函數的基本性質方法歸納-高一年級上冊數學人教A版（2019）必修第一冊

3.2函數的基本性質

【重點解讀】

一、增減函數定義

1、增、減函數定義中的“馬須滿足三個特征

①任意性，即不能用區(qū)間中的特殊值代替，如若函數/(x)滿足f(3)<f(4),不能說函數在區(qū)間[3,4]

上單調遞增；

②有大小，即王或七>々，否則不能說單調性；

③同一區(qū)間，即苞，々需在同一區(qū)間內。

2、函數單調性的等價變形

①若f(X)為增函數，則O/(%1)</(X2)；若為減函數，則為<%O/(西)>/(々)；

②/(X)為增函數O對任意的王<超，都有

/(^)</(x2)=/(苞)-/(々)>0="⑷—/(%2)](%1_%9)>0;

x1-x2

/(X)為減函數o對任意的王〈々，都有

<?/(%1)~/(%2)<0o"&)-/。2)](刈-%)<0

玉~X2

3、①同一函數，其單調區(qū)間不能用并集(U)符號連接，應用“和”或“，”連接，如反比例函數

的單調性的描述；

②單調區(qū)間端點的開閉沒有嚴格規(guī)定，若函數在區(qū)間端點有意義，則寫成開區(qū)間或閉區(qū)間都可以，

若函數在區(qū)間端點沒有意義，應寫成開區(qū)間。

二、函數的最值

1、問題：函數的最大(小)值的定義中，兩個條件能缺少嗎？

分析：不能，兩個條件缺一不可。以最大值為例，若只有第一個條件，M不一定是最值，如函

數丁=-必+1,對MxcH,都有y<3成立，但3不是此函數的最大值；而第二個條件說明了最值一

定是函數值。

2、若函數y=/(x)在開區(qū)間(a,匕)上是單調函數(單調增函數或單調減函數)，則/(x)在該區(qū)間上

不存在最值。

3、若函數y=/(x)在閉區(qū)間[a,句上是單調函數，則/(x)在該區(qū)間上存在最值，當/(x)是增函數時，

最小值為/(a),最大值為73);當/(x)是減函數時，最小值為/S),最大值為/'(a)。

1

三、奇偶函數定義

1、定義域特征：奇偶函數的定義域都關于原點對稱，即某個數若在定義域內，則其相反數必在定義

域內。

判斷奇偶函數時，應遵循定義域優(yōu)先原則。

2、若奇函數在原點處有定義，則必有/(0)=0.

3、奇偶函數的圖象特征

①奇函數o函數圖象關于原點中心對稱；

②偶函數O函數圖象關于y軸對稱。

四、常見函數單調性與奇偶性派※※※

二次函數

k

一次函數,=-+伙女/0)反比例函數y=—(左w0)

=ax2+bx+c(awO)

定義域R(-oo,0)U(0,+oo)R

a>0時，值域｛y|y2包匕Q｝

4a

值域R(-oo,0)U(0,-Hx)

aVO時，值域｛ylyJac-%

4a

左＞0時，在(—00,0)和(0,+oo)

A

a＞0時，在(-8,----)上為減函

左X)時，是R上的增函數，上均為減函數，減區(qū)間為2a

h

增區(qū)間為(一8,+8)；(-CO,0)和(0,+00)；數，在(——,+8)上為增函數；

2a

單調性

左V0時，是R上的減函數，h

左V0時，在(—00,0)和(0,+8)aVO時，在(-8,-----)上為增函

2a

減區(qū)間為(-8,+8)

上均為減函數，減區(qū)間為A

數,在(----,+8)上為減函數

2a

(—co,0)和(0,+oo)

h

a>0時，%=-上時，有最小值

2a

4ac-b2

Vmin-

4Aa

最值無最大值，也無最小值無最大值，也無最小值

h

aVO時，%=-二時，有最大值

2a

_4ac-b2

Vmax-A

4。

無論左＞0或左VO,y=人均為2

奇偶性當kwO,)=0時，y=kx是當b=0時，y=ax+c(ow0)

2

為偶函數

奇函數；奇函數

當左片0,1工0時，是非奇非

偶函數

五、對勾函數

b對勾函數圖象

解析式/(x)=a%+—(Q>0,b>0)

X

定義域集合表示：｛x[%w0｝；區(qū)間表示：(-oo,0)U(0,+oo)b

f(x)=〃%+—(Q>0,/?>0)

X

集合表示：{x|x<-2yl~ab^x>2^^ab}

y

區(qū)間表示：(-，-14ab]U[2八及+oo)

2jab

_______1_X幅一

證：當x>0時，ax+^->2^b，當且僅當x=時等號成立；卷"O'X

xVa-2jab

h/

當xVOxVO時，一。%>0,——>0,

X

值域特別的，當〃=5=1時，

H—)—(—ax)+(—)22Jab，

XX/(x)=x+-

X

當且僅當X=-時等號成立，單調減區(qū)間:(-1,0),(0,1)

Va

單調增區(qū)間：(-00,-1),

所以x<D時，ax+—<-2y^ab；

(1,+GO)

綜上/(%)的值域為(—，-14abAU[2疝+8)

在區(qū)間(-8,_口，[R,+oo)上單調遞增，

Vava

單調性

在區(qū)間[-、2,o),(0,、勺上單調遞減。

VaVa

奇偶性對勾函數都是奇函數

六、函數的對稱性和周期性

說明：高中階段函數學習四種性質，單調性、奇偶性、對稱性、周期性

1、對稱性

(1)若函數/(X)滿足/(x+a)=/(-X),則函數關于直線x對稱；

(2)若函數/(x)滿足/(x+a)=/S-%),則函數關于直線x=一對稱；

(3)若函數/(x)滿足/(x+a)+/(-x)=0,則函數關于點(,0)中心對稱;

3

⑷若函數/⑺滿足八…)+/(—則函數關于點(審,全中心對稱。

小結：若所給函數關系式中的自變量相加沒有X,則函數具有對稱性。

2、周期性

(1)若函數/(x)滿足/(x+a)=/(x)或/(%—a)=/(x),則T=。是函數的一個周期；

(2)若函數/(x)滿足/(尤+a)=/(尤+與，則T=g-a|是函數的一個周期；

(3)若函數/(x)滿足/(x+a)=/(x-與，則丁=。+匕是函數的一個周期。

小結：若所給函數關系式中的自變量相減沒有x,則函數具有周期性。

【方法歸納】

一、判斷函數的單調性

1、方法

法一：定義法

(1)取值，在定義域內任取Xpx2,令為〈%(或西>%2)；

(2)作差變形，將/(X])-/(%)或/(々)-/(七)化簡變形，如因式分解、配方、通分、分母有理化等，

最終化為幾個因式相乘或相除的形式，便于判斷其符號；

(3)定號，確定/(再)-/(%2)或/'(%)-/(國)的正負，若不能直接確定差的符號，通常需分類討論或

將定義域再次細分，直到能確定差的符號為止；

(4)判斷，根據定義判斷是增函數還是減函數。

法二：圖象法

根據函數的升、降趨勢判斷其增減性

法三：結論法

(1)函數f(x)與函數-f(x)的單調性相反

若/(X)為增函數，則—/(%)為減函數；若/(X)為減函數，貝I—/(X)為增函數。

(2)函數:(X)的單調性與函數/(x)+c的單調性相同

/(X)增，則/(x)+c增；/(X)減，則/(x)+c減。

(3)當aX)時，函數y=4(%)與函數丁=/(%)的單調性相同；

當a<0時，函數y=af(x)與函數y=/(x)的單調性相反。

(4)若/(x)20,則函數y=/(x)與函數y="(尤),y="(x)f,y=|/(x)|的單調性相同。

(5)當/(%)的值恒為正或恒為負時，函數y一和函數丁=/(x)的單調性相反；但當/(%)的值有

'f(x)

正有負時，函數y=—-—的單調性應重新判斷。

/(%)

4

(6)在公共定義域內，若/(x),g(x)均為增函數，/z(x)為減函數，則

①/(X)+g(x)為增函數；

②/(x)-/z(x),g(x)-h(x)為增函數；

③，(x)-/(x),7z(x)-g(x)為減函數。

小結：增+增一增，增-減=增+(-減)-增，減+減—減，減—增=減+(—增)—減

2、例題

例1求證：函數/(%)=-必+1在區(qū)間(_8,+00)上為減函數。

證：在(-00,+co)上任取xr<x2,則

33

/(王)―)=_%:+1_(-x2+1)=X2-X；

2

=(x2-%1)(%2++Xf)(乘積形式，便于判斷正負)

22

x2-X[>0,XX2+xtx2+X[>0,故(》2—七乂々？+%1%2+X；)>°,/(%1)-/(^2)>0

所以函數/(X)=-必+1在區(qū)間(-00,+00)上為減函數

公式：a3-b3=(?-Z?)(?2+ab+b2),a3+b3-(a+b\a2-ab+b2)

例2判斷函數/(x)=五的單調性。

解：函數定義域為[0,+8),任取0</<々，則(函數問題遵循定義域優(yōu)先原則)

/(七)-/(%2)="

(嘉+H)嘉+底

*.*0<%[<%2%1-x2<0,+.Jx^X),故/(/)_/(々)<0,即/'(xJV/X/)

所以函數〃x)=?是遞增函數。

二、復合函數的單調性

1、原理與解法

(1)原理

同增異減，即內層函數和外層函數在公共定義域內有相同的單調性(同增或同減)，函數

y=/(g(x))在該區(qū)間內為增函數；內層函數和外層函數在公共定義域內有相反的單調性(一增一減)，

函數y=/(g(x))在該區(qū)間內為減函數。

(,)(,)(,)(,)

U=g(x)增增減減

y=/(?)增減增減

5

y=/(g(x))增減減增

(2)解法

①確定復合函數定義域；(定義域優(yōu)先原則)

②寫出內層函數〃=g(x)和外層函數y=/(〃)；

③判斷并寫出"=g(x)和y=f(u)的單調性；

④根據“同增異減”原則得到的函數丁=/(g(x))的單調性。

技巧：練習時可用列表法判斷復合函數單調性(格式見下列例題)

2、例題

例1判函數/(%)=Y—5的單調性。

解：①定義域優(yōu)先原則

函數定義域滿足2x-%2>0,即{x|0Wx42}

②分別判斷內層函數和外層函數的單調性

函數gQ)=〃-5在定義域內為增函數；函數f(x)=2x-x2的在區(qū)間(o,i)上遞增，在區(qū)間(1,2)上

遞減

③判斷符合函數單調性

根據“同增異減”原則可得/(%)在(0,1)上遞增，在(1,2)上遞減。

答題格式(草稿樣式)

(0,1)(1,2)

t(x)=2x-x2T

gQ)=〃-5Tt

2

/(%)=A/2X-X-5tJ

例2判斷函數/(x)=——的單調性。

x—4-x+3

解：①定義域優(yōu)先原則

函數定義域滿足尤2—4%+3。0,即{x|xwl,且"3}

②判斷內層函數和外層函數的單調性

函數g?)=；的遞減區(qū)間為(-8,0)，(0，+8);函數/)=/-4》+3遞增區(qū)間為(2,3)，(3,+8),

遞減區(qū)間為(-8,1),(1,2)

③判斷復合函數單調性

根據“同增異減”原則可得/(%)的遞增區(qū)間為(-8,0),(0,1),(1,2),遞減區(qū)間為(2,3),(3,+oo)

草稿樣式

(—00,0)(0,1)(1,2)(2,3)(3,+00)

=x2-4x+3JJJTT

6

g⑺」

JJJJJ

t

/(X)=TttJJ

X2-4X+3

三、分段函數的單調性

1、方法

一(x),“4"在R上單調遞增，則函數/(X)滿足兩點：

若分段函數"x)=<

f2W9x>a

分段函數

遞增(1)力(X)在(一00,a］上單調遞增，人口)在(。，+q>上單調遞增；

(2)工⑷"(a).

4(x),X""在R上單調遞減，則函數/(%)滿足兩點：

若分段函數/'(x)=<

f2(x),x>a

分段函數

遞減(1)力(無)在(—8,a］上單調遞減，/2(x)在(。，+g)上單調遞減；

(2)力(a)2力(a).

易錯：①分段函數在R上單調和在某個區(qū)間上單調都滿足兩點“第一，各個段上具有相同的單調性，

第二，分段點處的函數值滿足對應單調性”；

②分段點處函數值的比較易忽視，是高頻易錯點。

2、例題

二:;如：I在R上單調遞增，求實數b的取值范圍。

例若函數/(x)=<

(2b-l)x+b-l,x>0，,,，

分析：因為函數y(x)=<、在R上單調遞增，根據分段函數遞增性的定義可知/(x)

-x2+(2-b)x,x<0

滿足三個條件:

①/(x)=(2b—l)x+Z?—1在(0,+oo)上遞增，又力(x)為一次函數，故可得2b—1>0,解得

②人(%)=-爐+(2-加1在(-oo,0］上單調遞增，又當(工)對稱軸為直線10—h故有4?子—h20,解

得bW2；(結合圖象理解)

③分段點處滿足力(0)2人(0),即(26—1)x0+6—12—02+(2—切義0,解得321;(此點可畫圖理解)

所以實數b的取值范圍為上述三個條件的交集，即lKbW2.

(2b-V)x+b-1,x>0^%、，、乂,*

解：,??函數f(x)=<,在R上t單倜遞增

—x+(2—x<0

7

2b-l>0

?Yt4。，解得印42

2

(26-1)x0+》-12-02+(2-6)x0

Ab的取值范圍為[1,2]

四、抽象函數的單調性

題型一：已知①抽象函數單調性和定義域；②抽象函數等量關系式，求解“X)的相關不等式，如

解法：(1)賦值，通過對等量關系式中的變量賦值，得到/(C)=〃2,求出C值；

(賦值技巧：①常見的賦值有0,±1,±2；②倍數賦值)

(2)轉化，根據等量關系式對問題中的不等式變形，使之成為力(p)〈力(q)的形式；

pe/(x)定義域

(3)列式，由題可知定義域，然后取其交集即為原不等式的解；

。與q的大小關系(單調性)

(4)作答，所以x的取值范圍為.....

易錯：第三步列式時如果根據第二步轉化后的不等式關系列式，容易擴大或縮小參數的取值范圍，

列式應遵循原始式原則。

例1已知“X)是定義在區(qū)間(0,+8)上的增函數，且/(3=/(x)-/(y),/(2)=1,如果x滿足

y

/?-/(—)<2,求x的取值范圍。

x-3

解析：以下是本題的分析過程，不達標解答步驟。

(D賦值V/(-)=/(x)-f(y)，〃2)=1

y

.?.令X=4,y=2可得/g)=/(4)—/(2),求得/'(4)=2

(2)轉化V=

y

，/?-/(^r)=/[x(x-3)],故原不等式可化為〃MX-3)]W/(4)

x-3

x>0

(3)列式,.?/(X)是定義在(0,+oo)上的增函數A<x-3>0,解得3VxW4

x(x-3)<4

8

(4)作答綜上，x的取值范圍為(3,4]

x>0

1十一3)>°?為什么？

問題思考：本題滿足的條件<x-3>0是否可以寫成<

x(x-3)<4

x(x-3)<4

x>0

x(x-3)>0的區(qū)別在于定義域滿足的關系而定義域的考慮應從原

分析：不能。條件x-3>0和<

x(x-3)<4------------------

x(x-3)<4

始式入手,即題目本來出現的表現形式是什么就寫什么，本題中原始式為/因此

x-3

是“X”和“」一”在定義域內，即<%>0

x—3%-3>0

題型二：已知抽象函數滿足的關系式，證明或判斷其單調性

解法：定義法證明或判斷單調性，即①取值；②作差變形；③定號；④判斷。

易錯點：作差變形，抽象函數變形主要指對自變量等價變換，常見的有-xx1；

x2xx

X]=(X]-X2)+X2,X]=(X]+%)—%等。

例2已知函數/(x)對任意的a,beR,都有/(a+8)=/(a)+/3)-l,并且當xX)時，/(x)>l0

(1)求證：/(x)在R上是增函數；

(2)若/(4)=5,解不等式/(3病—根—2)V3.

解析：(1)任?。?X2GR,且再因為+>)=/(a)+73)-1，所以/(a+b)-/S)=/(々)一1，

則/(%1)=力(％2—％i)+七]一/(七)=—為)一1，

因為11<々，所以(此時4=%2-與b=X])

又當xX)時，f(x)>l,故A9-%)>LBPf(x2-Xl)-l>0,也即/(々)—

所以/(x)在R上是增函數。

(2)此題是題型一，根據題型一解法求解。

①賦值???/(a+Q=/(a)+/3)—1，/(4)=5

.?.令a=b=2得/(4)=2/(2)—1=5,解得/(2)=3

②轉化I.原不等式可化為/(3加—根一2)</(2)

③列式又/(%)在R上是增函數，故3〃/-a-2V2,解得-l</<g

9

④作答綜上，原不等式的解集為{巾|-1(根<3}

五、求函數的單調區(qū)間

1、方法

(1)圖像法：給出函數圖象或能畫出函數圖象，利用圖象求單調區(qū)間

(2)直接判斷法：利用已知函數的性質和已有結論直接寫出函數單調區(qū)間

(3)定義法：利用函數單調性的定義求出單調區(qū)間

(4)復合函數法：同增異減

2、例題

例求函數/(x)=|x+l|+|x-2|的單調區(qū)間。

解：①化簡函數解析式，寫成分段形式

—(x+1)—(x—2),九?—1—2x+1?x—1

/(x)=<x+1-(%-2),-Kx<2,化簡得/(%)=<3,-IVxV2

x+l+x-2,x>22x-l,x>2

②判斷單調區(qū)間，共兩種方法，一種是根據已知函數單調性判斷，另一種是畫出圖象判斷，接

下來我們用第一種，請獨立用第二種。

由①可知/(幻在每一段上都是一次函數，因此根據一次函數單調性可知：

/(X)單調減區(qū)間為(-8,-1),單調增區(qū)間為(2,+00).

六、函數單調性的應用

題型一：求函數的最值/值域

方法例題

例1求函數y=三小的最大值。

解析：函數定義域為R,則y一=—

f+x+l(x+2

24

法一：

13314

配方法因為(X+M+士2士，所以根據不等式性質可得0<—_a<-,

244/1、33

(%+-)+-

24

所以0<—z-<8,故函數的最大值為8.

(XH--)-1--

24

例2求函數y=|x+l|-|2-x|的最值。

法二：

圖像法

解法一：圖象法，y=\x+l\-\2-x\=\x+l\-\x-2\

10

—(x+1)+(x—2),x—1—3,xV—1

因為y=<(%+1)+(%-2),-Kx<2,即y=,2x-l,-l<x<2

x+1—(x—2),%223,x>2

畫出題圖象如右圖，故函數最小值為-3,f乏大值為3.

—3,%—1

解法二：解析式法,因為y=2x—1,—1VXV2,求!:E各段的最小值然后取最小得函數

3,x>2

最小值為-3,求上日各段的最大值然后取最大得函數最大值為3.

例3求函數/(x)=J%2+9—%,%e[T,O]的最大值和最小值。

解析：令g(x)=J%>+9,〃(%)=—%,則/O)=g(x)+〃⑴

法三：

因為g(x)和"(x)在xe[T,0]上都是減函數，

單調性法

所以/(%)在xe[T,0]上也是減函數

故/(%)最小值為/(0)=3,最大值為/(-4)=9

例4求函數y=2x-的最值。

解析：含根式，且根式中未知數次數為1,考慮換元法

函數定義域滿足x-120,即定義域為[1,+Q0)(定義域優(yōu)先原則)

令仁早！(后0),則X=r+](換元后緊跟新元范圍，并反解出X)

法四：

換元法代入原式得/⑺=2(產+1)—=2/一+2,是關于t的開口向上的二次函數，對

稱軸為直線/=』，定義域為/e[0,+oo)

4

由二次函數性質可得fe[O2)時，/⑺單調遞減；/e[L+oo)時，/⑺單調遞增

44

所以原函數有最小值，最小值為/(；)=g,無最大值。

例5求函數/。)=必_2內-1在區(qū)間[0,2]上的最值。

法五：解析：本題是二次函數含參問題，這里需有一個概念，含參問題都需分類討論,

分類討論本題關鍵是分類的依據。對二次函數而言，分類依據有兩類，一類是二次項系數的正

(含參二次負零，另一類是對稱軸和所給區(qū)間的大小關系，結合具體問題選擇。

(分類原則：從易到難，不重不漏)

函數)

分類參考：①對稱軸在所給區(qū)間左邊；②對稱軸在所給區(qū)間右邊；③對稱軸在所

給區(qū)間中間。

11

因為/(幻=必一2奴-1,開口向上，對稱軸為直線x=a,接下來我們分類討論：

①當a<0時，/(x)在［0,2］上單調遞增，最小值為/(0)=-1,最大值為/(2)=3-4a；

②當2時，/(x)在［0,2］上單調遞減，最小值為/(2)=3-4a,最大值為/(0)=-1；

③當0VaV2時，/(x)在［0,a］上單調遞減，在［a,2］上單調遞增，最小值均為

7(<2)=-?2-1,最大值則不相同，畫出其大致圖象可得：若OVaWl,最大值為

/⑵=3-4a；若l〈aV2,最大值為/(O)=—1.

綜上，時，最小值為/(0)=-1(或源=>(0)=-1),最大值為"2)=3-4a；

OVaKl時，最小值為/(a)=—儲_1,最大值為/(2)=3—4a；

1V&V2時，最小值為/(a)=—儲―1,最大值為/(0)=—1；

。上2時，最小值為/(2)=3-4a,最大值為/(O)=-l.

題型二：利用單調性比較大小

例如果函數/(x)=-d+bx+c對任意的實數X都有/(2+x)=/(2-X),試比較/⑴，/(2),/(4)的

大小。

解析：V/(2+x)=/(2-x)

???/(x)的對稱軸為直線x=2,又開口向下，故/(2)>/(1)>/(4)

規(guī)律：函數對稱性，f(a+x)=f(a—x),則函數關于直線x=a對稱；若/(a+x)=/(b-x),則函

數關于直線》=巴吆對稱。

2

題型三：利用單調性求參數的值或范圍

題型：已知函數在某個區(qū)間上是增函數(或減函數)，求參數的取值范圍，一般有兩類題型

(1)分段函數，包含直接給出分段形式和含絕對值的函數兩種;

(2)二次函數

解法：(1)分段函數——①各段單調性；②分段點處的單調性

(2)二次函數——比較所給區(qū)間的端點值和對稱軸之間的關系

規(guī)律：函數/(x)=|x-a|的圖象關于直線x=a對稱，練習時可用此技巧簡化運算，但應注意只含一

個絕對值才能使用，如果含兩個或多個絕對值，就應寫成分段形式求解。

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例題：(1)若函數/(x)=1x2+l，在R上是增函數，求實數a的取值范圍。

ax-1,x<l

(2)已知函數/(x)=|x-2a|(aeH)在［l,+oo)上是增函數，求實數a的取值范圍。

(3)若函數/(?=必+2(。-1)%+2在區(qū)間(-00,4］上單調遞減，求實數a的取值范圍。

〃〉0

解析：(1)根據分段函數單調性解法求解即可，由題得,,解得0VaW3,所以實數a的

l2+l>tz-l

取值范圍為(0,3］.

(2)函數/(%)關于直線x=2a對稱，使/(x)在［l,+oo)上遞增，則2aKl,解得故實數a的

取值范圍為(-oo,g］.

(3)函數/(x)的對稱軸為直線x=l-a,使/(x)在區(qū)間(-oo,4］上單調遞減，則-24,解得3,

故實數a的取值范圍為(-g-3］.

題型四：利用單調性解不等式

題型：已知①函數在某個區(qū)間上的單調性；②工(g(x)),人(/z(x))的大小關系，求X的取值范圍。

方法：一般列三個不等式(滿足三個條件)

①g(x)值域在函數/(X)的定義域內；

②h(x)值域在函數/(%)的定義域內；

③根據/(%)的單調性得出g(x)與h(x)之間的大小關系。

易錯：忽視遺漏和定義域相關的兩個不等式。

拓展：不直接告訴A力的大小關系，而是給出某個數字，如工<2,解答時先用賦值法得到/(…)=2,

將不等式轉化為力</(...),從而用上述解法求解。

例題：已知/(x)是定義在區(qū)間［-1,1］上的增函數，且/(%-2)V/(1-%),求x的取值范圍。

解：,??/(X)是定義在區(qū)間［-1,1］上的增函數，且/(x-2)</(1-工)

-I<x-2<1

--1<1-X<1,解得故x的取值范圍為［1,)

??22

x—2VI—x

七、判斷函數的奇偶性

1、方法

方法一：定義法

(1)求;■(%)定義域(定義域優(yōu)先原則)

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(2)判斷了(x)的定義域是否關于原點對稱，若不對稱，則為非奇非偶函數，若對稱，轉第三步

(3)寫出:(-x)的表達式

(4)判斷于(x)馬/(—%)的關系:

若f(x)=/(-x)或/(%)—/(—%)=0或與?=1(/(%)豐0),則函數/(%)為偶函數；

/(X)

若/(X)=—/(—%)或/(X)+/(—X)=0或=T(/(x)牛0)，貝I函數/(X)為奇函數。

于(x)

方法二：圖象法

(1)若函數圖象關于原點中心對稱，則函數為奇函數；若函數圖象關于y軸對稱，則函數為偶函數

(2)若函數圖象既關于原點中心對稱，又關于y軸對稱，則函數既是奇函數又是偶函數

(3)若函數圖象既不關于原點中心對稱，又不關于y軸對稱，則函數不具有奇偶性

方法三：性質法(結論法)

(1)在公共定義域內，偶函數的和、差、積、商仍為偶函數，即偶函數+偶函數=偶函數，偶函數一

偶函數=偶函數，偶函數x偶函數=偶函數，然當尊=偶函數。

偶函數

(2)在公共定義域內

①奇函數的和、差都是奇函數，即奇函數+奇函數=奇函數，奇函數一奇函數=奇函數

②奇函數的積、商都是偶函數，即奇函數X奇函數=偶函數，三餐=偶函數

奇函數

③奇函數X偶函數=奇函數，目粵=奇函數，2嘴=奇函數

偶函數奇函數

(3)若函數/(x)為偶函數，則-/(%)、」一、"(x)|仍為偶函數；

/(x)

若函數/(X)為奇函數，則-/(X)、」一為奇函數，|/(x)|為偶函數。

/(X)

(4)奇函數在對稱區(qū)間上有相同的單調性，偶函數在對稱區(qū)間上有相反的單調性

如奇函數/(處在［a,句上單調遞增，則/(x)在［-4-a］上單調遞增；偶函數/(x)在［a,用上單

調遞增，則/(X)在［-4-a］上單調遞減。

(5)復合函數

/(O奇函數奇函數偶函數偶函數

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t=g(x)奇函數偶函數奇函數偶函數

/[g(x)]奇函數偶函數偶函數偶函數

2、例題

判斷下列函數的奇偶性：

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/、I----/----..，1一九2fx-3x+1,x>0

⑴/(X)=VT；2+V2^(2)f(x)=二c；(3)/(x)=3,

;J|x+21-2[x3+3x2-1,x<0

解：(1)/(%)定義域為{2},不關于原點對稱，則/(%)既不是奇函數也不是偶函數。

(2)/(%)定義域滿足I廠"0,解得一且無工0,

|x+21-2^0

J]-Y2Jl_y2

故函數y(x)定義域為[-1,O)U(O,1],關于原點對稱，且/(改=x三

|%+21-2x

f(一九)-?---('-'1'=_/3，故/(九)是奇函數

(3)由題可知，函數的定義域關于原點對稱

當xX)時，一xVO,貝U/(x)=x3—3/+1,f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1=-f(%)；

當xVO時，一xX),貝=/(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=-f(x),

綜上可知，當xe(-8,0)U(0,+8)時，都有/(x)=-/(-%)，故/(x)為奇函數

規(guī)律：判斷分段函數的奇偶性的方法

法一：圖象法——畫出分段函數圖象，判斷其奇偶性

法二：定義法——寫出函數解析式進行判別

知識補充：函數圖象的三種變換

平移變換左加右減(x),上加下減(y)

題型：根據/(X)圖象畫出了(|x|)的圖象

對稱變換

方法./⑴