專題10 圓錐曲線（選填題6種考法）（老師版）

專題10圓錐曲線（選填題6種考法）考法一直線與圓22【答案】A=25的位置關(guān)系為A．相離B．相切C．相交D．不能確定【答案】Crr2=25的位置關(guān)系為相交.故選：C.【例1-3】（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知直線y=kx+m（m為常數(shù)）與圓x2+y2=4交于點M，N，當(dāng)k變化時，若|MN|的最小值為2，則m=【答案】C【解析】由題可得圓心為(0,0)，半徑為2，則圓心到直線的距離d=，則下列說法正確的是()A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【解析】圓心C(0,0)到直線l的距離d=，2a222ra222raa22則直線l與圓C相切，故A正確；則直線l與圓C相離，故B正確；則直線l與圓C相交，故C錯誤；所以d==r，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.A．點P到直線AB的距離小于10B．點P到直線AB的距離大于2C．當(dāng)ZPBA最小時，PB=3D．當(dāng)ZPBA最大時，PB=3【答案】ACD2=16的圓心為M(5,5)，半徑為4，圓心M到直線AB的距離為 5+2x54 5所以，點P到直線AB的距離的最小值為一4<2，最大值為+4<10，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當(dāng)ZPBA最大或最小時，PB與圓M相切，連接MP、BM，可知PMLPB，=，MP=4，由勾股定理可得BP=BM2MP2=3，CD選項正確.故選：ACD.考法二橢圓【例2-1】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知F1，F(xiàn)2是橢圓MF【答案】C2【例2-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓+=1的左頂點為A，右焦點為F，M是橢圓上任意一點，【答案】D,y0,y0)(x008+12x002.0解法二：設(shè)M(x0,y0)，取線段AF的中點N，則N(一1,0)，連接MN.----2---2 MA.MF==4----2---2 MA.MF==4429020002.0,A2分別為C的,A2分別為C的------2【答案】B22，A1,A2分別為C的左右頂點，則A(a,0)，B為上頂點，所以B(0,b).------------------------所以a22【例2-4】2023·廣西桂林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓+=1的左、右焦點，P為橢圓上一動點，F(xiàn)2關(guān)于直線PF1的對稱點為M，F(xiàn)1關(guān)于直線PF2的對稱點為N，當(dāng)MN最大時，則△F1PF2的面積【答案】D,0，連接PM，PN，此時ZMPF1=ZF1PF2=ZNPF2，ZMPF1+ZF1PF2+ZF2PN=180O，O，在△F1PF2中，由余弦定理可得(2c)2=PF12+PF222PF1PF2cosZF1PF2，PFPF△MF1F2為等腰三角形，則△MF1F2的內(nèi)切圓半徑為()=1的兩個焦點，M為C上一點．若【答案】D此時△MF1F2的面積為S=x8x2=8，2,2,(三角形內(nèi)切圓半徑公式的推導(dǎo)：S‘ABC=S‘OAB+S‘OBC+S‘OAC=r(|AB|+|BC|+|AC|))當(dāng)M點不在橢圓短軸端點時，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨假設(shè)在第一象限內(nèi)，此時|MF1|>|MF2|,此時|MF2|<|AF2|=6，由△MF1F2為等腰三角形，綜合可得△MF1F2的內(nèi)切圓半徑為或，故選：D考法三雙曲線【例3-1】（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知F為雙曲線C:-=1的左焦點，P為其右支上一點，點A(0,6)，則‘APF周長的最小值為()【答案】B‘APF的周長為,當(dāng)且僅當(dāng)M，P，A三點共線時取等號，則‘APF周長的最小值為4+6．故選：B.左、右焦點，點P在雙曲線的右支上，若‘POF2是面積為2的正三角形，則b2的值為()【答案】C 12‘POF2是面積為2的正三角形，即S= 12A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B所以“m>2”是“方程+=1表示雙曲線”的充分不必要條件.【例3-4】（2023·云南曲靖·統(tǒng)考一模多選）已知雙曲線C過點(3列結(jié)論正確的是()A．C的方程為x2_=1C．曲線y=ex_2_1經(jīng)過C的一個焦點D．C的焦點到漸近線的距離為1【答案】CD【解析】因為雙曲線C的漸近線方程為x士y=0，則設(shè)雙曲線C：_y2=λ(λ產(chǎn)0)，右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點F1，與雙曲線的漸近線交于點A，若ZF1F2A=，則雙曲線的標【答案】C因為AF1lF1F2且ZF1F2A則△F1F2A為等腰直角三角形，且AF1FFFFc222|考法四拋物線【答案】B【例4-2】2023·湖南湘潭·統(tǒng)考二模）過點(1,2)作直線，使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點，這樣的直【答案】B滿足要求，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為y-2=k(x-1)，2當(dāng)k=0時，解得x=1,y=2，直線y=2與拋物線有且只有一個交點，符合題意；即當(dāng)k=1時，符合題意．綜上，滿足條件的直線有2條.兩點，且點A在第一象限，若△AFB為等腰直角三角形，則AF=()【答案】A【解析】解：法一由拋物線的對稱性知∠AFB為直角，且ZAFx=.易知焦點F(1,0)，所以直線AF的方程為y=x-1.所以A，法二由拋物線的對稱性知∠AFB為直角，且ZAFx=.P為C上的一個動點，則()A．C的準線方程為x=-1B．若M(0,3)，則PM的最小值為2C．若M(3,5)，則△PMF的周長的最小值為11D．在x軸上存在點E，使得ZPEF為鈍角【答案】BC【解析】A選項：因為點A(2,1)在拋物線C:x2=2py上，所以22=2p，解得p=2，所以拋物線C的方程為x2=4y，所以C的準線方程為y=-1，故A錯誤；2=x0因為M(0,3)，所以PM2=x020-2(y0-1)2當(dāng)且僅當(dāng)y0=1時等號成立，所以PMmin=2，故B正確；C選項：過點P作PN垂直于C的準線，垂足為N，連接MN，則PN=PF，易知F(0,1)，M(3,5)，所以MF=所以△PMF的周長為2當(dāng)且僅當(dāng)M，P，N三點共線時等號成立，所以△PMF的周長的最小值為11，故C正確；02x0t+y0，因為點P(x0,y0)在C上，2------x------x------EF.EP之0，故ZPEF之0，故ZPEF不可能為鈍角，故D錯誤.------EF.EP故選：BC.考法五點差法于y軸對稱．若直線AP,AQ的斜率之積為，則C的離心率為() 2【答案】A1_b22a1_b22a2x12.故答案為：.【解析】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)P(x1,y1)，則Q(_x1,y1) y11__x+a122x1y1a22b2a2_x12a2,所以b2a2_x12aa22+2+a1_x c ca4k=_k[方法二]：第三定義設(shè)右端點為B，連接PBk=_k故kAP.kAQ=kPA._kAQ=_，由橢圓第三定義得：kPA.kAQ=_，故=在的直線方程為x+2y_3=0，則橢圓的離心率為.【答案】【解析】設(shè)直線x+2y_3=0與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)，則k==2x=__2y2b2a2a2)2x=__2y2b2a2a2)c a12 2【答案】xy _a2b2=1(a>0,b>0)被斜率為4的直線截得的弦AB的中點y1__y2x_y1__y2x_x將A,B兩點坐標代入雙曲線方程得：_=1；_=1將上述兩式相減可得：=4(x1_x1)2ab2 2a2(y1b2 2ab22所以e2故答案為：2y3y3取值范圍為.=1上存在兩個點關(guān)于直線l:y=kx+4(k>0)對稱，則實數(shù)k的【解析】依題意，雙曲線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，2又y12=，設(shè)AB的中點是D(x0，y0)，00因為AB的中點D在直線l:y=kx+4(k>0)上，2實數(shù)k的取值范圍為：0,u,+構(gòu)故答案為：0,u,+構(gòu).【例5-5】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線l與橢圓+=1在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且|MA|=|NB|,|MN|=2，則l的方程為.【解析】[方法一]：弦中點問題：點差法12令A(yù)B的中點為E，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用點差法得到k12,再根據(jù)MN求出k、m，即可得解；即kOE.kAB12 2k2m2[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點E既為線段AB的中點又是線段MN的中點，mmm則Mk,0，N0,m，E2k,2，因為MN2，所以O(shè)Emmmykxm聯(lián)立直線AB與橢圓方程得x2y21消掉y得(12k2)x24mkx2m2602-4(12k2)26x∴AB中點E的橫坐標xE12,又E,，∴xE12=∵k0，m0，∴k=-,又OE=，解得m=2所以直線AB:yx2，即xy20[方法三]：令A(yù)B的中點為E，因為MANB，所以MENE，所以0y1y2y1y21所以xxx,即kOEkAB，設(shè)直線AB:ykxm，k0，m0，mmmm令x0得ym，令y0得xk，即Mk,0，N0,m，所以E2k,2，mmmm即k，解得k或k（舍去2又MN2，即MNm22m2，解得m2或m2（舍去2所以直線AB:yx2，即xy20；由橢圓C1長軸一端點P和短軸一端點Q分別向橢圓C2引切線PR和QT，若兩切線斜率之積等于-，則橢【答案】【解析】由題可知P(-a,0)，Q(0,b)，2ka2+b2)x2+2ka3x+ka4-ta2b2=0，2ka4-ta2b2)=0，整理可得k=(1ta2，PFPF+PF2ka2+b2)x2+2k2a2bx+a2b2-ta2b2=0，2a2b2-ta2b2)=0，整理可得k=(2又兩切線斜率之積等于-，考法六離心率【例6-1】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知F1,F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且【答案】A-------------------Q在橢圓C上，若=PF-------------------Q在橢圓C上，若=PF-PF2【答案】A------------------【解析】由PF1+PF2=PF1-PF2，得PF1LPF2，則點P是以F1F2------------------點P在第一象限，如圖22 -a2b2焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若CD=|AB|．則雙曲線的離心率為()【答案】A22【解析】設(shè)雙曲線xy【解析】設(shè)雙曲線 -a2b2=2px(p>0)的公共焦點為(c,0)，則拋物線y2=2px(p>0)的準線為x=-c，2bcaCD=2又因為雙曲線的漸近線方程為2bcaCD=22-b2..a故選：A.,滿足|PB|<2b，則C的離心率的取值范圍是()PBPB【答案】C2=x02=x00-b)2(y0-b)2=-y0+2+22，22maxPB2maxPB等式不成立.22maxPB222maxPB2b4222b4222c0，顯然該不過F1的直線與圓x2+y2=a2相切于點Q，與雙曲線的右支交于點P，若線段PQ的垂直平分線恰好過右焦點F2，則雙曲線C的離心率為()【答案】A由題意過F1的直線與圓x2+y2=a2相切于點Q，連接OQ,則OQLF1P,連接PF2,設(shè)M為PQ的中點，則MF2LPQ,:MF2LPF1,則OQⅡMF2,則|MQ|=b，由于M為PQ的中點，所以|MP|=b,2222在雙曲線=1中，P在右支上，有|PF1PF2|=2所以|PF2=3b2a，又|MF22+MF2所以在Rt‘F2MP2+MF22,即4a22故雙曲線的離心率為e=c aa4=222【例6-6】（2023·【例6-6】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知雙曲線C: a2b2直線與C的左、右兩支分別交于點M,N，且F1M:F2N:|【答案】Db2m2a2)y22mcb2y+b4=0，b42mcb2y12m2a2,y1.y2=b2m2b42mcb2由F所以MN= (y124y1.y22b24a2=4a，aa22a12021·全國·統(tǒng)考高考真題）拋物線y2=2px(p>0)的焦點到直線y=x+1的距離為，則p=()【答案】B【解析】拋物線的焦點坐標為,0，其到直線x-y+1=0的距離：d=解得：p=2(p=-6舍去)p-2p-22021·北京·統(tǒng)考高考真題）若雙曲線C:-=1離心率為2，過點(,)，則該雙曲線的方程為()222A．2x2-y2=1B．x2-y=1C．5x2-3y2=1D．x-y=1【答案】B因此，雙曲線的方程為x2-=1.故選：B32021·全國·高考真題）點(3,0)到雙曲線-=1的一條漸近線的距離為()【答案】A【解析】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：x2542021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)B是橢圓x25=1的上頂點，點P在C上，則PB的最大值為()A.52B.66C.55【答案】A2x 05【解析】設(shè)點P(x0,y0)，因為B(0,2x 051-y0-12<1，所以當(dāng)y0=-時，PB的最大值為．故選：A.圓C內(nèi)一點，點Q(a,b)在雙曲線E：-=1上，若橢圓上存在一點P，使得PA+PF2=8，則a的取值范圍是()【答案】A【解析】點Q(a,b)在雙曲線E：-=1上，所以a2-b2=4.所以橢圓左焦點F1坐標為(-2,0). b2,a2a2-4A因為a2-b2=4，所以b b2,a2a2-4A則“m>2”是“直線l與圓C一定相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】Al-x-3y+4=0l-x-3y+4=0所以如果m>2，則l與C必定相交，如果l與C相交，不一定能得到m>2也可能是m=2，所以“m>2”是“直線l與圓C一定相交”的充分不必要條件；故選：A.72023·全國·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知一個離心率為，長軸長為4的橢圓，其兩個焦點為F1，F(xiàn)2，在橢圓上存在一個點P，使得ZF1PF2=60。，設(shè)△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為r，則r的值為()【答案】D【解析】因為橢圓的離心率為，長軸長為4，所以a=2 PFF上存在一點M，使得F1F22=|MF1|.|MF2|，則橢圓C的離心率的取值范圍是()【答案】A所以a24c2=2mn292023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）以雙曲線一=1(a>0,b>0)的實軸為直徑的圓與該雙曲線的漸近線分別交于A，B，C，D四點，若四邊形ABCD的面積為a2，則該雙曲線的離心率為()【答案】B【解析】依題意，根據(jù)雙曲線與圓的對稱性，可得四邊形ABCD為矩形，如圖，不放設(shè)點A(x0,y0)(x0>0,y0>0)位于第一象限，則SABCD=2x0x2y0=4x0y0，所以所以以雙曲線22xy a2b22=a2=a=a=a,將將y00=x0a=a=a2x2，a22022.x=a0a22，22，則4ab=c2,,截得的弦長之比為1:，則圓C的面積為()B. π5D. π5【答案】B由題意可得 555112023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A,B的距離之比為定值λ(λ>0，且λ子1)的點的軌 43PAPB=4 43PAPB=4，當(dāng)且僅當(dāng)P在線段AD上PB跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系xOy中，A(-2,0),B(4,0)，點P滿足=.設(shè)點P的軌跡為曲線C，則下列說法錯誤的是()A．C的方程為(x+4)2+y2=16B．當(dāng)A,B,P三點不共線時，則ZAPO=ZBPOC．在C上存在點M，使得PBPD的最小值為4【答案】C2x-4【解析】設(shè)P(x,y)2x-4【解析】設(shè)P(x,y)，由2PAPB12當(dāng)A,B,P三點不共線時，,所以POPAPB12當(dāng)A,B,P三點不共線時，所以C上不存在點M，使得|MO|=2|MA|，故C錯誤；23,PDPAPDAD時，等號成立，故D正確.故選：C.122023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓,F2，點122023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓 PFPF若離心率e=,則橢圓C PFPF若離心率e=2()「)()「)0,2-1【答案】DPF PFPFPF PFPFe=22PF2PF2橢圓存在一點P，若ZF1PF2=120。，則橢圓的離心率取值范圍為()【答案】Cr2，所以4a24c2<a2，所以3a2<4c2，142023·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，F(xiàn)1,F2為雙曲線的左右焦點，過F2的直線交雙曲線于B,D兩點，且F2D=3F2B，E為線段DF1的中點，若對于線段DF1上的任意點P，都有PF1.PB之EF1.EB成立，則雙曲線的離心率是()【答案】D【解析】取F1B中點Q，連接PQ,EQ,DQ，222:2一222，則22，:之恒成立，:EQLDF1，又EQ//BD，:BDLDF1，-------設(shè)BF2-------22，:m=a，，:20a2=4c2，:e2==5，則離心率e=.故選：D.152022·全國·統(tǒng)考高考真題多選）已知O為坐標原點，點A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上，過點A．C的準線為y=1B．直線AB與C相切【答案】BCD【解析】將點A的代入拋物線方程得1=2p，所以拋物線方程為x2=y，故準線方程為y=一，A錯誤；kABlx=ylx=y2x22y2+y222x22y2+y22又設(shè)過B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個交點，22kx2x1212x12y1+y12，故C正確；2162022·全國·統(tǒng)考高考真題多選）已知O為坐標原點，過拋物線C:y2=2px(p>0)焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點M(p,0)，若|AF|=|AM|，則()【答案】ACD【解析】對于A，易得F(,0)，由AF=AM可得點A在FM的垂42對于B，由斜率為2可得直線AB的方程為x=y+，聯(lián)立拋物線方程得y2一py一p2=0，B(,)，2172022·全國·統(tǒng)考高考真題多選）雙曲線C的兩個焦點為F1,F2，以C的實軸為直徑的圓記為D，過F1作D的切線與C交于M，N兩點，且cosZF1NF2=，則C的離心率為()A.52B.32C.2D.2【答案】AC【解析】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用情況一M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在x軸，設(shè)過F1作圓D的切線切點為B，所以O(shè)BLF1N，因為cosZF1NF2=>0，所以N在雙曲線的左支，5 a25選A2情況二若M、N在雙曲線的兩支，因為cos經(jīng)F1NF2=>0，所以N在雙曲線的右支，=a，aa+2b-a=2a，A選項e=特值雙曲線特值雙曲線，過F1且與圓相切的一條直線為y=x+)，：兩交點在左右兩支，N在右支，:N,，:NF2=[方法三]：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在x軸，設(shè)過F1作圓D的切線切點為G，若M,N分別在左右支，因為OGlNF1，且cos經(jīng)F1NF2=>0，所以N在雙曲線的右支，=a，經(jīng)F2F1N=β, 所以sinacosβ+cosasinβ-sinβ=sina，a所以雙曲線的離心率22NFsinβ=sinβ=而cosa=22a若M,N均在左支上，cosβ=-，同理有sinβ==，cosβ=-，同理有代入cosa=，sinβ=，sina=，整理得到：=，2182023·山東菏澤·統(tǒng)考一模多選）已知雙曲線E:x2的直線l與雙曲線E的左、右兩支分別交于P、Q兩點，下列命題正確的有()A．當(dāng)點C為線段PQ的中點時，直線l的斜率為B．若A(1,0)，則ZQF2A=2ZQAF22.PF22【答案】BCD【解析】選項A：設(shè)P(x1,y),Q(x2,y2)，代入雙曲線得，2y|x13：tanZQF2A=tan2ZQAF2，又：ZQF2A,ZQAF2E(0,π)ZQF2A=2ZQAF2，故B正確；1PF=12 2PF222.PF2.PF2，故C正確；2 2∴點B與點F2關(guān)于直線l對稱，：PB+QB=PF2+QF2，：PF1+QF1=PB+QB，故D正確；故選：BCD.192023·山東臨沂·統(tǒng)考一模多選）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線C:y2=2x，O為坐標原點，一束平行于x軸的光線l1從點P(m,2)射入，經(jīng)過C上的點)反射后，再經(jīng)過C上另一點B(x2,y2)反射后，沿直線l2射出，經(jīng)過點Q，則()B．延長AO交直線x=一于點D，則D，B，Q三點D．若PB平分ZABQ，則m=94【答案】AB【解析】由題意知，點F,0，A(x1,2)，如圖：4(1)424(1)42x2=，又x2=所以x1x28828,所以C選項錯誤；又知直線BQ∥x軸，且B,-，則直線BQ的方程為y=-，又A(2,2)，所以直線AO的方程為y=x，令x=-2，解得y=-2，即D（|-2,-2所以D，B，Q三點共線，所以B選項正確；設(shè)直線PB的傾斜角為θ(θE0,斜率為k0，直線AB的傾斜角為a，0故選：AB.20（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模多選）已知圓C:x2+y2-6x+8=0，點A(0,4)，點P在圓C上，O為坐標A．線段AP長的最大值為6B．當(dāng)直線AP與圓C相切時，|AP|=2C．以線段AP為直徑的圓不可能過原點OD．.的最大值為2022【答案】ABD【解析】根據(jù)題意可知C:(x一3)2+y2=1的圓心C(3,0)，半徑r=1，如下圖所示：易知AP<AC+CP=+1=6，當(dāng)且確；若以線段AP為直徑的圓過原點O，由直徑所對圓周角為直角可得ZAOP=90o，易知當(dāng)P在x軸上時，滿足題意；所以以線段AP為直徑的圓可能過原點O，即C錯誤；,y04)故選：ABD21（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測多選）已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，直線l與C交于)兩點，其中點A在第一象限，點M是AB的中點，作MN垂直于準線，垂足為N，則下列結(jié)論正確的是() π 3ABMN的最小值為C．若以AB為直徑的圓M經(jīng)過焦點F，MN的最小值為D．若以AB為直徑作圓M，則圓M與準線相切【答案】BC(p)p(p)p當(dāng)直線l的斜率為0時，此時，直線l與C只有1個交點，不合題意，故設(shè)直線l:x=+my，與y2=2px聯(lián)立得：y2-2pmy-p2=0，故y1+y2=2pm,y1y2=-p2，則x1x22x21y2=2-p2=-12，解得：p=4，A錯誤；B選項，因為=3，所以A,F,B三點共線，即直線l經(jīng)過拋物線焦點，當(dāng)直線l的斜率為0時，此時，直線l與C只有1個交點，不合題意，故設(shè)直線l:x=+my，與y2=2px聯(lián)立得：y2-2pmy-p2=0，故y1+y2=2pm,y1y2=-p2，=-3y2，代入y1+y2=2pm,y1y2=-p2中，得到y(tǒng)2=-pm,-3y=-p2，即m2=，故直線l的斜率為=，設(shè)直線l的傾斜角為θ(0<θ<π)，則tanθ=，解得：θ=，B正確；C選項，設(shè)AF=m,BF=n，過點A作AQ⊥準線于點Q，過點B作BP⊥準線于點P，因為以AB為直徑的圓M經(jīng)過焦點F，所以AF⊥BF，則AB=，22222，D選項，當(dāng)直線l不經(jīng)過焦點F,0時，設(shè)AF=m,BF=n，由三角形三邊關(guān)系可知：AF+BF>AB，22由拋物線定義可知結(jié)合C選項可知：AF+BF=2MN>AB，即MN>，若以AB為直徑作圓M，則圓M與準線相離，D錯誤.故選：BC222023·全國·模擬預(yù)測多選）已知橢圓C:+=1（a>b>0）的離心率為，橢圓上一點P與焦點F1,F2所形成的三角形面積最大值為，下列說法正確的是()B．直線l:3x+4y7=0與橢圓C無公共點C．若A，B為橢圓C上的動點，且OALOB，過O作OHLAB，H為垂足，則點H所在軌跡為圓，且圓D．若過點Q(3,2)作橢圓的兩條切線，切點分別為A，B，則kAB=一【答案】AC成立，所以S‘PFF的最大值為c2，依題意可得c2=，所以c2=1，c=1，a=2，b=，所以橢圓C的方242x+124x2112因為S!AOB+4y7=0與橢圓C有公共點，故B不正確；222，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y12，++12，2y1=2y1=12k212k2112+12若OA的斜率不存在或者為0，則A,B為橢圓的頂點（一個為長軸的頂點，一個為短軸的頂點則2設(shè)H(x,y)，則x2+y2=，則點H所在軌跡為圓，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，.7且圓的半徑r滿足r2=，故C正確.2所以切線QA的斜率為-，切線QA的方程為y-y1=-(x-x1)，由9x1所以直線AB的方程為9x+8y-12=0，則kAB=-.故D不正確.故選：AC232023·全國·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測多選）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓+=1的左、右焦點，P為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點，kPF1，kPF表示直線PF1，PF2的斜率，則下列說法正確的是()C．存在點P，使得kPF=7kPF成立D．存在點P，使得.=7成立【答案】ABDll2xy=0所以直線l過定點P(1,2)，所以存在點P，使得PF1=7成立，故選項A正確；------對于C，因為kPF=，kPF=x0y04，若kPF=7kPF，則(3x0+16)y0=0，因為點P(x0,y0)在第一象限內(nèi)，使得kPF=7kPF成立，故選項C錯誤；項D正確，故選：ABD.2線l與圓C恒有兩個公共點A，B，則下列說法正確的是()C．若r的值固定不變，則ΔABC的面積的最大值為r2【答案】BD因為直線l與圓C恒有兩個公共點，所以r>PC=，故A錯誤；B選項：因為直線l過定點P(1,2)，所以當(dāng)lLPC時，∠ACB最小，因為kPC=2，所以此時直線l的斜率為，C選項：設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則‘ABC的面積S=.d.AB=drr2d2d42d2rr2)2r4(|d2(,2綜上‘ABC2=時，‘ABC的面積最大，且Smax=；,即r>，則函數(shù)S隨著d的增大而增大的面積的最大值為r2或5r2一25，故C錯誤；D選項：由C選項知，當(dāng)d2r29時‘ABCa4b22922故選：BD.252023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考一模多選）F為拋物線C:y2=4x的焦點，點M在C上且MF=5，則直線MF的方程可能為()【答案】BD【解析】拋物線C:y2=4x的焦點坐標為F(1,0)，準線為x=一1，設(shè)M(x0,y0)，MF0故選：BD26（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測多選）已知F是拋物線W:y2=2px(p>0)的焦點，點A(1,2)在拋物線W上，過點F的兩條互相垂直的直線l1，l2分別與拋物線W交于B，C和D，E，過點A分別作l1，l2的垂線，垂足分別為M，N，則()A．四邊形AMFN面積的最大值為2B．四邊形AMFN周長的最大值為2D．四邊形BDCE面積的最小值為32【答案】ACD【解析】因為點A(1,2)在拋物線y2=2px上，拋物線y2=4x的焦點F的坐標為(1,0)，所以|AM|.|AN|<2，當(dāng)且僅當(dāng)|AM|=|AN|=時，等號成立，所以四邊形AMFN面積的最大值為2，故A正確.當(dāng)且僅當(dāng)|AM|=|AN|=時，等號成立，所以四邊形AMFN周長的最大值為4，故B不正確.2，321+|BC|+|BC|.故選：ACD.272023·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測多選）在平面直角坐標系xOy中，動點P與兩個定點A1(-,0)和A2(,0)連線的斜率之積等于，記點P的軌跡為曲線E，則()C．E的漸近線與圓(x-2)2+y2=1相切D．過點M(1,2)作曲線E的切線僅有2條【答案】ACD【解析】設(shè)點P(x,y)，由已知得.=，整理得-y2=1，圓(x-2)2+y2=1的圓心(2,0)到曲線E的漸近線y=士x的距離為則過點M(1,2)作曲線E的切線僅有2條故D正確.故選：ACD282023·山東菏澤·統(tǒng)考一模多選）已知圓O:x2+y2=4，下列說法正確有()A．對于vmER，直線(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0與圓O都有兩個公共點B．圓O與動圓C:(x-k)2+(y-k)2=4有四條公切線的充要條件是k>2C．過直線x+y-4=0上任意一點P作圓O的兩條切線PA,PB（A,B為切點則四邊形PAOB的面積的最小值為4D．圓O上存在三點到直線x+y-2=0距離均為1【答案】BC又因為32+12>4，所以定點(3,1)在圓O外，所以直線(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0與圓O可能相交、相切、相離，即交點個數(shù)可能為0個、1個、2個.故選項A錯誤；對于選項B，因為圓O與動圓C有4條公切線，所以圓O與圓C相離，又因為圓O的圓心O(0,0)，半徑r1=2，圓C的圓心C(k,k)，半徑r2=2，224， 所以四邊形PAOB的面積的最小值為2(22)2一4=4.故選項C正確；22=2<1，所以圓O上存在兩點到直線x+y2=0的距離為1.故選項D錯誤.22故選：BC.,A．當(dāng)‘PAB的面積最大時，點P的坐標為(2,2)C．若點P不在x軸上，則OP平分ZAPBD．當(dāng)直線BP與圓C相切時，APLAB【答案】CD【解析】對于A選項：由‘PAB的面積S=AB.yP=yP，所以，要使得‘PAB的面積最大，只需yP最大，yPmax2yPmax所以‘PAB的面積最大時，點P的坐標為(2,士2)，所以A不正確；PAPBPAPB x222x 2所以PB=2PA，所以B不正確；延長BP到Q，使PQ=AP，連接AQ，PA PBPQPB所以=，所以O(shè)P//PA PBPQPB所以所以ZOPB=ZQ,ZOPA=ZQAP，所以ZOPB=ZOPA，即OP平分ZAPB，所以C正確；對于D選項：設(shè)直線BP的方程為y=k(x+2)，由直線BP與圓C相切得=2所以，聯(lián)立方程〈322，顯然有APlAB，所以D正確.302023·全國·模擬預(yù)測多選）已知雙曲線C：點F1到雙曲線C的漸近線的距離為，直線l與雙曲線C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點，則()A．雙曲線C的標準方程為x2-=1B．若直線l過點(2,0)，且A，B兩點都在雙曲線C的右支上，則AB>6)為雙曲線C上的一點，則直線PA，PB的斜率之積為D．若點M(-1,0)，直線l的斜率存在且過點F2，則MAlMB13【答案】ABD不妨取雙曲線C的一條漸近線y=x，即bx一ay=0，則由點F1到漸近線的距離為，得2ba22故雙曲線C的標準方程為x2一=1，所以A正確.B選項：易知直線l過F2(2,0)，易知當(dāng)直線l垂直于x軸時，AB取得最小值，22y1一y022xx10322y1一y022xx103，代入雙曲線方程并化簡，得xx=xx=k3y22(x1222)k22k212故選：ABD橢圓C交于點M，N（M在第一象限MF+NF=4，P為x軸上一點，MPLOP，ΔOMP面積的最大值為1，且直線NP與橢圓的另一個交點為Q，則當(dāng)ΔOMP的面積最大時，下列結(jié)論正確的是()12LMQADB．12LMQADB．點P為橢圓C的右焦點D.△MNQ的面積為C．MN【答案】【解析】如圖，取橢圓的右焦點為H，連接MH..88k222k 8k2 8k22=0，得點M的坐標為2b2又MN==2，點Q到直線y=x的距離為，故△MNQ的面積為x2x=綜上可知A，D正確，B，C錯誤；故選：AD.線與C交于A,B兩點,若AB=4BF1,BF2=AF2,則()A．tanZAF2B=B．橢圓C的離心率為C．若橢圓C的短軸長為2,則橢圓C的方程為+y2=1D．直線BF2的斜率的絕對值為【答案】AC【解析】解:由題知AB=4BF1,BF2=AF2,所以BF25m,AF2=3m,顯然BF22=AF22+AB2,AB4m4AF3m3所以ΔAF2B是以ZF2AB為直角的直角三角形,所以tanZAF2B==AB4m4AF3m32所以在△AF1F2中,由勾股定理知:(2c)2=a2+a2,解得a=c,故離心率e=,故選項B錯誤;故橢圓方程為:+y2=1,故選項C正確;根據(jù)對頂角相等可知ZBF2F1等于直線BF2的傾斜角,F2在△BF1F2中,BF2=5m,BF1=m,所以由余弦定理可得:F所以tanZBF2F1=故選:AC332023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測多選）若橢圓+=1(m>0)的某兩個頂點間的距離為4，則m的可能取值有()【答案】BCD若這兩個頂點為長軸的兩個端點時，2=4,m=；若這兩個頂點為短軸的兩個端點時，2m=4,m=2；若一個頂點短軸的端點，另一個為長軸的端點時，=4,m=；故選：BCD22342023·福建漳州342023·福建漳州·統(tǒng)考二模多選）已知F1(一2,0),F2(2,0)是雙曲線C: a2b2且F2到C的一條漸近線的距離為，O為坐標原點，點M(1,)，P為C右支上的一點，則()A．a(chǎn)=b=B．過點M且斜率為1的直線與C有兩個不同的交點2【答案】ACD【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為c=2，一條漸近線為：y=x常bx一ay=0因為F2到C的一條漸近線的距離為，對于B，雙曲線的漸近線的斜率為1，所以過點M且斜率為1的直線為y=x ,消去y得：x=,y=1，只有一個交點，故B錯誤，,所以PF1PF2+PF2PF2PFPF.PF2PF因為O為F1F2的中點，P為C右支上的一點，3PF+PFFF3PF+PFFF22Y22222在△F1PF2中，由余弦定理得：2PF.2PF.PF2222222即PO2=PF12+PF22)F1F222PF1.PF2+8)x16=PF1.P對于D，當(dāng)P,M,F1,F2四點共圓時，所在的圓方程為x2+y2=4，,P，所以ZMF1F2=30o， 3 333。，故選：ACD.112Δ【答案】222，由勾股定理可得2+2=3，因為m>0，解故答案為：2.離心率為．過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點，|D c a2+4y2-12c2=,∴a=2c，∴b2=a2-c2=3c2，∴橢圓的方程為不妨設(shè)左焦點為F1，右焦點為F2，如圖所示，=c，a=2c，∴ZAF2O=，∴△AF1F2為正三角形過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點，DE為線段AF2的垂直平分線，∴直線DE的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線DE的方程：x=y-c，代入橢圓方程3x2+4y2-12c2=0，整理化簡得到：13y2-6cy-9c2=0，2222，∴DE=2y-∴DE=：DE為線段AF2的垂直平分線，根據(jù)對稱性，AD=DF2，AE=EF2，∴VADE的周長等于△F2DE的周長，利用橢圓的定義得到△F2DE周長為DF2x2m2372022·全國·統(tǒng)考高考真題）若雙曲線x2m2m=._________33依題意圓心(0,2)到漸近線x+my3322382022·浙江382022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線 -a2b2 4a 4a的直線交雙曲線于點A(x1,y1)，交雙曲線的漸近線于點B(x2,y2)且x1<0<x2．若|FB|=3|FA|，則雙曲線的離心率是._________【答案】【解析】過F且斜率為的直線AB:y=(x+c)，漸近線l2:y=x，而點A在雙曲線上，于是821，解得所以離心率e34.故答案為：4392022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點A(2,3),B(0,a)，若直線AB關(guān)于ya對稱的直線與圓(x3)2(y2)21有公共點，則a的取值范圍是.【解析】A2,3關(guān)于ya對稱的點的坐標為A2,2a3，B0,a在直線ya上，所以AB所在直線即為直線l，所以直線l為yxa，即a3x2y2a0；圓C:x32y221，圓心C3,2依題意圓心到直線l的距離d222222;y2b2x2a240y2b2x2a21(a0,b0)的離心率為e，寫出滿足條件“直線y2x與C無公共點”的e的一個值.【答案】2（滿足1e皆可）by2b21(a0,by2b21(a0,b0)，所以C的漸近線方程為y x,a結(jié)合漸近線的特點，只需02，即4，可滿足條件“直線y2x與C無公共點”ll412022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點M在直線2x+y一1=0上，點(3,0)和(0,1)均在。M上，則。M的方程為.(x1)2+(y+1)2=5【解析】[方法一]：三點共圓∴設(shè)點M為(a,1一2a)，又因為點(3,0)和(0,1)均在。M上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，2222[方法二]：圓的幾何性質(zhì)222422022·全國·統(tǒng)考高考真題）過四點(0,0),(4,0),(一1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為.(y3)222+y2=或x22【解析】[方法一]：圓的一般方程