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期中學(xué)業(yè)水平檢測(cè)
一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,
只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.(2021江蘇無錫錫山高級(jí)中學(xué)高一期末)命題"小R2萬-|引20”的否定是()
A.\!xeR,2x-\x\<0B.3x&R,2x-\x\<0
C.2xeR,2^r|x\<0D.VxeR,2尸|x|<0
2.(2021江蘇啟東高一期末)已知全集上R,集合片{引2系-『340},小{引水1},貝1」印
(。閹=()
B.[-1,0]u[i,1]
C.{1}D.0
3.(2021江蘇海門第一中學(xué)高一期末)若命題FxeR.aV-a廠2>0”為假命題,則實(shí)數(shù)a
的取值范圍是()
A.(-8,-8]u[0,+8)B.(-8,0)
C.(-8,0]D.[-8,0]
5
4.(2021江蘇鹽城高三一模)函數(shù)尸篇在其定義域上的圖象大致為()
A
B
c
D
5.(2021江蘇連云港高一期末)甲、乙、丙、丁四人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,四人在成績(jī)公布
前作出如下預(yù)測(cè):
甲預(yù)測(cè)說廣我不會(huì)獲獎(jiǎng),丙獲獎(jiǎng).”
乙預(yù)測(cè)說:“甲和丁中有一人獲獎(jiǎng).”
丙預(yù)測(cè)說:“甲的猜測(cè)是對(duì)的
丁預(yù)測(cè)說:“獲獎(jiǎng)?wù)咴诩?、乙、丙三人?/p>
成績(jī)公布后表明,四人的預(yù)測(cè)中有兩人的預(yù)測(cè)與結(jié)果相符,另外兩人的預(yù)測(cè)與結(jié)果
不符,已知有兩人獲獎(jiǎng),則獲獎(jiǎng)?wù)呖赡苁?)
A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.乙和丁
6.(2021江蘇南通高一期中調(diào)研)若x〉0,y>0,且2+三1,x+2yW一2加恒成立,則實(shí)數(shù)加
xy
的取值范圍是()
A.(-2,4)B.(-8,-2)11(4,+8)
C.(一8,一4)11(2,+8)D.(-4,2)
7.(2021福建三明高一期末)設(shè)函數(shù)五團(tuán)的定義域?yàn)镽,滿足4尸2)=2f(x),且當(dāng)XG[-
2,0)時(shí),f(x)=-2Mx+2).若對(duì)任意於[典+8),都有穴切毛則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(
A.[|,+8)B,g,+-)C,原+8)D,g,+-)
8.(2021江蘇常州高二期中)已知函數(shù)4^i+ln言,若《就前+f(施)+…+
f(湍)+f(湍)=審但偽,其中6〉。,則擊+即的最小值為()
A.1B4C.V2D.孝
44L
二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多
項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得3分)
9.(2021江蘇東海高級(jí)中學(xué)高一期中)圖中矩形表示集合UAB是〃的兩個(gè)子集則
陰影部分可以表示為()
一
A.(C/)n夕B.
C.C/"n(C?]D.CAU^4
10.(2021江蘇泰州高一期末)設(shè)函數(shù)穴x)=G);下列說法正確的是()
A.函數(shù)/(x)是偶函數(shù)B.函數(shù)五幻是奇函數(shù)
C.函數(shù)4幻有最大值1D.函數(shù)在(-8,0)上單調(diào)遞減
11.(2021湖北五校聯(lián)考)設(shè)a=log2661og3:,則下列結(jié)論正確的是()
A.-a-bB.ab<0
C.2H5〈0D.+i
12.(2021江蘇揚(yáng)州中學(xué)高一期中調(diào)研)德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯
著,狄利克雷函數(shù)就以其名命名,其解+析式為/為有理數(shù)’關(guān)于函數(shù)/X)有以下
(0,%為無理數(shù).
四個(gè)命題,其中真命題有()
A.久幻既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
B.Y夫。,仄x+午氏同
C.V在R,4〃x)]=l
三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)
13.(2021上海高一期中)函數(shù)尸2-m行,尾[0,4]的取值范圍是.
14.(2021山東德州高一期末)已知。€卜14-2},若黑函數(shù)f(x)=x"在(0,+8)上單調(diào)遞
增,則興1困16)=.
15.(2021河北石家莊一中高一期末)已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且VE,X2
40,+8),都有吟*11〉0(為生為),且武3)=2,則不等式f(x)”的解集為.
16.(2021江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)高一期末)已知定義在R上的偶函數(shù)五團(tuán)滿足-x)+f(l+x)
=0,且當(dāng)0<^<1時(shí),f(x)=log3(a-x).
⑴,;
(2)若對(duì)于任意xe[T,0],都有傘2_翦滬―iog35,則實(shí)數(shù)力的取值范圍
為.
四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(10分)(2021江蘇宿豫中學(xué)高一月考)已知函數(shù)五止9,-
28X3叫243,4x)=log2r-log2理
⑴設(shè)集合在{xeR|4x)40},求集合A-,
(2)當(dāng)xeA時(shí),求雙幻的最大值和最小值.
18.(12分)(2021山東高一期末)已知集合力={引y-7矛+10<0},展{x|(『a)(二a-2)<0}.
⑴若醫(yī)4求實(shí)數(shù)a的取值集合就
(2)若爐log25Tog240,小lg40+21g5,求〃,〃的值,并從下列所給的三個(gè)條件中任選
一個(gè),說明它是⑴中的什么條件.(請(qǐng)用“充要條件”“充分不必要條件”“必要不充
分條件”“既不充分也不必要條件”回答)
①ae|m,?②ae|m,|n];(3)ae[|n,-m].
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
19.(12分)(2021江蘇江陰高級(jí)中學(xué)高一期中)在“基本不等式”應(yīng)用探究課中,甲和乙
探討了下面兩個(gè)問題:
⑴已知正數(shù)x、y滿足x+2戶1,求;+和最小值.
甲給出的解法:由x+2產(chǎn)122班玩得回工點(diǎn),
貝壯+生2戶=等28,所以工+2的最小值為8.
Xyy/xyy[xyxy
而乙卻說這是錯(cuò)的.請(qǐng)你指出其中的問題,并給出正確解法;
(2)結(jié)合上述問題⑴的結(jié)構(gòu)形式,試求函數(shù)片+怎(o<x<4)的最小值.
20.(12分)(2021江蘇馬塘中學(xué)高一期中)某汽車制造企業(yè)計(jì)劃在2021年引進(jìn)新能
源汽車生產(chǎn)設(shè)備,通過市場(chǎng)分析,全年需投入固定成本2500萬元,每生產(chǎn)M百輛),
需另投入成本6(x)(萬元),且每輛新能源汽車的售價(jià)為
IJUIXH-------------4bUU,XN4U,
、x
5萬元,并且全年內(nèi)生產(chǎn)的汽車當(dāng)年全部銷售完.
⑴求2021年的年利潤(rùn)£(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量M百輛)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)2021年年產(chǎn)量為多少百輛時(shí),該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).
21.(12分)(2021浙江杭州第二中學(xué)高一期末)已知aeR,設(shè)函數(shù)i[x)=x\x-a\-x.
⑴當(dāng)3=1時(shí),解關(guān)于X的不等式10g3。小1;
(2)若對(duì)于任意的xe[0,4不等式T4/(x)46恒成立,求實(shí)數(shù)力的最大值及此時(shí)a
的值.
22.(12分)(2021江蘇侯集中學(xué)高一階段檢測(cè))已知函數(shù)4x)=lg(^+a),aeR.
⑴若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值;
(2)在⑴的條件下,判斷函數(shù)戶f(x)與函數(shù)戶lg(2)的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明
理由;
⑶當(dāng)xe[l,2)時(shí),函數(shù)尸穴2)的圖象始終在函數(shù)產(chǎn)lg(4-2、)的圖象上方,求實(shí)數(shù)a的
取值范圍.
冬空
期中學(xué)業(yè)水平檢測(cè)
1.C因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題,所以命題“VxGR,2『|x|N0”
的否定是“MGR,2『|引<0".故選C.
2.A由2/-『3W0,得(x+1)(2『3)W0,解得-1WXW|,所以R付-1W%工斗
因?yàn)槿餜,Q={x\XI},所以[〃0{x]x21}.
所以9n(C^={x|l<%<|).故選A.
3.D,命題“mxWR,ax?-2〉0"為假命題,,命題“VxGR,ax?-2W0"為真
命題.
當(dāng)a=0時(shí),-2W0成立.
當(dāng)aWO時(shí),[。<為解得-8Wa<0.
((-a)+8a<0,
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-8,0],故選D.
4.D函數(shù)的定義域?yàn)?-00,-1)U(-1,0)U(0,1)U(1,+8),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
5
又廣(一x)=-怨=-f(x),故M為奇函數(shù),故排除A、B選項(xiàng);
當(dāng)x〉l時(shí),/'(x)>。.故選D.
5.C二?甲預(yù)測(cè)說:我不會(huì)獲獎(jiǎng),丙獲獎(jiǎng),而丙預(yù)測(cè)說:甲的猜測(cè)是對(duì)的,
???甲和丙的說法要么同時(shí)與結(jié)果相符,要么同時(shí)與結(jié)果不符.
若甲和丙的說法同時(shí)與結(jié)果相符,則丁的說法也對(duì),這與“四人的預(yù)測(cè)中有兩人的
預(yù)測(cè)與結(jié)果相符,另外兩人的預(yù)測(cè)與結(jié)果不符”相矛盾,故錯(cuò)誤;
若甲和丙的說法與結(jié)果不符,則乙、丁的預(yù)測(cè)成立,
所以甲獲獎(jiǎng),丁不獲獎(jiǎng);丙獲獎(jiǎng),乙不獲獎(jiǎng).
故選C.
6.A不等式x+2y>〃2_2w恒成立,即而-2冰(x+2y)min,
x+2尸(x+2y)G+3=4+7羅4+2%??=8,
當(dāng)且僅當(dāng)臺(tái)子,即卡2y時(shí),等號(hào)成立,與條件g=1聯(lián)立,解得尸4,尸2,
yxxy
所以x+2y的最小值是8,
即濟(jì)-2加8,解得-2〈欣4.故選A.
7.D當(dāng)xG[-2,0)時(shí),f(x)=-2x(x+2)=-2(x+1)2+2,故f(De[0,2].
當(dāng)xG[0,2)時(shí),『2e[-2,0),因?yàn)?"(『2)=2/(x),所以f(x)帶/(『2)=-x(『2)=-
(^-1)2+1,故廣(x)e[0,1].
同理,當(dāng)xe[2,4)時(shí),/(x)目0,外
當(dāng)二[2;2與時(shí),廣(x)£[0,田,其中4GN*.
如圖所示,
?y
-2O24
令-(『1)2+1高得產(chǎn)|或A=j.
由圖知,若對(duì)任意XG[典+8),都有r(x)0則G|.故選D.
8.A因?yàn)閺V(x)=『]+ln胃,
e(x)
所以/(X)+/1(e-x)=x--+1n—+(e-x)--+ln^,
2e-x2e-[e~x)
=ln-^+ln^=lnf—?—1=lne=2,
e-xx\e-xxI
令s=4高)+4施)+…+4益)+4益),
貝I」2s=,(布)鬻)]+,信劫+f(溫)]+…+[?溢)+4高)]=2*2019,所以要2
019,
所以等(a+〃=2019,所以a+斤2,則干2-&其中6>0.
當(dāng)a〉。時(shí),…導(dǎo)華技+受=恁+曠小
=KI+^+T)-I^(I+2<71)-I=^
當(dāng)且僅當(dāng)豪牛,即吟片時(shí),等號(hào)成立.
當(dāng)a〈。時(shí),士+興4+吉好盧高+尹1
=26+書?38)+號(hào)(一殲弓+知+1
送匕+2"吊+1得,
當(dāng)且僅當(dāng)卷=等,即a=-2,尺4時(shí),等號(hào)成立.
因?yàn)槲?所以“+用的最小值為
故選A.
9.ABD由圖知:當(dāng)〃為全集時(shí),表示集合A的補(bǔ)集與集合B的交集,
當(dāng)£為全集時(shí),表示zns的補(bǔ)集,
當(dāng)力U6為全集時(shí),表示A的補(bǔ)集,
故選ABD.
io.AC因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽,且所以f(x)是偶函數(shù),A正
確,B錯(cuò)誤;
令片1引,則后0,所以尸針(注0),所以0<yWl,C正確;
當(dāng)水0時(shí),f(x)=(獷久=2,是單調(diào)遞增函數(shù),所以D錯(cuò)誤.
故選AC.
11.ABD對(duì)于A,因?yàn)?;產(chǎn)Iog62+log63=l,所以A正確;
對(duì)于B,因?yàn)閏F=log26>0,Z^-log36<0,所以ab<0,所以B正確;
對(duì)于C,因?yàn)槟?log62Tog63=log6|<0,所以誓<0,而ab<Q,所以a+b>0,所以C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,由齊+澧表=(1+曠+/然+1=2(計(jì)相為
因?yàn)閘og63>log6V6=i,所以六《所以白泰號(hào)所以D正確?
故選ABD.
12.BCD對(duì)于A,當(dāng)x為有理數(shù)時(shí),-x為有理數(shù),則〃(-x)=〃(x)=1;
當(dāng)X為無理數(shù)時(shí),-X為無理數(shù),則D(-x)=D(x)=0.
故當(dāng)xGR時(shí),。(-x)=〃(x),...函數(shù)為偶函數(shù).
所以A不是真命題.
對(duì)于B,VrEQ,當(dāng)x是有理數(shù)時(shí),x+r是有理數(shù),〃(x+r)=〃(x)=l,
當(dāng)x是無理數(shù)時(shí),x+r是無理數(shù),。(x+r)=D(x)=0,所以B是真命題.
對(duì)于C,若自變量£是有理數(shù),則見〃(x)]=〃(l)=l,
若自變量x是無理數(shù),則加〃(x)]=〃(0)=l,所以C是真命題.
對(duì)于D,產(chǎn)笈是無理數(shù),產(chǎn)痣是無理數(shù),則x+產(chǎn)笈+痣是無理數(shù),
則〃(x+y)=0,〃(x)+〃(y)=0+0=0,滿足〃(x+y)=〃(x)+〃(y),所以D是真命題.
故選BCD.
13.答案[0,2]
解+析y=2-]-x2+4x=2-J-(%-2)2+4,[0,4],
而0W—(A^2)2+4W4,XW[0,4],
.,.0<J-X2+4X^2,/.2-2<2-J-x2+4x^0+2,即0^y^2.
14.答案2
解+析f(x)才在(0,+8)上單調(diào)遞增,a>0.
aG{-1,1,-2},Aa=5.?.f(x)=xL
11
.,.f(log216)=(log216)M^=2.15.答案(-3,0)U(3,+8)
解+析令g(x)=xf(x),則Vxi,[o,+8),都有黨野1〉O(X]WX2),
所以g(x)是[0,+8)上的增函數(shù).
因?yàn)楹瘮?shù)r(x)為定義在R上的奇函數(shù),所以r(-x)=-r(x),
所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)是定義在R上的偶函數(shù),
所以g(x)在(-8,0)上是減函數(shù).
當(dāng)x〉0時(shí),f(x)〉5化為xf(x)〉6=3廣⑶,即g(x)〉g(3),因?yàn)間(x)是[0,+°°)上的增
函數(shù),所以x〉3.
當(dāng)水0時(shí),f(x)〉5化為xf(x)<6,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),且f(3)=2,所以f(-3)=-
f(3)=-2,所以xf(x)<6化為g(x)<-3f(-3)=虱-3),因?yàn)間(x)在(-?=,0)上是減函
數(shù),所以-3〈*0.
綜上所述,/'(x)〉:的解集為(-3,0)U⑶+8).
16.答案(1)2;(2)[-|,1]
解+析(1)由于函數(shù)戶r(x)滿足/1(i-x)+r(i+x)=o,
將A=0代入/(l-x)+f(l+x)=O可得2/(1)=0,.,./(1)=0.
當(dāng)OWxWl時(shí),f(x)=log3(a-x),則f(l)=log3(a-l)=0,解得a=2.
(2)由于函數(shù)片f(x)為R上的偶函數(shù),且滿足/(1-x)+f(l+x)=0,
I.f(xT)+/"(e1)=0,可得/"(x+1)+f(x+3)=0,.../1(此l)=f(x+3),
可得出r(x)=f(x+4),
???函數(shù)片f(x)是周期為4的周期函數(shù).
當(dāng)xG[T,0]時(shí),-xG[0,1],則f{x)=f(~x)=log3(2+x),
當(dāng)xG[-1,1]時(shí),f(x)=log3(2-|x|),
Vf(l+x)+r(『x)=0,廣(2-x)+f(x)=0,可得f(x)=-廣(2-才),
當(dāng)[1,3]時(shí),2-xG[-1,1],則f(x)=-f(2-x)=Tog3(2T2-x|).
l-log35=log3|=-log3|=-/(i)=-41-1)=41+|)=4|),
由于函數(shù)尸/V)為R上的偶函數(shù),???4-|)=4|),
作出函數(shù)產(chǎn)廣(x)的圖象如下圖所示:
2
由f[x-tx-|)^l-log35,可得4A(A@Z),對(duì)任意的[-1,0]恒
成立,
當(dāng)產(chǎn)0時(shí),則有一|+44WqW|+44(AWZ),,F(xiàn)0,
即豺寸任意的xG[-1,0]恒成立.
當(dāng)xe[-1,0)時(shí),由三-笈力巳一|可得力巳(%+幼
?.?函數(shù)/1(xhx+W在區(qū)間[-1,0)上單調(diào)遞減,.?"(x)?a*=TY=(即t^i;
由三一可得々(%-%加由于函數(shù)g(x)=『:在區(qū)間[-1,0)上單調(diào)遞增,則
g⑸而n=g(T)=T+2=l,1W1.
綜上所述,實(shí)數(shù)t的取值范圍是[=,1],
17.解+析(1)由f(x)=9-28X3^+243^0,W(30-84X3"+243^0,
即(3-3)(3-81)WO,1.3W3*W81,(2分)
解得1WXW4..,.上{xGR|1WXW4}.(4分)
(2)^(A)=log2y,log2^=(21og2A^3)(|log2x-l)
22
=(log2x)-|log2^+3=(log2x-0-i.(7分)
???xG[1,4],.?.logzxG[0,2],
?*.當(dāng)log2A=0時(shí),g(x)111ax=3,
當(dāng)log?產(chǎn)尹寸,g(x)mln=-^.
故g(x)的最大值為3,最小值為q.(10分)
18.解+析(1)易得A={x\x-7x+10<0}-{x\2〈/5},B={x\{x~a)(x-a~
2)<0}={x|a<jKa+2}.(2分)
因?yàn)獒t(yī)4所以『當(dāng)]二(4分)
解得2WaW3,所以游{x|2WxW3}.(6分)
(2)止log25Tog240=log2[=log22T=-3,(g分)
77=lg40+21g5=lg1000=lg103=3.(10分)
若選①,則"ae『3,是"ae[2,3]”的既不充分也不必要條件.(12分)
若選②,則[-3,5]”是“a£[2,3]”的必要不充分條件.(12分)
若選③,則"a目|,3]”是若£③,3]”的充分不必要條件.(12分)
19.解+析(1)甲的解法錯(cuò)誤,原因:使用了兩次基本不等式,兩次基本不等式取等
號(hào)的情況不能同時(shí)成立.(2分)
正確解法:
當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)產(chǎn)方時(shí),等號(hào)成立.(4分)
(2)令x=m,1-2x=n,則/>0,n>0,
可將“求函數(shù)f(x)W+崔的最小值”轉(zhuǎn)化為“已知2研小1,求?+.(6分)
因?yàn)锳+H)(2研血=5+法25+2^^~^=5+2值(8分)
當(dāng)且僅當(dāng)斤含,爐妥時(shí),等號(hào)成立,(10分)
所以當(dāng)產(chǎn)磊時(shí),函數(shù)#x)W+怎取得最小值,最小值為5+2V6.(12分)
20.解+析⑴當(dāng)0〈水40時(shí),£(x)=500『10V-100『2500--10/+400^2500;
當(dāng)x240時(shí),£(才)=500牙-501牙-生衿+4500-2500=2000-
.T()=/10%2+400%-2500,0<%<40,(4不
,^-(2000-(%+^),%>40.〈刀J
(2)當(dāng)0〈水40時(shí),£(x)=-10(x20)2+15oo,
...當(dāng)產(chǎn)20時(shí),/(x)max=£(20)=l500;(5分)
當(dāng)x240時(shí),/(x)=2000-(%+噌)W2000-2卜?呼=2000-200=1800,當(dāng)且僅
當(dāng)產(chǎn)等,即產(chǎn)io。時(shí),等號(hào)成立,(7分)
.../(X)皿=£(100)=1800.(9分)
VI800>1500,
當(dāng)下100,即2021年年產(chǎn)量為100百輛時(shí),該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大,且最大利潤(rùn)為
1800萬元.(12分)
21.解+析⑴當(dāng)時(shí),廣⑸"I-產(chǎn)仁2:或1,(1分)
由log3f{x)<1可得0<Ax)<3.(2分)
當(dāng)時(shí),0〈/_2水3,即仔八解得2〈水3;
((%-3)(x+1)<0,
當(dāng)x〈l時(shí),-/>0,無解.
所以不等式logsf(x)<l的解集為{d2〈水3}.(5分)
⑵『(x)"『a-A=h2+(咤居%<見
(%2-(a+l)x,x>a.
①當(dāng)a<-l時(shí),a<E_l<£±l<0,r(x)在[0,H上單調(diào)遞增,所以
22
f{x)min=/(0)=0,f{x)max=/(t)=t-(a+1)t.由題意得廣(才)則忘6,即t-(a+l)々6,
解得0W1w四乒亙
令z/F-(a+l),則R2o,力(血,其在[o,+8)上單調(diào)遞減,所以
2Vni2+24+7?i
/2(ffl)max=A(0)=76,所以當(dāng)a=T時(shí),如、=后.(7分)
②當(dāng)-l<aW0時(shí),小a<0〈等,f(x)在[0,等]上單調(diào)遞減,在,,+8)上單調(diào)遞增,所
以“必出=4竽尸噌£匕,0),
f^X)max=/,(t)=t2-(^1)t.由題意得f(x)?axW6,即/-(且+1)tW6,解得0W力W
a+l+J(a+l)2+24
2"
令77=a+l,則O"W1,瓜玲二吟運(yùn),其在(0,1]上單調(diào)遞增,
所以力?則=力(1)=3,所以當(dāng)a=0時(shí),%x=3.(9分)
③當(dāng)(KaWl時(shí),等W(KaW等,f(x)在[0,a]和口,等]上單調(diào)遞減,
在[等,+8)上單調(diào)遞增,所以f(x)小二川等戶-等近目一1,V),
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