淺談不等式的證明

淺談不等式的證明不等式問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，考察學(xué)生對不等式理論熟練掌握的程度也是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的重要方面，同時，不等式也是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此，在每年的數(shù)學(xué)高考題中，有關(guān)不等式的相關(guān)題目占有一定的比例，命題主要涉及解不等式、不等式的證明、不等式的應(yīng)用這三方面，現(xiàn)將不等式的證明進(jìn)行研究。證明不等式有利于提高學(xué)生的分析與綜合能力，證明不等式?jīng)]有固定的程序，一個不等式的證法往往不止一種，證明過程往往是幾種方法的綜合運(yùn)用，但無論是哪種方法，都離不開不等式的基本性質(zhì)，另外在教材中提到了平均值不等式、排序不等式、三角不等式，如果能熟記并能運(yùn)用的話，在證明不等式的過程中會有很大的幫助。下面將詳細(xì)列舉證明不等式的方法。比較法比較法是證明不等式的一種最基本也是最重要的方法，主要有作差比較和作商比較兩種形式。（1）作差比較法的步驟一般為：①作差式②差式變形③判斷差式的正負(fù)④下結(jié)論；在這些步驟中，最難的就是差式變形，常用到的有配方法、通分法、因式分解法等等。（2）作商比較法的步驟為：①作商式②商式變形③判斷商式的值是大于1、小于1還是等于1④下結(jié)論。（3）當(dāng)不等式兩邊為多項式、分式或?qū)?shù)形式時，往往選擇作差法；當(dāng)不等式兩邊為指數(shù)時，常采用作商法。下面將列舉例子進(jìn)行分析，以進(jìn)一步加深對比較法的認(rèn)識。例1若，則證明二、放縮法放縮法是證明不等式所特有的方法，把要證的不等式中的一部分量進(jìn)行放大或縮小，形成新的不等式，而這個新的不等式必須是比原不等式更容易證明的，同時，由新的不等式成立可以推出原不等式成立。另外，放縮目標(biāo)必須明確，從實際出發(fā)，從原不等式過渡到新的不等式是證明的關(guān)鍵。下面就實際例子進(jìn)行分析。若五、分析法由已知條件推導(dǎo)出結(jié)論時，采用綜合法為宜，但當(dāng)證明不知如何下手時，往往采用分析法，分析法是從求證的不等式出發(fā)，尋求其成立的充分條件，直至與題設(shè)相同為止，從而斷定所要證明的不等式成立。其特點是“執(zhí)果索因”六、反證法反證法是一種間接證法，首先從假設(shè)結(jié)論不成立開始，推出矛盾，從而判定假設(shè)不成立，最后判定結(jié)論成立，當(dāng)我們所要證明的不等式具有特點：1、直接證明比較困難；2、結(jié)論的反面比結(jié)論本身更具明確性。這時我們可考慮使用反證法。七、數(shù)學(xué)歸納法這是數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，在高中數(shù)學(xué)中常用來證明不等式成立。（1