2023中考數(shù)學(xué)考試試卷試題中考數(shù)學(xué)初三真題及答案解析含答案

2023中考數(shù)學(xué)考試試卷試題中考數(shù)學(xué)初中學(xué)業(yè)水平考試初三真題及答案解析(含答案和解析)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁．考試時間120分鐘，滿分120分．溫馨提示：1．答題前，考生需用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號正確填寫在答題卡對應(yīng)位置．待監(jiān)考老師粘貼條形碼后，再認(rèn)真核對條形碼上的信息與自己的準(zhǔn)考證上的信息是否一致．2．選擇題必須使用2B鉛筆在答題卡相應(yīng)位置規(guī)范填涂．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡對應(yīng)的框內(nèi)，超出答題區(qū)答案無效；在草稿紙、試題卷上作答無效．3．保持答題卡整潔，不要折疊、弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀．4．考試結(jié)束后，將試卷及答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題共30分）一、選擇題：本大題共12個小題，在每小題的四個選項(xiàng)中只有一個是正確的，請把正確的選項(xiàng)選出來，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．每小題涂對得3分，滿分36分．1．下列各式正確的是（）A．﹣|﹣5|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣5|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)和相反數(shù)的定義對各選項(xiàng)分析判斷即可．解：A、∵﹣|﹣5|＝﹣5，∴選項(xiàng)A不符合題意；B、∵﹣（﹣5）＝5，∴選項(xiàng)B不符合題意；C、∵|﹣5|＝5，∴選項(xiàng)C不符合題意；D、∵﹣（﹣5）＝5，∴選項(xiàng)D符合題意．故選：D．2．如圖，AB∥CD，點(diǎn)P為CD上一點(diǎn)，PF是∠EPC的平分線，若∠1＝55°，則∠EPD的大小為（）A．60° B．70° C．80° D．100°【分析】根據(jù)平行線和角平分線的定義即可得到結(jié)論．解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠CPF＝55°，∵PF是∠EPC的平分線，∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，故選：B．3．冠狀病毒的直徑約為80～120納米，1納米＝1.0×10﹣9米，若用科學(xué)記數(shù)法表示110納米，則正確的結(jié)果是（）A．1.1×10﹣9米 B．1.1×10﹣8米 C．1.1×10﹣7米 D．1.1×10﹣6米【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．解：110納米＝110×10﹣9米＝1.1×10﹣7米．故選：C．4．在平面直角坐標(biāo)系的第四象限內(nèi)有一點(diǎn)M，到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為5，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）【分析】直接利用點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)進(jìn)而分析得出答案．解：∵在平面直角坐標(biāo)系的第四象限內(nèi)有一點(diǎn)M，到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為5，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為：﹣4，橫坐標(biāo)為：5，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（5，﹣4）．故選：D．5．下列圖形：線段、等邊三角形、平行四邊形、圓，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．解：線段是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；則既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有2個．故選：B．6．如圖，點(diǎn)A在雙曲線y＝上，點(diǎn)B在雙曲線y＝上，且AB∥x軸，點(diǎn)C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】根據(jù)雙曲線的圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的矩形的面積S的關(guān)系S＝|k|即可判斷．解：過A點(diǎn)作AE⊥y軸，垂足為E，∵點(diǎn)A在雙曲線y＝上，∴四邊形AEOD的面積為4，∵點(diǎn)B在雙曲線線y＝上，且AB∥x軸，∴四邊形BEOC的面積為12，∴矩形ABCD的面積為12﹣4＝8．故選：C．7．下列命題是假命題的是（）A．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形 B．對角線互相垂直的矩形是正方形 C．對角線相等的菱形是正方形 D．對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形【分析】利用正方形的判定依次判斷，可求解．解：A、對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形是真命題，故選項(xiàng)A不合題意；B、對角線互相垂直的矩形是正方形是真命題，故選項(xiàng)B不合題意；C、對角線相等的菱形是正方形是真命題，故選項(xiàng)C不合題意；D、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，即對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形是假命題，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．8．已知一組數(shù)據(jù)：5，4，3，4，9，關(guān)于這組數(shù)據(jù)的下列描述：①平均數(shù)是5，②中位數(shù)是4，③眾數(shù)是4，④方差是4.4，其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先把數(shù)據(jù)由小到大排列為3，4，4，5，9，然后根據(jù)算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義得到數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)，再根據(jù)方差公式計(jì)算數(shù)據(jù)的方差，然后利用計(jì)算結(jié)果對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．解：數(shù)據(jù)由小到大排列為3，4，4，5，9，它的平均數(shù)為＝5，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4，眾數(shù)為4，數(shù)據(jù)的方差＝[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（9﹣5）2]＝4.4．所以A、B、C、D都正確．故選：D．9．在⊙O中，直徑AB＝15，弦DE⊥AB于點(diǎn)C，若OC：OB＝3：5，則DE的長為（）A．6 B．9 C．12 D．15【分析】直接根據(jù)題意畫出圖形，再利用垂徑定理以及勾股定理得出答案．解：如圖所示：∵直徑AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．故選：C．10．對于任意實(shí)數(shù)k，關(guān)于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情況為（）A．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B．沒有實(shí)數(shù)根 C．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 D．無法判定【分析】先根據(jù)根的判別式求出“△”的值，再根據(jù)根的判別式的內(nèi)容判斷即可．解：x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，△＝[﹣（k+5）]2﹣4××（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，不論k為何值，﹣（k﹣3）2≤0，即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，所以方程沒有實(shí)數(shù)根，故選：B．11．對稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)），⑥當(dāng)x＜﹣1時，y隨x的增大而增大．其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＜0，故①錯誤；②∵拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正確；③當(dāng)x＝2時，y＝4a+2b+c＜0，故③錯誤；④當(dāng)x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＞0，∴3a+c＞0，故④正確；⑤當(dāng)x＝1時，y的值最小，此時，y＝a+b+c，而當(dāng)x＝m時，y＝am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正確，⑥當(dāng)x＜﹣1時，y隨x的增大而減小，故⑥錯誤，故選：A．12．如圖，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平后再次折疊，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)A′處，得到折痕BM，BM與EF相交于點(diǎn)N．若直線BA′交直線CD于點(diǎn)O，BC＝5，EN＝1，則OD的長為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中位線定理可得AM＝2，根據(jù)折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得A′M＝A′N＝2，過M點(diǎn)作MG⊥EF于G，可求A′G，根據(jù)勾股定理可求MG，進(jìn)一步得到BE，再根據(jù)平行線分線段成比例可求OF，從而得到OD．解：∵EN＝1，∴由中位線定理得AM＝2，由折疊的性質(zhì)可得A′M＝2，∵AD∥EF，∴∠AMB＝∠A′NM，∵∠AMB＝∠A′MB，∴∠A′NM＝∠A′MB，∴A′N＝2，∴A′E＝3，A′F＝2過M點(diǎn)作MG⊥EF于G，∴NG＝EN＝1，∴A′G＝1，由勾股定理得MG＝＝，∴BE＝OF＝MG＝，∴OF：BE＝2：3，解得OF＝，∴OD＝﹣＝．故選：B．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（每小題3分，共18分）11.2019年是中華人民共和國成立70周年，天安門廣場舉行了盛大的國慶閱兵式和群眾游行活動．其中，群眾游行隊(duì)伍以“同心共筑中國夢”為主題，包含有“建國創(chuàng)業(yè)”“改革開放”“偉大復(fù)興”三個部分，某同學(xué)要統(tǒng)計(jì)本班學(xué)生最喜歡哪個部分，制作扇形統(tǒng)計(jì)圖．以下是打亂了的統(tǒng)計(jì)步驟：①繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖②收集三個部分本班學(xué)生喜歡的人數(shù)③計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中三個部分所占的百分比其中正確的統(tǒng)計(jì)順序是____________．【答案】②③①【解析】【分析】制作扇形統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟是：1、計(jì)算各部分在總體中所占的百分比；2、計(jì)算各個扇形的圓心角的度數(shù)；3、在圓中依次作出上面的扇形，并標(biāo)出百分比；據(jù)此解答即可．【詳解】解：正確的統(tǒng)計(jì)順序是：②收集三個部分本班學(xué)生喜歡的人數(shù)；③計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中三個部分所占的百分比；①繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖；故答案為：②③①．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖的相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵明確制作扇形統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟．12.如圖，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則______．【答案】-5【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱求得a，b的值，最后代入求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱∴a=-2，,解得b=-3∴a+b=-2+（-3）=-5故答案為-5．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于y=-1對稱點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)對稱點(diǎn)的性質(zhì)求得a、b的值是解答本題的關(guān)鍵．13.小明為測量校園里一顆大樹的高度，在樹底部B所在的水平面內(nèi)，將測角儀豎直放在與B相距的位置，在D處測得樹頂A的仰角為．若測角儀的高度是，則大樹的高度約為_____．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）【答案】11m【解析】【分析】過D作DE⊥AB，解直角三角形求出AE即可解決問題．【詳解】如圖，過D作DE⊥AB，則四邊形BCDE是矩形，∴BC=DE，BE=CD，∵在D處測得旗桿頂端A的仰角為52o，∴∠ADE=52o，∵BC=DE=8m，∴AE=DE?tan52o≈8×1.28≈10.24m，∴AB=AE+BE=AE+CD=10.24+1=11.24m≈11m.∴AB約為：11m.故答案為：11m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵．14.如圖，點(diǎn)A、B在反比函數(shù)的圖象上，A、B的縱坐標(biāo)分別是3和6，連接、，則的面積是__________．【答案】9【解析】【分析】設(shè)BD⊥y軸于點(diǎn)D，AC⊥y軸于點(diǎn)C，AC與OB的交點(diǎn)為點(diǎn)E，證得S四邊形EBDC=S△AOE即可得S△AOB=S四邊形ABDC，根據(jù)梯形的面積公式求解即可．【詳解】如圖，設(shè)BD⊥y軸于點(diǎn)D，AC⊥y軸于點(diǎn)C，AC與OB的交點(diǎn)為點(diǎn)E，∵A、B的縱坐標(biāo)分別是3和6，代入函數(shù)關(guān)系式可得橫坐標(biāo)分別為4,2；∴A（4,3），B（2,6）；∴AC=4，BD=2，CD=3由反比例函數(shù)的幾何意義可得S△BOD=S△AOC，∴S四邊形EBDC=S△AOE，∴S△AOB=S四邊形ABDC=，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)中三角形面積的求解，要能夠熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)和幾何意義；雙曲線上任意一點(diǎn)向x軸或y軸引垂線，則該點(diǎn)、垂足、原點(diǎn)組成的三角形的面積相等，都是．15.已知的三邊a、b、c滿足，則的內(nèi)切圓半徑=____．【答案】1【解析】【分析】先將變形成，然后根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求得a、b、c的值，再運(yùn)用勾股定理逆定理說明△ABC是直角三角形，最后根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半解答即可．【詳解】解：則=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，∵42+32=52∴△ABC是直角三角形∴的內(nèi)切圓半徑==1．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用、勾股定理逆定理的應(yīng)用以及直角三角形內(nèi)切圓的求法，掌握直角三角形內(nèi)切圓半徑的求法以及求得a、b、c的值是解答本題的關(guān)鍵．16.已知k為正整數(shù)，無論k取何值，直線與直線都交于一個固定的點(diǎn)，這個點(diǎn)的坐標(biāo)是_________；記直線和與x軸圍成的三角形面積為，則_____，的值為______．【答案】(1).(2).(3).【解析】【分析】聯(lián)立直線和成方程組，通過解方程組，即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)；分別表示出直線和與x軸的交點(diǎn)，求得交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到三角形的邊長與高，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行列式并化簡，即可得到直線和與x軸圍成的三角形面積為的表達(dá)式，從而可得到和，再依據(jù)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算方法即可得解．【詳解】解：聯(lián)立直線與直線成方程組，，解得，∴這兩條直線都交于一個固定的點(diǎn)，這個點(diǎn)的坐標(biāo)是；∵直線與x軸的交點(diǎn)為，直線與x軸的交點(diǎn)為，∴，∴，故答案為：；；【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)（k≠0，b為常數(shù))的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0；也考查了坐標(biāo)與線段的關(guān)系、三角形的面積公式以及分?jǐn)?shù)的特殊運(yùn)算方法．解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)（k≠0，b為常數(shù))的圖象與性質(zhì)，能靈活運(yùn)用分?jǐn)?shù)的特殊運(yùn)算方法．三、解答題：解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟（共72分）17.計(jì)算：．【答案】1【解析】【分析】先運(yùn)用乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零次冪、立方根的知識化簡，然后計(jì)算即可．【詳解】解：==1．【點(diǎn)睛】本題考查了乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零次冪、立方根等知識，掌握相關(guān)知識的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．18.求代數(shù)式的值，其中．【答案】，【解析】【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡原式，再把x的值代入化簡后的式子計(jì)算即可．【詳解】解：原式=====，當(dāng)時，原式=．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值以及二次根式的混合運(yùn)算，屬于?？碱}型，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．19.如圖，點(diǎn)O在的邊上，以為半徑作，的平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），補(bǔ)全圖形；（2）判斷與交點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）與有1個交點(diǎn)，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知圓心和半徑作圓、作已知角的平分線、過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的尺規(guī)作圖的步驟作圖即可；（2）連接OD，由OB=OD，得到∠1=∠2，再由角平分線得出∠1=∠3，等量代換進(jìn)而證出OD∥BA，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得到∠ODE=90°，由此得出OD是的切線，即與有1個交點(diǎn).【詳解】解：（1）如下圖，補(bǔ)全圖形：（2）如下圖，連接OD，∵點(diǎn)D在上，∴OB=OD，∴∠1=∠2，又∵BM平分，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BA，∴∠ODE+∠BED=180°，∵∴∠ODE=90°，∴OD是的切線，∴與有1個交點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、圓的切線的判定，熟練掌握尺規(guī)作圖的步驟及圓的切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.20.爭創(chuàng)全國文明城市，從我做起．尚理中學(xué)在八年級開設(shè)了文明禮儀校本課程，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的測試成績，分?jǐn)?shù)如下：94839086948896100898294828489889398949392整理上面的數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖：等級成績/分頻數(shù)AaB8C5D4根據(jù)以上信息，解答下列問題．（1）填空：_______，______；（2）若成績不低于90分為優(yōu)秀，估計(jì)該校1200名八年級學(xué)生中，達(dá)到優(yōu)秀等級人數(shù)；（3）已知A等級中有2名女生，現(xiàn)從A等級中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，試用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到一男一女的概率．【答案】（1）3，40；（2）660人；（3）【解析】【分析】（1）用20分別減去其它三個等級的人數(shù)即為a的值，用B等級的頻數(shù)除以20即可求出b的值；（2）用A、B兩個等級的人數(shù)之和除以20再乘以1200計(jì)算即可；（3）先畫出樹狀圖求出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再找出恰好抽到一男一女的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式解答．【詳解】解：（1）；8÷20=40%，∴b=40；故答案為：3，40；（2）人；答：估計(jì)該校1200名八年級學(xué)生中，達(dá)到優(yōu)秀等級的人數(shù)是660人；（3）記A等級中的2名女生為M、N，1名男生為Y，所有可能的情況如圖所示：由上圖可知：共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到一男一女的結(jié)果有4種，∴恰好抽到一男一女的概率=．【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)分布表、扇形統(tǒng)計(jì)圖、利用樣本估計(jì)總體和求兩次事件的概率等知識，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．21.如圖，中，，D、E分別是邊、的中點(diǎn)．將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180度，得．（1）判斷四邊形的形狀，并證明；（2）已知，，求四邊形的面積S．【答案】（1）菱形，理由見解析；（2）6【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，可證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)，D、E分別是邊、的中點(diǎn)，可知，所以四邊形是菱形；（2）由（1）得菱形的對角線互相垂直平分，再根據(jù)，可得到，利用勾股定理可求出BO和AO，再根據(jù)菱形的面積求解公式計(jì)算即可；【詳解】（1）四邊形ABCD菱形，理由如下：∵D、E分別是邊、的中點(diǎn)，∴，又∵繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180度后得，∴，∴，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵，∴，∴四邊形ABCD是菱形．（2）如圖，連接AD、BF，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD與BF相互垂直且平分，又∵，∴，令，，在Rt△ABO中，，∴,即，解得：，，即由圖可知，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確理解中位線定理和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.某家具商場計(jì)劃購進(jìn)某種餐桌、餐椅進(jìn)行銷售，有關(guān)信息如下表：原進(jìn)價（元/張）零售價（元/張）成套售價（元/套）餐桌a380940餐椅160已知用600元購進(jìn)的餐椅數(shù)量與用1300元購進(jìn)的餐桌數(shù)量相同．（1）求表中a的值；（2）該商場計(jì)劃購進(jìn)餐椅的數(shù)量是餐桌數(shù)量的5倍還多20張，且餐桌和餐椅的總數(shù)量不超過200張．若將一半的餐桌成套（一張餐桌和四張餐椅配成一套）銷售，其余餐桌、餐椅以零售方式銷售，請問怎樣進(jìn)貨，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？【答案】（1）a=260；（2）購進(jìn)餐桌30張、餐椅170張時，才能獲得最大利潤，最大利潤是9200元．【解析】【分析】（1）用含a的代數(shù)式分別表示出600元購進(jìn)的餐椅數(shù)量與用1300元購進(jìn)的餐桌數(shù)量，再根據(jù)二者數(shù)量相等即可列出關(guān)于a的方程，解方程并檢驗(yàn)即得結(jié)果；（2）設(shè)購進(jìn)餐桌x張，銷售利潤為W元．根據(jù)購進(jìn)總數(shù)量不超過200張，得出關(guān)于x的一元一次不等式，解不等式即可求出x的取值范圍，再根據(jù)“總利潤＝成套銷售的利潤+零售餐桌的利潤+零售餐椅的利潤”即可得出W關(guān)于x的一次函數(shù)，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，得：，解得：a=260，經(jīng)檢驗(yàn)：a=260是所列方程的解，∴a=260；（2）設(shè)購進(jìn)餐桌x張，則購進(jìn)餐椅（5x+20）張，銷售利潤為W元．由題意得：x+5x+20≤200，解得：x≤30．∵a＝260，∴餐桌的進(jìn)價為260元/張，餐椅的進(jìn)價為120元/張．依題意可知：W＝x×(940﹣260﹣4×120）+x×(380﹣260）+（5x+20﹣x×4）×(160﹣120）＝280x+800，∵k＝280＞0，∴W隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝30時，W取最大值，最大值為9200元．故購進(jìn)餐桌30張、餐椅170張時，才能獲得最大利潤，最大利潤是9200元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式和一次函數(shù)的應(yīng)用，屬于?？碱}型，解題的關(guān)鍵是：（1）正確理解題意、由數(shù)量相等得出關(guān)于a的分式方程；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出W關(guān)于x的函數(shù)解析式，靈活應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)．23.如圖，在梯形中，，，，．P為線段上的一動點(diǎn)，且和B、C不重合，連接，過點(diǎn)P作交射線于點(diǎn)E．聰聰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對這個問題進(jìn)行了研究：（1）通過推理，他發(fā)現(xiàn)，請你幫他完成證明．（2）利用幾何畫板，他改變的長度，運(yùn)動點(diǎn)P，得到不同位置時，、的長度的對應(yīng)值：當(dāng)時，得表1：…12345……0.831.331.501330.83…當(dāng)時，得表2：…1234567……1.172.002.502.672.502.001.17…這說明，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動時，要保證點(diǎn)E總在線段上，的長度應(yīng)有一定的限制．①填空：根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在和的長度這兩個變量中，_____的長度為自變量，_____的長度為因變量；②設(shè)，當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動時，點(diǎn)E總在線段上，求m取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）①BP，CE；②0＜m≤【解析】【分析】（1）由同角的余角相等可得∠APB＝∠CEP，又因?yàn)椤螧＝∠C＝90°，即可證得相似；（2）①由題意可得隨著P點(diǎn)的變化，CE的長度在變化，即可判斷自變量和因變量；②設(shè)BP的長度為xcm，CE的長度為ycm，由△ABP∽△PCE，利用對應(yīng)邊成比例求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)性質(zhì)，求出其最大值，列不等式確定m的取值范圍；【詳解】解：（1）證明：∵，∴∠APE＝90°，∵∠APB＋∠CPE＝90°，∠CEP＋∠CPE＝90°，∴∠APB＝∠CEP，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABP∽△PCE；（2）①由題意可得隨著P點(diǎn)的變化，CE的長度在變化，所以BP的長度為自變量，CE的長度為因變量；故答案為：BP，CE；②設(shè)BP的長度為xcm，CE的長度為ycm，∵△ABP∽△PCE，∴，即，∴y＝＝，∴當(dāng)x＝時，y取得最大值，最大值為，∵點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動時，點(diǎn)E總在線段CD上，∴≤2，解得m≤，∴m的取值范圍為：0＜m≤．【點(diǎn)睛】本題考察了代數(shù)幾何綜合題、相似三角形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、二次函數(shù)最值等知識點(diǎn)，所涉及考點(diǎn)眾多，有一定的難度．注意第（2）問中求m取值范圍時二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．24.（1）【閱讀與證明】如圖1，在正的外角內(nèi)引射線，作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在內(nèi)），連接，、分別交于點(diǎn)F、G．①完成證明：點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)，，，．正中，，，，得．在中，，______．在中，，______．②求證：．（2）【類比與探究】把（1）中的“正”改為“正方形”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：①______；②線段、、之間存在數(shù)量關(guān)系___________．（3）【歸納與拓展】如圖3，點(diǎn)A在射線上，，，在內(nèi)引射線，作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在內(nèi)），連接，、分別交于點(diǎn)F、G．則線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為__________．【答案】（1）①60°，30°；②證明見解析；（2）①45°；②BF=(AF+FG)；（3）．【解析】【分析】（1）①根據(jù)等量代換和直角三角形的性質(zhì)即可確定答案；②在FB上取AN=AF，連接AN．先證明△AFN是等邊三角形，得到∠BAN=∠2=∠1，然后再證明△ABN≌△AEF，然后利用全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差即可證明；（2）類比（1）的方法即可作答；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論，即可總結(jié)出答案．【詳解】解：（1）①∵，，∴，即60°；∵∴故答案為60°，30°；②在FB上取FN=AF，連接AN∵∠AFN=∠EFG=60°∴△AFN是等邊三角形∴AF=FN=AN∵FN=AF∴∠BAC=∠NAF=60°∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2∴∠BAN=∠2∵點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEF