二階常系數(shù)微分方程

二階常系數(shù)微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程的一般形式為y″+py′+qy=f(x)(p,q是實數(shù))，(12-20)若f(x)≡0，則稱y″+py′+qy=0為二階常系數(shù)齊次線性微分方程；否則，稱y″+py′+qy=f(x)為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程如果y1與y2是齊次方程y″+py′+qy=0的兩個特解，而且y1/y2不等于常數(shù)，則y=C1y1+C2y2是齊次方程的通解，其中C1,C2為任意常數(shù).證

因為y1與y2是齊次方程的兩個特解，所以有y″1+py′1+qy1=0，y″2+py′2+qy2=0，而y′=C1y′1+C2y′2，y″=C1y″1+C2y″2，代入齊次方程的左端，得y″+py′+qy=(C1y″1+C2y″2)+p(C1y′1+C2y′2)+q(C1y1+C2y2)

=C1(y″1+py′1+qy1)+C2(y″2+py′2+qy2)

=C1·0+C2·0=0，即y是齊次方程的解，在y1/y2不等于常數(shù)的條件下，可以證明y中含有兩個獨立的任意常數(shù)，所以y=C1y1+C2y2是齊次方程的通解.定理5一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程不等于常數(shù)這一條件很重要.如果=k(k是常數(shù))，即y1=ky2，于是y=(C1k+C2)y2=Cy2，其中C=C1k+C2，因而y中只含有一個任意常數(shù)，所以不是齊次方程的通解.滿足

2

不等于常數(shù)這一條件的兩個解稱為線性無關(guān)解，因此，求齊次方程的通解，就歸結(jié)為求它的兩個線性無關(guān)的特解.注一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程定理6

如果y*是非齊次方程(12-20)的一個特解，而Y是其對應(yīng)齊次方程的通解，則y=Y+y*是非齊次方程(12-20)的通解.證

因y*是非齊次方程(12-20)的一個特解，所以y*″+py*′+qy*=f(x).又因Y是其對應(yīng)齊次方程的通解，所以Y″+pY′+qY=0.于是，對y=y*+Y有y″+py′+qy=(Y+y*)″+p(Y+y*)′+q(Y+y*)=Y″+pY′+qY+y*″+py*′+qy*=0+f(x)=f(x)，所以，y=Y+y是非齊次方程(12-20)的解.又因為Y中含有兩個任意常數(shù)，從而，y=Y+y中也含有兩個任意常數(shù)，所以y=Y+y是非齊次方程(12-20)的通解.一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程由上面分析可知，要求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，關(guān)鍵是尋找它的兩個線性無關(guān)的特解.為此，首先找一個函數(shù)y，使y″+py′+qy=0(p,q為常數(shù)).而指數(shù)函數(shù)erx(r為常數(shù))就具備這種性質(zhì)，因為erx的一階、二階導(dǎo)數(shù)都是erx的常數(shù)倍，也就是說，只要適當(dāng)選取r，就可以使erx滿足方程y″+py′+qy=0.于是，設(shè)y=erx

(r為待定常數(shù))為方程y″+py′+qy=0的特解，將y=erx,y′=rerx,y″=r2erx代入方程中得erx(r2+pr+q)=0.由于erx≠0，故可取r滿足方程r2+pr+q=0.這個關(guān)于r的一元二次方程我們稱它為微分方程y″+py′+qy=0的特征方程.其根r1,r2為微分方程y″+py′+qy=0的特征根.一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程這就是說，只要r是特征根，指數(shù)函數(shù)erx就是微分方程的解.于是微分方程y″+py′+qy=0的求解問題就轉(zhuǎn)化為求特征方程r2+pr+q=0的根的問題.設(shè)r1,r2是特征方程r2+pr+q=0的兩個根，由于特征根r1,r2有三種情況，下面按照特征根的三種情況分別討論微分方程y″+py′+qy=0的通解.一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程特征根是相異的實根1.一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程特征根是相等的實根2.因為r1=r2，故我們只得到一個特解y1=er1x.為此需要找到方程的另一個與y1=er1x線性無關(guān)的特解y2.可以證明y2=xer1x是方程的另一個與y1=er1x線性無關(guān)的特解.因此，方程y″+py′+qy=0的通解為y=C1er1x+C2xer1x=

(C1+C2x)er1x.一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程特征根是一對共軛復(fù)根3.設(shè)r1=α+βi,r2=α－βi(其中α,β是實數(shù)，且β≠0).由歐拉公式可以證明，y1=eαxcosβx,y2=eαxsinβx是方程y″+py′+qy=0的兩個線性無關(guān)的特解，因此，方程y″+py′+qy=0的通解為y=eαx(C1cosβx+C2sinβx).

上述結(jié)果可綜合于表12-1.一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程求方程y″－2y－3y=0的通解.解因為特征方程為r2－2r－3=0，即(r－3)(r+1)=0，所求特征根為r1=3,r2=－1，故方程y″－2y′－3y=0的通解為y=C1e3x+C2e－x.【例19】求方程y″+2y′+y=0的通解.解因為特征方程為r2+2r+1=0，即(r+1)2=0，所求特征根為r1=r2=－1，故方程y″+2y′+y=0的通解為y=(C1+C2x)e-x.【例20】一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程求方程y″+y+y=0的通解.【例21】一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程求以y=C1ex+C2e-4x為通解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程.解由于二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為y=C1ex+C2e-4x,可知其特解為ex,e－4x,從而特征根為r1=1,r2=－4,相應(yīng)的特征方程為r2+3r－4=0,從而可知所求的微分方程為y″+3y′－4y=0.【例22】二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式為y″+py′+qy=f(x)，其中p,q為常數(shù)，f(x)是x的函數(shù)，且不恒等于零.由定理2知，求y″+py′+qy=f(x)的通解，歸結(jié)為求它的一個特解及對應(yīng)的齊次方程的通解，然后取和式，即求得y″+py′+qy=f(x)的通解.由前面的內(nèi)容已知求二階常系數(shù)齊次線性微分方程通解的方法，這樣剩下的問題就是如何求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個特解.下面介紹一種求特解的方法——常數(shù)變易法.二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程設(shè)對應(yīng)齊次微分方程的通解為y=C1u1+C2u2，其中C1,C2是任意常數(shù)，u1,u2是對應(yīng)齊次微分方程的兩個線性無關(guān)的特解.為了求出非齊次微分方程的一個特解，我們用x的任意函數(shù)v1(x)與v2(x)分別代替C1與C2，即設(shè)y*=v1(x)u1+v2(x)u2是非齊次方程的特解.為此，將y*=v1(x)u1+v2(x)u2及它的一階、二階導(dǎo)數(shù)代入非齊次方程時應(yīng)成為恒等式.二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程求y*=v1(x)u1+v2(x)u2對x的導(dǎo)數(shù)，有y*′=v1u′1+v2u′2+(v′1u1+v′2u2).為了確定x的任意函數(shù)v1(x)與v2(x)，要求v1(x)與v2(x)滿足兩個條件：第一條件是v′1u1+v′2u2=0，由此，y*′=v1u′1+v2u′2+(v′1u1+v′2u2)變?yōu)閥*′=v1u′1+v2u′2，再取對x的導(dǎo)數(shù)，得y*″=v1u″1+v2u″2+(v′1u′1+v′2u′2)，將它們?nèi)看敕驱R次方程，整理后得v1(u″1+pu′1+qu1)+v2(u″2+pu′2+qu2)+(v′1u′1+v′2u′2)=f(x).因u1,u2是齊次方程的特解，所以上式變?yōu)関′1u′1+v′2u′2=f(x)，這就是任意函數(shù)v1(x)與v2(x)需要滿足的第二個條件.二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程由于常數(shù)變易法確定特解工作量較大，下面給出f(x)為多項式Pn(x)，ekxPn(x)，ekxPn(x)sinωx或ekxPn(x)cosωx形式的特解(見表12-2).二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程【例23】二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程求微分方程y″－3y′+2y=xex的通解.解法1(公式法)方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2－3r+2=0，其特征根為r1=1,r2=2，于是原方程對應(yīng)齊次方程的通解為Y=C1ex+C2e2x.由于k=1是特征方程的單根，n=1，故應(yīng)設(shè)特解為y*=x(b1x+b0)ex.因為y*′=［b1x2+(2b1+b0)x+b0］ex，y*″=［b1x2+(4b1+b0)x+2(b0+b1)］ex.【例24】二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法2(常數(shù)變易法)不難求出對應(yīng)齊次方程的通解是Y=C1ex+C2e2x，設(shè)原方程有特解y*=v1(x)ex+v2(x)e2x，

則v1(x)與v2(x)應(yīng)滿足方程組二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程求微分方程y″－4y′+4y=sin2x的通解.解對應(yīng)齊次方程的特征方程為r2－4r+4=0,特征根為r1=r2=2,對應(yīng)齊次方程的通解是Y=(C1+C2x)e2x.f(x)=sin2x,寫成eλx［Pm(x)cosωx+Rn(x)si