2025屆高考數(shù)學精準突破復習 概率、隨機變量及其分布列易錯點分析

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概率、隨機變量及其分布列易錯點分析易錯點一“基本事件”概念不清致誤易錯點二互斥和對立事件概念不清致誤易錯點三忽略了概率非負的性質(zhì)易錯點四使用概率加法公式?jīng)]有注意成立條件易錯點五條件概率應用錯誤易錯點六混淆互斥事件與相互獨立事件致誤易錯點七對超幾何分布理解不到位，分類不全面易錯點八混淆超幾何分布與二項分布易錯點九條件概率、全概率、貝葉斯公式易錯點一“基本事件”概念不清致誤注意：解題時要充分理解古典概型的定義,驗證基本事件的有限性及等可能性．例1．（2022春·湖南邵陽·高三統(tǒng)考期末）袋子中有5大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球，3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，則摸出的2個球都是黃球的概率為__________. 【分析】求出從中不放回地依次隨機摸出2個球的基本事件，求出摸出的2個球都是黃球的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.【詳解】由題意可給這五個球分別標上號碼,紅球為1,2,黃球為3,4,5,可得從中不放回地依次隨機摸出2個球，共有基本事件如下，,共10個,其中摸出的2個球都是黃球的基本事件有共個，故摸出的2個球都是黃球的概率為，故答案為：變式1：將4個男生和2個女生隨機排成一行，則2個女生不相鄰的概率為___________.變式2：（2021·全國甲卷·理科T10）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A. B. C. D.【分析】采用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，分2個0相鄰和2個0不相鄰進行求解.【詳解】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.反思感悟：古典概型強調(diào)所有基礎(chǔ)事件等可能性，要注意變式1和變式2的區(qū)別,不要無腦套公式.易錯點二互斥和對立事件概念不清致誤注意：互斥和對立事件研究的是兩個事件之間的關(guān)系;互斥事件：事件A與事件B不能同時發(fā)生對立事件：事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的例1．（2023·廣西柳州·柳州高級中學校聯(lián)考模擬預測）從數(shù)學必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個事件是（

）A．至少有一本政治與都是數(shù)學 B．至少有一本政治與都是政治C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學 D．恰有1本政治與恰有2本政治【分析】總的可能的結(jié)果為“兩本政治”，“兩本數(shù)學”，“一本數(shù)學一本政治”，然后寫出各個事件包含的事件，結(jié)合互斥事件與對立事件的概念，即可得出答案.【詳解】從裝有2本數(shù)學和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書，可能的結(jié)果有：“兩本政治”，“兩本數(shù)學”，“一本數(shù)學一本政治”，“至少有一本政治”包含事件：“兩本政治”，“一本數(shù)學一本政治”.對于A，事件“至少有一本政治”與事件“都是數(shù)學”是對立事件，故A錯誤；對于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，兩個事件是包含關(guān)系，不是互斥事件，故B錯誤；對于C，事件“至少有一本數(shù)學”包含事件：“兩本數(shù)學”，“一本數(shù)學一本政治”，因此兩個事件都包含事件“一本數(shù)學一本政治”，不是互斥事件，故C錯誤；對于D，“恰有1本政治”表示事件“一本數(shù)學一本政治”，與事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不對立，故D正確.故選:D.例2．（2023春·湖南湘潭·高三湘鋼一中?？奸_學考試）（多選）將，，，這4張卡片分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得一張卡片，則（

）A．“甲得到卡片”與“乙得到卡片”為對立事件B．“甲得到卡片”與“乙得到卡片”為互斥但不對立事件C．甲得到卡片的概率為D．甲、乙2人中有人得到卡片的概率為【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義判斷選項A，B，根據(jù)古典概型概率公式判斷C，D.【詳解】事件“甲得到卡片”與“乙得到卡片”不可能同時發(fā)生，所以事件“甲得到卡片”與“乙得到卡片”為互斥事件，隨機試驗的結(jié)果可能是“丙得到卡片”所以事件“甲得到卡片”與“乙得到卡片”有可能都不發(fā)生，所以事件“甲得到卡片”與“乙得到卡片”不是對立事件，所以A錯誤，B正確；隨機試驗將，，，這4張卡片分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得一張卡片的樣本空間含個基本事件，事件甲得到卡片包含基本事件個，所以事件甲得到卡片的概率為，C正確；事件甲、乙2人中有人得到卡片包含的基本事件數(shù)為，所以事件甲、乙2人中有人得到卡片的概率為.D正確.故選：BCD.易錯點三忽略了概率非負的性質(zhì)注意：每個概率大于0，并且注意概率和為1例1．（2022秋·上海青浦·高二上海市青浦高級中學校考階段練習）若隨機事件互斥，發(fā)生的概率均不等于0，且分別為，，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】由隨機事件互斥，根據(jù)互斥事件概率的性質(zhì)列不等式組求解.【詳解】因為隨機事件互斥，發(fā)生的概率均不等于0，且分別為，則，即，解得故答案為：例2．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）（多選）已知離散型隨機變量X的分布列如下，則（

）X1234PA． B． C． D．【分析】根據(jù)分布列中概率的性質(zhì)、數(shù)學期望、方差等知識確定正確答案.【詳解】由題意可知，，解得或．當時，，故，A不正確，B正確.，C正確．，則．D正確．故選：BCD易錯點四使用概率加法公式?jīng)]有注意成立條件注意：概率加法公式是指當事件為互斥事件時，則有，否則只能使用一般的概率加法公式（或者叫容斥原理，請思考三個事件的一般概率加法公式是什么？）例1．（2023·全國·高三專題練習）已知事件A與事件相互獨立，且，則（

）A． B． C． D．【分析】由題意兩個相互獨立事件的和事件的概率應該為兩事件概率之和減去這兩事件同時發(fā)生的概率，可得答案.【詳解】由題意事件A與事件相互獨立，,故選：B．例2．（2022秋·高三單元測試）（多選）下列四個命題中，假命題有（

）A．對立事件一定是互斥事件B．若為兩個事件，則C．若事件彼此互斥，則D．若事件滿足，則是對立事件【分析】根據(jù)對立事件和互斥事件的關(guān)系可判斷A；根據(jù)事件的和事件的概率可判斷B；舉反例可判斷C，D,【詳解】對于A，因為對立事件一定是互斥事件，A正確；對B，當且僅當A與B互斥時才有，對于任意兩個事件，滿足，B不正確；對C，若事件彼此互斥，不妨取分別表示擲骰子試驗中的事件“擲出1點”，“擲出2點”，“擲出3點”，則，所以C不正確；對于D，例如，袋中有大小相同的紅、黃、黑、藍4個球，從袋中任摸一個球，設(shè)事件A={摸到紅球或黃球}，事件B={摸到黃球或黑球），滿足，但事件A與B不互斥，也不對立，D錯誤，故選：BCD.易錯點五條件概率應用錯誤注意：樣本空間不同，在中，事件成為樣本空間;在中，樣本空間仍為，因而有例1．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期中）已知A，B，C為隨機事件，則下列表述中不正確的是（

）A． B．C． D．【分析】根據(jù)條件概率和獨立事件概率公式依次判斷選項即可得到答案.【詳解】對選項A，當事件為獨立事件，則，故A錯誤；對選項B，當事件為互斥事件時，，故B錯誤；對選項C，，故C正確；對選項D，，故D正確.故答案為：AB例2．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學一模）（多選）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，第2，3臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起，第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，．隨機取一個零件，記“零件為次品”，“零件為第臺車床加工”，，，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【分析】由全概率公式和條件概率依次判斷4個選項即可．【詳解】對于A：因為，故A錯誤；對于B：因為，故B正確；對于C：因為，，所以，故C正確；對于D：由上可得，又因為，故D錯誤，故選：BC．易錯點六混淆互斥事件與相互獨立事件致誤注意：兩事件互斥是指同一次試驗中兩事件不能同時發(fā)生;兩事件相互獨立是指不同試驗下，二者互不影響，滿足;例1．（2023春·全國·高三專題練習）已知，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．與互斥不對立 B．與對立C．與相互獨立 D．與既互斥又獨立【分析】利用計算出，可得到則能得到與不互斥，不對立；再利用算出【詳解】由可得，因為，則與不互斥，不對立，由可得，因為，所以與相互獨立，故選：C例2．（2023秋·吉林·高三吉林一中?？茧A段練習）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：“向上的點數(shù)為i”，其中，“向上的點數(shù)為奇數(shù)”，則下列說法正確的是（

）A．與B互斥 B． C．與相互獨立 D．【分析】對于選項中的事件，分別寫出對應的基本事件構(gòu)成的集合，依次分析，即可.【詳解】對于A，，，與B不互斥，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，與不能同時發(fā)生，是互斥事件，不是相互獨立事件，故C錯誤；對于D，，，，故D正確.故選：D.易錯點七對超幾何分布理解不到位，分類不全面注意：在形式上超幾何分布的模型常由較為明顯的兩部分組成例1．（2023·河南洛陽·校聯(lián)考三模）某校為了調(diào)查網(wǎng)課期間學生在家鍛煉身體的情況，隨機抽查了150名學生，并統(tǒng)計出他們在家的鍛煉時長，得到頻率分布直方圖如圖所示．(1)求a的值，并估計鍛煉時長的平均數(shù)（同組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；(2)從鍛煉時長分布在，，，的學生中按分層抽樣的方法抽出7名學生，再從這7名學生中隨機抽出3人，記3人中鍛煉時長超過40分鐘的學生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合頻率的性質(zhì)求，進而可求平均數(shù)；（2）根據(jù)分層抽樣求各層抽取的人數(shù)，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.【詳解】（1）由題意可得：，解得，樣本數(shù)據(jù)在，，，，，的頻率分別為0.06，0.10，0.12，0.36，0.24，0.12，則平均值為，故估計鍛煉時長的平均數(shù).（2）20分鐘到60分鐘中各組的頻率比為，所以應抽人，抽取人，抽取人，抽取人．∴X的所有可能取值為0，1，2，3．，，，，∴X分布列為0123∴．易錯點八混淆超幾何分布與二項分布注意：（1）超幾何分布的特點是：=1\*GB3①整體一般由兩部分組成,比如“男生、女生”“正品、次品”等；=2\*GB3②總體一般是有限個.（2）超幾何分布主要應用于抽查產(chǎn)品,摸不同類型的小球等模型（3）注意特殊背景下的“超幾何分布”被轉(zhuǎn)化為“二項分布”,如從兩類對象中不放回地抽取個元素,當兩類對象的總數(shù)量很大時,超幾何分布近似于二項分布.例1．（2023春·高三課時練習）袋中有6個白球?3個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取2次，每次取1個球.(1)若每次抽取后都放回，設(shè)取到黑球的次數(shù)為，求的分布列和期望；(2)若每次抽取后都不放回，設(shè)取到黑球的個數(shù)為，求的分布列和期望.【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學期望：(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望：【分析】（1）根據(jù)題意滿足二項分布，建立二項分布模型，得到的可能取值，利用二項分布計算概率，列出分布列即可；（2）根據(jù)題意可得滿足超幾何分布，得出的可能取值，分別計算其概率，列出分布列即可求得.【詳解】（1）由題意，每次抽取后都放回，取得黑球的次數(shù)的可能取值為，其中每次抽取到黑球的概率均為，所以2次取球可以看成2次的獨立重復試驗，則，可得：，，，所以隨機變量的分布列為：012；（2）若每次抽取后都不放回，取到黑球的個數(shù)的可能取值為，可得，所以隨機變量的分別列為：012.易錯點九條件概率、全概率、貝葉斯公式知識點一條件概率的概念一般地，設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．知識點二全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)，我們稱該公式為全概率公式．反思感悟“化整為零”求多事件的全概率問題(1)如圖，P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)．(2)已知事件B的發(fā)生有各種可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B發(fā)生的可能性，就是各種可能情形Ai發(fā)生的可能性與已知在Ai發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的可能性的乘積之和．*知識點三貝葉斯公式（核心在于理解“先驗概率”和“后驗概率”）A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiPB|Ai,PB)＝eq\f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1,2，…，n.總結(jié)來說，貝葉斯公式是條件概率的一種應用，它允許我們根據(jù)新的證據(jù)或數(shù)據(jù)來更新對某個事件發(fā)生概率的估計;貝葉斯公式更多地應用于統(tǒng)計推斷和機器學習領(lǐng)域，通過更新先驗概率來得到后驗概率，從而進行決策或預測.例1．（2022春·重慶·高三校聯(lián)考期中）一袋中共有5個大小相同的球，其中紅色球1個，藍色球、黑色球各2個，某同學從中隨機任取2個，若取得的2個中有一個是藍色球，則另一個是紅色球或黑色球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】列舉出所有情況，統(tǒng)計滿足條件的情況，利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】設(shè)1個紅色球為，2個藍色球為，2個黑色球為，從中隨機任取2個，事件“取得的2個中有一個是藍色球”包含的基本事件有：7種，其中“另一個是紅色球或黑色球”有6種，所以所求概率，故選：D例2．在倉庫某類產(chǎn)品中，來自甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%,35%,20%，各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%,2%,5%，現(xiàn)從中任取一件．(1)求取到的是次品的概率；(2)在倉庫中的該類產(chǎn)品隨機的取一個產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)為次品，如果你是倉庫管理者，該如何追究三個廠家的責任？解記事件A1＝“該產(chǎn)品為甲廠生產(chǎn)的”，事件A2＝“該產(chǎn)品為乙廠生產(chǎn)的”，事件A3＝“該產(chǎn)品為丙廠生產(chǎn)的”，事件B＝“該產(chǎn)品是次品”．則Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3兩兩互斥，由題設(shè)，知P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%.(1)由全概率公式得P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)＝3.5%.(2)由貝葉斯公式(或條件概率定義)，得P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,PB)＝eq\f(18,35)>eq\f(1,2).即次品最有可能來自甲廠，應首先向甲廠追責.反思感悟條件概率的內(nèi)含(1)公式P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,PB)反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之間的互化關(guān)系．(2)P(A1)稱為先驗概率，P(A1|B)稱為后驗概率，其反映了事情A1發(fā)生的可能在各種可能原因中的比重．變式訓練：（長沙市·2023屆高三上學期適應考T20）為了調(diào)動大家積極學習黨的二十大精神，某市舉辦了黨史知識的競賽．初賽采用“兩輪制”方式進行，要求每個單位派出兩個小組，且每個小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格．某單位派出甲、乙兩個小組參賽，在初賽中，若甲小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且各個小組所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.（1）若該單位獲得決賽資格的小組個數(shù)為X，求X的數(shù)學期望；（2）已知甲、乙兩個小組都獲得了決賽資格，決賽以搶答題形式進行．假設(shè)這兩組在決賽中對每個問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率．若最后一道題被該單位的某小組搶到，且甲、乙兩個小組搶到該題的可能性分別是45%，55%，該題如果被答對，計算恰好是甲小組答對的概率．

【小問1詳解】設(shè)甲乙通過兩輪制的初賽分別為事件則由題意可得，的取值有則的分布列為：所以【小問2詳解】設(shè)甲乙兩組對每個問題回答正確的概率分別為，兩組在決賽中對每個問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率，則一個題被甲小組搶到為事件，則，設(shè)一個題答對為事件，則該題如果被答對，恰好是甲小組答對即為

課后練習：1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）一個集合中含有4個元素，從該集合的子集中任取一個，則所取子集中含有3個元素的概率為（

）A． B． C． D．2．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·高二赤峰二中校考階段練習）從甲、乙等名專家中任選人前往某地進行考察，則甲、乙人中至少有人被選中的概率為（

）A． B． C． D．3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）甲袋中裝有4個白球，2個紅球和2個黑球，乙袋中裝有3個白球，3個紅球和2個黑球.先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋，再從乙袋中隨機取出一球.用分別表示甲袋取出的球是白球、紅球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，則（

）A．兩兩不互斥 B．C．與B是相互獨立事件 D．4．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）將甲、乙、丙、丁4名志愿者隨機派往①，②，③三個社區(qū)進行核酸信息采集，每個社區(qū)至少派1名志愿者，A表示事件“志愿者甲派往①社區(qū)”；B表示事件“志愿者乙派往①社區(qū)”；C表示事件“志愿者乙派往②社區(qū)”，則（

）A．事件A、B同時發(fā)生的概率為B．事件A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率為C．事件A與B相互獨立D．事件A與C為互斥事件5．（2022·全國·高三專題練習）如圖，某系統(tǒng)由A，B，C，D四個零件組成，若每個零件是否正常工作互不影響，且零件A，B，C，D正常工作的概率都為，則該系統(tǒng)正常工作的概率為（

）A． B．C． D．6．（2022秋·高三課時練習）（多選）一個不透明的袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個，現(xiàn)從中任意取出兩個球.設(shè)事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一個黑球”，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．P和R是互斥事件B．P和Q是對立事件C．Q和R是對立事件D．Q和R是互斥事件，但不是對立事件7．（2023·山東聊城·統(tǒng)考模擬預測）某個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，設(shè)M=“該家庭中有男孩、又有女孩”，N=“該家庭中最多有一個女孩”，則下列結(jié)論正確的是()A．若該家庭中有兩個小孩，則M與N互斥B．若該家庭中有兩個小孩，則M與N不相互獨立C．若該家庭中有三個小孩，則M與N不互斥D．若該家庭中有三個小孩，則M與N相互獨立8．（2022秋·高三課時練習）若隨機事件、互斥，、發(fā)生的概率均不等于0，且分別為，，則實數(shù)a的取值范圍為__________．9．（2022·高三課時練習）若離散型隨機變量的分布列如下，則常數(shù)的值為______．01

答案與解析：1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）一個集合中含有4個元素，從該集合的子集中任取一個，則所取子集中含有3個元素的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合子集的概念與性質(zhì)及古典概型的概率公式求解即可.【詳解】4個元素的集合所有子集共個，設(shè)此集合為，事件A：“所取子集中含有3個元素”，則事件A的基本事件個數(shù)為4個，即，，，，所以.故選：D．2．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·高二赤峰二中?？茧A段練習）從甲、乙等名專家中任選人前往某地進行考察，則甲、乙人中至少有人被選中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】列舉出所有基本事件和滿足題意的基本事件，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】記其他名專家分別為，將甲、乙分別記為，從人中任選人，則有，，，，，，，，，，，，，，，共種情況；其中甲、乙至少有人被選中的有，，，，，，，，，共種情況，甲、乙至少有人被選中的概率.故選：D.3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）甲袋中裝有4個白球，2個紅球和2個黑球，乙袋中裝有3個白球，3個紅球和2個黑球.先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋，再從乙袋中隨機取出一球.用分別表示甲袋取出的球是白球、紅球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，則（

）A．兩兩不互斥 B．C．與B是相互獨立事件 D．【答案】B【分析】對于A，由互斥事件的定義判斷，對于B，由條件概率的公式求解即可，對于C，由獨立事件的定義判斷，對于D，由求解【詳解】對于A，由題意可知，，不可能同時發(fā)生，所以，，兩兩互斥，所以A不正確；對于B，由題意可得，所以，所以B正確；對于C，因為，，，所以，所以與B不是相互獨立事件，所以C錯誤；對于D，由C選項可知D是錯誤的.故選：B.4．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）將甲、乙、丙、丁4名志愿者隨機派往①，②，③三個社區(qū)進行核酸信息采集，每個社區(qū)至少派1名志愿者，A表示事件“志愿者甲派往①社區(qū)”；B表示事件“志愿者乙派往①社區(qū)”；C表示事件“志愿者乙派往②社區(qū)”，則（

）A．事件A、B同時發(fā)生的概率為B．事件A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率為C．事件A與B相互獨立D．事件A與C為互斥事件【答案】B【分析】根據(jù)互斥獨立的概率公式乘法公式和判定方法，可判定A、C不正確；利用條件概率的計算公式，可判定B正確，結(jié)合互斥事件的概念與判定，舉例可判定D錯誤.【詳解】由題意，每個社區(qū)至少派1名志愿者的所有可能情況有種分法，事件A表示志愿者甲派往①社區(qū)的分法有，所以,同理可得，，則，所以A、B不相互獨立，所以A、C不正確；又由，所以B正確；例如：事件D:甲、乙派到①，丙派到②，丁派到③和事件E:甲派到①，乙、丙派到②，丁派到③，此時事件A與事件C同時發(fā)生，所以A與C不互斥，所以D錯誤.故選：B.5．（2022·全國·高三專題練習）如圖，某系統(tǒng)由A，B，C，D四個零件組成，若每個零件是否正常工作互不影響，且零件A，B，C，D正常工作的概率都為，則該系統(tǒng)正常工作的概率為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】要使系統(tǒng)正常工作，則A、B要都正?；蛘逤正常，D必須正常，然后利用獨立事件，對立事件概率公式計算.【詳解】記零件或系統(tǒng)能正常工作的概率為，該系統(tǒng)正常工作的概率為:,故選：C.6．（2022秋·高三課時練習）（多選）一個不透明的袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個，現(xiàn)從中任意取出兩個球.設(shè)事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一個黑球”，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．P和R是互斥事件B．P和Q是對