隨機(jī)決策分析方法

隨機(jī)決策分析方法12007年12月27日

第十六章隨機(jī)性決策分析方法22024年5月5日隨機(jī)性決策問題的基本概念；

效用函數(shù)的概念；

效用與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系；

隨機(jī)優(yōu)勢與效用函數(shù)的關(guān)系；案例分析：彩票中的數(shù)學(xué)問題。第2頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

一、問題的引入－彩票與數(shù)學(xué)32024年5月5日

彩票中的數(shù)學(xué)知多少？你們了解彩票嗎？你們買過彩票嗎？你們了解彩票的規(guī)則嗎？No,Idon’tknow!請問幾個(gè)問題：（1）博彩有規(guī)律可尋嗎？（2）現(xiàn)行的各種彩票方案中獎(jiǎng)的可能性有多大？（3）現(xiàn)行的彩票方案合理嗎？哪種方案“好”？（4）我們應(yīng)該如何看待彩票？中國的彩票業(yè)還有多大的發(fā)展空間？我想應(yīng)該有規(guī)律吧！?。∮羞@么懸乎嗎？第3頁,共46頁，2024年2月25日，星期天42024年5月5日

一、問題的引入－彩票與數(shù)學(xué)

“彩票中的數(shù)學(xué)”問題（CUMCM2002-B）近年來“彩票颶風(fēng)”席卷中華大地，巨額誘惑使越來越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“傳統(tǒng)型”和“樂透型”兩種類型?！皞鹘y(tǒng)型”采用“10選6+1”方案：中獎(jiǎng)等級10選6+1（6+1/10）基本號碼特別號碼說明一等獎(jiǎng)abcdefg選7中（6+1）二等獎(jiǎng)abcdef

選7中（6）三等獎(jiǎng)abcdeXXbcdef

選7中（5）四等獎(jiǎng)abcdXXXbcdeXXXcdef選7中（4）五等獎(jiǎng)abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef選7中（3）六等獎(jiǎng)abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef選7中（2）第4頁,共46頁，2024年2月25日，星期天52024年5月5日

一、問題的引入－彩票與數(shù)學(xué)

“彩票中的數(shù)學(xué)”問題（CUMCM2002-B）“樂透型”有多種不同的形式，比如“33選7”的方案和“36選6+1”的方案，中獎(jiǎng)等級33選7（7/33）36選6+1（6+1/36）基本號碼特別號碼說明基本號碼特別號碼說明一等獎(jiǎng)●●●●●●●選7中（7）●●●●●●★選7中（6+1）二等獎(jiǎng)●●●●●●○

★選7中（6+1）●●●●●●

選7中（6）三等獎(jiǎng)●●●●●●○選7中（6）●●●●●○★選7中（5+1）四等獎(jiǎng)●●●●●○○★選7中（5+1）●●●●●○選7中（5）五等獎(jiǎng)●●●●●○○選7中（5）●●●●○○★選7中（4+1）六等獎(jiǎng)●●●●○○○★選7中（4+1）●●●●○○選7中（4）七等獎(jiǎng)●●●●○○○選7中（4）●●●○○○★選7中（3+1）第5頁,共46頁，2024年2月25日，星期天62024年5月5日

一、問題的引入－彩票與數(shù)學(xué)“彩票中的數(shù)學(xué)”問題（CUMCM2002-B）要解決的問題：（1）根據(jù)這些方案的具體情況，綜合分析各種獎(jiǎng)項(xiàng)出現(xiàn)的可能性、獎(jiǎng)項(xiàng)和獎(jiǎng)金額的設(shè)置以及對彩民的吸引力等因素評價(jià)各方案的合理性。（2）設(shè)計(jì)一種“更好”的方案及相應(yīng)的算法，并據(jù)此給彩票管理部門提出建議。（3）給報(bào)紙寫一篇短文，供彩民參考。第6頁,共46頁，2024年2月25日，星期天72024年5月5日

二.隨機(jī)性決策的基本概念

隨機(jī)性決策問題包含兩個(gè)方面：決策人所采取的行動(dòng)方案(決策);問題的自然狀態(tài)(狀態(tài))；

基本特點(diǎn)：后果的不確定性和后果的效用。

后果的不確定性：由問題的隨機(jī)性，使問題會(huì)出現(xiàn)什么狀態(tài)的不確定性，決策人做出決策后會(huì)出現(xiàn)后果的不確定性。后果的效用：后果價(jià)值的量化。由后果的不確定性，對于不同決策后果的效用是不同的。第7頁,共46頁，2024年2月25日，星期天82024年5月5日

1、主觀概率

二.隨機(jī)性決策的基本概念

隨機(jī)性決策問題后果的不確定性是由狀態(tài)的不確定性引起的，狀態(tài)的不確定性不能通過在相同條件下的大量重復(fù)試驗(yàn)來確定其概率分布。實(shí)際中只能由決策人主觀地做出估計(jì)，稱其為主觀概率。

主觀概率遵循客觀概率應(yīng)該遵循的假設(shè)、公理、性質(zhì)等，客觀概率的所有邏輯推理方法均適用于主觀概率。

設(shè)定主觀概率的方法：主觀先驗(yàn)分布法、無信息先驗(yàn)分布法、極大熵先驗(yàn)分布法和利用過去數(shù)據(jù)設(shè)定先驗(yàn)分布法等。第8頁,共46頁，2024年2月25日，星期天客觀(Objective)概率：上述三種定義的概率是在多次重復(fù)試驗(yàn)（隨機(jī)試驗(yàn)）中，隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性的大小的度量，稱為客觀概率。主觀(Subjective)概率：在實(shí)際管理決策中，許多事件的發(fā)生概率是無法通過隨機(jī)試驗(yàn)獲得的，或條件不允許，或事件本身不允許。因此需要一種方法來人為設(shè)定事件發(fā)生的概率，稱為主觀概率。主觀概率是人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)、各方面的知識以及了解到的客觀情況進(jìn)行分析、推理、綜合判斷，對特定事件發(fā)生的可能性的信念（或意見、看法）的度量(Savage,1954)。公理化定義：E是隨機(jī)事件，S是E的樣本空間，對E的每一事件A，對應(yīng)有確定的實(shí)數(shù)p(A)，若p(A)滿足：①非負(fù)性：p(A)≥0；②規(guī)范性：p(S)=1；③列可加性：對兩兩不相容事件Ak，有p(∪kAk)=Σkp(Ak)。(Ai∩Aj=Φ,i≠j)第9頁,共46頁，2024年2月25日，星期天主觀概率—先驗(yàn)分布與先驗(yàn)假設(shè)先驗(yàn)分布(PriorDistribution)：根據(jù)先驗(yàn)信息所確定的概率分布叫先驗(yàn)分布，獲得先驗(yàn)分布是貝葉斯分析的基礎(chǔ)。決策中先驗(yàn)分布的獲得具有高度的主觀性。先驗(yàn)假設(shè)：為使先驗(yàn)分布估計(jì)規(guī)范化，需要做一定的假設(shè)。連通性假設(shè)：指事件A和事件B發(fā)生的可能性是可比的，即p(A)>p(B),p(A)~p(B),p(A)<p(B)必有一個(gè)成立。傳遞性假設(shè)：若對事件A、B、C，有p(A)>p(B),p(B)>p(C),則p(A)>p(C)。（滿足連通性和傳遞性的二元關(guān)系才能構(gòu)成完全序）部分與全體關(guān)系假設(shè)：若事件A是事件B的一部分，則p(B)≥p(A)。第10頁,共46頁，2024年2月25日，星期天主觀概率—先驗(yàn)分布估計(jì):比較法比較法1-離散型（對事件發(fā)生的各種狀態(tài)加以比較確定相對似然率）某氣象專家對當(dāng)年的氣候狀況進(jìn)行評估，認(rèn)為當(dāng)年氣候正常(

1)與受災(zāi)的可能性之比約為3:2；如果受災(zāi)，則水災(zāi)(

2)、旱災(zāi)(

3)的可能性相當(dāng)。據(jù)此，我們可推算出當(dāng)年氣候狀況的先驗(yàn)分布：

(

1)+

(

2)+

(

3)=1;

(

1)/(

(

2)+

(

3))=3/2;

(

2)=

(

3)解得：

(

1)=0.6，

(

2)=0.2，

(

3)=0.2第11頁,共46頁，2024年2月25日，星期天主觀概率—先驗(yàn)分布估計(jì)：比較法比較法2-連續(xù)型離散化：同直方圖法比較賦值選擇一個(gè)似然率最大的子區(qū)間

k作為基準(zhǔn)，設(shè)其相對似然率為Rk，然后給出其他各區(qū)間i相對于k的似然率Ri，則(i)=Ri/ΣRi由決策者給出每兩個(gè)子區(qū)間似然率的比例關(guān)系：rij=(i)/(j)，然后計(jì)算出每個(gè)狀態(tài)i的似然率(i)。變換擬合：同直方圖法第12頁,共46頁，2024年2月25日，星期天主觀概率—先驗(yàn)分布估計(jì)：打賭法打賭法（離散型）設(shè)打賭者(A)的個(gè)人財(cái)產(chǎn)為W。設(shè)事件E發(fā)生時(shí)A獲得收入為p，(p<<W，0<p<1)，不發(fā)生時(shí)A獲得的收入為1-p。調(diào)整p值使A感覺無論事件E是否發(fā)生，其收入基本相同。則事件E發(fā)生的可能性

(E)=1-p。第13頁,共46頁，2024年2月25日，星期天主觀概率—先驗(yàn)分布估計(jì)：直方圖法直方圖法（適合于自然狀態(tài)在實(shí)軸某個(gè)區(qū)間連續(xù)取值）區(qū)間離散化：把的取值范圍劃分為若干子區(qū)間1…

n賦值：估計(jì)每個(gè)區(qū)間的似然率(i)，據(jù)此作出直方圖變換：將直方圖擬合為概率分布函數(shù)F(x)=Σ≤x

()不足之處：區(qū)間數(shù)n難以確定似然率(i)估計(jì)困難F(x)通常有較大的尾部誤差第14頁,共46頁，2024年2月25日，星期天主觀概率—先驗(yàn)分布估計(jì)：分位點(diǎn)法區(qū)間對分法（分位點(diǎn)法）-連續(xù)型確定事件不可能發(fā)生的臨界狀態(tài)取值（如某地區(qū)人口出生率不可能低于9‰，但也不可能超過18‰）；求中位數(shù)：當(dāng)狀態(tài)取值為此值時(shí)，大于或小于此值的狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等（如某地區(qū)人口出生率的中位數(shù)為12.5‰）；確定上下四分位點(diǎn)；確定八分位點(diǎn)（一般僅取到八分位點(diǎn)）。第15頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第16頁,共46頁，2024年2月25日，星期天主觀概率—先驗(yàn)分布估計(jì)：分布函數(shù)法與給定形式的分布函數(shù)相匹配（最常用也容易濫用）[Matlab工具箱：StatisticsToolbox/ProbabilityDistributions]均勻分布（連續(xù)型）：如果隨機(jī)變量落在某個(gè)區(qū)間(a,b)中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性相等，則它服從均勻分布，均勻分布的概率密度函數(shù)為：[Matlab函數(shù)：unifpdf(x,a,b),unifit(DATA)]ab第17頁,共46頁，2024年2月25日，星期天主觀概率—先驗(yàn)分布估計(jì)：分布函數(shù)法二項(xiàng)分布：(離散型)每次隨機(jī)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為p，n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次的概率服從二項(xiàng)分布：[Matlab函數(shù)：binopdf(k,n,p),binofit(k,n)]泊松分布：(離散型)每次隨機(jī)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為p，n次（n→∞，但n*p=

為常數(shù)）獨(dú)立試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次的概率服從泊松分布：[Matlab函數(shù)：poisspdf(k,

),poissfit(DATA)]第18頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共46頁，2024年2月25日，星期天主觀概率—先驗(yàn)分布估計(jì)：分布函數(shù)法正態(tài)分布（高斯分布）：(連續(xù)型)若連續(xù)型隨機(jī)變量

的概率密度函數(shù)為:

則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為、2的正態(tài)分布[Matlab函數(shù)：normpdf(x,

,

),normfit(DATA)]

。參見相關(guān)統(tǒng)計(jì)學(xué)書籍，看看還有哪些分布函數(shù)可供選擇使用？第20頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共46頁，2024年2月25日，星期天222024年5月5日

2、隨機(jī)性決策的效用函數(shù)

二.隨機(jī)性決策的基本概念第22頁,共46頁，2024年2月25日，星期天232024年5月5日

2、隨機(jī)性決策的效用函數(shù)第23頁,共46頁，2024年2月25日，星期天242024年5月5日效用函數(shù)的定義：

2、隨機(jī)性決策的效用函數(shù)第24頁,共46頁，2024年2月25日，星期天252024年5月5日

2、隨機(jī)性決策的效用函數(shù)第25頁,共46頁，2024年2月25日，星期天262024年5月5日

2、隨機(jī)性決策的效用函數(shù)第26頁,共46頁，2024年2月25日，星期天272024年5月5日

實(shí)際中的決策問題對決策人的決策往往是效益和風(fēng)險(xiǎn)并存。不同的決策人對待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度可分為厭惡型、中立型和喜好型。

3、效用與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系

二.隨機(jī)性決策的基本概念問題：決策人對待這一風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度是什么呢？第27頁,共46頁，2024年2月25日，星期天282024年5月5日

3、效用與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系厭惡型:

決策人認(rèn)為冒此風(fēng)險(xiǎn)的期望盈利只等價(jià)于比它低的不冒風(fēng)險(xiǎn)的盈利。喜好型:

對待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度與厭惡型相反的。中立型：介于二者之間的，即決策人認(rèn)為這和不冒任何風(fēng)險(xiǎn)的另一行為盈利a元等價(jià)。這三種不同的態(tài)度可以反映在效用函數(shù)上就是凹函數(shù)，線性函數(shù)和凸函數(shù)。第28頁,共46頁，2024年2月25日，星期天292024年5月5日

3、效用與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系第29頁,共46頁，2024年2月25日，星期天302024年5月5日

實(shí)際中，有的效用函數(shù)曲線呈S型，即在后果的范圍內(nèi)，決策人會(huì)從厭惡風(fēng)險(xiǎn)變?yōu)橄埠蔑L(fēng)險(xiǎn)。

3、效用與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系

(1)反映了決策人的財(cái)產(chǎn)從小到大，對待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度從喜好到厭惡的改變。(2)反映了決策人的財(cái)產(chǎn)從損失到盈利的增加，對待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度從喜好到厭惡的變化。第30頁,共46頁，2024年2月25日，星期天312024年5月5日

4、損失函數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的關(guān)系

二.隨機(jī)性決策的基本概念第31頁,共46頁，2024年2月25日，星期天322024年5月5日4、損失函數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的關(guān)系第32頁,共46頁，2024年2月25日，星期天332024年5月5日

5、隨機(jī)優(yōu)勢與效用函數(shù)

二.隨機(jī)性決策的基本概念

隨機(jī)優(yōu)勢法:在有價(jià)證券問題的研究中常用的一種在一定風(fēng)險(xiǎn)的情況下確定決策的方法。隨機(jī)優(yōu)勢法常用的效用函數(shù)有三種：第33頁,共46頁，2024年2月25日，星期天342024年5月5日

5、隨機(jī)優(yōu)勢與效用函數(shù)

（１）遞增的效用函數(shù)

第34頁,共46頁，2024年2月25日，星期天352024年5月5日

5、隨機(jī)優(yōu)勢與效用函數(shù)

（１）遞增的效用函數(shù)

這種類型的效用函數(shù)僅能反映出財(cái)富與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系，但不能反映出決策人對待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度。第35頁,共46頁，2024年2月25日，星期天362024年5月5日

5、隨機(jī)優(yōu)勢與效用函數(shù)

（２）遞增的凹效用函數(shù)

第36頁,共46頁，2024年2月25日，星期天372024年5月5日

5、隨機(jī)優(yōu)勢與效用函數(shù)

（２）遞增的凹效用函數(shù)

事實(shí)上，可以證明：第37頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

（3）遞減的厭惡風(fēng)險(xiǎn)的效用函數(shù)382024年5月5日

5、隨機(jī)優(yōu)勢與效用函數(shù)

第38頁,共46頁，2024年2月25日，星期天392024年5月5日

（3）遞減的厭惡風(fēng)險(xiǎn)的效用函數(shù)

5、隨機(jī)優(yōu)勢與效用函數(shù)

第39頁,共46頁，2024年2月25日，星期天402024年5月5日1、問題的提出三、案例分析：彩票中的數(shù)學(xué)問題要解決的問題：（1）根據(jù)所給方案的具體情況，綜合分析各種獎(jiǎng)項(xiàng)出現(xiàn)的可能性、獎(jiǎng)項(xiàng)和獎(jiǎng)金額的設(shè)置以及對彩民的吸引力等因素評價(jià)各方案的合理性。（2）設(shè)計(jì)一種“更好”的方案及相應(yīng)的算法，并據(jù)此給彩票管理部門提出建議。（3）給報(bào)紙寫一篇短文，供彩民參考。第40頁,共46頁，2024年2月25日，星期天412024年5月5日

２、問題的分析三、案例分析：彩票中的數(shù)學(xué)問題

評價(jià)一個(gè)方案的優(yōu)劣，或合理性如何，主要取決于彩票公司和彩民兩方面的利益。事實(shí)上，公司和彩民各得銷售總額的50%是確定的，雙方的利益主要就取決于銷售總額的大小，即雙方的利益都與銷售額成正比。問題是怎樣才能有利于銷售額的增加？即公司采用什么樣的方案才能吸引廣大的彩民積極踴躍購買彩票？

第41頁,共46頁，2024年2月25日，星期天422024年5