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廣東省汕尾市西南中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有是一個符合題目要求的1.某地區(qū)有300家商店,其中大型商店有30家,中型商店75家,小型商店195家。為了掌握各商店的營業(yè)情況,要從中抽取一個容量為20的樣本,若采用分層抽樣的方法,抽取的中型商店數(shù)是A
2
B
3
C
5
D13參考答案:C14.已知正方形ABCD的邊長為1.記以A為起點(diǎn),其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為、、;以C為起點(diǎn),其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為、、.若i,j,k,l∈且i≠j,k≠l,則·的最小值是
.參考答案:-53.設(shè)全集U=R,A={x|﹣x2﹣3x>0},B={x|x<﹣1},則圖中陰影部分表示的集合為()A.{x|x>0} B.{x|﹣3<x<﹣1} C.{x|﹣3<x<0} D.{x|x<﹣1}參考答案:B【考點(diǎn)】Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算.【分析】由﹣x2﹣3x>0可求得﹣3<x<0,可得A,從而可求得A∩B.【解答】解:∵A={x|﹣x2﹣3x>0}={x|﹣3<x<0},B={x|x<﹣1},圖中陰影部分表示的集合為A∩B,∴A∩B={x|﹣3<x<﹣1}.故選B.4.給出下列不等式:①a2+1≥2a;②≥2;③x2+≥1.其中正確的個數(shù)是 ()A.0
B.1
C.2
D.3參考答案:C5.復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位),則z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案:C略6.已知共線,則圓錐曲線+y2=1的離心率為()A. B.2 C. D.或2參考答案:A【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì).【分析】根據(jù)題意,由共線,結(jié)合向量平行的可得1×6﹣(﹣2)×(﹣m)=0,解可得m=3,可得該圓錐曲線為橢圓,由橢圓的幾何性質(zhì)可得c的值,由離心率公式計算可得答案.【解答】解:根據(jù)題意,若共線,則有1×6﹣(﹣2)×(﹣m)=0,解可得m=3,則圓錐曲線的方程為:+y2=1,為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,且a=,b=1;則c==,其離心率e===;故選:A.7..多面體MN-ABCD的底面ABCD為矩形,其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖,其中正(主)視圖為等腰梯形,側(cè)(左)視圖為等腰三角形,則AM的長
(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:8.在一次比賽中某隊(duì)共有甲,乙,丙等5位選手參加,賽前用抽簽的方法決定出場的順序,則乙、丙都不與甲相鄰出場的概率是()A. B. C. D.參考答案:D【考點(diǎn)】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.【分析】先求出基本事件總數(shù)n==120,再求出乙、丙都不與甲相鄰出場包含的基本事件個數(shù)m=++=36,由此能求出乙、丙都不與甲相鄰出場的概率.【解答】解:在一次比賽中某隊(duì)共有甲,乙,丙等5位選手參加,賽前用抽簽的方法決定出場的順序,基本事件總數(shù)n==120,乙、丙都不與甲相鄰出場包含的基本事件個數(shù)m=++=36,∴乙、丙都不與甲相鄰出場的概率p==.故選:D.【點(diǎn)評】本題考查概率的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意等可能事件概率計算公式的合理運(yùn)用.9.若實(shí)數(shù),滿足,且,則稱與互補(bǔ).記,那么是與互補(bǔ)的A.必要而不充分的條件
B.充分而不必要的條件C.充要條件
D.既不充分也不必要的條件參考答案:C10.若方程(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=1(0≤θ<2π)的任意一組解(x,y)都滿足不等式y(tǒng)≥x,則θ的取值范圍是(
)A.[]
B.[]
C.[]
D.[]參考答案:D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)集合,集合,若,
.參考答案:12.已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值是_____
.參考答案:5【考點(diǎn)】線性規(guī)劃【試題解析】作可行域:
因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)為:所以z的幾何意義為:目標(biāo)函數(shù)線縱截距的相反數(shù)。
所以當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線過B(3,1)時,13.已知,若,則
。參考答案:-214.設(shè)函數(shù),觀察:根據(jù)以上事實(shí),由歸納推理可得:當(dāng)且時,
參考答案:15.在極坐標(biāo)中,已知點(diǎn)為方程所表示的曲線上一動點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值為____________.參考答案:16.如圖,在同一個平面內(nèi),向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為α,且tanα=7,與的夾角為45°。若=m+n(m,n∈R),則m+n=
參考答案:3由tanα=7可得sinα=,cosα=,根據(jù)向量的分解,易得,即,即,即得,,所以m+n=3.17.(5分)函數(shù)y=log2(2x﹣3)的定義域是
.參考答案:()考點(diǎn): 對數(shù)函數(shù)的定義域.專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: 直接由對數(shù)式的真數(shù)大于0求得x的取值集合得答案.解答: 由2x﹣3>0,得x.∴函數(shù)y=log2(2x﹣3)的定義域是().故答案為:().點(diǎn)評: 本題考查了對數(shù)型函數(shù)的定義域,是基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.設(shè),.(1)求證:.(2)求證:.參考答案:(1)證明見解析;(2)證明見解析;【分析】(1)由基本不等式可得到,,,,三個式子相加可得到結(jié)論;(2)由,再結(jié)合基本不等式證明,進(jìn)而可得到結(jié)論.【詳解】證明:(1)因?yàn)?所以,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.三個式子相加得,,故.(2)由題意,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.所以.因?yàn)椋?,即.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的證明,考查了基本不等式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于中檔題.19.已知等比數(shù)列{an}滿足,n∈N*.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若不等式Sn>kan﹣2對一切n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.參考答案:考點(diǎn):數(shù)列與不等式的綜合;數(shù)列遞推式.3794729專題:綜合題;等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析:(Ⅰ)利用等比數(shù)列{an}滿足,確定數(shù)列的公比與首項(xiàng),即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)求出Sn,再利用不等式Sn>kan﹣2,分離參數(shù),求最值,即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解答:解:(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵,n∈N*,∴a2+a1=9,a3+a2=18,…(2分)∴,…(4分)
又2a1+a1=9,∴a1=3.∴.
…(7分)(Ⅱ),…(9分)∴3(2n﹣1)>k?3?2n﹣1﹣2,∴.
…(11分)令,f(n)隨n的增大而增大,∴.∴.∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為.…(14分)點(diǎn)評:本題考查數(shù)列遞推式,考查等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查恒成立問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.20.過拋物線y2=2px(p為不等于2的素數(shù))的焦點(diǎn)F,作與x軸不垂直的直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn),線段MN的垂直平分線交MN于點(diǎn)P,交x軸于點(diǎn)Q.(1)求PQ的中點(diǎn)R的軌跡L的方程;(2)證明:軌跡L上有無窮多個整點(diǎn),但L上任意整點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均不是整數(shù).參考答案:【考點(diǎn)】J3:軌跡方程.【分析】(1)由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo),再由題意設(shè)出直線l的方程為y=k(x﹣)(k≠0),聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系得到P點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合PQ⊥l,求得PQ的方程,再設(shè)R的坐標(biāo)為(x,y),再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得PQ的中點(diǎn)R的軌跡L的方程;(2)直接得到對任意非零整數(shù)t,點(diǎn)(p(4t2+1),pt)都是l上的整點(diǎn),說明l上有無窮多個整點(diǎn).再反設(shè)l上由一個整點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)的距離為正數(shù)m,不妨設(shè)x>0,y>0,m>0,然后結(jié)合p是奇素數(shù)、點(diǎn)在拋物線上及整點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)的距離為正數(shù)m,逐漸推出矛盾,說明l上任意整點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均不是整數(shù).【解答】(1)解:y2=2px的焦點(diǎn)F(),設(shè)直線l的方程為y=k(x﹣)(k≠0),由,得,設(shè)M,N的橫坐標(biāo)為x1,x2,則,得,,由PQ⊥l,得PQ的斜率為﹣,故PQ的方程為,代入yQ=0,得,設(shè)R的坐標(biāo)為(x,y),則,整理得:p(x﹣p)=,∴PQ的中點(diǎn)R的軌跡L的方程為4y2=p(x﹣p)(y≠0);(2)證明:顯然對任意非零整數(shù)t,點(diǎn)(p(4t2+1),pt)都是l上的整點(diǎn),故l上有無窮多個整點(diǎn).反設(shè)l上由一個整點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)的距離為正數(shù)m,不妨設(shè)x>0,y>0,m>0,則,∵p是奇素數(shù),于是y整除p,由②可推出x整除p,再由①可推出m整除p,令x=px1,y=py1,m=pm1,則有,由③,④得:,于是,即(8x1+1+8m1)(8x1+1﹣8m1)=17,則8x1+1+8m1=17,8x1+1﹣8m1=1,得x1=m1=1,故y1=0,有y=py1=0,與l上的點(diǎn)滿足y≠0矛盾.∴軌跡l上有無窮多個整點(diǎn),但l上任意整點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均不是整數(shù).21.(本小題滿分12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,離心率,是橢圓
上的動點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)若直線與的斜率乘積,動點(diǎn)滿足,(其中實(shí)數(shù)為常數(shù))。問是否存在兩個定點(diǎn),,使得為定值?若存在,求,的坐標(biāo),若不存在,說明理由;(Ⅲ)若點(diǎn)在第一象限,且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,點(diǎn)在軸上的射影為,連接并延長交橢圓于點(diǎn).證明:.參考答案:(I)有題設(shè)可知:∴
(2分)又,∴,(3分)∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為(4分)(II)設(shè)P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), 則由得(x,y)=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2),即x=x1+x2,y=y(tǒng)1+y2.(5分)因?yàn)辄c(diǎn)A、B在橢圓x2+2y2=2上,因此x1x2+2y1y2=0,所以x2+2y2=2+2.即(7分)所以P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn),設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值.又因c=因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F1
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