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文檔簡介
全等三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解全等形和全等三角形的概念2、了解常見的全等三角形的根本圖形3、理解全等三角形的性質(zhì)觀察以下圖形有什么特點?全等形定義:能夠完全重合的圖形叫做全等形。全等圖形的形狀相同,大小相等。全等三角形:能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個全等三角形互相重合后,重合的頂點叫做對應(yīng)頂點,重合的邊叫做對應(yīng)邊,重合的角叫做對應(yīng)角。
記作:?ABC≌?DEF讀作:?ABC全等于?DEF思考:你能否直接從?ABC≌?DEF中判斷出所有的對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角?一一對應(yīng)哦!?ABC≌?DEF其中點A和點D,點B和點E,點C和點F是對應(yīng)頂點;AB和DE,BC和EF,AC和DF是對應(yīng)邊;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是對應(yīng)角。想一想:?ABC≌?DEF,對應(yīng)邊有什么關(guān)系?對應(yīng)角有什么關(guān)系?全等三角形的性質(zhì):全等三角形的對應(yīng)邊相等。全等三角形的對應(yīng)角相等。幾種常見的全等三角形根本圖形1、平移幾種常見的全等三角形根本圖形2、旋轉(zhuǎn)幾種常見的全等三角形根本圖形3、對折從以上例子可以看出:一個三角形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后得到的三角形與原來的三角形全等。并且這兩個三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等。隨堂練習(xí)1、判斷題〔1〕全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等〔對〕〔2〕全等三角形的周長相等,面積也相等〔對〕〔3〕面積相等的三角形是全等三角形?!插e〕〔4〕周長相等的三角形是全等三角形?!插e〕2、如圖,△ABC≌△AED,且∠BAC=25°,∠B=35°,BD=3cm,CD=2cm,求出∠ADE的度數(shù)和線段DE的長度。BCEDA課堂小結(jié)全等三角形:能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。全等三角形的性質(zhì):全等三角形的對應(yīng)邊相等全等三角形的對應(yīng)角相等找對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法:1、由全等三角形的記法確定對應(yīng)邊和對應(yīng)角2、特殊位置法:在兩個全等三角形中,公共角、對頂角必為對應(yīng)角,公共邊必為對應(yīng)邊。3、數(shù)量對應(yīng)法:在兩個全等三角形中〔不等邊〕,在兩個全等三角形中,最長邊對最長邊;最小邊對最小邊;最大角對最大角;最小角對最小角。三角形全等的判定2024/5/5知識回憶ABCDEF1、什么叫做全等三角形?能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。2、全等三角形有什么性質(zhì)?全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等。
AB=DE
BC=EF
AC=DF∠A=∠D∠B=∠E∠C=∠F2024/5/5小明家的衣櫥上鑲有兩塊全等的三角形玻璃裝飾物,其中一塊被打碎了,媽媽讓小明到玻璃店配一塊回來,請你說說小明該怎么辦?情境問題2024/5/5探究三角形全等的條件:只給一個條件:一組對應(yīng)邊相等或者一組對應(yīng)角相等。1、只給一條邊2、只給一個角60°60°60°2024/5/5給兩個條件:1、一邊一內(nèi)角2、兩角3、兩邊30°30°30°30°30°50°50°2cm2cm4cm4cm2024/5/5給三個條件:1、三條邊2、三個角3、兩邊一角4、兩角一邊2024/5/5三角形全等判定定理定理一:有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。可以簡寫成“邊邊邊”或“sss".用數(shù)學(xué)語言表述:在△ABC和△DEF中,AB=DEBC=EFAC=DF∴△ABC≌△DEF(SSS)ABCDEF2024/5/5如以下圖,△ABC是一個鋼架,AB=AC,AD是連接A與BC中點D的支架.求證:△ABC≌△DEF2024/5/5如圖,△ABC是一個鋼架,AB=AC,AD是連接A與BC中點D的支架。求證△ABD≌△ACDADCB證明:∵D是BC的中點∴BD=DC在△ABD和△ACD中,AB=ACBD=CDAD=AD
∴△ABD≌△ACD(SSS)2024/5/5證明的書寫步驟1、準(zhǔn)備條件:證全等時要用的間接條件要先證好;2、三角形全等書寫步驟:
寫出在哪兩個三角形中;擺出三個條件用大括號括起來;寫出全等結(jié)論。歸納2024/5/5你會用刻度尺和圓規(guī)畫全等三角形嗎?ABC3cm5cm6cm畫法:1、畫線段BC=6cm2、分別以點B、C為圓心,以3cm、5cm長為半徑畫弧,交于點A;3、連結(jié)AB,AC△ABC就是所求三角形。2024/5/5課堂小結(jié)1、三角形全等的判定定理:
2、用刻度尺和圓規(guī)畫三角形
有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。可以簡寫成“邊邊邊”或“sss".三角形全等的判定三角形全等判定定理定理二:
兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。簡寫成“邊角邊”或“SAS".用數(shù)學(xué)語言表示為:在△ABC和△DEF中,AB=DE∠B=∠EBC=EF∴△ABC≌△DEF(SAS)ABCDEF例1:如圖,AC=BD,∠CAB=∠DBA,你能判斷BC=AD嗎?說明理由。ABCD證明:在△ABC與△BAD中AC=BD∠CAB=∠DBAAB=BA∴△ABC≌△BAD(SAS)∴BC=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等)例2:如圖,在△AEC和△ADB中,AE=AD,AC=AB請說明△AEC≌△ADB的理由。證明:在△AEC和△ADB中,
AE=AD∠A=∠AAC=AB
∴△AEC≌△ADB(SAS)AEBDC例3:如圖,AE=AF,∠AEF=∠AFE,BE=CF,求證:AB=ACABCEF證明:∵∠AEF=∠AFE∴180°-∠AEF=180°-∠AFE∴∠AEB=∠AFC在△ABE和△ACF中,AE=AF∠AEB=∠AFCBE=CF∴△ABE≌△ACF(SAS)∴AB=AC(全等三角形的對應(yīng)邊相等)作一個角等于角:∠AOB求作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOBBAO作法:1.以點O為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交OA,OB于點C,D;2.畫一條射線O′A′,以點O′為圓心,OC長為半徑畫弧,交O′A′于點C′3.以點C′為圓心,CD長為半徑畫弧,與前弧交于點D′4.過點D′畫射線O′B′。∴∠A′O′B′就是所求的角。課堂小結(jié)1、三角形全等的判定定理:
2、用刻度尺和圓規(guī)畫三角形3、作一個角等于角有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。可以簡寫成“邊邊邊”或“sss".兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。簡寫成“邊角邊”或“SAS".三角形全等的判定1、已經(jīng)學(xué)過的兩個三角形全等判定定理是什么?有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等??梢院唽懗伞斑呥呥叀被颉皊ss".兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。簡寫成“邊角邊”或“SAS".2、怎樣作一個角等于角?3、怎樣作一個三角形?知識回顧三角形全等判定定理定理三:有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.簡寫成“角邊角”或“ASA”。用數(shù)學(xué)語言表示為:在△ABC和△DEF中,∠B=∠EBC=EF∠C=∠F∴△ABC≌△DEF(ASA)ABCDEF例1、如圖,O是AB的中點,∠A=∠B,求證:△AOC≌△BODABCDO例1、如圖,O是AB的中點,∠A=∠B,求證:△AOC≌△BOD證明:∵O是AB的中點∴OA=OB在△AOC和△BOD中∠A=∠BOA=OB∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD〔ASA〕ABCDO例2、:點D在AB上,點E在AC上,BE和CD相交于點O,AB=AC,∠B=∠C,求證:AD=AE.BAECDO例2、:點D在AB上,點E在AC上,BE和CD相交于點O,AB=AC,∠B=∠C,求證:AD=AE.證明:在△ADC和△AEB中∠A=∠AAC=AB∠C=∠B∴△ADC≌△AEB〔ASA〕∴AD=AEBAECDO三角形全等判定定理定理四:兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。簡寫成“角角邊”或“AAS”。用數(shù)學(xué)語言表示為:在△ABC和△DEF中,∠B=∠E∠C=∠FAC=DF∴△ABC≌△DEF(AAS)ABCDEF例1、如圖,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分別為B、D,∠1=∠2,求證:AB=ADBAD1C2例1、如圖,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分別為B、D,∠1=∠2,求證:AB=AD證明:∵AB⊥BC,AD⊥DC∴∠B=∠D=90°在△ABC和△ADC中,∠B=∠D∠1=∠2AC=AC∴△ABC≌△ADC〔AAS〕∴AB=ADBAD1C2例2、如圖,點B、E、C、F在同一條直線上,AB∥DE,AC∥DF且AC=DF,求證:BE=FC.ABCDEF例2、如圖,點B、E、C、F在同一條直線上,AB∥DE,AC∥DF且AC=DF,求證:BE=FC.證明:∵AB∥DE∴∠B=∠DEF∵AC∥DF∴∠ACB=∠DFE在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF∠ACB=∠DFEAC=DF∴△ABC≌△DEF〔AAS〕∴BC=EF∴BC-EC=EF-EC即BE=FCABCDEF定理五:斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。簡寫成“斜邊,直角邊”或“HL”。用數(shù)學(xué)語言表示為:在Rt△ACB和Rt△DFE中,AC=DFAB=DE∴Rt△ACB≌Rt△DFE〔HL〕ACBDEF課堂小結(jié)1、三角形全等的判定方法:SSS、SAS、ASA、AAS、HL2、題目中假設(shè)條件不夠,那么應(yīng)該看看是否有隱含條件可以用,如對頂角、公共邊、公共角等,假設(shè)條件還是不夠,那么應(yīng)該確定還要找出哪些條件。〔1〕根據(jù)找條件兩邊,那么可以找夾角〔SAS〕,找直角〔HL〕,找另一邊〔SSS〕一邊一角,那么可以找任一角〔AAS或ASA〕,找其中一角的對邊〔SAS〕兩角,那么可以找兩角的夾邊〔ASA〕,找一角的對邊〔AAS〕〔2〕添加輔助線通常輔助線的做法有做平行,垂直,延長中線,截長補短等方法,需根據(jù)題目實際情況加以應(yīng)用角平分線的性質(zhì)1、角平分線的概念
一條射線把一個角成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的角平分線。2、點到直線的距離
從直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫做點到直線的距離。復(fù)習(xí)回顧1、如右圖,是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎?DCBEA探究1大膽說出你的想法!證明:在△ACD和△ACB中AD=AB〔〕DC=BC〔〕AC=AC〔公共邊〕∴△ACD≌△ACB〔SSS〕∴∠CAD=∠CAB〔全等三角形的對應(yīng)角相等〕∴AC是∠A的角平分線經(jīng)過上面的探索,你能得到作角的平分線的方法嗎?2、尺規(guī)作角的平分線畫法:1.以O為圓心,適當(dāng)長為半徑作弧,交OA于點M,交OB于點N.2.分別以M,N為圓心.大于1/2MN的長為半徑作?。畠苫≡凇希粒希碌膬?nèi)部交于C.3.作射線OC.射線OC即為所求.動手操作:畫一個角的角平分線。ABOMNCAOBED探究2將角AOB對折,再折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得到什么結(jié)論?操作測量題:OC是∠AOB的平分線,點P是射線OC上的任意一點,1.操作測量:取點P的三個不同的位置,分別過點P作PD⊥OA,PE⊥OB,點D、E為垂足,測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表:2.觀察測量結(jié)果,猜測線段PD與PE的大小關(guān)系?pDEOACB
PDPE第一次第二次第三次
角平分線的性質(zhì)定理定理1角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。用數(shù)學(xué)語言表示為:∵OP是∠AOB的角平分線PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE定理作用:證明線段相等BADOPEC你能用三角形全等證明這個性質(zhì)么定理2到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。用數(shù)學(xué)語言表示為:∵PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,PD=PE∴點P在∠AOB的角平分線上定理作用:證明角相等。BADOPE這個你還會證明么?例1、判斷以下各說法是否正確。1、∵如圖,AD平分∠BAC〔〕∴BD=CD(在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。)2、∵如圖,DC⊥AC,DB⊥AB〔〕∴BD=CD(在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。)3、∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DB⊥AB〔〕∴BD=CD(在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。)例2、:如圖,△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.
求證:點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.AMCBNP例2、:如圖,△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.
求證:點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明:過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA,垂足為D、E、F∵BM是△ABC的角平分線,點P在BM上∴PD=PE〔在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等〕同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到邊AB、BC、CA的距離相等AMCBNPDEF課堂小結(jié)1、角平分線的性質(zhì)定理定理1角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。定理2到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。2、角平分線的應(yīng)用證明線段相等,角相等。3、怎樣做角的平分線。軸對稱2024/5/5情境問題這些圖形有什么特點?做一做〔活動〕將同學(xué)們準(zhǔn)備好的一張紙對折后,用筆沿著折線畫一條直線,然后從折疊處剪出一個你喜歡的圖形,想一想,展開后會是一個什么樣的圖形?2024/5/5軸對稱圖形的定義如果一個圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的局部能夠互相重合,這個圖形叫軸對稱圖形。這條直線叫對稱軸。在我們的現(xiàn)實生活中有很多物體的平面圖形是軸對稱圖形,你能舉例說說嗎?2024/5/5
國旗是國家的一個象征,觀察下面的國旗,哪些是軸對稱圖形?試找出它們的對稱軸。試一試2024/5/52024/5/52024/5/5車標(biāo)設(shè)計2024/5/5交通標(biāo)志2024/5/5臉譜藝術(shù)2024/5/5想一想:0-9十個數(shù)字中,哪些是軸對稱圖形?〔搶答〕01234567892024/5/5想一想:以下英文字母中,哪些是軸對稱圖形?ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ2024/5/5觀察以下圖中的每組圖案,你發(fā)現(xiàn)了什么?2024/5/5軸對稱的定義對于兩個圖形,如果沿一條直線折疊后,它們能夠完全重合,那么稱這兩個圖形成軸對稱,這條直線就是對稱軸。互相重合的兩個點,其中一點叫做另一點關(guān)于這條直線的對稱點。成軸對稱的兩個圖形一定全等,全等的兩個圖形不一定軸對稱。軸對稱圖形兩個圖形成軸對稱區(qū)別一個圖形兩個圖形聯(lián)系:1、都是沿一條直線折疊后能夠互相重合。2、都有對稱軸。2024/5/5以下給出的每幅圖形中的兩個圖案是軸對稱嗎?如果是,試著找出它們的對稱軸,并找出一對對稱點。喜喜FFFF(A)(B)(C)(D)2024/5/5猜字游戲:2024/5/5如圖,△ABC和△A‘B’C‘
關(guān)于直線MN對稱,點A’、
B‘、
C’分別是A、B、C的對稱點,線段AA‘、BB’、CC'與直線MN有何關(guān)系?C'A'ACBBMNB'2024/5/5A與A′重合,AP=A′P,∠APM=∠A′PM=90°對稱軸是過對稱點所連線段的中點的垂線。AA′B′BCC′PQSMN2024/5/5線段垂直平分線的定義經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線〔也稱中垂線〕。NMAB2024/5/5畫一畫線段AB的中垂線MN,垂足為C;在MN上任取一點P,連結(jié)PA、PB;
量一量:PA、PB的長,你能發(fā)現(xiàn)什么?PA=PBP1A=P1B……PABMN●P1由此你能得到什么規(guī)律?命題:線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。2024/5/5證一證命題:線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。:如圖,直線MN⊥AB,垂足為C,且AC=CB.點P在MN上.求證:PA=PB證明:∵M(jìn)N⊥AB∴∠PCA=∠PCB在ΔPAC和ΔPBC中,AC=BC∠PCA=∠PCBPC=PC∴ΔPAC≌ΔPBC∴PA=PBABPMNC2024/5/5線段垂直平分線性質(zhì)性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。點P在線段AB的垂直平分線上線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等PA=PBABPMN性質(zhì)定理有何作用?可證明線段相等2024/5/5換一換反過來,如果PA=PB,那么點P是否在線段AB的垂直平分線上?ABPPA=PB點P在線段AB的垂直平分線上2024/5/5線段垂直平分線的判定定理判定定理:和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上。判定定理有何作用?判定一條直線是線段的中垂線。2024/5/5線段垂直平分線性質(zhì)判定定理:和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上。性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上ABPC線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等性質(zhì)定理和判定定理存在什么關(guān)系?題設(shè)和結(jié)論正好相反,是互逆關(guān)系2024/5/5小結(jié)
線段的垂直平分線一、性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點和這條
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