專題05 古典概型與幾何概型（理科）-2024年高考數(shù)學(xué)母題題源解密（全國）含解析

專題05古典概型與幾何概型（理科）-2024年高考數(shù)學(xué)母題題源解密（全國通用）含解析專題05古典概型與幾何概型考向一古典概型【母題來源】2022年高考全國甲卷（理科）【母題題文】從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為________．【答案】.【試題解析】從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)，有個(gè)結(jié)果，這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有個(gè)，故所求概率．故答案為：．【命題意圖】本題主要考查古典概型的的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為抵擋題目，是歷年高考的熱點(diǎn)．常見的命題角度有：（1）列舉法求古典概型的概率；（2）列表法求古典概型的概率；（3）樹狀圖法求古典概型的概率．【得分要點(diǎn)】1理解典型其計(jì)算式.2會計(jì)一隨事含的本件及件生的率.考向二幾何概型【母題來源】2021年高考全國卷（理科）【母題題文】在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【試題解析】設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)椋O(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋謩e求出對應(yīng)的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的的概率公式即可解出．【詳解】如圖所示：設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?，其面積為．設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，即圖中的陰影部分，其面積為，所以【命題意圖】本題主要考查幾何概型的的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為抵擋題目，是歷年高考的熱點(diǎn)．常見的命題角度有：由長度比求幾何概型的概率；（2）由面積比求幾何概型的概率；（3）由體積比求幾何概型的概率；（4）由角度比求幾何概型的概率.【得分要點(diǎn)】1能用模方估概.2了解何型意.一、單選題1．（2022·河南許昌·高二期末（理））若分配甲、乙、丙、丁四個(gè)人到三個(gè)不同的社區(qū)做志愿者，每個(gè)社區(qū)至少分配一人，每人只能去一個(gè)社區(qū)．若甲分配的社區(qū)已經(jīng)確定，則乙與甲分配到不同社區(qū)的概率是（

）A． B． C． D．2．（2022·廣東茂名·二模）甲、乙、丙三人是某商場的安保人員，根據(jù)值班需要甲連續(xù)工作2天后休息一天，乙連續(xù)工作3天后休息一天，丙連續(xù)工作4天后休息一天，已知3月31日這一天三人均休息，則4月份三人在同一天工作的概率為（）A． B． C． D．3．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測）某國計(jì)劃采購疫苗，現(xiàn)在成熟的疫苗中，三種來自中國，一種來自美國，一種來自英國，一種由美國和德國共同研發(fā)，從這6種疫苗中隨機(jī)采購三種，若采購每種疫苗都是等可能的，則買到中國疫苗的概率為（

）A． B． C． D．4．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））為推動就業(yè)與培養(yǎng)有機(jī)聯(lián)動、人才供需有效對接，促進(jìn)高校畢業(yè)生更加充分更高質(zhì)量就業(yè)，教育部今年首次實(shí)施供需對接就業(yè)育人項(xiàng)目．現(xiàn)安排甲、乙兩所高校與3家用人單位開展項(xiàng)目對接，若每所高校至少對接兩家用人單位，則兩所高校的選擇涉及到全部3家用人單位的概率為（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））2022年2月4日，北京冬季奧林匹克運(yùn)動會開幕式于當(dāng)晩20點(diǎn)整在國家體育場隆重舉行.在開幕式入場環(huán)節(jié)，91個(gè)國家（地區(qū)）按順序入場.入場順序除奧林匹克發(fā)祥地希臘（首先入場）、東道主中國（最后入場）、下屆2026年冬季奧運(yùn)會主辦國意大利（倒數(shù)第二位入場）外，其余代表團(tuán)根據(jù)簡體中文的筆劃順序入場，詮釋了中文之美．現(xiàn)若以抽簽的方式?jīng)Q定入場順序（希臘、中國、意大利按照傳統(tǒng)出場順序，不參與抽簽），已知前83位出場的國家（地區(qū)）均已確定，僅剩烏茲別克斯坦、北馬其頓、圣馬力諾、安道爾、阿根廷、泰國末抽簽，求烏茲別克斯坦、安道爾能緊挨出場的概率（

）A． B． C． D．6．（2022·北京·北大附中三模）有一副去掉了大小王的撲克牌（每副撲克牌有4種花色，每種花色13張牌），充分洗牌后，從中隨機(jī)抽取一張，則抽到的牌為“紅桃”或“”的概率為（

）A． B． C． D．7．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）定義：，當(dāng)時(shí)，稱這個(gè)數(shù)為波動數(shù)，由組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，波動數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．8．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測（理））在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)差的絕對值大于的概率為（

）A． B． C． D．9．（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測）若在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，則直線與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)的概率為（

）A． B． C． D．10．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））甲、乙兩人約定某日上午在地見面，若甲是7點(diǎn)到8點(diǎn)開始隨機(jī)到達(dá)，乙是7點(diǎn)30分到8點(diǎn)30分隨機(jī)到達(dá)，約定，先到者沒有見到對方時(shí)等候10分鐘，則甲、乙兩人能見面的概率為（

）.A． B． C． D．二、填空題11．（2022·上海青浦·二模）受疫情防控需求，現(xiàn)有四位志愿者可自主選擇到三個(gè)不同的核酸檢測點(diǎn)進(jìn)行服務(wù)，則三個(gè)核酸檢測點(diǎn)都有志愿者到位的概率是_________.（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）12．（2022·黑龍江·哈爾濱三中一模（理））關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)的值：先請120名同學(xué)，每人隨機(jī)寫下一個(gè)x、y都小于1的正實(shí)數(shù)對，再統(tǒng)計(jì)x、y兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形時(shí)的數(shù)對的個(gè)數(shù)m，最后再根據(jù)m來估計(jì)的值．假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是，那么的估計(jì)值為______．13．（2022·河南·模擬預(yù)測）現(xiàn)有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字-1，0，-2，3的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余完全相同，將它們背面朝上洗均勻，隨機(jī)抽取一張記作m不放回，再從余下的卡片中取一張記作n．則點(diǎn)在第二象限的概率為______．14．（2021·江西·新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））寒假即將來臨，小明和小強(qiáng)計(jì)劃去圖書館看書，約定上午8：00~8：30之間的任何一個(gè)時(shí)間在圖書館門口會合．兩人商量好提前到達(dá)圖書館的人最多等待對方10分鐘，如果對方10分鐘內(nèi)沒到，那么等待的人先進(jìn)去．則兩人能夠在圖書館門口會合的概率是_________________專題05古典概型與幾何概型考向一古典概型【母題來源】2022年高考全國甲卷（理科）【母題題文】從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為________．【答案】.【試題解析】從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)，有個(gè)結(jié)果，這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有個(gè)，故所求概率．故答案為：．【命題意圖】本題主要考查古典概型的的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為抵擋題目，是歷年高考的熱點(diǎn)．常見的命題角度有：（1）列舉法求古典概型的概率；（2）樹狀圖法求古典概型的概率．【得分要點(diǎn)】1理解典型其計(jì)算式.2會計(jì)一隨事含的本件及件生的率.考向二幾何概型【母題來源】2021年高考全國卷（理科）【母題題文】在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【試題解析】設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)椋O(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，分別求出對應(yīng)的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的的概率公式即可解出．【詳解】如圖所示：設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?，其面積為．設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋磮D中的陰影部分，其面積為，所以【命題意圖】本題主要考查幾何概型的的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為抵擋題目，是歷年高考的熱點(diǎn)．常見的命題角度有：由長度比求幾何概型的概率；（2）由面積比求幾何概型的概率；（3）由體積比求幾何概型的概率；（4）由角度比求幾何概型的概率.【得分要點(diǎn)】1能用模方估概.2了解何型意.一、單選題1．（2022·河南許昌·高二期末（理））若分配甲、乙、丙、丁四個(gè)人到三個(gè)不同的社區(qū)做志愿者，每個(gè)社區(qū)至少分配一人，每人只能去一個(gè)社區(qū)．若甲分配的社區(qū)已經(jīng)確定，則乙與甲分配到不同社區(qū)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出甲單獨(dú)去分配的社區(qū)，甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社區(qū)，從而得到總的分配方法，再計(jì)算出甲乙分配到同一舍去的方法，得到乙與甲分配到不同社區(qū)的方法，根據(jù)古典概型求概率公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】甲單獨(dú)去分配的社區(qū)，有將乙，丙，丁三人分為兩組，再和另外兩個(gè)社區(qū)進(jìn)行全排列，有種方法；甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社區(qū)，其余兩人和另外兩個(gè)社區(qū)進(jìn)行全排列，有種方法；其中甲乙分配到同一社區(qū)的方法有種，則乙與甲分配到不同社區(qū)的方法有種，所以乙與甲分配到不同社區(qū)的概率是故選：B2．（2022·廣東茂名·二模）甲、乙、丙三人是某商場的安保人員，根據(jù)值班需要甲連續(xù)工作2天后休息一天，乙連續(xù)工作3天后休息一天，丙連續(xù)工作4天后休息一天，已知3月31日這一天三人均休息，則4月份三人在同一天工作的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】列舉出三人所有工作日，由古典概型公式可得.【詳解】解：甲工作的日期為1，2，4，5，7，8，10，…，29.乙工作的日期為1，2，3，5，6，7，9，10，…，30.丙工作的日期為1，2，3，4，6，7，8，9，…，29.在同一天工作的日期為1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29∴三人同一天工作的概率為．故選：B．3．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測）某國計(jì)劃采購疫苗，現(xiàn)在成熟的疫苗中，三種來自中國，一種來自美國，一種來自英國，一種由美國和德國共同研發(fā)，從這6種疫苗中隨機(jī)采購三種，若采購每種疫苗都是等可能的，則買到中國疫苗的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由對立事件的概率公式計(jì)算．【詳解】沒有買到中國疫苗的概率為，所以買到中國疫苗的概率為．故選：D．4．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））為推動就業(yè)與培養(yǎng)有機(jī)聯(lián)動、人才供需有效對接，促進(jìn)高校畢業(yè)生更加充分更高質(zhì)量就業(yè)，教育部今年首次實(shí)施供需對接就業(yè)育人項(xiàng)目．現(xiàn)安排甲、乙兩所高校與3家用人單位開展項(xiàng)目對接，若每所高校至少對接兩家用人單位，則兩所高校的選擇涉及到全部3家用人單位的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由古典概型與對立事件的概率公式求解即可【詳解】因?yàn)槊克咝Ｖ辽賹觾杉矣萌藛挝?，所以每所高校共有種選擇，所以甲、乙兩所高校共有種選擇，其中甲、乙兩所高校的選擇涉及兩家用人單位的情況有種，所以甲、乙兩所高校的選擇涉及到全部3家用人單位的概率為，故選：D5．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））2022年2月4日，北京冬季奧林匹克運(yùn)動會開幕式于當(dāng)晩20點(diǎn)整在國家體育場隆重舉行.在開幕式入場環(huán)節(jié)，91個(gè)國家（地區(qū)）按順序入場.入場順序除奧林匹克發(fā)祥地希臘（首先入場）、東道主中國（最后入場）、下屆2026年冬季奧運(yùn)會主辦國意大利（倒數(shù)第二位入場）外，其余代表團(tuán)根據(jù)簡體中文的筆劃順序入場，詮釋了中文之美．現(xiàn)若以抽簽的方式?jīng)Q定入場順序（希臘、中國、意大利按照傳統(tǒng)出場順序，不參與抽簽），已知前83位出場的國家（地區(qū)）均已確定，僅剩烏茲別克斯坦、北馬其頓、圣馬力諾、安道爾、阿根廷、泰國末抽簽，求烏茲別克斯坦、安道爾能緊挨出場的概率（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出這六個(gè)國家的所有可能出場的順序的排列數(shù)，再求出烏茲別克斯坦、安道爾能緊挨出場的排列數(shù)，將即烏茲別克斯坦、安道爾看作一個(gè)國家，利用捆綁法，根據(jù)古典概型的概率公式求得答案.【詳解】由題意得，烏茲別克斯坦、北馬其頓、圣馬力諾、安道爾、阿根廷、泰國所有可能的出場順序有種，其中烏茲別克斯坦、安道爾能緊挨出場的順序有種,故烏茲別克斯坦、安道爾能緊挨出場的概率為，故選：B6．（2022·北京·北大附中三模）有一副去掉了大小王的撲克牌（每副撲克牌有4種花色，每種花色13張牌），充分洗牌后，從中隨機(jī)抽取一張，則抽到的牌為“紅桃”或“”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式即可得結(jié)果.【詳解】依題意，樣本空間包含樣本點(diǎn)為52，抽到的牌為“紅桃”或“A”包含的樣本點(diǎn)為16，所以抽到的牌為“紅桃”或“”的概率為，故選：C.7．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）定義：，當(dāng)時(shí)，稱這個(gè)數(shù)為波動數(shù)，由組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，波動數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先判斷出由組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有120種，列舉出波動數(shù)有個(gè)，即可求出波動數(shù)的概率.【詳解】由組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)一共有種.而構(gòu)成波動數(shù)，需滿足，有：31425，31524，41325，41523，51324，51423，32415，32514，42315，42513，52314，52413，21435，21534，53412，43512一共16個(gè).所以波動數(shù)的概率為.故選：B.8．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測（理））在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)差的絕對值大于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)在上取的兩數(shù)為x，y，滿足，畫出不等式表示的平面區(qū)域，結(jié)合面積比的幾何概型，即可求解.【詳解】設(shè)在上取的兩數(shù)為x，y，則，即，或．畫出可行域，如圖所示，則，或所表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，易求陰影部分的面積為，故所求概率；故選：C.9．（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測）若在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，則直線與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求出雙曲線漸近線的斜率，根據(jù)已知條件可得出的取值范圍，結(jié)合幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】雙曲線的漸近線斜率為，則，即，故所求概率為，故選：B.10．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））甲、乙兩人約定某日上午在地見面，若甲是7點(diǎn)到8點(diǎn)開始隨機(jī)到達(dá)，乙是7點(diǎn)30分到8點(diǎn)30分隨機(jī)到達(dá)，約定，先到者沒有見到對方時(shí)等候10分鐘，則甲、乙兩人能見面的概率為（

）.A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】從早上7點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，設(shè)甲經(jīng)過十分鐘到達(dá)，乙經(jīng)過十分鐘到達(dá)，可得、滿足的不等式線組對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D的正方形，而甲乙能夠見面，、滿足的平面區(qū)域是圖中的四邊形．分別算出圖中正方形和四邊形的面積，根據(jù)面積型幾何概型的概率公式計(jì)算可得．【詳解】解：從早上7點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，設(shè)甲經(jīng)過十分鐘到達(dá)，乙經(jīng)過十分鐘到達(dá)，則、滿足，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，得到圖中的正方形，若甲乙能夠見面，則、滿足，該不等式對應(yīng)的平面區(qū)域是圖中的四邊形，，因此，甲乙能見面的概率故選：B．二、填空題11．（2022·上海青浦·二模）受疫情防控需求，現(xiàn)有四位志愿者可自主選擇到三個(gè)不同的核酸檢測點(diǎn)進(jìn)行服務(wù)，則三個(gè)核酸檢測點(diǎn)都有志愿者到位的概率是_________.（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）【答案】【解析】【分析】先計(jì)算總共的選擇數(shù)，再計(jì)算三個(gè)核酸檢測點(diǎn)都有志愿者到位的數(shù)量，即可得答案.【詳解】解：四個(gè)志愿者總的選擇共種，要滿足三個(gè)核酸檢測點(diǎn)都有志愿者到位，則必有2個(gè)人到同一核酸檢測點(diǎn)，故從4人中選擇2人出來，共有種，再將這2人看成整體1人和其他2人共3人，選擇三個(gè)核酸檢測點(diǎn)，共種，所以，所以.故答案為：.12．（2022·黑龍江·哈爾濱三中一模（理））關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)的值：先請120名同學(xué)，每人隨機(jī)寫下一個(gè)x、y都小于1的正實(shí)數(shù)對，再統(tǒng)計(jì)x、y兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形時(shí)的數(shù)對的個(gè)數(shù)m，最后再根據(jù)m來估計(jì)的值．假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是，那么的估計(jì)值為______．【答案】3.2【解析】【分析】表示的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，x、y兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角