2021屆高中物理新教材同步必修第一冊 第2章 專題強化 豎直上拋運動 追及和相遇問題

[學習目標]1.知道豎直上拋運動是勻變速直線運動，會利用分段法或全程法求解豎直上拋的有關(guān)問題.2.會分析追及相遇問題，會根據(jù)兩者速度關(guān)系和位移關(guān)系列方程解決追及相遇問題．一、豎直上拋運動1．豎直上拋運動將一個物體以某一初速度v0豎直向上拋出，拋出的物體只在重力作用下運動，這種運動就是豎直上拋運動．2．運動性質(zhì)先做豎直向上的勻減速運動，上升到最高點后，又開始做自由落體運動，整個過程中加速度始終為g，全段為勻變速直線運動．3．運動規(guī)律通常取初速度v0的方向為正方向，則a＝－g.(1)速度公式：v＝v0－gt.(2)位移公式：h＝v0t－eq\f(1,2)gt2.(3)位移和速度的關(guān)系式：v2－v02＝－2gh.(4)上升的最大高度：H＝eq\f(v\o\al(2,0),2g).(5)上升到最高點(即v＝0時)所需的時間：t＝eq\f(v0,g).4．運動的對稱性(1)時間對稱物體從某點上升到最高點和從最高點回到該點的時間相等，即t上＝t下．(2)速率對稱物體上升和下降通過同一位置時速度的大小相等、方向相反．氣球下掛一重物，以v0＝10m/s的速度勻速上升，當?shù)竭_離地面高175m處時，懸掛重物的繩子突然斷裂，那么重物再經(jīng)多長時間落到地面？落地前瞬間的速度多大？(空氣阻力不計，g取10m/s2)答案7s60m/s解析解法一分段法繩子斷裂后，重物先勻減速上升，速度減為零后，再勻加速下降．重物上升階段，時間t1＝eq\f(v0,g)＝1s，由v02＝2gh1知，h1＝eq\f(v\o\al(2,0),2g)＝5m重物下降階段，下降距離H＝h1＋175m＝180m設(shè)下落時間為t2，則H＝eq\f(1,2)gt22，故t2＝eq\r(\f(2H,g))＝6s重物落地總時間t＝t1＋t2＝7s，落地前瞬間的速度v＝gt2＝60m/s.解法二全程法取初速度方向為正方向重物全程位移h＝v0t－eq\f(1,2)gt2＝－175m可解得t＝7s(t＝－5s舍去)由v＝v0－gt，得v＝－60m/s，負號表示方向豎直向下．豎直上拋運動的處理方法1．分段法(1)上升過程：v0≠0、a＝g的勻減速直線運動．(2)下降過程：自由落體運動．2．全程法(1)整個過程：初速度v0向上、加速度g豎直向下的勻變速直線運動，應用規(guī)律v＝v0－gt，h＝v0t－eq\f(1,2)gt2.(2)正負號的含義(取豎直向上為正方向)①v＞0表示物體上升，v＜0表示物體下降．②h＞0表示物體在拋出點上方，h＜0表示物體在拋出點下方．(2019·天津益中學校高一月考)在某塔頂上將一物體豎直向上拋出，拋出點為A，物體上升的最大高度為20m，不計空氣阻力，設(shè)塔足夠高，則：(g取10m/s2)(1)物體拋出的初速度大小為多少？(2)物體位移大小為10m時，物體通過的路程可能為多少？(3)若塔高H＝60m，求物體從拋出到落到地面的時間和落地速度大小．答案(1)20m/s(2)10m30m50m(3)6s40m/s解析(1)設(shè)初速度為v0，豎直向上為正，有－2gh＝0－v02，故v0＝20m/s.(2)位移大小為10m，有三種可能：向上運動時x＝10m，返回時在出發(fā)點上方10m，返回時在出發(fā)點下方10m，對應的路程分別為s1＝10m，s2＝(20＋10)m＝30m，s3＝(40＋10)m＝50m.(3)落到地面時的位移x＝－60m，設(shè)從拋出到落到地面用時為t，有x＝v0t－eq\f(1,2)gt2，解得t＝6s(t＝－2s舍去)落地速度v＝v0－gt＝(20－10×6)m/s＝－40m/s，則落地速度大小為40m/s.二、追及、相遇問題1．分析追及問題的注意事項(1)要抓住一個條件，兩個關(guān)系：一個條件是兩物體的速度滿足的臨界條件；兩個關(guān)系是時間關(guān)系和位移關(guān)系．通過畫草圖找兩物體的位移關(guān)系是解題的突破口，如兩物體距離最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．(2)若被追趕的物體做勻減速運動，一定要注意追上前該物體是否已經(jīng)停止運動．2．解題基本思路和方法eq\x(分析兩物體的運動過程)?eq\x(畫運動示意圖)?eq\x(找兩物體位移關(guān)系)?eq\x(列位移方程)(2019·漢陽一中月考)一輛值勤的警車停在公路邊，當警員發(fā)現(xiàn)在他前面x0＝13m遠處以v0＝8m/s的速度勻速向前行駛的貨車有違章行為時，決定前去追趕，經(jīng)t0＝2.5s，警車發(fā)動起來，以加速度a＝2m/s2做勻加速直線運動，求：(1)警車發(fā)動后追上違章的貨車所用的時間t；(2)在警車追上貨車之前，兩車間的最大距離Δxm.答案(1)11s(2)49m解析(1)警車開始運動時，貨車在它前面Δx＝x0＋v0t0＝13m＋8×2.5m＝33m警車運動位移：x1＝eq\f(1,2)at2貨車運動位移：x2＝v0t警車要追上貨車滿足：x1＝x2＋Δx聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：t＝11s(t＝－3s舍去)(2)警車速度與貨車速度相同時，相距最遠對警車有：v0＝at′x1′＝eq\f(1,2)at′2，x2′＝v0t′最遠距離：Δxm＝x2′－x1′＋Δx＝49m.針對訓練(2019·寧夏育才中學高一上學期期末)汽車以20m/s的速度在平直公路上行駛時，制動后40s停下來．現(xiàn)在同一平直公路上以20m/s的速度行駛時發(fā)現(xiàn)前方200m處有一貨車以6m/s的速度同向勻速行駛，司機立即制動，則：(1)求汽車剎車時的加速度大?。?2)是否發(fā)生撞車事故？若發(fā)生撞車事故，在何時發(fā)生？若沒有撞車，兩車最近距離為多少？答案(1)0.5m/s2(2)不會相撞最近相距4m解析(1)汽車制動加速度大小a＝eq\f(vA,t)＝0.5m/s2(2)當汽車減速到與貨車共速時t0＝eq\f(vA－vB,a)＝28s汽車運動的位移x1＝eq\f(v\o\al(2,A)－v\o\al(2,B),2a)＝364m此時間內(nèi)貨車運動的位移為x2＝vBt0＝168mΔx＝x1－x2＝196m＜200m，所以兩車不會相撞．此時兩車相距最近，最近距離Δs＝x0－Δx＝200m－196m＝4m.一輛小汽車以30m/s的速度勻速行駛在高速公路上，突然發(fā)現(xiàn)正前方30m處有一輛大卡車以10m/s的速度同方向勻速行駛，小汽車緊急剎車，剎車過程中剎車失靈．如圖1所示，圖線a、b分別為小汽車和大卡車的v－t圖像(忽略剎車反應時間)，以下說法正確的是()圖1A．因剎車失靈前小汽車已減速，故不會發(fā)生追尾事故B．在t＝3s時發(fā)生追尾事故C．在t＝5s時發(fā)生追尾事故D．若緊急剎車時兩車相距40m，則不會發(fā)生追尾事故且兩車最近時相距10m答案B解析根據(jù)速度—時間圖線與時間軸所圍“面積”大小等于位移大小，由題圖知，t＝3s時大卡車的位移為：xb＝vbt＝10×3m＝30m小汽車的位移為：xa＝eq\f(1,2)×(30＋20)×1m＋eq\f(1,2)×(20＋15)×2m＝60m則：xa－xb＝30m所以在t＝3s時發(fā)生追尾事故，故B正確，A、C錯誤；由v－t圖線eq\f(1,2)×(20＋10)×1m＋eq\f(1,2)×10×4m＝35m<40m則不會發(fā)生追尾事故且兩車最近時相距Δs＝x0－Δx＝5m，故D錯誤．追及相遇問題常見情況1．速度小者追速度大者類型圖像說明勻加速追勻速a.t＝t0以前，后面物體與前面物體間距離增大；b.t＝t0時，兩物體相距最遠為x0＋Δx；c.t＝t0以后，后面物體與前面物體間距離減?。籨.能追上且只能相遇一次.注：x0為開始時兩物體間的距離勻速追勻減速勻加速追勻減速2.速度大者追速度小者類型圖像說明勻減速追勻速開始追時，后面物體與前面物體間距離在減小，當兩物體速度相等時，即t＝t0時刻：a.若Δx＝x0，則恰能追上，兩物體只能相遇一次，這也是避免相撞的臨界條件；b.若Δx<x0，則不能追上，此時兩物體間最小距離為x0－Δx；c.若Δx>x0，則相遇兩次，設(shè)t1時刻Δx1＝x0兩物體第一次相遇，則t2時刻兩物體第二次相遇.注：x0為開始時兩物體間的距離勻速追勻加速勻減速追勻加速1．(豎直上拋運動)(多選)某物體以30m/s的初速度豎直上拋，不計空氣阻力，g取10m/s2,5s內(nèi)物體的()A．路程為65mB．位移大小為25m，方向豎直向上C．速度改變量的大小為10m/sD．平均速度大小為13m/s，方向豎直向上答案AB解析初速度為30m/s，只需要t1＝eq\f(v0,g)＝3s即可上升到最高點，位移為h1＝eq\f(1,2)gt12＝45m，再自由下落2s時間，下降高度為h2＝eq\f(1,2)gt22＝20m，故路程為s＝h1＋h2＝65m，A項對；此時離拋出點高x＝h1－h(huán)2＝25m，位移方向豎直向上，B項對；5s末時速度為v5＝v0－gt＝－20m/s，速度改變量大小為Δv＝|v5－v0|＝50m/s，C項錯；平均速度為eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝5m/s，方向豎直向上，D項錯．2．(追及相遇問題)(2019·龍巖市期末)甲、乙兩車在平直的公路上同時同地沿同一方向做直線運動，它們的v－t圖像如圖2所示，在0～20s這段時間內(nèi)，下列說法正確的是()圖2A．在t＝10s時兩車相遇B．在t＝10s時兩車相距最近C．在t＝20s時兩車相遇D．在t＝20s時，乙車在甲車前面答案C解析0～10s內(nèi)甲車的速度比乙車的大，甲車在乙車的前方，兩者間距增大；t＝10s后乙的速度比甲的大，兩者間距減小，所以t＝10s時甲、乙兩車相距最遠，故A、B錯誤；根據(jù)v－t圖線與時間軸所圍“面積”表示位移，可知t＝20s時甲、乙的位移相等，兩車相遇，故C正確，D錯誤．3．(豎直上拋與相遇綜合問題)以初速度v0＝20m/s豎直向上拋出一小球，2s后以相同的初速度在同一點豎直上拋另一小球，問兩小球在離拋出點多高處相遇(g取10m/s2)()A．10mB．15mC．20mD．5m答案B解析先豎直向上拋出的小球到達最高點所用的時間為t＝eq\f(v0,g)＝eq\f(20,10)s＝2s，所以另一小球拋出時，它恰好在最高點將要做自由落體運動．由豎直上拋運動的對稱性可得，兩小球再經(jīng)過1s后相遇．故兩小球相遇處離拋出點的高度為h＝v0t－eq\f(1,2)gt2＝20×1m－eq\f(1,2)×10×12m＝15m.4．(追及相遇問題)當交叉路口的綠燈亮時，一輛客車以a＝2m/s2的加速度由靜止啟動，在同一時刻，一輛貨車以10m/s的恒定速度從客車旁邊同向駛過(不計車長)，則：(1)客車什么時候追上貨車？客車追上貨車時離路口多遠？(2)在客車追上貨車前，兩車的最大距離是多少？答案(1)10s100m(2)25m解析(1)客車追上貨車的過程中，兩車所用時間相等，位移也相等，設(shè)經(jīng)過t1時間客車追上貨車，則v2t1＝eq\f(1,2)at12，代入數(shù)據(jù)解得t1＝10s，客車追上貨車時離路口的距離x＝eq\f(1,2)at12＝eq\f(1,2)×2×102m＝100m.(2)兩車距離最遠時，兩車應具有相等的速度，設(shè)經(jīng)過時間為t2，則v2＝at2，代入數(shù)據(jù)解得t2＝5s.最大距離Δx＝v2t2－eq\f(1,2)at22＝10×5m－eq\f(1,2)×2×52m＝25m.訓練1豎直上拋運動1．(2019·莆田四中、莆田六中高一聯(lián)考)某同學身高1.8m，在運動會上他參加跳高比賽，起跳后身體橫著越過了1.8m高的橫桿．據(jù)此可估算出他起跳時豎直向上的速度約為()A．2m/sB．4m/sC．6m/sD．8m/s答案B解析由題可知，人的重心在跳高時升高約0.9m，因而初速度v0＝eq\r(2gh)≈4m/s，故選B.2.(2019·湛江市模擬)如圖1所示，將一小球以10m/s的初速度在某高臺邊緣豎直上拋，不計空氣阻力，取拋出點為坐標原點，向上為坐標軸正方向，g取10m/s2，則3s內(nèi)小球運動的()圖1A．路程為25mB．位移為15mC．速度改變量為30m/sD．平均速度為5m/s答案A解析由x＝v0t－eq\f(1,2)gt2得位移x＝－15m，B錯誤；平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝－5m/s，D錯誤；小球豎直上拋，由v＝v0－gt得速度的改變量Δv＝－gt＝－30m/s，C錯誤；上升階段通過路程x1＝eq\f(v\o\al(2,0),2g)＝5m，下降階段通過的路程x2＝eq\f(1,2)gt22，t2＝t－eq\f(v0,g)＝2s，解得x2＝20m，所以3s內(nèi)小球運動的路程為x1＋x2＝25m，A正確．3．一個從地面開始做豎直上拋運動的物體，它兩次經(jīng)過一個較低點A的時間間隔是TA，兩次經(jīng)過一個較高點B的時間間隔是TB，則A、B兩點之間的距離為()A.eq\f(1,8)g(TA2－TB2) B.eq\f(1,4)g(TA2－TB2)C.eq\f(1,2)g(TA2－TB2) D.eq\f(1,2)g(TA－TB)答案A解析物體做豎直上拋運動經(jīng)過同一點，上升時間與下落時間相等，則從豎直上拋運動的最高點到點A的時間tA＝eq\f(TA,2)，從豎直上拋運動的最高點到點B的時間tB＝eq\f(TB,2)，則A、B兩點的距離x＝eq\f(1,2)gtA2－eq\f(1,2)gtB2＝eq\f(1,8)g(TA2－TB2)．4．(多選)將甲、乙兩小球先后以同樣的速度在距地面不同高度處豎直向上拋出，拋出時間間隔為2s，它們運動的v－t圖像分別如圖2中直線甲、乙所示．則()圖2A．t＝2s時，兩球的高度差一定為40mB．t＝4s時，兩球相對于各自拋出點的位移相等C．兩球從拋出至落到地面所用的時間相等D．甲球從拋出至到達最高點的時間間隔與乙球的相等答案BD解析根據(jù)v－t圖像與時間軸所圍面積表示位移，t＝2s時，甲球的位移為40m，乙球位移為0，但需注意題干兩球從距地面不同高度處拋出，故高度差不一定等于位移差，A錯誤；t＝4s時，對甲球位移為t軸上方面積減去下方面積，代表的位移為40m，乙球位移也為40m，B正確；由于初速度相同，兩球從拋出到回到拋出點的運動情況一致，所以到達最高點的時間間隔和回到拋出點的時間相等，D正確；由于拋出點高度不同，回到拋出點之后的運動時間不同，所以落到地面的時間間隔不同，C錯誤．5．(多選)某人在高層樓房的陽臺上以20m/s的速度豎直向上拋出一個石塊，石塊運動到離拋出點15m處時，所經(jīng)歷的時間可能是(不計空氣阻力，g取10m/s2)()A．1sB．2sC．3sD．(2＋eq\r(7))s答案ACD解析取豎直向上為正方向，當石塊運動到拋出點上方離拋出點15m時，位移為x＝15m，由x＝v0t－eq\f(1,2)gt2，解得t1＝1s，t2＝3s．其中t1＝1s對應著石塊上升過程中離拋出點15m處時所用的時間，而t2＝3s對應著從最高點下落時離拋出點15m處時所用的時間．當石塊運動到拋出點下方離拋出點15m處時，位移為x′＝－15m，由x′＝v0t′－eq\f(1,2)gt′2，解得t1′＝(2＋eq\r(7))s，t2′＝(2－eq\r(7))s(舍去)．6．(2016·江蘇卷)小球從一定高度處由靜止下落，與地面碰撞后回到原高度再次下落，重復上述運動，取小球的落地點為原點建立坐標系，豎直向上為正方向．下列速度v和位置x的關(guān)系圖像中，能描述該過程的是()答案A解析由運動學公式可得小球與地面碰撞后速度v與位置x的關(guān)系為v＝eq\r(v\o\al(2,0)－2gx)，從最高點下落時二者的關(guān)系為v＝－eq\r(2gx0－x)，對比圖像可知A項正確．7．(2019·武威市第六中學月考)某校一課外活動小組自制了一枚火箭，設(shè)火箭發(fā)射后始終在垂直于地面的方向上運動．火箭點火后可認為做勻加速直線運動，經(jīng)過4s到達離地面40m高處時燃料恰好用完，若不計空氣阻力，取g＝10m/s2，求：(1)燃料恰好用完時火箭的速度大小；(2)火箭上升離地面的最大高度；(3)火箭從發(fā)射到返回發(fā)射點的時間．答案(1)20m/s(2)60m(3)9.46s解析(1)設(shè)燃料恰好用完時火箭的速度為v，根據(jù)運動學公式有h＝eq\f(v,2)t，解得v＝20m/s.(2)火箭能夠繼續(xù)上升的時間t1＝eq\f(v,g)＝eq\f(20,10)s＝2s火箭能夠繼續(xù)上升的高度h1＝eq\f(v2,2g)＝eq\f(202,2×10)m＝20m因此火箭離地面的最大高度H＝h＋h1＝60m.(3)火箭由最高點落至地面的時間t2＝eq\r(\f(2H,g))＝eq\r(\f(2×60,10))s＝2eq\r(3)s，火箭從發(fā)射到返回發(fā)射點的時間t總＝t＋t1＋t2≈9.46s.訓練2追及和相遇問題1．(多選)(2019·遵義航天高中模擬)在某次遙控車漂移激情挑戰(zhàn)賽中，若a、b兩個遙控車從同一地點向同一方向做直線運動，它們的v－t圖像如圖1所示，則下列說法正確的是()圖1A．b車啟動時，a車在其前方2m處B．運動過程中，b車落后a車的最大距離為4mC．b車啟動3s后恰好追上a車D．b車超過a車后，兩車不會再相遇答案CD解析根據(jù)速度—時間圖線與時間軸包圍的面積表示位移，可知b在t＝2s時啟動，此時a的位移為x＝eq\f(1,2)×1×2m＝1m，即a車在b車前方1m處，選項A錯誤；當兩車的速度相等時，相距最遠，最大距離為xmax＝1.5m，選項B錯誤；由于兩車從同一地點沿同一方向做直線運動，當位移相等時兩車才相遇，由題圖可知，b車啟動3s后(即t＝5s)的位移xb＝eq\f(1,2)×2×2m＋2×1m＝4m，xa＝eq\f(1,2)×1×2m＋3×1m＝4m，故b車啟動3s后恰好追上a車，C正確；b車超過a車后，由于b的速度大，所以不可能再相遇，選項D正確．2．(多選)兩輛游戲賽車a、b在兩條平行的直車道上行駛，t＝0時兩車都在同一計時線處，此時比賽開始．它們在四次比賽中的v－t圖像如圖所示，則下列圖像對應的比賽中，有一輛賽車能夠追上另一輛的是()答案AC解析選項A圖中當t＝20s時，兩圖線與時間軸所圍的“面積”相等，此時b追上a，所以選項A正確；選項B圖中a圖線與時間軸所圍的“面積”始終小于b圖線與時間軸所圍的“面積”，所以不可能追上，選項B錯誤；選項C圖中，在t＝20s時，兩圖線與時間軸所圍的“面積”相等，此時b追上a，所以選項C正確；選項D圖中a圖線與時間軸所圍的“面積”始終小于b圖線與時間軸所圍的“面積”，所以不可能追上，選項D錯誤．3．A、B兩車沿同一直線同方向運動，A車的速度vA＝4m/s，B車的速度vB＝10m/s.當B車運動至A車前方7m處時，B車剎車并以大小為a＝2m/s2的加速度做勻減速運動，從該時刻開始計時，求：(1)A車追上B車之前，兩車間的最大距離；(2)經(jīng)多長時間A車追上B車．答案(1)16m(2)8s解析(1)當B車速度等于A車速度時，兩車間距最大．設(shè)經(jīng)時間t1兩車速度相等，有：vB′＝vB－at1，vB′＝vAB的位移：xB＝vBt1－eq\f(1,2)at12，A的位移：xA＝vAt1，則：Δxm＝xB＋7m－xA，解得：Δxm＝16m.(2)設(shè)B車停止運動所需時間為t2，則t2＝eq\f(vB,a)＝5s，此時A的位移xA′＝vAt2＝20m，B的位移xB′＝vBt2－eq\f(1,2)at22＝25m，A、B間的距離Δx＝xB′－xA′＋7m＝12m，A追上B還需時間t3＝eq\f(Δx,vA)＝3s，故A追上B的總時間t＝t2＋t3＝8s.4．(2019