2021年高考理數(shù)真題試卷（天津卷）帶答案解析

2021年高考理數(shù)真題試卷（天津卷）

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,xGA},則AcB=（）

A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}

x—y+2>0,

2.設(shè)變量x,y滿足約束條件（2x+3y-6>0,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+5y的最小值為（）

3%+2y—9<0.

A.-4B.6C.10D.17

3.在△ABC中，若AB=V13,BC=3,/C=120。，則AC=（）

A.1B.2C.3D.4

4.閱讀右邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為（）

A.2B.4C,6D.8

5.設(shè){如}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,則"q<0"是"對任意的正整數(shù)"，。2"-1+切<0"的（）

A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.已知雙曲線--^-1（b>0）,以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近

線相交于48、C、D四點，四邊形的ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為（）

A.式_更_1B.比—空一1C.^-g_lD.次一之_1

7.己知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點。、￡分別是邊4B、8c的中點，連接DE并延長到點F,使

得DE=2EF,則痛.的值為（）

BC

A5clc1c11

A.--B.-C.-D.—

8848

8.已知函數(shù)/（x）=廣2：絲二3?：：3°）,：：0,（且“1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|/（x）

log*+1）+1,%工0

|=2-x恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則。的取值范圍是

A/2.cr23,crl2,.3.rrl2、,3.

A.（0,與】B.[§,z]C,[-，3]U{；}D-I3>3>u{^）

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.已知Ia.bER，，是虛數(shù)單位，若=o,則￡的值為.

10.（X2-：）8的展開式中X2的系數(shù)為—_____.（用數(shù)字作答）

11已.知一個四棱錐的底面是平行四邊形該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m）,則該四棱錐的體積為

二:

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

12.如圖，AB是圓的直徑，弦8與AB相交于點E,BE=2AE=2,BD=ED,則線段CE的長為.

13.已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增.若實數(shù)。滿足/(25叫>八-/)，

則a的取值范圍是.

14.設(shè)拋物線,(t為參數(shù)，p>0)的焦點為F,準(zhǔn)線為/.過拋物線上一點A作/的垂線，垂

足為8.設(shè)a|p,0),AF與8c相交于點￡.若|CF|=2|AF|,且ZACE的面積為3&,則P的值為.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)f(x)=4tanxsin(-x)cos(x-73.

(1)求/(x)的定義域與最小正周期；

(2)討論f(x)在區(qū)間［一?弓］上的單調(diào)性.

16.某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,.現(xiàn)從這

10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會.

(1)設(shè)A為事件"選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4",求事件A發(fā)生的概率；

(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

17.如圖，正方形ABCD的中心為。,四邊形。BEF為矩形，平面。BEF_L平面A8CD,點G為A8的中

點,AB=BE=2.

E

(2)求二面角。-EF-C的正弦值：

(3)設(shè)H為線段AF上的點，且AH=|,求直線B”和平面CEF所成角的正弦值.

18.設(shè)函數(shù)/(x)=(x-1)3-ax-b,xGR,其中a,bWR。

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)存在極點xo,且/(xi)=/(xo),其中xi—xo,求證：xi+2xo=3；

(3)設(shè)。>0,函數(shù)g(x)=|/(x)|,求證：g(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值不小于:

19.設(shè)橢圓+1(a>V3)的右焦點為F,右頂點為A,已知日|+自=贏，其中。為原點，e

為橢圓的離心率.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)過點A的直線i與橢圓交于B(B不在x軸上)，垂直于I的直線與I交于點M,與y軸交于點H,

若BFJ_HF,且NMOA=NMAO,求直線I的斜率.

20.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-ax-b,xWR,其中a,b￡R.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)存在極值點xo,且f(xi)=f(xo),其中xi/xo,求證：Xi+2xo=O；

(3)設(shè)a>0,函數(shù)g(x)=|f(x)I，求證：g(x)在區(qū)間［-1,1］上的最大值不小于［.

答案解析部分

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

L【答案】D

【考點】交集及其運算

【解析】【解答】力=口，2，3，4},B=（l,4，7,10},=4},選D

【分析】把A中元素代入y=3x-2中計算求出V的值，確定出B,找出A與B的交集即可

2.【答案】B

【考點】簡單線性規(guī)劃

'x-y+2>0

【解析】解：作出不等式組<2x+3y-6>0表示的可行域，

3x+2y_940

如右圖中三角形的區(qū)域，

作出直線展2x+5y=0,圖中的虛線，

平移直線Io,可得經(jīng)過點（3,0）時，z=2x+5y取得最小值6.

故選:B.

【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出直線尿2x+5y=0,平移直線I。，可得經(jīng)過點（3,0）時，

z=2x+5y取得最小值6.本題考查簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，關(guān)鍵是準(zhǔn)

確作出不等式組表示的平面區(qū)域.

3.【答案】A

【考點】余弦定理的應(yīng)用

【解析】【解答】設(shè)AC=x

由余弦定理得：cosl20°

2x3=2

%2—4=-3%=>x24-3%—4=0

%=1或一4（舍），二4C=1,選A.

【分析】直接利用余弦定理求解即可.本題考查三角形的解法，余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力.

4.【答案】B

【考點】程序框圖

【解析】【解答】解：第一次判斷后：不滿足條件，S=2x4=8,n=2,i>4,

第二次判斷不滿足條件n>3：

第三次判斷滿足條件：S>6,此時計算S=8-6=2,n=3,

第四次判斷n>3不滿足條件，

第五次判斷S>6不滿足條件，S=4.n=4,

第六次判斷滿足條件n>3,

故輸出S=4,

故選：B.

【分析】根據(jù)程序進(jìn)行順次模擬計算即可.本題主要考查程序框圖的識別和運行，根據(jù)條件進(jìn)行模擬計算

是解決本題的關(guān)鍵.

5.【答案】C

【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】設(shè)數(shù)列的首項為由,則a2rl-i+a2n=aiq2n-2+aiq2n-i=%q2n-2（i+q）<o,即

q<-1,

故q<0是q<-1的必要不充分條件

【分析】此題考查/必要條件、充分條件與充要條件的判斷，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵.

6.【答案】D

【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)

匕

-X

【解析】【解答】漸近線OB:y2

設(shè)B（x。，梟°）,則；-%-^o=T

4ZoZO

222

x0=1>8（1，1）,I4--=2,b=12

乙4

412

【分析】以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓的方程為x2+y2=4,雙曲線的兩條漸近線方程為

y=±-^X,利用四邊形ABCD的面積為2b,求出A的坐標(biāo)，代入圓的方程，即可得出結(jié)論.

7.【答案】B

【考點】平面向量數(shù)量積的運算

【解析】【解答】K=AC-AB

1313

AF=AD+DF=-AB+-AC

2224

即.他一衲）（海+部）

--1?1.1-1+---.1.1.i=i+-3=：,選B

2224424488

【分析】運用向量的加法運算和中點的向量表示，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，向量的平方即為模的

平方，計算即可得到所求值.

8.【答案】C

【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用，根的存在性及根的個數(shù)判斷

【解析】【解答】由y=loga(x+1)+1在［0,+8)上遞減，貝ij0<a<1

又由/(x)在r上單調(diào)遞減，貝ij：

2

0+(4a-3)-0+3a>/(O)=113

{3-4a=>-<a<-

34

由圖像可知，在［0,+與上，|/(x)|=2-x有且僅有一個解,

故在(一8,0)上，|/(%)|=2-x同樣有且僅有一個解，

當(dāng)3Q>2即a>|時，聯(lián)立|%2+(4a-3)x+3a|=2-%,

則A=(4a-2)2-4(3a-2)=0,解得：a=，或1(舍)，

當(dāng)143QW2時，由圖像可知，符合條件.

綜上：???代停，|]u{3

選C.

【分析】利用函數(shù)是減函數(shù)，根據(jù)對數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷出a的大致范圍，再根據(jù)f(x)為減函數(shù)，得到

不等式組，利用函數(shù)的圖象，方程的解的個數(shù)，推出a的范圍

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.【答案】一2

【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算

【解析】【解答】(1+i)(l—bi)=a,1+b+i—bi=a,1+b=a

(b=1-=?

{(z=2，b

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，構(gòu)造關(guān)于a,b的方程，解得a,b的值，進(jìn)而可得答案.

10.【答案】-56

【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】黃(/)5.(一a3=-56”，，系數(shù)為一56

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，構(gòu)造關(guān)于a,b的方程，解得a,b的值，進(jìn)而可得答案.

11.【答案】2

【考點】由三視圖求面積、體積

【解析】【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐,

棱錐的底面是底為2,高為1的平行四邊形，故底面面積S=2xl=2m2

棱錐的高h(yuǎn)=3m,

故體積V=2Sh=2m3,

故答案為：2

【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，進(jìn)而可得答案

12.【答案】辿

3

【考點】與圓有關(guān)的比例線段

【解析】【解答】解：如圖，

過D作DH_LAB于H,

BE=2AE=2,BD=ED,

BH=HE=1,貝!]AH=2,BH=1,

DH2=AH?BH=2,則DH=近,在RtADHE中，則DE印DM+HE2=炳，

由相交弦定理可得：CE?DE=AE?EB,

CE裳芍岑.故答案為:

【分析】由BD=ED,可得△BDE為等腰三角形，過D作DH_LAB于H,由相交弦定理求得DH,在RMDHE

中求出DE,再由相交弦定理求得CE

13.【答案】|<a<|

【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解析】【解答】由f(X)是偶函數(shù)可知，(-8，0)單調(diào)遞增；(0，+8)單調(diào)遞減

又，(2laT)>/(-V2)，/(-V2)=/(V2)

可得，2心-11<四即口一1|<：二：<a<|

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可

14.【答案】V6

【考點】拋物線的簡單性質(zhì)，參數(shù)方程化成普通方程

，2

【解析】【解答】解：拋物線|x=2pt(t為參數(shù)，p>0)的普通方程為：y2=2px焦點為F(士，0),

尸2Pt2

如圖：過拋物線上一點A作I的垂線，垂足為B,設(shè)CP，0),AF與BC相交于點E.|CF|=2|AF|,

|CF|=3p,|AB|=|AF|=%A(p,亞p),△ACE的面積為3近,空茶三可得

2ErCr2

=3

^SAAFC=SAACE.即：^x^X3pXV2PM，解得p=捉.故答案為：

OO乙

【分析】化簡參數(shù)方程為普通方程，求出F與I的方程，然后求解A的坐標(biāo)，利用三角形的面積列出方程,

求解即可

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.【答案】(1)解：/(%)=4tanxsin(y—x)cos(x—y)—V3

=4sinx(^cosx+'sin%)—V3

=sin2x+A/3(1-cos2x)—V3

=sin2x-V3cos2x

=2sin(2x—；)?

aa2

定義域{x|xH；+kn，kWZ},Ci=好一必=a2a3—i2=2d-a2=2d(%+d)=4d

（2）解：七gw：,一二<2“一標(biāo)、設(shè)t=2x-\

y=sint在te［一期,-1］時單調(diào)遞減，在te［-卜總時單調(diào)遞增

由_*42%—工三一上解得_Z<x〈_Z，由_三三2工一二三上解得-Z<x<Z

6-3—24~~1223612-4

???函數(shù)/（X）在（-《，?）上單調(diào)增，在（一?,-^）上單調(diào)減

【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象

【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及兩角和差的余弦公式，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式

進(jìn)行化簡求解即可.（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可

16.【答案】（1）解：設(shè)事件A：選2人參加義工活動，次數(shù)之和為4

P(A)=由密=-

Cio3

（2）隨機(jī)變量X可能取值0,1,2

P(X=0)=±

P(X=1)=設(shè)亭熱=Z

Cio15

p(x=2)=可=2

Cio15

X012

P-12k7-12k

為=總82)=3+妹2如=旗孫2)=3+軌2

15

【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望

與方差

【解析】【分析】(1)選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4為事件A,求出選出的2人參加義工活動次

數(shù)之和的所有結(jié)果，即可求解概率.則P(A).(2)隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3分別求出P

(X=0),P(X=l),P(X=2),P(X=3)的值，由此能求出X的分布列和EX

17.【答案】(1)解：證明：找到AD中點/,連結(jié)//,

???矩形OBEF,.'.EF\QB

■：G>/是中點，，GI是△48。的中位線

GI||BD且G/=|BD

0是正方形ABCD中心

OB=-BD

2

EF||G/且EF=GI

四邊形EF1G是平行四邊形

EG||FI

■：尸/u面ADF

EG||面ADF

(2)解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz

8(0,一近,0),C(魚，0,0),E(0,-V2,2)F(0,0,2)

設(shè)面CEF的法向量元=(x，y,z)

n7-EF=(x,y,z)?(0,V2，0)-V2y—0

^7'CF-(x?y,z)?(—>/2，0,2)=-V2x+2z=0

X=yj2

得：｛y=0

z=1

n7=(V2,0,1)

,/OC_L面OEF,

面OEF的法向量力=(1，0，0)

一|濟(jì).可|V2|V6

Icos<n7，n2>l=Wfl=VTT=T

2

⑶???3/

XW=|AF=|(V2,0,2)=4,0,i)

設(shè)H(x,y,z)

2V24

AH=｛x+42,y，z)=(T，?

-3V2

x=-

得：｛y=o

4

―>3夜L4

BH=(-，V2,-)

64

\BH?可l-5+5lV7

Icos<BH，

^2>I=面同21

【考點】直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，二面角的平面角及求法

【解析】【分析】（1）取AD的中點I,連接FI,證明四邊形EFIG是平行四邊形，可得EGIIFI,利用線面

平行的判定定理證明：EGII平面ADF；

（2）建立如圖所示的坐標(biāo)系O-xyz,求出平面。EF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夾角公式,

即可求二面角。-EF-C的正弦值；

（3）求出麗=（-史返，近,《），利用向量的夾角公式求出直線BH和平面CEF所成角的正弦值

55

18.【答案】（1）解：/（%）=（%-I）3-ax-b

f/(%)=3(x-l)2—a

?a<0,單調(diào)遞增;

②a>0,/(無)在(一巴1一單調(diào)遞增，在(1-/^1+單調(diào)遞減，在(1+1^,+8)單

調(diào)遞增

(2)解：由/'，(&)=0得3(x0-1尸=a

322

?1'f(x0)=(XO-l)-3(x0-l)x0-b=(x0-l)(-2x0-1)-b

3

/(3-2x0)=(2-2%0)-3(x0-1)2(3-2%0)-b

=(%o—l)2［8—8%o—9+6%Q］—b

2

=(%0-l)(-2x0-l)-h

???f(3-2x0)=/'(xobf(Xi)

???尤i+2x0=3

(3)解：欲證g(x)在區(qū)間［0，2］上的最大值不小于i,只需證在區(qū)間［0，2］上存在x1(x2,

使得9(%1)—9。2)N\即可

①當(dāng)aN3時，/(x)在［。，2］上單調(diào)遞減

/(2)=l-2a-b/(0)=-l-b

f(0)-f(2)=2a-2>4>|遞減，成立

當(dāng)0<a<3時，

/(1一/)=(一砂一。(1一/)-T卜a+a［_b號4_a-b

+苦g—Ml+RiTGI

???/(2)=l-2a-b/(0)=-l-b

/(2)-/(0)=2-2a

若0<a<］時，/(O)—/(2)=2-2a2：,成立

當(dāng)a＞泗，+成立

【考點】等差關(guān)系的確定，數(shù)列與不等式的綜合

【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，建立方程關(guān)系，根據(jù)條件求出數(shù)列｛Cn｝的通項公

式，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可.

2n

(2)求出品=￡(-1)%k2的表達(dá)式，利用裂項法進(jìn)行求解，結(jié)合放縮法進(jìn)行不等式的證明即可

k=l

19.【答案】(。解：由意+由=高

13^^

得而與____a

aa—Va2—3

3Va2-3

ax(a-Va2-3)

a[a2-(a2-3)]=3a(a2-3),解得a=2.

，橢圓方程為A9=i；

(2)解：由已知設(shè)直線I的方程為y=k(x-2),(kHO),

設(shè)B(xi,yi),M(xo,k(xo-2)),

---ZMOA=ZMAO,

X0=l,

再設(shè)H(0,yH),

y=k(x—2)

聯(lián)立｛/2,(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0.

—+—=1

43

△=(-16k2)2-4(3+4k2)(16k2-12)=144>0.

由根與系數(shù)的關(guān)系得兄=轉(zhuǎn)

?…造，%*-2)=票

MH所在直線方程為y-k(xo-2)=-?(x-Xo),

令x=0,得yH=(k+7)xo-2k,

k

,/BF±HF,

?，?市x蘇=(1一久i，-%)(l,-y〃)=0,

HP1-Xi+yiyH=l一“J：——[(k+J)xo-2k]=0,

22

3+4fc3+4fck

整理得：M=三署=1,即8k2=3-

k=-直或k=漁

44

【考點】橢圓的簡單性質(zhì)

【解析】【分析】(1)由題意畫出圖形，把|OF|、|OA|、|FA|代入嗇「喘[=轉(zhuǎn)化為關(guān)于a

的方程，解方程求得a值，則橢圓方程可求；

(2)由已知設(shè)直線I的方程為y=k(x-2),(Q0),聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次

方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標(biāo)，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標(biāo)，由BFLHF,得

BF?HF=(1~X］,-y，?(1,-yR)=0,整理得到M的坐標(biāo)與k的關(guān)系，由NMOA=NMA。，

得到xo=l,轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的等式求得k的值.

本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“整體運算"思想方法和“設(shè)而不求”的

解題思想方法，考查運算能力，是難題.

20.【答案】(1)解：若f(x)=x3-ax-b,則f'(x)=3x2-a,

分兩種情況討論：

①、當(dāng)a<0時，有fz(x)=3x2-a>0恒成立，

此時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,+8),

②、當(dāng)a>0時，令f，(x)=3x2-a=O,角吊得x=-—或x=—,

33

當(dāng)X>亙或XV-叵時，f，(X)=3x2-a>0,f(x)為增函數(shù)，

33

當(dāng)-叵<x<叵時，F(xiàn)(x)=3x2-avo,f(x)為減函數(shù)，

33

故f(X)的增區(qū)間為(-8,-叵)，(叵，+8),減區(qū)間為(-亙，亙)

3333

(2)解：若f(x)存在極值點xo,則必有a>0,且xo工0,

由題意可得，f'(x)=3x2-a,則x02;1,

進(jìn)而f(xo)=xo3-axo-b=-yxo-b,

g

又f(-2xo)=-8xo3+2axo-b=--xo+2axo-b=f(xo),

由題意及(工)可得：存在唯一的實數(shù)Xi,滿足f(XI)=f(xo),其中X1HX0,

則有X1=-2x0,故有Xi