的弦長為2舊，則口=（）

43/-

A.---B.---C.A/3D.2

34

【答案】A

【解析】%2+y2-2%—8y+13=0,即-I)2+(y—4)2=4,

該圓圓心為(1,4),半徑為r=2,直線ax+y—1=0截圓所得的弦長為2b，

則圓心。，4)到直線a久+y-l=。的距離為d='/一陰2=1,

Itz+4—114

---1.-----1=1,解得。=一彳，故選A.

【點評】本題主要考查圓的方程及圓的弦長問題，屬于中檔題.求圓的弦長有兩種方法：一是利用弦長公式

/=VTT7?.|X1-X2|,結合韋達定理求解；二是利用半弦長，弦心距，圓半徑構成直角三角形，利用勾股定

理求解.優(yōu)先采用幾何法.

4.已知直線上m％+y+3zn-遍=0與圓％2+y2=12交于A,5兩點.且A,5在x軸同側，過A,5分別

做x軸的垂線交x軸于G。兩點，。是坐標原點，若|CD|=3,貝IJ/ZO8=()

兀兀兀2兀

A.—B.—C.—D.

6323

【答案】B

【解析】因為直線的方程/:小久+y+3m-V3=?；癁閦n(x+3)+y-V3=0,

所以直線什亙過點(-3,V3),

而點(-3,⑹滿足/+*=12,所以點(-3,⑹在圓/+y2=12上，

不妨設點4(—3,V3),

又|CD|=3,所以點B(0,2V3),

所以|4B|=J(—3/+(V3-2V3)2=2V3,

jr

又圓J+必=12的半徑為2必，所以ANOB是等邊三角形，所以NAO3=§,故選B.

【點評】求直線恒過點的方法：方法一(換元法)：根據直線方程的點斜式直線的方程變成y=kO-a)+6,

將％=a帶入原方程之后，所以直線過定點(a,b);方法二(特殊引路法)：因為直線的中的機是取不同值變

化而變化，但是一定是圍繞一個點進行旋轉，需要將兩條直線相交就能得到一個定點.取兩個〃，的值帶入原

方程得到兩個方程，對兩個方程求解可得定點.

元22

5.橢圓—一；+?3=l(m〉0)的焦點為&、F2,上頂點為2,若/KAE,=；,則機=()

m~+1m3

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】C

%y____________

【解析】在橢圓一;----=機〉0）中，a=+1,b=m,c=Va2-b2=1,

m+1m-

如下圖所示:

因為橢圓工+%=1（%〉°）的上頂點為點”’焦點為小F2'所以3川=1也1=即

JI____

ZfJAZs=—,&4尸2為等邊三角形，則M&l=1&尸21即AW+l=a=2c=2,

因此，m=\/3,故選C.

【點評】本題考了橢圓焦點三角形的相關計算，屬于中檔題.

22

6y

設92分別為雙曲線左=1（。〉0力〉0）的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點P,滿足

一記

|P耳|=|￡月|且尸2到直線Pa的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的離心率為（）

1+不-I+A/755

D.----------------------c.一D.-

3343

【答案】D

【解析】依題意|尸閭=|耳閭，可知心?汨是一個等腰三角形，尸2在直線P0的投影是中點,

根據雙曲線定義可知|PFil-IPF2I=2a,所以|P&|=2a+2c,

由勾股定理可知|耳耳「=（a+c）2+（2a）2=（2c『,

整理可得3c2—2ac—5a2=0,BP3e2-2e-5=0,解得e=；,故選D.

【點評】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩

種方法:

①求出a,c,代入公式e=￡;

a

②只需要根據一個條件得到關于a,b,c的齊次式，結合=c2-a?轉化為許。的齊次式，然后等式（不等

式）兩邊分別除以a或a?轉化為關于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

二、填空題.

7.過拋物線f=4x的焦點廠的直線/與拋物線交于A,2兩點，若|2F|=4,貝必。48（。為坐標原點）的

面積為.

…I4A/3

【答案】匚一

【解析】由題意知，F(xiàn)（l,0）,不妨設4（/，打）在第一象限，

\AF\=%+1=4,%1=3,—2V3,

設B[2，%），左AB==6，

3—1

AB-.y=V3（x—1）,

聯(lián)立方程<',（）,整理可得3%2—1。％+3=。，解得％,%=?

[y2=4x323

=曰。外聞+曰。斗|%|=^^-

故答案為手.

【點評】本題考了拋物線的相關定義，直線與拋物線結合考查，屬于中檔題.

三、解答題.

8.已知橢圓。：j+5=1（。>>>0）的離心率為F，左、右焦點分別為6、F2.設P是橢圓C上一點,

ab2

滿足PF2,無軸，歸周=g.

（I）求橢圓C的標準方程;

（2）過&且傾斜角為45。的直線I與橢圓C相交于4,B兩點，求ANOB的面積.

I答案】⑴<+/=1；⑵孚?

c_A/3

a2

b21

【解析】(1)由條件可知一二一,解得a=2,b=1,c=V3

所以橢圓C的標準方程是?+丁2=1.

(2)設直線Z：x=y—百,

%=y-退

直線/與橢圓方程聯(lián)立《刀2,得5y2—2V5y—1=0,

—+y2=1

4'

SAAOB=^'X|^^I|X|);I-

【點評】本題考查直線與橢圓的位置關系，考查橢圓的相關知識，屬于中檔題.

/V2

9.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓二+*=1(。>>>0)的長軸長為6,且經過點。

2為左頂點，8為下頂點，橢圓上的點P在第一象限，P4交y軸于點C,P8交》軸于點。.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)若。3+2。。=0,求線段P4的長；

(3)試問：四邊形ABC。的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

【答案】(1)]+J=l；(2)之,沙；(3)是定值，定值為6.

9415

【解析】(1)解：由題意得2a=6,解得a=3,

X2v293

把點Q的坐標代入橢圓C的方程一7+9=1,得7為+7T=1,

礦b14a2b“

由于a=3,解得b=2,

r2y2

所以所求的橢圓的標準方程為二+J=1.

94

(2)解：因為。8+2。。=0,則得。C=—5。3=(0,1),即C(0,l),

又因為4(—3,0),所以直線4P的方程為y=g(x+3).

lz27

y=§(x+3)X-——

x——327241

由《,解得＜(舍去)或＜E,即得「5

221515J,

%q_y=024

—I——：1y=—

[94-15

24^0

所以|AP|=

15

即線段4P的長為筆。.

(3)由題意知，直線P8的斜率存在，可設直線=—2(女〉g]

令y=。，得

y=kx-2

36k

由＜X2y2，得(4/+9)/_36k%=0,解得汽=0(舍去)或%~~—y,

—+2_=i4+9左2

194

18左2—8?'36k1842—8、

所以"E'即0

、4+9左2'4+9左2)

18/一8

2(30、

于是直線4P的方程為y=T^—x(x+3)，即產-------^(x+3),

3(34+2)')

1+4左2

2(302),即小。―1

令x=0,得y=--------

3k+23k+2)

所以四邊形4BDC的面積等于gx|AD|x忸C13左+212k,

3---------------二6,

r-、3左+2,2k3左+2

即四邊形力BDC的面積為定值.

【點評】本題考查求橢圓標準方程，考查直線與橢圓相交問題，解題方法是解析幾何的基本方法：寫出直線方

程求出交點坐標，得出線段長度.對定值問題，設出直線方程得出各交點坐標，計算出四邊形面積即可得.

Y2

=l(a＞b＞0)的離心率是5拋物線E:/=4y的焦點產

10.在平面直角坐標系久Oy中，橢圓C:-r+

a

是橢圓C的一個頂點.

(I)求橢圓C的方程;

(2)設直線/不經過F,且與C相交于A,8兩點，若直線凡4與FB的斜率之和為-1,證明：/過定點.

【答案】⑴y+/=l；(2)證明見解析.

【解析】(1)因為拋物線E:/=4y的焦點F(0,1)是橢圓C的一個頂點,

所以b=l,由e=￡=jl上=g,解得a=2,

aa2

2

則橢圓方程為1+y2=1.

(2)①當斜率不存在時，設Z:x=m,A(m,yj,B(m,一yj,

,??直線凡4與直線FB的斜率的和為-1,

4

kFA+kFB=—~~~-+°~-=-l,解得ni=2,

xAxBmm

此時1過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足；

②當斜率存在時，設Z：y=依+t,(tH1),A(xltyj,B(x2,y2)>

聯(lián)立」,,,整理得(1+M2)久2+8就*+4/-4=0,

X+4y-=4

8kt4/—4…

X,+x=-----7,二-----r①

1-21+4812l+4k2

■.?直線凡4與FB直線的斜率的和為-1,

-1y-1jq(AX+r-l)2Ax%+(%-1)(七+%2)

,k-k22i二—1,②

一^FA丁^FB

%工2%%/2

2k

①代入②得77r-1,

.t=—2k—1,此時/=—64k,存在k,使得/>。成立,

二直線/的方程為y=——2k-1,

當x=2時，y=-1,

.過定點(2,-1).

【點評】定點問題的常見解法：①假設定點坐標，根據題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方

程與參數(shù)無關，故得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即所求定點；②從特殊位置

入手，找出定點，再證明該點適合題意.

一X2V2=l（a>>>0）的左右焦點分別為0,F,離心率為;，橢圓C上的點到點

11.已知橢圓。：）十不2

ab

6,4的距離之和等于4.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）是否存在過點P（2,1）的直線1與橢圓C相交于不同的兩點4,B,滿足園?麗=兩2?若存在，求出直

線珀勺方程；若不存在，請說明理由.

22]

咯案】⑴3+女=1;⑵存在直緞滿足條件，其方程為廠產

cl

a2<7=2

,所以IC=1

【解析】（1）由題意得2a=4

a2=b2+c2b=y/3

故橢圓C的標準方程為一+當=1.

43

（2）若存在滿足條件的直線2,則直線的勺斜率存在，設其方程為y=k（x-2）+l.

代入橢圓C的方程得（3+4左2）f一8左（2左—l）x+16F—16左一8=0.

設4,B兩點的坐標分別為（%i，%），鼠，%），

所以/=[—8左（2左-I）]2-4（3+4公）（16左2—16左一8）=32（6左+3）>0,所以左〉一g,

84（24-1）16左2—16人-8

且為+=-------5—,中2----------------------；——?

123+4公123+4公

因為兩.方=兩2,即（%一2）（4—2）+（%—1）（%—1）=：,

5

所以a—2）（々一2）（i+左2）=怛河「9=],

即[玉%2—2（Xj+々）+4]（1+左2）=工.

16尸—16左—828M24—1）”［（］?圖4+4左2

所以3+4左2.3+4左213+4左2―，解得左=-

今乙

又因為上〉一』,所以左=1.

22

所以存在直線I滿足條件，其方程為7=!》.

【點評】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：

(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；

(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、

三角形的面積等問題.

?高頻易錯題

一、選擇題.

1■已知直線匕:x+my+7=0和%：(小-2)久+3y+2ni=0互相平行，則實數(shù)m等于()

A.-1或3B.-1C.-3D.1或一3

【答案】A

【解析】丫兩條直線乙:x+my+7=。和％(m-2)x+3y+2m=?；ハ嗥叫校?/p>

.1.1x3—m(m-2)=0,解得m=-1或m=3.

若爪=-1,貝lJ4：x—y+7=0與5一3x+3y—2=0平行，滿足題意；

若m=3,貝lJk：x+3y+7=0與+3y+6=0平行，滿足題意，

故選A.

【點評】本題考查了兩條直線平行的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

2.已知拋物線y=/上點P到頂點的距離等于它到準線的距離，則點尸的坐標為()

【答案】A

【解析】根據拋物線的定義，拋物線上的點到焦點下的距離等于其到準線的距離,

從而得到點P到焦點F的距離等于其到頂點。的距離，

所以點尸在線段。尸的垂直平分線上，

因為拋物線的方程為y=所以其焦點的坐標為

0+711J2

從而得到點尸的縱坐標為=將y=§代入拋物線的方程，得到X=土、-,

(應11

所以點的坐標為±—，故選

PI48)A.

【點評】該題考查的是有關拋物線上點的坐標的求解問題，涉及到的知識點有拋物線的定義，線段中垂線上點

的特征，熟練掌握基礎知識是解題的關鍵.

3.拋物線卜*的準線方程為()

A.冗=----B.x=——C.V=-1D.V=1

1616

【答案】C

19

【解析】拋物線y=-x的標準方程為產=4y,

4

所以p=2,§=1,準線方程為y=-1,故選C.

【點評】本題考點為拋物線的基本性質，屬于基礎題.

二、填空題.

y2爐

4.已知圓c：/+y2-i6y+48=0與雙曲線石：一一7T=1(。＞0力＞0)的漸近線相切，則E的離心率

ab

為.

【答案】當

【解析】由％2+y2-16y+48=0,得％2+(y—8)2=42,

所以圓心c(o,8),半徑r=4,

22

雙曲線E:—7T=1(。＞0,6＞0)的一條漸近線為ax-by=0,

ab~

|-8耳8b

由題意得圓心到漸近線的距離d==一=4,

J'/——+/Lc

所以b=《c,所以a=Jc2_/y2=-c,所以6=￡

22a3

故答案為孚.

【點評】關鍵點點睛：本題的關鍵點是正確求出雙曲線的漸近線方程，直線與圓相切等價于圓心到直線的距離

等于半徑，可得a,b,c之間的關系，即可求離心率.

?精準預測題

一、選擇題.

1.若直線11：%+仍/+6=0與22：3一2)%+33/+2力=0平行，則。與G間的距離為()

A.冊B.述C.6D.正

33

【答案】B

【解析】因為直線匕：久+by+6=0與％：(6-2)x+3y+2b=0平行,

所以b(6-2)=3,解得6=-1或6=3,

當b=3時，Z1：x+3y+6=0,5乂+3y+6=0此時"與"重合，不符合題意；

2

當b=—1時，l1.x—y+6—0,小一3%+3y—2=0即x—y+§=0,

D-ToJ?

此時k與。間的距離為1=7幣=口一，故選B.

【點評】本題考了兩條直線的平行的判斷以及兩條直線之間的距離，屬于基礎題.

2.已知點P是圓C：(x+a)2+(y-a+3)2=1上一動點，點P關于y軸的對稱點為M,點P關于直線y=x+1的

對稱點為N,則|MN|的最小值是()

A.4B.2V2C.4-V2D.8-2V2

【答案】C

【解析】設P(m,n),貝ljM(—m,九),N(n—1,m+1),

\MN\—d(jn+ri—I)?+—幾+1)2=V2?y/m2+(n—l)2,

則+5-表示圓C上的點P(m,n)到定點A(0,1)的距離，

由題得，圓心C(-a,a—3),半徑r=l,

根據圓的性質可得優(yōu)P|>\AC\-r=y/a2+(a-4)2-1=V2a2-8a+16-1

=j2(a—2)2+8-1>2V2-1,

當且僅當a=2時，等號成立，

所以|MN|=V2\AP\>V2x(2A/2-1)=4一&,

所以|MN|的最小值是4一或，故選C.

【點評】求解本題的關鍵在于，通過設點P(m,n),得到M,N坐標，根據兩點間距離公式,

得到|MN|=&-，如2+（九—1）2,由圓的性質，結合所求式子的幾何意義，即可求解.

22

3.已知雙曲線C：；—萬=1（。＞0力＞0）的左、右焦點分別為尻，F(xiàn)2,且以0F2為直徑的圓與雙曲線C的

右支交于Q,直線&Q與C的左支交于P,若29=而，則雙曲線C的離心率為（）

A.—B.—C,A/3D.45

22

【答案】D

【解析】如圖，連接PF2,QFz-

因為以&尸2為直徑的圓與雙曲線。的右支交于Q,故6Q1QF2.

設|不|=*,貝力麗|=2x,|版|=3x,|而|=3x—2a,|所I=x+2a,

4

由為直角三角形，故O+2a)2=(2x)2+(3x—2a)2,解析x=

故|版|=4a,|碗|=2a,

因為△6QF2為直角三角形，故16a2+4。2=4C2,故6=遮，故選D.

【點評】與焦點三角形有關的離心率的計算，注意利用雙曲線的定義實現(xiàn)邊的關系的轉化,必要時需多次轉化.

「,4

4.若直線/與曲線y=?和圓廠7+V=§都相切，貝山的方程為（）

A.x-2y/2y+2=0B.x+2V2y+2=0

C.x-2y/2y-2=0D.x+2V2y—2=0

【答案】A

【解析】法一：設曲線y=?的切點尸（%0,J^）（%o＞。）,

r1

根據導數(shù)幾何意義可得點P（%o,伍）處的切線斜率k=y|X=A.

所以切線方程/：y-%—x0),即上％—2y/~x^y+x0=0,

因為切線也與圓爐,+丁,4=§相切，

所以圓心到直線的距離等于半徑，即d=T|^xn|==72,解得%o=2或比=-2(舍去),

,1+4/3

所以切線方程為刀―2/y+2=0,故選A.

_L，4

法二：畫出曲線曠=依和圓x~+y'=§的圖形如下:

L,,4

結合圖形可得要使直線/與曲線y=正和圓X2+V2=§都相切，

則直線k>0,橫截距a<。，縱截距b>0,B,C,D均不符合，故選A.

【點評】若已知曲線y=/O)過點P(x0,Vo)，求曲線過點P的切線方程的方法：

(1)當點P(尤0,%)是切點時,切線方程為y—yo=/'(*o)Y%—尤0).

(2)當點P(比0,%)不是切點時，可分以下幾步完成：

第一步：設出切點坐標P'Qi,/Q1));

第二步：寫出過點p，(/,/(/))的切線方程y—/Qi)=rcxj-(%-%!);

第三步：將點P的坐標(Xo,Vo)代入切線方程求出的；

第四步：將修的值代入方程y-/Q1)=尸Q1)?(X-/)可得過點P(x°,y0)的切線方程.

5.(多選)已知點尸(0,2)為圓錐曲線。的焦點，則。的方程可能為()

A.y2=8%B.x2=8y

C.-^+^=l（O<m<4）D,———匕=1（0<a<4）

m-4m4-m/Ji

【答案】BC

【解析】對于A,V=版的焦點坐標為（2,0）,不滿足題意；

對于B,y2=8y的焦點坐標為（0,2）,滿足題意；

2222

對于C,一二+上=1（0<〃2<4）可化為乙—廣一=1（0</<4）,其為焦點在y軸上的雙曲線方程,

m—4mm4—m

且該雙曲線的半焦距c=Vm+4-m=2,滿足題意；

22

對于D,———匕=1（0<4）為焦點在無軸上的雙曲線方程，不滿足題意，

4—mm

故選BC.

【點評】在雙曲線的標準方程中，看/項與外項的系數(shù)的正負，若/項的系數(shù)為正，則焦點在X軸上，

若外項的系數(shù)為正，則焦點在y軸上，即“焦點位置看正負，焦點隨著正的跑”.

二、填空題.

6.若正方形一條對角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為

【答案】-3

【解析】正方形04BC中，對角線OB所在直線的斜率為2,建立如圖直角坐標系,

設對角線OB所在直線的傾斜角為9,則tan8=2,

由正方形性質可